第二章本征载流子浓度
半导体物理学-半导体中杂质和缺陷能级模板
2.1 硅、锗晶体中的杂质能级
n 2.1.3 受主杂质 受主能级
Si
+
Si
Si
Si
B-
Si
Si
Si
Si
受 主 掺 杂（掺硼）
硼原子接受一个电子后， 成为带负电的硼离子， 称为负电中心（B- ） 。 带负电的硼离子和带正 电的空穴间有静电引力 作用，这个空穴受到硼 离子的束缚，在硼离子 附近运动。
2.1 硅、锗晶体中的杂质能级
深能级杂质产生多次电离：
3）III族元素硼、铝、镓、铟、铊在锗和硅中各产生1个 浅受主能级，而铝在硅中，还能产生1个施主能级。
4）IV族元素碳在硅中产生1个施主能级，而锡和铅在硅 中产生1个施主能级和1个受主能级。
5）V族元素磷、砷、锑在硅和锗中各产生一个浅施主 能级。
2.1 硅、锗晶体中的杂质能级
n 2.1.2 施主杂质、施主能级 多余的电子束缚在正电中心，但这种束缚很弱
很小的能量就可使电子摆脱束缚，成为在晶格中导 电的自由电子，而Ⅴ族原子形成一个不能移动的 正电中心。
硅、锗中的Ⅴ族杂质，能够释放电子而产生导电 电子并形成正电中心，称为施主杂质或N型杂质， 掺有N型杂质的半导体叫N型半导体。施主杂质未 电离时是中性的，电离后成为正电中心。
mn* 0.12m0
2.1 硅、锗晶体中的杂质能级
n 晶体内杂质原子束缚的电子与类氢模型相比：
m0mn*, mp*; 0 r0
施主杂质的电离能： E D8m r2n *q 0 24 h2m m 0 n *E r2 01.6 3m m 0n *r2
Si: mn* 0.26m0 r 12 ED0.02e5V
1.4.2本征半导体的载流子浓度
谢谢
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exp(
Ec
EF kT
)
p
NV
exp(
Ev
EF kT
)
np
N
C
N
V
exp(
Eg kT
)
ni
(N
C
NV
)1 /
2
exp(
Eg 2kT
)
np ni2
上式含义是，在一定温度下，杂质半导体的导带电子和价带空穴浓度的 乘积等于该温度下的本征半导体的载流子浓度的平方，与所含杂质无关。
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二、决定本征载流子浓度的因素
ni
n
p
(NC NV
)1/ 2
exp(
Eg ) 2kT
1.一定的半导体材料，其本征载流子浓度 随温度的升高而按指数 迅速增加。
2.不同材料的半导体在同一温度下，禁带宽度越小，本征载流子浓 度越大。
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三、载流子浓度的一个重要关系式
n
NC
1.4.2 本征半导体的载流子浓度
主讲人：徐振邦
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教学目标
1 掌握本征半导体载流子浓度的表达式
2
理解决定本征载流子浓度的因素
3
掌握一个载流子浓度的重要关系式
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一、本征载流子浓度公式的导入
n p
（1）
n
NC
exp(
Ec
EF kT
)
（2）
NC
exp(
Ec EF kT
)
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度03
C
0.25
Pt
0.25
Au
O
0.16 0.38 A
一般用ED表示施主
Si
0.039
能级，EA表示受主 能级。 右图是对含不同杂质 的Si及GaAs所推算 得到的电离能。单一 原子中有可能形成许 多杂质能级。
1.12
0.045
0.067
0.072
0.16
0.34 0.35 D
0.36 0.3 D
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度
2
半导体器件物理
经数学推导可得，导带中的电子浓度为
EC EF n NC exp kT
其中，NC是导带中的有效态密度。
同理，价带中的空穴浓度为
E EV p NV exp F kT
其中，NV是价带中的有效态密度。 室温下（ 300K ），对 Si 而言 NC 、 NV 的数量级为 1019cm-3 ， GaAs则为1017~1018cm-3。
Cr
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度
7
半导体器件物理
2.7.1 非简并半导体
非简并半导体：电子或空穴的浓度分别远低于导带或价带中
有效态密度，即 EF 至少比 EV 高 3kT ，或比 EC 低 3kT 。这是在 前面的数学推导中满足的假设条件。
对于Si及GaAs的浅层施主，室 温下的热能就能提供所有施主 杂质电离所需的 ED，因此可在 导带中提供与施主杂质等量的 电子数。此情形称为完全电离 ，如右图。此时电子浓度为
由 n 1 N N n D A 2 1 pp N A ND 2 ni2 pn nn 和
ND N A
2
半导体物理第二章
2.1 量子态和能级
2.1.1 原子中电子的量子态和能级
讨论电子的统计分布，最重要的是量子态的能 量。
能级图：用一系列高低不同的水平横线来表示各个量 子态所能取的能量。量子态的能量只能取特定的值。
