湖北省枣阳市2017届高三数学第六次模拟考试试题理

枣阳市2017年高考第六次模拟考试理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{A x y ==，{}1B x a x a =≤≤+，若A B A = ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[]1,2-C ．[]2,1-D ．[2,)+∞2．已知i 是虚数单位，则20151i i+（ ）A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i-+ 3．如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=- 4．.设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙= （O 为坐标原点）且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．135． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3249,21S a a ==，数列{}n b 满足()12121...12n n n b b b n N a a a *+++=-∈，若110n b <，则n 的最小值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 6．已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示, 网络上小正方形的边长为1,则该几何体的体积等于（ ）A.11πB.5πC.113π D.3π 7．已知双曲线()2210mx y m -=>的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.(B.()1,2C.(D.()1,38．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =，若31241234S S S SK ====，则1234234H H H H +++等于（ ）A ．2V K B ．2V K C ．3V K D ．3VK9．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是偶函数； ③f(0)＝1；④f(1211π)<f(1413π)； ⑤f(x)＝－f(53π－x)．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤10．设函数()f x =若曲线cos y x =上存在点()00,x y 使得()()0ff y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,eB ．11,1e -⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1e +D ．11,1e e -⎡⎤-+⎣⎦11．已知数列 {}n a 中，()12111,4,22,n n n a a a a a n n N *-+===+≥∈,当298n a =时，序号n =（ ）A ．100B ．99C ．96D ．10112．已知()||x f x x e =∙，又2()()()()g x f x t f x t R =+∙∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e ++∞B ．21(,)e e +-∞-C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()2cos 2cos 1,f x x x x x R =+-∈,则()f x 的最小正周期是 ．14．已知实数,x y 满足不等式组02100x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，且目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则21a b+的最小值为______________． 15．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：（1）每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；（2）0在原点，1在()0,1点，2在()1,1点，3在()1,0点，4在()1,1-点，5在()0,1-点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字()2*21,n n N+∈的整点坐标是_________． 16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围___________.三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分) 17．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上． （I ）若34ADC π∠=，求AD 的长； （II ）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BAD CAD∠∠的值． 18．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2123724,1,,n n a S n a a a +=++-恰为等比数列{}n b 的前3项.（1）求数列 {}n a ,{}n b 的通项公式； （2）若()2111log nn n n n c b a a +=--,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝，AF ＝1，M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ； （2）求二面角A －DF －B 的大小；（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60°.20．已知圆)40()4(1)1(:22222221<<-=+-=++r r y x F r y x F ）：（与圆的公共点的轨迹为曲线E ,且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M ．若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ,MB 的斜率之积为41． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； （Ⅲ）求ABM ∆的面积的最大值．21．已知函数()2ln f x x ax =-，2()g x x =。

（1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与函数()g x 在(2,(2))g 处的切线互相平行，求实数a 的值； （2）设函数()()()H x f x g x =-。

（ⅰ）当实数0a ≥时，试判断函数()y H x =在[1,]+∞上的单调性；（ⅱ）如果1212,()x x x x <是()H x 的两个零点，()H x '为函数()H x 的导函数，证明：12()02x x H +'<。

