第三章 电路的瞬态分析
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第 三 章： 电路的瞬态分析
设：t=0 — 表示换路瞬间，通常设为换路瞬间； t=0 — 表示换路前的瞬间； t=0+ — 表示换路后的瞬间（初始值）。 电容电路： ★ 电容电路： u C (0 ) u C (0 )
iC (t )= du (t ) dQ (t ) =C C ，电压uC (t )连续，电流iC (t )可突变； dt dt
第 三 章 电路的瞬态分析
§1 概 述
U=8V
iL i
R=2
t =0
iC
R3= 4
R2 =4
R1 =4
+ _
i1
+ uC _
+ uL _
当电路结构、元件参数和电源一定时，电路的工作状态是确定的， 称作稳定状态，简称稳态。 电路结构、元件参数或电源改变(接通、断开、改接等)，都会引 起电路的工作状态产生变化，称为换路。 某些电路从旧的稳定状态转换到另一个新的稳定状态需要一段短 暂的过渡时间，将这个过渡过程称为瞬态（或暂态）。电路在该段 时间内的研究分析称作瞬态分析或暂态分析。 【问题】为什么研究瞬态过程？ 瞬态过程一般很短暂，但对其研究意义重大，∵暂态过程具有 正、反两方面影响： ① 有利：实验室利用电路暂态过程产生特定波形的电信号， 实验室利用电路暂态过程产生特定波形的电信号，Eg： 锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。生活中电脑启动、 锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。生活中 信息存储、振荡信号产生等；
uR (t ) uC (t ) U S
i(t ) C duC (t ) dt
其中：uR (t ) i (t) R 和 ∴整理可得：
RC
d u C (t ) u C (t ) U S dt
可见，只含有一个储能元件的电路为一阶线性微分方程。
iC (t )= du (t ) dQ (t ) =C C ，电压uC (t )连续，电流iC (t )可突变； dt dt
第 三 章 电路的瞬态分析
§1 概 述
U=8V
iL i
R=2
t =0
iC
R3= 4
R2 =4
R1 =4
+ _
i1
+ uC _
+ uL _
当电路结构、元件参数和电源一定时，电路的工作状态是确定的， 称作稳定状态，简称稳态。 电路结构、元件参数或电源改变(接通、断开、改接等)，都会引 起电路的工作状态产生变化，称为换路。 某些电路从旧的稳定状态转换到另一个新的稳定状态需要一段短 暂的过渡时间，将这个过渡过程称为瞬态（或暂态）。电路在该段 时间内的研究分析称作瞬态分析或暂态分析。 【问题】为什么研究瞬态过程？ 瞬态过程一般很短暂，但对其研究意义重大，∵暂态过程具有 正、反两方面影响： ① 有利：实验室利用电路暂态过程产生特定波形的电信号， 实验室利用电路暂态过程产生特定波形的电信号，Eg： 锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。生活中电脑启动、 锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。生活中 信息存储、振荡信号产生等；
uR (t ) uC (t ) U S
i(t ) C duC (t ) dt
其中：uR (t ) i (t) R 和 ∴整理可得：
RC
d u C (t ) u C (t ) U S dt
可见，只含有一个储能元件的电路为一阶线性微分方程。
第三章 瞬态分析
快速性
平稳性 最终(稳态)精度
（二）单调变化 单调变化响应曲线如图所示：
h
0.05 y ()
h ( )
或 0.02 y ()
h ( ) 2
tr td ts
t
这种系统只用调节时间 t s 性。
来表示快速
一阶系统分析
1. 系统的表达
极点
2. 一阶系统的阶跃响应及性能指标
输入信号
阶跃响应
性能指标
超调量只与阻尼比有关，
且与阻尼比成 反 比。
3. 二阶系统性能指标的计算
调节时间 ts
包络线
性能指标的讨论
由超调量确定阻尼比， 再由其它条件确定无阻 泥振荡角频率。
例：已知 T=0.25, K =16。试求
(1)
(2)若 要求
解: (1)
(2)
例：已知单位反馈系统 的阶跃响应曲线如图所 示，试确定系统的开环 传递函数。 解：
C(s)
系统闭环特征方程为
sn an1sn1 a1s a0 0
i 1
q
( s pi )
k 1
r
2 ( s 2 2 k k s k ) 0, q 2r n
系统的单位阶跃响应
K C ( s) Gc ( s) R( s)
(s z )
§3.3 瞬态响应分析
对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时 间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳 态的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程 上称为进入稳态过程。 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。 瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运 动特性。理论上说，只有当时间趋于无穷大时， 才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进 行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间 里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的 瞬态性能指标。
电工学 第三章 电路的瞬态分析.
