点、线、面的投影
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
点、直线和平面的投影
例2-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，点B的正面投影b′和水平投 影b，如图2-11(a)所示，分别求其第三面投影。
图2-11 已知点的两面投影求第三投影
二、直线的投影
1.各种位置直线的投影特性
1）投影面平行线 投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。 （1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴 的夹角，分别反映直线对另外两个投影面的夹角。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴。 2）投影面垂直线 投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。 （1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 3）一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映 实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角 。 一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小 于实长。
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即 a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点 A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离， 即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条 辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的 水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。
第三章：点、线、面的投影
b
H
Y
一般位置直线求实长
• 直角三角形法求实长
投影面平行线
V b' a' A
β γ
a" W b" O
B X
β
a
γ
b
H
Y
(2) 投影面平行线 水平线
α
●
b a
●
●
b
●
a≡b≡m
直线倾斜于投影 直线平行于投影面 投影比空间线段 投影反映线段实长 ab=AB cosα ab=AB 真实性
直线垂直于投影 投影重合为一点 ab=0 积聚性
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ 正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而 水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
X
a′ ′
●
az
Z
●
a″ ay
Y
ax a
●
O
Y
ay
② aax= a″az=y=A到V面的距离 ″ 到 面的距离 a′ax= a″ay=z=A到H面的距离 ′ ″ 到 面的距离 aay= a′az=x=A到W面的距离 ′ 到 面的距离
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。 三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 及与相应投影面的夹角。 应的投影轴。 应的投影轴。
点线面的投影
点线面的投影投影是几何学中一个重要的概念，用来描述物体在不同维度中的影子或映像。
在三维空间中，投影通常分为点投影、线投影和面投影三种形式。
本文将对点线面的投影进行讨论，并探索其在现实生活中的应用。
一、点的投影点的投影是指当一个点在一个平面上投影时，与该点连线垂直于平面的投影点。
这个投影点可以将原始点的位置在平面上进行准确表示，而不会改变该点的其他性质，如颜色、大小等。
在现实生活中，点的投影有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要通过对建筑物顶部的点进行投影来确定其在平面图上的位置。
同样，在地图制作中，将地球上各个城市的经纬度进行投影来绘制平面地图也是常见的应用。