22．已知点)sin ,cos 1(αα+P ，[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)4sin(210πθρ-=上．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求PQ 的最小值．23．设函数()f x x x =- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围参考答案1．BCABD 6．ACCBD AD13．,cos sin 1x R x x ∃∈≤- 14．2212516x y +=15 16．16 17．（1）53b a =；（2）23C π=225sin sin sin cos sin 3A B B A A +=,即225sin (sin cos )sin 3B A A A +=，故5sin sin 3B A =，所以53b a =.（2）设5(0)b t t =>，则3a t =，于是222222889254955c a b t t t =+=+⋅=. 即7c t =.由余弦定理得222222925491cos 22352a b c t t t C ab t t +-+-===-⋅⋅.所以23C π=. 18．（1）n a n =；（2）1,2m n ==. (1)当1n =时111a S == 当2n ≥时1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-= 经验证，11a =满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =；(2)由题意，易得231232222n n nT =++++ ，则234+1112322222n n n T =++++ ，两式相减得234+1+1111231122222222n n n n n nT =++++-=-- ，所以222n n n T +=-由于2n T <，又2212n n m m +-=∴=，解得2n =.19．（1）证明见解析；（2）030；（3 （1）∵平面ABCD ⊥平面,CB AB ABEF ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ， ∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∴AF ⊥平面CBF ， ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF （2）根据（1）的证明，有AF ⊥平面CBF ， ∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影，因此，ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角，∵//AB EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ，2,1AB EF ==，则122AB EF AH -==， 在Rt AFB ∆中，根据射影定理2AF AH AB = ，得1AF =，1sin 2AF ABF AB ∠==，∴030ABF ∠=， ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°（3）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设()0AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()11,0,0,1,0,0,,22A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()12,0,0,,22CD FD t ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DCF 的法向量为()1,,n x y z =，则10,0n CD m FD ==，即2002x y tz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令z =0,2x y t ==．∴(10,2n t =．由（1）可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF的一个法向量为212n AF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，∴12012cos60n n n n =，即12=，解得4t =， 因此，当AD时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60° 20．（1）10x +=；（2）7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）易求椭圆的方程为2235x y +=，直线斜率不存在时显然不成立，设直线():1AB y k x =+， 将():1AB y k x =+代入椭圆的方程2235x y +=，消去y 整理得()2222316350k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()422212236431350631k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 因为线段AB 的中点的横坐标为12-，解得k =， 所以直线AB的方程为10x +=（2）假设在x 轴上存在点(),0M m ，使得MA MB 为常数，①当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知22121222635,3131k k x x x x k k -+=-=++ ， 所以()()()()()2222121212121MA MB x m x m y y k x x k m x x k m =--+=++-+++()22161423331m m m k +=+--+，因为MA MB 是与k 无关的常数，从而有76140,3m m +==-， 此时49MA MB =②当直线AB 与x 轴垂直时，此时结论成立，综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使49MA MB =，为常数．21．（1）(]),1-∞-+∞ ；（2）证明见解析．（1）()cos sin 4f x x x a x a π⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭若()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥恒成立，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,,sin 444424x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡+∈-+∈-+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时1a ≤-；若()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，同理可得a ≥所以a 的取值范围是(]),1-∞-+∞（2）2a π=时，()()22sin cos ,4f x x x x f x x πππ⎛⎫'=--=+- ⎪⎝⎭ 当[]0,x π∈时，()f x '在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()22010,10f f x ππ''=->=--<∴存在0,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得在[)00,x 上()0f x '>，在(]0,x π上()0f x '<， 所以函数()f x 在[)00,x 上单调递增，在(]0,x π上单调递减 故在[]0,π上，()()(){}min min 0,1f x f fπ==-，所以()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立22．（1）(,3][3,)-∞-+∞ ；（2）(2,)+∞ （1）原不等式等价于① 22(2)26x x x x <-⎧⎨--+=-≥⎩解得3x ≤-222246x x x -≤≤⎧⎨-++=≥⎩解得x φ=22226x x x x >⎧⎨-++=≥⎩解得3x ≥∴原不等式的解集为(,3][3,)-∞-+∞(2)令()()g x f x x =-，则由题知()g x a <的解集不为空集，即min ()g x a <成立又3,2()4,22,2x x g x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，结合图像可知min ()2g x =，即2a >，a ∴的取值范围为(2,)+∞23．（1） 2)3()5(22=-++y x ,02=+-y x ；（2）)2,2(),,2(ππB A ,4.（1）由⎩⎨⎧+=+-=ty t x sin 23,cos 25消去参数t ，得2)3()5(22=-++y x ，所以圆C 的普通方程为2)3()5(22=-++y x .由1)4cos(22-=+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ， 所以直线l 的直角坐标方程为02=+-y x .（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为)2,0(),0,2(B A -，化为极坐标为)2,2(),,2(ππB A ，设P 点的坐标为)sin 23,cos 25(t t ++-，则P 点到直线l 的距离为2)4cos(2622sin 23cos 25π++-=+--+-=t t t d ， ∴2224min ==d ，又22=AB ， 所以PAB ∆面积的最小值是4222221=⋅⋅='S .。