7
3.1 激励与响应
电路从电源输入的信号称为激励，也称输入。 电路在外部激励作用下或者内部的储能元件作用 下产生的电压和电流称为响应，也称输出。 零输入响应 按产生 原因不 同分类 零状态响应 全响应
仅由内部储能元件 储能引起的响应
储能元件未储能时由 激励引起的响应
已存储能量 +外部激励作用
全响应=零输入响应+零状态响应
例： 换路前电路处于稳态，试求图示电路中各个 电压和电流的初始值。
R 2 8V
+
U
t =0
R1
iC
R2
4
iL
+ u _L
R3
4
_
i1
4
+ u C _
(1) 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) 解： 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。
14
3.2 初始值和稳态值的确定
2
3.1 瞬态分析基本概念
“稳态”与 “暂态”的概念: K R
+ _
R
+
U
uC
C
U _ 电路处于新稳态
uC
电路处于旧稳态 过渡过程：
旧稳电路中产生暂态过程的原因
例：
S
i
R2 R3
U-
+
u2 -
+
I
O
t
与稳态分析 相同
(a)
合S前： i 0 u2 uR 2 uR3 0 合S后：电流 i 随电压 u 比例变化。
15
3.2 初始值和稳态值的确定
R
+ _
2 U 8V
t =0 R1
3.1 激励与响应
电路从电源输入的信号称为激励，也称输入。 电路在外部激励作用下或者内部的储能元件作用 下产生的电压和电流称为响应，也称输出。 零输入响应 按产生 原因不 同分类 零状态响应 全响应
仅由内部储能元件 储能引起的响应
储能元件未储能时由 激励引起的响应
已存储能量 +外部激励作用
全响应=零输入响应+零状态响应
例： 换路前电路处于稳态，试求图示电路中各个 电压和电流的初始值。
R 2 8V
+
U
t =0
R1
iC
R2
4
iL
+ u _L
R3
4
_
i1
4
+ u C _
(1) 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) 解： 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。
14
3.2 初始值和稳态值的确定
2
3.1 瞬态分析基本概念
“稳态”与 “暂态”的概念: K R
+ _
R
+
U
uC
C
U _ 电路处于新稳态
uC
电路处于旧稳态 过渡过程：
旧稳电路中产生暂态过程的原因
例：
S
i
R2 R3
U-
+
u2 -
+
I
O
t
与稳态分析 相同
(a)
合S前： i 0 u2 uR 2 uR3 0 合S后：电流 i 随电压 u 比例变化。
15
3.2 初始值和稳态值的确定
R
+ _
2 U 8V
t =0 R1
第三章瞬态动力学分析
第三章瞬态动力学分析§3.1瞬态动力学分析的定义瞬态动力学分析（亦称时间历程分析）是用于确定承受任意的随时间变化载荷结构的动力学响应的一种方法。
可以用瞬态动力学分析确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及力。
载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。
如果惯性力和阻尼作用不重要，就可以用静力学分析代替瞬态分析。
瞬态动力学的基本运动方程是：其中：[M]=质量矩阵[C]=阻尼矩阵[K]=刚度矩阵{}=节点加速度向量{}=节点速度向量{u}=节点位移向量在任意给定的时间，这些方程可看作是一系列考虑了惯性力（[M]{}）和阻尼力（[C]{}）的静力学平衡方程。
ANSYS程序使用Newmark时间积分方法§3.2学习瞬态动力学的预备工作瞬态动力学分析比静力学分析更复杂，因为按“工程”时间计算，瞬态动力学分析通常要占用更多的计算机资源和更多的人力。
可以先做一些预备工作以理解问题的物理意义，从而节省大量资源。
例如，可以做以下预备工作：1.首先分析一个较简单模型。
创建梁、质量体和弹簧组成的模型，以最小的代价深入的理解动力学认识，简单模型更有利于全面了解所有的动力学响应所需要的。
2.如果分析包括非线性特性，建议首先利用静力学分析掌握非线性特性对结构响应的影响规律。
在某些场合，动力学分析中是没必要包括非线性特性的。
3.掌握结构动力学特性。
通过做模态分析计算结构的固有频率和振型，了解这些模态被激活时结构的响应状态。
同时，固有频率对计算正确的积分时间步长十分有用。
4.对于非线性问题，考虑将模型的线性部分子结构化以降低分析代价。
<<高级技术分指南>>中将讲述子结构。
§3.3三种求解方法瞬态动力学分析可采用三种方法：完全（Full）法、缩减（Reduced）法及模态叠加法。
ANSYS/Profeional产品中只允许用模态叠加法。
电路的瞬态分析简介
供给无穷大功率。
直流电路中 I = 常数 U=0 L 相当于短路,短直作用
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电感串联：
i
L1
u
L2
LL1L2
电感并联：
i
u
L1 L2
1 1 1 L L1 L2
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2.3 换路定律
电容电压、电感电流在换路瞬间不能突变。
设：t =0 时换路
t 0 --- 换路前终了瞬间
d t
KVL： e = – u
则电感电压与电流的关系 u L d i
瞬时功率
puidtLidi
dt
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瞬时功率 p u i Li d i
i
i di 0 dt
dt
p0
说明 L 从外部输入电功率，电能 磁场能
i i d i 0 p0
dt
说明 L 向外部输出电功率，磁场能 电能
根据换路定则得： uC (0 ) uC (0 ) 0
L(0 ) L(0 ) 0返回Fra bibliotek上一节
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S C R2
+ t=0
U -
R1
iC (0+ ) uC (0+) + u2(0+_)
+
i1(0+ )
R2 +
iL(0+ ) +
L
U -
R1 _u1(0+) _ uL(0+)
(a) 电路
内因：电路中有储能元件——电容 C 或电感 L 外因：换路
电工学第三章
第 3章
一阶电路的瞬态分析
• 本章阐述瞬态过程的概念，分析瞬态过程 产生的原因；介绍换路定则及电路瞬态过 程中电流电压初始值的确定； • 本章还将分析讨论一阶线性电路的瞬态响 应，得出求解一阶线性电路瞬态响应的三 要素公式
3.1 3.2 3.3
瞬态的基本概念与换路定则 一阶线性电路的瞬态响应 一阶电路的矩形脉冲波响应
u
令:
RC
单位: s
U
0.632U O 零状态响应曲线
uC
时间常数 决定电路 暂态过程变化的快慢
t
物理意义 当 t = 时
uC = U(1 e 1) = U(1 0.368) = 0.632U 所以时间常数 等于电压 uC 增长到稳态值 U 的 63.2% 所 需的时间。
换路定则用公式表示为： iL(0+) = iL(0–)
uC(0+) = uC(0–)
3．电路中初始值与稳态值的确定
初始值(t=0+)的求取方法：
由t 0 时刻的换路前的电路， 求出uC (0 )或i L (0 )。直流电源激励 稳态下， 电感视为短路， 电容视为开路。
在t 0 时刻，根据换路定则确 定uC (0 )或i L (0 ) ， 然后根据换路后 的电路求出其他量的初 始值。 计算时uC (0 )用相应理想电压源代替 i L (0 )用理想电流源代替
2．换路定则
换路 引起电路工作状态变化的各种因素。如： 电路接通、断开或结构和参数发生变化等。 电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能 元件的能量不能跃变，即 1 2 电感元件的储能 不能跃变 W L Li L 2
电容元件的储能
1 2 WC CuC 2
一阶电路的瞬态分析
• 本章阐述瞬态过程的概念，分析瞬态过程 产生的原因；介绍换路定则及电路瞬态过 程中电流电压初始值的确定； • 本章还将分析讨论一阶线性电路的瞬态响 应，得出求解一阶线性电路瞬态响应的三 要素公式
3.1 3.2 3.3
瞬态的基本概念与换路定则 一阶线性电路的瞬态响应 一阶电路的矩形脉冲波响应
u
令:
RC
单位: s
U
0.632U O 零状态响应曲线
uC
时间常数 决定电路 暂态过程变化的快慢
t
物理意义 当 t = 时
uC = U(1 e 1) = U(1 0.368) = 0.632U 所以时间常数 等于电压 uC 增长到稳态值 U 的 63.2% 所 需的时间。
换路定则用公式表示为： iL(0+) = iL(0–)
uC(0+) = uC(0–)
3．电路中初始值与稳态值的确定
初始值(t=0+)的求取方法：
由t 0 时刻的换路前的电路， 求出uC (0 )或i L (0 )。直流电源激励 稳态下， 电感视为短路， 电容视为开路。
在t 0 时刻，根据换路定则确 定uC (0 )或i L (0 ) ， 然后根据换路后 的电路求出其他量的初 始值。 计算时uC (0 )用相应理想电压源代替 i L (0 )用理想电流源代替
2．换路定则
换路 引起电路工作状态变化的各种因素。如： 电路接通、断开或结构和参数发生变化等。 电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能 元件的能量不能跃变，即 1 2 电感元件的储能 不能跃变 W L Li L 2
电容元件的储能
1 2 WC CuC 2
第3章一阶电路的瞬态分析
2.电路中必须有储能元件L或C.