二、线的投影线的投影是指当一条线在三维空间中投影到一个平面上时，将线段两个端点对应连接起来的线段。
线的投影可以更直观地展示出线在平面上的位置和方向。
线的投影在工程和制图中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，工程师可以通过将建筑物的立面进行投影，来更好地展示建筑物的外观和形状。
此外，在工程测量中，通过线的投影可以准确地测量出建筑物内部的各种线段长度和角度，为工程施工提供了重要的参考。
三、面的投影面的投影是指当一个平面在三维空间中投影到另一个平面上时，将原始平面的各个顶点在投影平面上对应连接起来的多边形。
面的投影能够完整地展示出原始平面的形状和大小。
面的投影在几何学和地理学中都有着广泛的应用。
例如，在地图投影中，通过将地球表面的多个面投影到一个平面上，可以制作出我们常见的地图样式。
此外，在几何学研究中，通过面的投影可以确定不同形状的二维图形，为解决问题提供了重要的思路。
总结起来，点线面的投影是几何学中重要的概念，用来描述物体在不同维度下的影子或映像。
它们在建筑设计、地图制作、工程测量等领域都有着重要的应用。
通过理解和应用投影，我们可以更好地理解和展示物体的形状、位置和方向，为解决实际问题提供了有力的工具。
以上是对点线面的投影的简要介绍，希望能够帮助您更好地理解和应用投影的概念。
第二章 点、线、面的投影
直观图
投影图
REC
正平线
1）正面投影反映实长，即a’b’ = AB； 2）水平投影ab ∥OX ，侧面投影a”b” ∥OZ ； 3）正面投影与X 轴的夹角等于该直线对H 面的倾角α，与Z 轴的 夹角等于该直线对W 面的倾角γ 。
直观图
投影图
REC
侧平线
1）侧面投影反映实长，即a”b” = AB； 2）水平投影ab ∥OYH ，正面投影a’b’ ∥OZ ； 3）侧面投影与OYW 轴的夹角等于该直线对H 面的倾角α，与Z 轴的夹角等于该直线对V 面的倾角β。
REC
例：已知直线AB的正面投影a’b’和a，线段的实长为AB，点B在 A点的前边，求作ab和倾角 。
REC
例：已知直线AB的投影ab和a’， =30°，B点高于A点，求作 a’b’和AB的实长 。
REC
五、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种： 平行
相交 交叉
REC
在空间既不平行，也不相交的两直线。 交叉两直线同面投影可能有平行的，但不会全都平行。 交叉两直线的同面投影一般都相交，但交点不符合点的 投影规律。此时，两直线投影的交点实际上是两直线对投 影面的重影点。
REC
例：判断直线AB和CD是否平行。例1.11
AB、CD都为侧平线，则要补出侧面投影判断是否平行。
直线对W面的倾角为γ ，γ角的大小等 于直线AB与a b 的夹角
O
A
a
b
a Y
REC
四、各种位置直线的投影
1、直线对投影面的相对位置
“位置”是指直线在投影面体系中对于投影面的放置状态，并非指直 线对投影面的远近、高低等线性度量关系。
点直线与平面的投影
02
点、直线与平面的关系
点与平面的关系
点的投影
点在平面上的投影是该点与平面 交点的位置。
点的位置关系
点在平面内、点在平面外、点在平 面上的不同位置关系会影响其投影。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积 聚性。
直线与平面的关系
直线的投影
直线在平面上的投影是该直线与平面交线的位置。
直线与平面的位置关系
点、直线与平面的投影
• 点、直线与平面的基本概念 • 点、直线与平面的关系 • 点、直线与平面的应用 • 点、直线与平面的投影性质 • 点、直线与平面的投影作图
01
点、直线与平面的基本概念
点的投影
01
02
03
点的投影
将一个点按照一定的投影 规则投影到一个平面上， 得到该点的投影点。
点的投影性质
分割平面
02
直线可以将平面分成不同的区域，用于几何图形的分割和划分。
确定角度
03
通过两条直线的交点可以确定平面上的角度，如直角、锐角、
钝角等。
平面在平面上的应用
形成立体图形
平面可以与其他平面相交，形成立体的几何图形，如圆柱、圆锥 等。
支撑物体
平面可以作为支撑面，用于支撑物体，保持其稳定。
划分空间
平面可以将空间分成不同的区域，用于建筑、室内设计等领域中 的空间划分和布局。
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
直线投影特性
直线的投影具有真实性、类似性和积聚性，同时还有垂直性和倾斜 性。
平面与平面的关系
平面的投影
两个平面在空间中的相对位置关 系可以通过其投影来表现。
平面的位置关系
平行、相交、垂直等不同位置关 系会影响其投影。
点、直线、平面的投影