换路定则内容
由于电路的换路，使电路中的能量发生变化，而这 种变化是不能跃变的——必须是连续的。
设 t=0为换路瞬间， t=0–表示换路前的终了瞬间， t=0+表示换路后的初始瞬间，0–和0+在数值上都等于0， 但0–是t从负值趋近于0，0+是t从正值趋近于0，从t=0– 到t=0+瞬间，电感元件中储存的磁场能量，WL和电容元 件中储存的电场能量WC是不能跃变的，即
例3:如图3。求开关s闭合瞬间(t＝0+)各元件中的 电流及两端电压？当电路到达稳态时又?设在t＝ 0-时，电路中的储能元件均未储能。
R1
S (t 0)
解：
L1 1H C1
R2
2mF 1mF
2
U S 10V
C2
图3
8
L2
2H
iL1 (0 ) iL 2 (0 ) 0 uC1 (0 ) uC 2 (0 ) 0
iR1 iL1 iR 2 iL 2 1A
L1
iC 2
U S 10V
iR 2 R2
C1
C2
uC 2 (0 ) 0
8
iL 2 (0 ) 0
uR 2 uC1 uC 2 8V
uR1 iR1R1 2V
L2
t 时
iR1
t=0t=0+
图4b
iR2
0
iL1
日常生活中的瞬态现象
自然界事物的运动，在一定条件下有 一定的稳定状态，当条件改变时，就要过 渡到新的稳定状态。
在电路中也同样存在瞬态过程，例如， 在RC串联的直流电路中。电容由最初的电 压为零到充电结束后电压为电源电压值的 过程。
电路的瞬态分析.ppt
1
第一节 瞬态过程的基本知识
第二节 RC电路的瞬态过程
第三节 微分电路与积分电路
第四节 RL电路的过渡过程
概述:
1.电路的稳定状态
前几章讨论的电路中电压、电流等，都是某一 稳定值或某一稳定时间函数，这种状态称为电路 的稳定状态，简称稳态。
2.电路的瞬态过程 当电路中的电压、电流等从原来的稳定值或时 间函数变为另一稳定值或时间函数，即电路从原 来的稳态变换到新的稳态，需要经历一定的时间， 这一变换过程也称为电路的瞬态过程，旧称过渡 过程。
t
0
0
2
3
4
5
0.993
∞ 1
uC
0.632 0.865
uc
0.950 0.982
uC (∞)=U
0. 950U
o
2 3 4 5
0. 632U
0. 865U
0. 632U
0. 982U
0. 993U
t
30
第二节 RC电路的瞬态过程
电容充电时电压的变化
t
0 0
2
3
4
5
O
37
t
归纳
第二节 RC电路的瞬态过程
RC电路的过渡过程 1.一阶电路：只含有一个储能元件的电路。
2.求解方法：三要素法 3.三要素法 一般形式 f ( t ) f ( ) f (0 ) f ( )e f (0 )-- 初始值 f ( ) -- 稳态值 -- 时间常数 求解步骤
uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) 2A
19
第一节 瞬态过程的基本知识
3.开关S闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流 电感中电流不变。用2A电流源代替电感。 电容两端电压不变（相当于短路），用 0V电压源代替电容。 iL 电流源iL (0+) 电压源uc (0+) S
第一节 瞬态过程的基本知识
第二节 RC电路的瞬态过程
第三节 微分电路与积分电路
第四节 RL电路的过渡过程
概述:
1.电路的稳定状态
前几章讨论的电路中电压、电流等，都是某一 稳定值或某一稳定时间函数，这种状态称为电路 的稳定状态，简称稳态。
2.电路的瞬态过程 当电路中的电压、电流等从原来的稳定值或时 间函数变为另一稳定值或时间函数，即电路从原 来的稳态变换到新的稳态，需要经历一定的时间， 这一变换过程也称为电路的瞬态过程，旧称过渡 过程。
t
0
0
2
3
4
5
0.993
∞ 1
uC
0.632 0.865
uc
0.950 0.982
uC (∞)=U
0. 950U
o
2 3 4 5
0. 632U
0. 865U
0. 632U
0. 982U
0. 993U
t
30
第二节 RC电路的瞬态过程
电容充电时电压的变化
t
0 0
2
3
4
5
O
37
t
归纳
第二节 RC电路的瞬态过程
RC电路的过渡过程 1.一阶电路：只含有一个储能元件的电路。
2.求解方法：三要素法 3.三要素法 一般形式 f ( t ) f ( ) f (0 ) f ( )e f (0 )-- 初始值 f ( ) -- 稳态值 -- 时间常数 求解步骤
uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) 2A
19
第一节 瞬态过程的基本知识
3.开关S闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流 电感中电流不变。用2A电流源代替电感。 电容两端电压不变（相当于短路），用 0V电压源代替电容。 iL 电流源iL (0+) 电压源uc (0+) S
电工学电路的瞬态分析
03
此外，随着可穿戴设备和物联网技术的快速发展，针对这些领 域中微小电路系统的瞬态分析也将成为一个重要研究方向。
瞬态分析的实际应用价值
瞬态分析在解决实际问题中具有很高的应用价值，例如在电力系统中分析电网的稳定性、预测和控制 电力系统的暂态过程；在电机控制中优化电机的启动和停止过程、提高电机的性能和效率等。
CHAPTER
电工学基本概念
电荷与电场
电荷是产生电场的原因，电场对处于其中的电荷 施加作用力。
电流与电压
电流是电荷的流动，电压是电场对单位电荷所做 的功。
功率与能量
功率是单位时间内完成的功，能量是电荷在电场 中移动时所做的功。
电路元件介绍
01
02
03
电阻器
电阻器是一种限制电流的 元件，其阻值大小与通过 的电流和两端的电压有关。
• 图示：[请在此处插入一阶RC电路的瞬态分析图]
一阶RL电路的瞬态分析
总结词
详细描述
公式
图示
RL电路的瞬态分析主要关注 电感的磁通量变化以及电流 的变化规律。
在RL电路中，当输入信号突 然变化时，电感会产生感应 电动势，阻碍电流的变化。 这个变化过程可以用微分方 程进行描述，通过求解微分 方程可以得到电流的瞬态响 应。
的电路参数和性能指标。
数字电路设计
数字电路中存在大量的时序逻辑， 瞬态分析可以帮助设计者理解电 路的工作过程和时序特性，提高
电路设计的可靠性和稳定性。
电机控制
电机控制中涉及到大量的电力电 子设备和控制算法，瞬态分析可 以帮助设计者了解电机在不同控 制条件下的性能表现，优化控制
策略和参数。
02 电工学基础
i(t) = i_0 * (1 - e^(-t/R)) ( 当输入电压突然加在电感上 时)
此外，随着可穿戴设备和物联网技术的快速发展，针对这些领 域中微小电路系统的瞬态分析也将成为一个重要研究方向。
瞬态分析的实际应用价值
瞬态分析在解决实际问题中具有很高的应用价值，例如在电力系统中分析电网的稳定性、预测和控制 电力系统的暂态过程；在电机控制中优化电机的启动和停止过程、提高电机的性能和效率等。
CHAPTER
电工学基本概念
电荷与电场
电荷是产生电场的原因，电场对处于其中的电荷 施加作用力。
电流与电压
电流是电荷的流动，电压是电场对单位电荷所做 的功。
功率与能量
功率是单位时间内完成的功，能量是电荷在电场 中移动时所做的功。
电路元件介绍
01
02
03
电阻器
电阻器是一种限制电流的 元件，其阻值大小与通过 的电流和两端的电压有关。
• 图示：[请在此处插入一阶RC电路的瞬态分析图]
一阶RL电路的瞬态分析
总结词
详细描述
公式
图示
RL电路的瞬态分析主要关注 电感的磁通量变化以及电流 的变化规律。