提示：已知两个视图，要补画其他视图 时，首先应根据已知视图中对应线框的投影 想象其立体图，然后再根据立体图，并结合 投影关系补画其他视图。在想象立体图时， 可从反映该特征最明显的视图入手，忽略图 中的虚线和部分线条想象其基础形体，然后 再考虑其他图线产生的原由。
补画某个视图时，为了防止出现错误，一 定要按该物体的形成过程绘制，切记不要看 到棱边就画，想画哪就画哪。
机械制图
1 点的投影
无论点在空间处于什 么位置，其三面投影仍然 遵守“长对正、高平齐、 宽相等”的投影规律。
1
空间点对于由V、H和W平面组成的投影体系有以下三种位置关系：
当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内，如图下中A点的投影。
当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上。
水平线
正平线
侧平线
若将投影面平 行线与V、H、W面 的夹角定义为α、β 和γ，则该直线和与 其平行的投影面的 夹角为0°，和其他两 个投影面的夹角在 其平行的投影面上 反映真实大小。
3．一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影均与
2 投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也
不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如下图所示。
3 平面的投影
空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。
3
1．投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
若空间平面平行于一个投影面， 则必垂直于其他两个投影面，这样 的平面称为投影面平行面。平行于 V、H、W投影面的平面分别称为 正平面、水平面和侧平面。投影面 平行面在与其平行的投影面上的投 影反映实形，在其他两个投影面上 的投影积聚成一条直线，且平行于 相应的投影轴，如右表所示。
点线面的投影
点线面的投影在几何学中，点、线和面是三个基本的几何元素。
它们在空间中存在并相互作用，而投影是一种描述它们相对位置和形状的方法。
通过投影，我们可以将三维物体映射到二维平面上，以便更好地理解和分析。
本文将探讨点、线和面的投影原理及应用。
一、点的投影点是几何学中最简单的元素，其投影是指将点映射到某一平面上的一个影子或影像。
在平行投影下，点的投影与实体点重合，两者在平面上完全重合。
然而，在斜投影或透视投影中，点的投影位置会发生变化。
斜投影会改变点在投影平面上的位置，而透视投影则会根据观察者的位置造成远近关系的变化。
二、线的投影与点不同，线是由无数个点构成的连续集合。
线的投影可以被定义为将线上的点映射到平面上的一系列点，这些点对应于线上的相应点。
在平行投影中，线的投影并不会改变线的倾斜度或长度。
然而，在斜投影或透视投影中，线的投影会出现倾斜或变形。
在斜投影中，线的投影位置与线的实体位置相同，但其倾斜度会影响投影的形状和方向。
而透视投影中，线的投影会根据观察者的位置和线的走向发生变化。
观察者位于线的无限远点时，线的投影平行且与线重合；观察者靠近线时，线的投影会变短。
三、面的投影面是由无数个线组成的集合，其投影可以被定义为将面上的点映射到平面上的一系列点，这些点对应于面上的相应点。
与线的投影相似，在平行投影中面的投影并不会改变面的形状。
在斜投影中，面的投影位置与面的实体位置相同，但其形状可能会有所变化。
观察者位于面的无限远点时，面的投影是平行的，并且形状与原面相同。
然而，当观察者靠近面时，投影可能会发生变形，并在平面上产生不同的形状。
四、投影的应用投影在许多领域中都有广泛的应用。
在建筑学中，通过绘制建筑物的投影，可以更好地呈现立体结构的设计。
在工程学中，投影被用于绘制图纸和设计机械零件。
在计算机图形学中，投影被用于模拟三维场景并呈现在二维屏幕上。
此外，投影还在艺术和摄影中扮演重要的角色。
通过控制光线的方向和投射角度，艺术家可以捕捉到真实物体的形状和纹理，并将其投影到画布或照片上。
点线面的投影和投影性质
点线面的投影和投影性质投影是指将三维物体在二维平面上的映射。
在几何学中，投影有着广泛的应用，尤其是在点、线和面的投影中。
本文将探讨点线面的投影以及它们的投影性质。
一、点的投影点的投影是指将一个三维点映射到一个二维平面上的过程。
在进行点的投影时，我们通常会使用垂直于投影平面的投影线进行投影。
这样，投影点就是投影线与投影平面的交点。
在点的投影过程中，我们可以得出以下几个投影性质：1. 投影点在投影平面上：无论三维点在空间中的位置如何，其投影点都必定在投影平面上。
2. 投影点到原点的连线垂直于投影平面：投影点与原点之间的连线垂直于投影平面，这是由于投影线的垂直性所决定的。
3. 投影点之间的距离保持不变：如果两个点在三维空间中的距离相等，那么它们的投影点之间的距离也将相等。
二、线的投影线的投影是指将一个三维直线映射到一个二维平面上的过程。
与点的投影类似，线的投影也是在投影平面上的交点。
在线的投影过程中，我们可以得出以下几个投影性质：1. 投影线段在投影平面上：投影线段是线的投影结果，它必定在投影平面上。
2. 平行线的投影线段也平行：如果两个三维空间中的直线是平行的，它们的投影线段也必定是平行的。
3. 线段的倾斜度保持不变：如果两个线段在三维空间中的倾斜度相等，那么它们的投影线段的倾斜度也将相等。
三、面的投影面的投影是指将一个三维平面映射到一个二维平面上的过程。
在面的投影中，我们可以选择不同的投影方法，如平行投影和透视投影。
在面的投影过程中，我们可以得出以下几个投影性质：1. 投影面积保持不变：无论三维平面在空间中的位置如何，其投影面积与原来的面积相等。
2. 平行平面的投影相似：如果两个三维空间中的平面是平行的，它们的投影将是相似的。
3. 投影面的形状取决于投影方法：不同的投影方法会导致不同形状的投影面，如平行投影得到的是平行四边形，透视投影则可能得到梯形或其他形状。
总结：点线面的投影是几何学中重要的概念，它们具有一些固定的投影性质。
点线面的投影
总之，投影是数学、物理和其他学科中非常重要的概念和方法，它可以帮助我们更好地理解三维物体或场景在二维平面上的表现和描述，以及解决各种实际问题
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点线面的投影
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点的投影
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点的投影
在二维空间中，点的投影是指该点在空间中投射到某个平面上的点。对于一个点，我们只需要知道其x和y坐标即可确定其在二维平面上的位置
例如，假设有一个点P(1, 2)，我们想将它投影到x-y平面上。我们可以将y坐标保持不变，x坐标变为0，得到投影点P'(0, 2)
线的投影
4
除了上述基本的投影方法，还有一些更复杂的投影方法，例如透视投影和斜投影
5
透视投影是一种模拟人眼视线的投影方法，可以产生一种物体距离观察者越远越小的视觉效果。在建筑、城市规划等领域中，透视投影被广泛用于制作三维场景的效果图
平面的投影
1
斜投影是一种将物体按照一定的角度斜着投影到平面上的方法。它可以将物体在某个方向上的尺寸放大或缩小，产生一种变形的效果。斜投影通常用于制作漫画、插画等艺术作品
1
平面的投影是指一个平面在空间中投射到某个平面上的面。平面的投影通常是在二维平面上绘制三维物体的表面
2
例如，假设有一个平面π通过点P(1, 2, 3)和Q(4, 5, 6)。我们想将它投影到x-y平面上。我们可以将所有点的z坐标变为0，得到投影面π'
3
总结一下，点的投影是它在空间中投射到某个平面上的点，线的投影是它在空间中投射到某个平面上的线，平面的投影是它在空间中投射到某个平面上的面。这些投影都是为了在二维平面上表现三维物体或场景
点线面的投影
第二章点、直线、平面的投影§2.1 投影法工程式样，工程技术等问题，一般都采用工程图样来表示．工程图样根据使用要求和使用场合的不同，获得的方法也不同．在绘制工程图样时，通常采用投影法．所谓投影法，就是用投影的方法获得图样．在日常生活中，人们常见到，当物体受到光线照射时，在物体背光一面的地上或墙上就会投下该物体的影子，这就是投影．这样的影子只能反映该物体的轮廓形状，不能反映物体内外各部分的具体形状，在工程上没有实用价值．经过人们长期研究，对日常生活中的投影加以提炼，对物体内外各部分的所有空间几何元素(点、线、面) 用各种不同的线型加以具体化，从而形成工程上实用的、完整的投影法．投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法．一中心投影法如图 2.1 所示，投影线都自投影中心S出发，将空图2.1 中心投影法间△ABC投射到投影面P上，所得△abc就是ABC的投影．这种投影线都从投影中心出发的投影法，称为中心投影法．所得的投影称为中心投影．中心投影法主要用于绘制建筑物或产品的富有逼真感的立体图，也称透视图．二平行投影法若将投影中心S移到无穷远处，则所有的投影线就互相平行，这种投影线互相平行的投影法称为平行投影法，见图 2.2，所得投影称为平行投影．(a) 正投影法(b) 斜投影法图2.2 平行投影法平行投影法中，若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称为正投影．投影线也可以倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影。