在RL电路中，当输入信号突 然变化时，电感会产生感应 电动势，阻碍电流的变化。 这个变化过程可以用微分方 程进行描述，通过求解微分 方程可以得到电流的瞬态响 应。
的电路参数和性能指标。
数字电路设计
数字电路中存在大量的时序逻辑， 瞬态分析可以帮助设计者理解电 路的工作过程和时序特性，提高
电路设计的可靠性和稳定性。
电机控制
电机控制中涉及到大量的电力电 子设备和控制算法，瞬态分析可 以帮助设计者了解电机在不同控 制条件下的性能表现，优化控制
策略和参数。
02 电工学基础
i(t) = i_0 * (1 - e^(-t/R)) ( 当输入电压突然加在电感上 时)
第3章 电路的暂态分析
再由t＝ 时刻的电路 的电路： 再由 ＝0＋时刻的电路： 得：
U
i (0+) R1 2 + 6V -
+ R2 4 is(0+) L iL (0+) +
uR2
uR1
-
U 6 i (0 + ) = = =3A R1 2
is（0+）=i（0+）－ L（0+）=3－1=2 A （ ）－i － uR1（0+）=R1i（0+）=2×3=6 A （ × uR2（0+）=R2 iL（0+）=4×1=4 A × 由KVL：uL（0+）= -uR2（0+）= -4 V ：
2 t=0 S 1 + Us i + R uR C + uC
duC 且 i = iC = C dt duC ∴ u R = RC dt duC 故， RC + uC = U s dt
求解一阶线性常微分方程， 求解一阶线性常微分方程， 其解由两部分组成： 其解由两部分组成： 从数学观点解释： 从数学观点解释：
+ U -
i
R1 2 is
R2 4 L iL
6V
S t=0
∵开关闭合前电路已处于稳态，且电路为直流电路 开关闭合前电路已处于稳态， ∴电感相当于短路 则
U 6 iL (0 − ) = i (0 − ) = = =1A R1 + R 2 2 + 4
由换路定则，可得： 由换路定则，可得： iL（0+）=iL（0－）=1 A
）（t≥0） （V）（ ） ）（
三要素法公式
微分方程的通解： 微分方程的通解： 从物理观点解释： 从物理观点解释：
电路的瞬态分析
S
+
L uL
iL –
求: iL(0+) 、uL(0+) uL(0 ) 0 uL(0 ) 0
解： u L diL
dt
S闭合前iL为恒定值，则其导数为0，
即：uL (0-)=0
先求
iL (0
)
10 14
2A
然后由换路定律:
0+电路 1 4
iL(0+)= iL(0-) =2A
+
+ –+
10V –
iC
C
duC dt
ReqC
duC dt
uC
Uoc
一般形式： a d f bf c dt
由直流电源激励的一阶线性电路的数学模型是： 以时间为自变量的一阶常系数线性微分方程
11
ReqC
duC dt
uC
Uoc
US
BUCT
1、齐次微分方程的通解： 2、非齐次微分方程的解：
设RuCCddutCAeupCt 0
三要素
f () 稳态值
f (0 )
初始值
时间常数
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
上式即为计算直流激励一阶电路全响应的三要素公式。
13
注意： 三要素公式使用的条件：
BUCT
1、必须是一阶电路；
2、电路的激励必须是带开关的直流激励;
3、电路必须具有稳定性，即必须有时间常数。
3. 画0+等值电路；
a. 换路后的电路 b. 电容C→用电压源替代 US = uC(0+)
电感L→用电流源替代 IS = iL(0+)
电源方向与原设定的uC(0+) 、iL(0+) 方向一致；
电工技术第三章电路的瞬态过程
uC(0+)=uC(0-)=25V 25 uC() 3 15V 5 从电容两端看进去 R 2 3 1.2Ω 23 的等效电阻 RC 1.2 0.25 0.3S
3
例 已知U1=2V， U2=4V，R1=2k ，R2=2k， C= 2F ，t<0时电路已处于稳态。用三要素法 求t ≥ 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。 1 S 解 t<0时电路已处于稳 2 R1 t = 0 态，电容相当于开路。 + + + U1 uC C R2 U1 U 2 – uC (0 ) 1V – – R R
1 2
R2
uC (0 ) 1V R2 U 2 uC ( ) 2V R1 R2 ( R1 // R2 )C 1 2 2ms
-
uC (V)
2
t
uC uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e
1
t (S)
uC 2 e-500 t V
( t 0)
0
3.3 RC电路的充、放电过程
3.3.1 RC电路的充电过程 3.3.2 RC电路的放电过程
3.3.1 RC电路的充电过程
开关闭合前,电容未被充电 uC(0+)= uC(0-)= 0 开关闭合后 uC ( ) U U
+ －
S(t=0) R
+ uR – + uc C
i
－
利用三要素法可知 uc U (1 e t / )
R iL(0+)
相当于 相当于 短路开路
i(0+)=iL(0+)=0
uR(0+)=i(0+) R =0 uL(0+)= US
3
例 已知U1=2V， U2=4V，R1=2k ，R2=2k， C= 2F ，t<0时电路已处于稳态。用三要素法 求t ≥ 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。 1 S 解 t<0时电路已处于稳 2 R1 t = 0 态，电容相当于开路。 + + + U1 uC C R2 U1 U 2 – uC (0 ) 1V – – R R
1 2
R2
uC (0 ) 1V R2 U 2 uC ( ) 2V R1 R2 ( R1 // R2 )C 1 2 2ms
-
uC (V)
2
t
uC uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e
1
t (S)
uC 2 e-500 t V
( t 0)
0
3.3 RC电路的充、放电过程
3.3.1 RC电路的充电过程 3.3.2 RC电路的放电过程
3.3.1 RC电路的充电过程
开关闭合前,电容未被充电 uC(0+)= uC(0-)= 0 开关闭合后 uC ( ) U U
+ －
S(t=0) R
+ uR – + uc C
i
－
利用三要素法可知 uc U (1 e t / )
R iL(0+)
相当于 相当于 短路开路
i(0+)=iL(0+)=0
uR(0+)=i(0+) R =0 uL(0+)= US
第三章 电路的瞬态分析
一. 电路中产生瞬态过程的原因
例：
+ S i R 1 R2 R3
U
-
u2 -
+
I
O
t
图(a)： 合S前：
(a)
i 0 u R1 u R 2 u R3 0
合S后： 电流 i 随电压 U 比例变化。 所以电阻电路不存在瞬态过程 (R耗能元件)。
S
R
+
U
图(b)
合S前:
iC (b)
C
+
带入数据
8 2i (0 ) 4iC (0 ) 4 i ( 0 ) iC ( 0 ) 1
RLeabharlann it =0iCR1 + _ 4 uC R2 iL R3 4 4
R 2
+ _
2 U 8V
+
ic +
R1 4V _
i1
+ uL _
U _ 8V
R2 iL 4 1A
R3 4
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变 ∵ C 储能：
1 2 WC CuC 2
\ u C 不能跃变
∵ L储能：