正投影法主要用于绘制机械图样．斜投影法主要用于绘制有立体感的图形．三正投影法的主要特性点在任何情况下的投影都是点．为了充分反映正投影法的投影特性，我们对直线和平面的投影进行阐述．直线和平面与投影面之间的位置关系只有三种：平行、垂直、倾斜．若直线和平面就在投影面上，则可归入平行即可．在这三种情况下．直线和平面的投影见表 2.1．表2.1 正投影法下直线和平面的投影特性位置关系与投影面∥与投影面⊥与投影面∠类别直观图投影图直观图投影图直观图投影图直线平面投影特性实形性积聚性类似性从表 2.1 中可见，当直线和平面与投影面平行时，则投影反映实形(长)，这种投影直观，便于度量．当直线和平面与投影面垂直时，则投影反映积聚，这种投影简单，便于作图．当直线和平面与投影面倾斜时，则投影反映类似形状，这种投影便于检查错误．实形性、积聚性、类似性满足了工程上经济、实用的原则，正因为这种优越性，所以，国家标准规定所有机械图样一律采用正投影法绘制．§2.2 三视图的形成及其投影规律上一节已阐述了绘制机械图样所采用的投影方法。
点、线、面的投影
投影特性：
H
c
1、abc、abc分别积聚为一条直线，且平行相应的投影轴； 2、水平投影abc反映 ABC实形。
正平面
V
b a B A C c a b W a c H b c b a c b
b a a
c
c
投影特性：
1、abc、abc分别积聚为一条直线，且平行相应的投影轴；
（2）两直线相交的判断 ①各同面投影都相交 ②若为一般位置线， 有两组同面投影相交 ③有某一投影面的平 行线时 且交点符 合点的投 影规律 相交
例1.12
c
须验证两直线在该投影面上的投 影是否相交，或用定比性作图判 断交点是否符合交点规律。 如图所示，直线AB和CD相交，求作cd 。
b
a
b′
c′ a′
O X
b′
a′
X
O
a b
a
1 2 3
c
4
b
5
已知
作图
4.两直线相交
V c
a
k C A K
b
d D d B
O X H
交点是两直 线的共有点
c a a c
k
b d
O
X
a c
k
b
d k b
（1）投影特性 若两直线在空间相交，则各同面投影除了积聚 和重影外必相交，且交点符合点的投影规律。
V
a′
c′
b′
C
A c
B
若点在直线上,则点 的投影必在直线的同面 投影上，并符合点的投 影规律。 b′ Z ″
a
X
′
b″ c ″W
a″
c′
b
c″
O
a″
点、线、面的投影
投影是几何学中一个重要的概念，用于描述一个物体在一个平面上的影子或视图。
在几何学中，我们经常遇到三种常见的几何体：点、线、面。
那么，点、线、面在不同的投影方式下会有怎么样的变化呢？让我们一起来探索一下。
首先，我们来看点的投影。
点是没有维度的几何体，它被认为是零维的，因此点的投影是一个非常简单的概念。
当我们将一个点投影到一个平面上时，投影点的位置与原点重合，这是因为点没有长度、宽度和高度，所以它的影子也只是一个简单的点。
例如，当太阳光照射在地面上时，太阳光的每个光点会在地面上形成一个点的投影。
接下来，我们来看线的投影。
线是一个一维的几何体，它具有长度但没有宽度和高度。
当我们将一条线投影到一个平面上时，投影线是线在平面上的投影，它的长度与线的长度相同，但没有宽度。
换句话说，投影线是线的延长在平面上的一部分。
例如，当我们在地面上放置一根杆子，它的投影线将呈现为一条直线。
最后，我们来看面的投影。
面是一个二维的几何体，具有长度和宽度，但没有厚度。
当我们将一个面投影到一个平面上时，投影是面在平面上的二维投影。
这意味着投影保留了原来面的形状和尺寸，但没有了厚度。
例如，当我们将一个正方形铝箔放在地面上，它的投影将是一个正方形。
投影还可以是其他多边形，如三角形或长方形，取决于面的形状。
综上所述，点、线、面的投影在几何学中有不同的定义和特征。
点的投影只是一个简单的点，线的投影是线在平面上的延长，面的投影保留了面的形状和尺寸。
这些概念在实际生活中有许多应用，如建筑设计、地图制作、艺术绘画等。
因此，理解点、线、面的投影对于我们理解几何学和空间关系有着重要的意义。
在几何学中，投影是一个令人着迷的概念，它能够帮助我们更好地理解物体的形状和位置。
通过研究点、线、面的投影，我们可以更深入地了解它们的特性和变化，并将这些知识应用到实际问题中。
无论是在数学、物理、工程还是艺术领域，点、线、面的投影都是一个不可或缺的概念，它给我们的世界带来了更多的可能性和创造力。
第三章点、线、面的投影
a
O
X
O
YW
X
b
b A
a
Ha
a
2021/2/4
Y
1
YH
28
一般位置直线的投影特性
一般位置直线的投影特性： 1）一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴,其投影 与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。 2）三个投影的长度都小于实长。
事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状 态，则该直线一定是一条一般位置直线。
2021/2/4
1
29
例题：用直角三角形法求一般位置直线的实长与倾角。
如图3-10a所示,AB为一般位置直线,在AB与其水平投影ab所决定的平 面 ABba内,过点A作AB1∥ab,与Bb相交于B1,由于Bb⊥ab,所以 AB1⊥BB1,△ABB1为直角三角形。该直角三角形的斜边是一般线AB本身 ,∠BAB1=α是AB对H面的倾角,直角边AB1等于ab,另一直角边BB1是A、B 两点到H面的距离差 ZB-ZA,如果能作出△ABB1,便可以求出一般线AB的
如图所示：直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线 对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ标记。
投影面平行线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投 影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投影面的倾角。 （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于 实长。
ay
O
YW
ay YH
4
点的投影规律
a
X ax a
2021/2/4
Z
az
a'
ay
O
YW
ay YH
1
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教学手段
讲授与多媒体教学相结合
教具
多媒体、实物等
教学单元设计
时间分配
复习提问
1、三视图的投影关系？
2、三视图的基本要求？
导入新课
通过课件导入
新课讲解
课题三点的投影
1、点的三个投影，应保持如下的投影关系：
点的正面投影和侧面投影必须位于同一条垂直于Z轴的直线上（a′a″垂直于OZ轴）；
教学反思
通过课件更能表达三视图的效果，学生比较好理解，本节课是三视图的基础，应在以后的学习中多增加三视图的练习，更好的完成以后的学习内容。
投影面平行线特性：在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角；另两个投影面上的投影为水平线段或垂直线段,并小于实长。
投影面倾斜线特性：三个投影都缩短了，即都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
线的投影
（3）平面与三投影面的关系及特性：
投影面平行面特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形；另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
投影面垂直面特性：在其垂直的投影面上，投影积聚为一条直线；另外两个投影面上，都是缩小的类似形。
投影面倾斜面特性：三个投影都是缩小的类似形。
课堂练习
小结
作业学生完成习题集简单三视图练习
结合多媒体、课件进行讲解。（1 Nhomakorabea分钟）（30分钟）
（5分钟）
结合多媒体、课件进行讲解。
（时间15分钟）
结合多媒体讲
时间25分钟
点的正面投影和水平投影必须位于同一条垂直于X轴的直线上（a′a垂直于OX轴）；
点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离（a a x =a″az）。
已知某点的两个投影，就可根据“长对正，高平齐、宽相等”的投影规律求出该点的第三投影。
（2）直线与三投影面的关系及特性：
投影面垂直线特性：在其垂直的投影面上，投影有积聚性；另外两个投影面上，投影为水平线段或垂直线段,并反映实长。
教学单元设计
课题
模块一初识机械制图
课题三点、线、面的投影
1、点的投影
2、线、面的投影
授课时间
2015年8月17日—12月
4课时
课程形式
理论教学
授课地点
多媒体教室
教学目标
1、了解点的投影规律
2、了解线、面的投影规律
知识目标
投影面垂直平面的投影性质
投影面平行平面的投影性质
能力目标
1、培养学生通过点、线、面的投影规律来制图的能力