1 2 W L Li L 2
\ iL不能跃变
三.电路瞬态分析的内容
(1) 瞬态过程中电压、电流随时间变化的规律。 (2) 影响瞬态过程快慢的电路的时间常数。 四. 研究瞬态过程的实际意义
电感电路： L (0 ) L (0 )
电容电路： uC (0 ) uC (0 ) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
电路瞬态过程的分析
瞬态过程中 电压、电流随时间变化的规律
§3.3 一阶电路的瞬态分析 电路瞬态过程的分析的目的：
第三章瞬态动力学分析
第三章瞬态动力学分析瞬态动力学分析是一种用来描述系统在外部扰动下的短期响应情况的方法。
在工程领域中，瞬态动力学分析常常用于评估系统的稳定性、性能和安全性。
本章将介绍瞬态动力学分析的基本原理和具体应用。
1.原理瞬态动力学分析的基本原理是基于系统的动力学特性进行建模和分析。
首先，需要建立系统的数学模型，包括系统的方程、初值和边界条件。
系统的方程可以通过物理定律、动力学原理或实验数据等方法确定。
然后，通过求解数学模型的解析解或数值解的方式，可以得到系统在不同时间下的响应。
2.方法瞬态动力学分析的方法可以分为解析方法和数值方法两种。
解析方法是通过求解系统的微分方程或差分方程得到解析解，从而得到系统的瞬态响应。
常见的解析方法有变量分离法、特征根法和拉普拉斯变换法等。
数值方法则是通过离散化连续系统，将微分方程或差分方程转化为差分方程或代数方程，利用计算机进行数值求解。
常见的数值方法有欧拉法、龙格-库塔法、增量法和有限元法等。
3.应用瞬态动力学分析在工程中的应用非常广泛，下面简要介绍几个典型的应用场景。
（1）电力系统瞬态分析：电力系统瞬态分析是电力工程中的一个重要问题，它用于评估电力系统的稳定性、动态响应和故障处理能力。
通过瞬态动力学分析，可以控制系统的电压、频率和功率稳定性，提高电力系统的可靠性和安全性。
（2）水力系统瞬态分析：水力系统瞬态分析主要用于评估水力系统中的液压冲击、水锤和阀门控制等问题。
通过瞬态动力学分析，可以确定系统中各个节点的压力和流量变化规律，以及液压冲击和水锤的大小和位置，为系统设计和维护提供依据。
（3）机械系统瞬态分析：机械系统瞬态分析主要用于评估机械系统的运动学和动力学性能，如加速度、速度、力和位移等。
通过瞬态动力学分析，可以分析系统中的动力学特性，确定系统的自然频率、阻尼比和共振点等参数，为系统的设计和优化提供参考。
总结：瞬态动力学分析是一种用来描述系统在外部扰动下的短期响应情况的方法。
第3章 电路的瞬态过程
Saturday, June 25, 2011
2
第3章 电路的瞬态过程
3.1 概 述
3.1.1 电路的稳态与瞬态 稳态（稳定状态）： 稳态（稳定状态）： 给定激励后，电路中电压、电流已达到稳定值 稳定值。 给定激励后，电路中电压、电流已达到稳定值。 瞬态（瞬态过程）： 瞬态（瞬态过程）： 换路后 换路后，电路从一种稳态变化到另一种稳态 过渡过程。 所经历的过渡过程 所经历的过渡过程。 换路： 换路： 1、电路结构改变（电路接通、断开、短路等） 、电路结构改变（电路接通、断开、短路等） 2、电路参数改变 、电路参数改变……
第3章 电路的瞬态过程
3.1.3 换路定律与电路初始值的确定
设：t=0 — 表示换路时刻 表示换路前的终了时刻（瞬间） t=0— — 表示换路前的终了时刻（瞬间） t=0+ — 表示换路后的初始时刻（瞬间） 表示换路后的初始时刻（瞬间） 换路定律：换路前后瞬间， 换路定律：换路前后瞬间，电感的电流和电容的电压 不能突变。 不能突变。 数学表达式： 数学表达式： uC (0+ ) = uC (0− )
Saturday, June 25, 2011 16
第3章 电路的瞬态过程
3.1.4 研究瞬态过程的意义及其方法
瞬态过程的存在有利也有弊。有利的一面， 瞬态过程的存在有利也有弊。有利的一面，如可 实现信号产生、波形的变换等；不利的一面， 实现信号产生、波形的变换等；不利的一面，某些电 路在接通或断开时会产生过电压和过电流，造成危害。 路在接通或断开时会产生过电压和过电流，造成危害。 研究瞬态过程的意义：充分利用瞬态过程的特征 研究瞬态过程的意义： 来满足技术上对电气线路和电气装置的性能要求， 来满足技术上对电气线路和电气装置的性能要求，同 时又避免它所产生的危害。 时又避免它所产生的危害。 研究瞬态过程的方法： 研究瞬态过程的方法： 1、经典法。构建微分方程，利用初始条件求取。 、经典法。构建微分方程，利用初始条件求取。
第3章电路的瞬态分析
u1
tp
T
i
C
0
条件
t _
+ +u _ C R u1
uC (0 ) 0 V
_
+ u2
_
(1) RC t p
(2) 输出电压从电阻R端取出
2. 分析
ic
u1 uC u2
C
u1
_
+ +u _ C
+
R
u2
_
u1
U O U O
uC (0 _) 0 V
tp
u2
t1
t
-U 即输出电压与输入电压的微分成正比，因此成为微分电路
§3.1 概述
先看一个我们熟知的电容充放电实验，大家一起 来分析电路中电压、电流发生的变化： 2 t 0 R +u – R 1 + + uC c U iC – -
结论：电路有两种状态—稳定状态和过渡状态， 前者简称为稳态，后者亦称为过渡过程或暂态过程 或瞬态过程，简称暂态。
S
• 稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到 稳定值。 • 暂态过程（瞬态过程）： 电路从一种稳态变化到另一种稳态的过 渡过程。
1 解：解之得 iC (0 ) A 3 并可求出
uL (0 ) R2 iC (0 ) uC (0 ) R3 i L (0 )
1 1 4 4 41 1 V 3 3
计算结果：
+ _
R
2 U 8V t =0iC R1 + _C 4 u R2 iL R3 4 4
二. 初始值的确定 求解步骤：
1、画出换路前t =0-的等效电路，求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )；
第 三 章： 电路的瞬态分析
uC U (U 0 U )e
U (U 0 U ) e
t
t RC
（ t 0+ ）
【特点】电容电压 uC 从初始值按指数规律变化，快慢由RC 决定。
2. 对瞬态分析结果研究：
u C U (U 0 U ) e
t RC
uc ( t )
U
0.632(U U 0 )
t
【响应中“三要素”的确定】
(1) 初始值 f (0+) 的计算 ① 由 t = 0－时刻(换路前)求： uC ( 0 )、 i L ( 0 ) ② 根据换路定则求： uC (0＋ )=uC (0－ ) 或 iL (0＋ )=iL (0－ )
u (0 ) 或 i (0 ) ③* 由t=0+时刻(换路后)，求所需量：
一、RC电路的响应
换路前(t=0-)电路已处稳态， t =0时开关
＋
2
t0
+ 1 S
R
uR –
S1
U0
－
＋
c
＋
U
－
iC
uC
－
1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0+) (1) 列 KVL方程： u R 其中： ∴整理可得：
uC U duC C C uR R
dt
duC RC uC U dt
第 三 章 电路的瞬态分析
§1 概 述
当电路结构和元件参数一定时，电路的工作状态是确定的， 称为稳定状态，简称稳态。 电路结构或元件参数改变(接通、断开、改接等)，都会引起 电路的工作状态产生变化，称为换路。 电路从旧的稳定状态转换到另一个新的稳定状态需要一段短 暂的过渡时间，∴ 将这个过渡过程称为瞬态（或暂态）。对电 路在这段时间响应的分析称作瞬态分析或暂态分析。 研究暂态过程具有重要意义，因为暂态过程具有两方面影响： 暂态过程影响：① 有利：电脑启动、信息存储、振荡信号产生；
CAD03-瞬态
-
24V
iS
uC
+
-
uL
+
-
+
6
S
6
uC(0-)
+
12 iL(0-)
iL 0 iL 0 1A
-
24V
uC 0 uC 0 12 V
-
t = 0-等效电路
⑵由t = 0+等效电路求非独立初始值
24 i1 (0 ) 4A 6
12 i2 (0 ) 2 A 6
t U )e RC
零状态响应
uC U 0
) (t 0)
(t 0)
U (U 0
稳态分量
暂态分量
全响应 = 稳态分量 +暂态分量
3.1 数值积分法
3.1.5 一阶线性电路暂态分析的三要素法
只含有一个储能元件或可 等效为一个储能元件的线性电 + 路, 其微分方程是一阶常系数 U0 线性微分方程，该电路称为一 阶线性电路。
1
暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡 过程。 研究暂态过程的目的： 认识和掌握这种客观存在的物理现象的规律，既 要充分利用暂态过程的特性，同时也必须预防它所产 生的危害。 电路暂态分析的内容： 1.讨论暂态过程中电压与电流随时间变化的规律。 2.影响暂态过程快慢的电路时间常数。
3.1 数值积分法
O
τ
t
时间常数τ等于电压uC衰减到初始值U的36.8% 所需的时间。
⑶几何意义：指数曲线上任意点 的次切距的长度都等于 。 ⑷暂态时间
t
U
uC
36.8%U τ
理论上 t →∞电路才能达到稳态。 O
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i L (0 ) R1 R1 R3 R U R1 R3 R1 R3 4 44 2 U 4 4 44
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t = 0 -等效电路
1A
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电工与电子技术A1
R
R t =0 ic R1 + _ 4 uc R2 iL 4 C R3 + 2 i1 4 U + _ 8V uL L _
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电工与电子技术A1
2. 对暂瞬分析结果研究：
4) 特例分析 ●当U＝0时 u c U 0 e
t
Uu cc ( t )
0.632(U U 0 ) U
零输入响应（放电过程） 0.632(U U ) 0 t UO U 0 ●当U0＝0时 u c U Ue 零状态响应（充电过程）
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第二节
换路定律（电路初始值的确定）
设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
电感电路： L (0 ) L (0 )
电容电路： uC (0 ) uC (0 ) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
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第三章 电路的瞬态分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 概述 换路定律（初始值的确定） 电路的瞬态分析 一阶电路的三要素法 瞬态过程的应用
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电工与电子技术A1
第一节 概述
电路分析中电压电流都是固定规律（直流或交流）。称稳态分 析；但实际上电路工作时有些时刻不是特定的规律（换路）， 分析此时的响应规律为瞬态（时域）分析。
uR R
C C
RC duC dt
一阶线性常系数 微分方程
代入上式得
uC U
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电工与电子技术A1
(2) 解方程： RC
duC dt
uC U
t A e RC U
微分方程的通解： uC
由初始值确定积分常数 A
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U 0 , 可得
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三要素法求解瞬态过程的要点
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；
(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。 f(t)
终点 f ()
起点 f (0 )
O
0 . 632 [ f ( ) f ( 0 )] f ( 0 )
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e
t
f (t )：代表一阶电路中任一电压、电流函数
f ( 0 )-- 初始值
f ( ) -- 稳态值
-- 时间常数
（三要素）
利用求三要素的方法求解瞬态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 f (0 ) 、 和 f ( ) 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
+ _
2 U 8V
ic
R2 iL 4
R3 4
i1
R1 + _ 4 uc C
+ uL L _
解：(1) i L (0 ) 1 A
t = 0 -等效电路
uC (0 ) R3 i L (0 ) 4 1 4 V
由换路定律：
i L (0 ) i L (0 ) 1 A
C
i (0 ) iC (0 ) 1
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电工与电子技术A1
R
i
t =0iC R1 + _ 4 uC R2 iL R3 + 4 4
R
2
+ _
2 U 8V
ic
i1
+ uL _
1
U _ 8V
+
R1 4V _
R2 iL 4
R3 4
1A
解：解之得 iC (0 ) A 3 并可求出
10
C +u - C 1 F
5
6 6 6mA
i L ( ) 6 6
电工与电子技术A1
S
R
+
U
uC
暂态
图(b)
iC (b)
C
+
-
uC
U
o 稳态
t
合S前: iC 0 , uC 0 合S后： uC 由零逐渐增加到U 所以电容电路存在暂态过程
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产生暂态过程的必要条件：
换路: 电路状态的改变。如： 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变等 产生暂态过程的原因： 由于物体所具有的能量不能跃变而造成
u L (0 )
t = 0+时等效电路
R2 iC (0 ) uC (0 ) R3 i L (0 )
1 3 4 41 1 1 3
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4
V
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计算结果：
+ _
R
2 U 8V t =0iC R1 + _ 4 uC R2 iL R3 4 4
1) 由t =0+的电路（换路后）求其它电量的初始值；
2) 在 t =0+时的电压方程中 uC = uC( 0+)、（恒压源） t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。 （恒流源）
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电工与电子技术A1
换路前电路处于稳态。 例： 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
R
+ u– R
iC
-
+ uC – c
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第四节 一阶电路的三要素法
仅含一个储能元件或可等效 为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为 一阶线性电路。 据经典法推导结果 全响应 t
uC U (U 0 U )e
uC ( ) U
U0
2
3
t
0.632(U U 0 )
●一般情况：
U0
t
u c U (U 0 U ) e
稳态分量 + 暂态分量
U 0e
t
( U Ue
t
)
零输入响应 + 零状态响应
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2. 对瞬态分析结果研究：
uC U (U 0
R R
+
_
2 U 8V
t =0 iC
R1 + uC 4 _
R2 iL 4
i1
R3 + 2 i1 4 U + _ 8V uL _
iC
R2 iL 4
R3 4
R1 + uC 4 _ C
+ uL L _
解： 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) (1) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 由t = 0-电路可求得： 电感元件视为短路。
(3) 电容电压 uC 的变化规律
A U0 U
t RC
uC U (U 0 U ) e
U (U 0 U ) e
t
t0
电容电压 uC 从初始值按指数规律变化，变化 快慢由RC 决定。
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2. 对瞬态分析结果研究：
i1
+ uL _
iC / A
电量
t 0
t 0
uC / V i L / A
4
uL / V
1
1
0
1 3
0
1 1 3
4
换路瞬间，uC、i L 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。
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结论
1. 换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可能跃 变。 2. 换路瞬间 (t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想 电压源替代, 其电压为uc(0+); 换路前, 若iL(0-)0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件可用一理想电流源替
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电工与电子技术A1
电路初始值的确定：
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解要点： (1) uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法。 1) 先由t =0-的电路（换路前）求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )；
2) 根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2) 其它电量初始值的求法。
uC (0 ) uC (0 ) 4 V
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R
i
t =0i
C
R
+ _
2 U 8V
R2 iL 4 C
i1
R1 + _ 4 uC
R3 + 2 4 U + _ 8V uL L R1 _
iC +
4V _
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t = 0 -等效电路
1A
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电工与电子技术A1
R
R t =0 ic R1 + _ 4 uc R2 iL 4 C R3 + 2 i1 4 U + _ 8V uL L _
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2. 对暂瞬分析结果研究：
4) 特例分析 ●当U＝0时 u c U 0 e
t
Uu cc ( t )
0.632(U U 0 ) U
零输入响应（放电过程） 0.632(U U ) 0 t UO U 0 ●当U0＝0时 u c U Ue 零状态响应（充电过程）
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第二节
换路定律（电路初始值的确定）
设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
电感电路： L (0 ) L (0 )
电容电路： uC (0 ) uC (0 ) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
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第三章 电路的瞬态分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 概述 换路定律（初始值的确定） 电路的瞬态分析 一阶电路的三要素法 瞬态过程的应用
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电工与电子技术A1
第一节 概述
电路分析中电压电流都是固定规律（直流或交流）。称稳态分 析；但实际上电路工作时有些时刻不是特定的规律（换路）， 分析此时的响应规律为瞬态（时域）分析。
uR R
C C
RC duC dt
一阶线性常系数 微分方程
代入上式得
uC U
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电工与电子技术A1
(2) 解方程： RC
duC dt
uC U
t A e RC U
微分方程的通解： uC
由初始值确定积分常数 A
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U 0 , 可得
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电工与电子技术A1
三要素法求解瞬态过程的要点
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；
(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。 f(t)
终点 f ()
起点 f (0 )
O
0 . 632 [ f ( ) f ( 0 )] f ( 0 )
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e
t
f (t )：代表一阶电路中任一电压、电流函数
f ( 0 )-- 初始值
f ( ) -- 稳态值
-- 时间常数
（三要素）
利用求三要素的方法求解瞬态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 f (0 ) 、 和 f ( ) 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
+ _
2 U 8V
ic
R2 iL 4
R3 4
i1
R1 + _ 4 uc C
+ uL L _
解：(1) i L (0 ) 1 A
t = 0 -等效电路
uC (0 ) R3 i L (0 ) 4 1 4 V
由换路定律：
i L (0 ) i L (0 ) 1 A
C
i (0 ) iC (0 ) 1
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R
i
t =0iC R1 + _ 4 uC R2 iL R3 + 4 4
R
2
+ _
2 U 8V
ic
i1
+ uL _
1
U _ 8V
+
R1 4V _
R2 iL 4
R3 4
1A
解：解之得 iC (0 ) A 3 并可求出
10
C +u - C 1 F
5
6 6 6mA
i L ( ) 6 6
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S
R
+
U
uC
暂态
图(b)
iC (b)
C
+
-
uC
U
o 稳态
t
合S前: iC 0 , uC 0 合S后： uC 由零逐渐增加到U 所以电容电路存在暂态过程
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产生暂态过程的必要条件：
换路: 电路状态的改变。如： 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变等 产生暂态过程的原因： 由于物体所具有的能量不能跃变而造成
u L (0 )
t = 0+时等效电路
R2 iC (0 ) uC (0 ) R3 i L (0 )
1 3 4 41 1 1 3
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4
V
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计算结果：
+ _
R
2 U 8V t =0iC R1 + _ 4 uC R2 iL R3 4 4
1) 由t =0+的电路（换路后）求其它电量的初始值；
2) 在 t =0+时的电压方程中 uC = uC( 0+)、（恒压源） t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。 （恒流源）
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换路前电路处于稳态。 例： 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
R
+ u– R
iC
-
+ uC – c
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第四节 一阶电路的三要素法
仅含一个储能元件或可等效 为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为 一阶线性电路。 据经典法推导结果 全响应 t
uC U (U 0 U )e
uC ( ) U
U0
2
3
t
0.632(U U 0 )
●一般情况：
U0
t
u c U (U 0 U ) e
稳态分量 + 暂态分量
U 0e
t
( U Ue
t
)
零输入响应 + 零状态响应
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2. 对瞬态分析结果研究：
uC U (U 0
R R
+
_
2 U 8V
t =0 iC
R1 + uC 4 _
R2 iL 4
i1
R3 + 2 i1 4 U + _ 8V uL _
iC
R2 iL 4
R3 4
R1 + uC 4 _ C
+ uL L _
解： 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) (1) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 由t = 0-电路可求得： 电感元件视为短路。
(3) 电容电压 uC 的变化规律
A U0 U
t RC
uC U (U 0 U ) e
U (U 0 U ) e
t
t0
电容电压 uC 从初始值按指数规律变化，变化 快慢由RC 决定。
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2. 对瞬态分析结果研究：
i1
+ uL _
iC / A
电量
t 0
t 0
uC / V i L / A
4
uL / V
1
1
0
1 3
0
1 1 3
4
换路瞬间，uC、i L 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。
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结论
1. 换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可能跃 变。 2. 换路瞬间 (t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想 电压源替代, 其电压为uc(0+); 换路前, 若iL(0-)0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件可用一理想电流源替
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电路初始值的确定：
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解要点： (1) uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法。 1) 先由t =0-的电路（换路前）求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )；
2) 根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2) 其它电量初始值的求法。
uC (0 ) uC (0 ) 4 V
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R
i
t =0i
C
R
+ _
2 U 8V
R2 iL 4 C
i1
R1 + _ 4 uC
R3 + 2 4 U + _ 8V uL L R1 _
iC +
4V _