通常情况下，具有同一个能量的几个量子态统称为一 个能级。为了阐述的方便，我们将把每一个量子态称为一 个能级。如果有几个量子态具有相同的能量，就看成是几 个能级重叠在一起。
2.2.1 电子-空穴对的产生和复合
N型半导体中，电子是多子（多数载流子）；空穴是少子（少数 载流子）。P型半导体中，空穴是多子；电子是少子。
为什么电子和空穴总是同时存在于半导体中的呢？ 根本原因在于晶格的热振动促使电子不断地发生从价带到导带的热 跃迁。要注意的是，热运动的特点是：不论运动的方向或者是运动 的强弱，都不是整齐划一的，而是极不规则的。原子的振动可以去 各个方向，振动的能量有大有小，kT只代表一个平均值。 总有少量原子的能量远远大于kT！！
费米能虽然不能一目了然地表明电子填充能带的情形，但是可以 确切地反映电子填充能带的水平。
注意：费米能级一般画在能级图上，它和量子态的能级一样，描 述的是一个能量的高低。通常用 EF来表示。
但是它不代表电子的量子态 ，而只是反映电子填充能带情况的一个 参数。 很明显，费米能级的高低与载流子（电子、空穴）的浓度有密切关 系，那他们之间到底是怎样的关系呢？
对于施主浓度为ND的n型半导体，室温下施主可以认为全部是电离的。 正电荷有ND个电离施主和p个空穴，负电荷是n个电子。
在一般器件使用的温度范围内， 掺杂浓度总是远远大于本征载流 子浓度；此时，少子的浓度也是 远远小于掺杂浓度。因此，p相 对于ND可以忽略不计。n= ND . 故：p=ni2/ND
微电子器件与电路第二章_载流子浓度
掺杂原子的电离能
施主原子的离化能： ΔEd = Ec – Ed 受主原子的离化能： ΔEa = Ea – Ev
Si、Ge等半导体材料中常见的几种施主杂质和受 主杂质的电离能一般在几十个毫电子伏特左右。
因此在室温下，这些这些杂质在半导体 材料中基本上都处于完全电离状态。
41
非本征半导体
¾施主：掺入到半导体中的杂质原子，能够向半导
本征激发和复合在一定温度下会达到动态平衡。
半导体中载流子运动
¾参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子。
对于本征半导体产生载流子主要通过本征激发， 电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空 穴，电子和空穴同时参与导电。
¾ 在导电电子和空穴产生的同时，还存在与之相反
的过程，这一与载流子产生过程相反的过程称为 载流子的复合。
¾提供自由电子的五价杂质原子因带正电荷
而成为正离子，因此五价杂质原子也称为 施主杂质;
¾施主杂质在给半导体材料中增加导带电子
的同时，却没有增加其价带中空穴的数 量，称之为 N型半导体材料；
¾在N型半导体中自由电子是多数载流子,它
主要由杂质原子提供；空穴是少数载流子, 由热激发形成。
非本征半导体: P型半导体
34
非本征半导体: N型半导体
在正常温度下，将这个施主电子激发到导带上所需的 能量显然要远远低于将共价键中的某个电子激发到导 带所需的能量。Ed 就是施主电子在半导体中引入的能 级，它位于禁带中靠近导带底的位置。
35
非本征半导体: N型半导体
¾只需给这个施主电子提供很少的热运动能
量，就足以将其激发到导带中，施主电子 进入导带之后就可以参与导电;
半导体中的载流子
¾半导体中的载流子：
载流子浓度和电导率
n3
ni 2 p3
(1.51010 )2 2.25104
11016 cm3
（2） 即 p01 n01 2.251016 1104cm3 ，故为 p 型半导体. , p02 n02 即 ni n01 p01 1.51010 cm3 ，故为本征半导体. ，即 p01 n02 2.25104 11016 cm3 ，故为 n 型半导体.
J E
其中σ为材料的电导率
E nqVdn
E 恒定，Vdn 恒定 E , J, Vdn
Vdn
E nq
平均漂移速度的大小与 电场强度成正比，其比 值称为电子迁移率。
因为电子带负电，所以Vdn一般应和 E 反向，习惯上迁移率只取正值，即
Vdn
E nq
(3).当 T=300k 时， k T 0.026eV
由
p
ni
e
x
pE(i EF kT
)
得：
Ei
EF
kT
ln
p ni
对三块材料分别计算如下：
p
2.251016
（ⅰ）
Ei EF
k T ln ni
0.026ln
1.51010
0.37(eV )
即 p 型半导体的费米能级在禁带中线下 0.37eV 处。
（ⅲ）对 n 型材料有
n
ni e x
pE(F Ei kT
)
EF
Ei
k T ln n ni
0.026
ln
1016 1.51010
0.35(eV )
即对 n 型材料，费米能级在禁带中心线上 0.35eV 处。
半导体器件物理第二章能带和载流子
20
半导体器件物理第二章能带和载流 子
绝缘体： 被电子占据的最高能带是满带，而且禁 带宽度很大。空带全空，满带全满。激发电子需 要很大能量。除非电场很强，上面许可带中没有 电子，因此在电场下没有电流。良好地绝缘性。
(Eg>5eV)
21
半导体器件物理第二章能带和载流 子
对于金属，被电子填充的最 高能带通常是半满或部分填 充的。能带发生交叠。在某 一方向上周期场产生的禁带 被另一个方向上许可的能带 覆盖，晶体的禁带消失。
对于半导体，Eg < 2eV.常温 下，当热激发或光照时，满 带中少量电子被激发到上面 空带中，于是参予导电。
脱离共价键所需的最低能 量是禁带宽度Eg。
22
半导体器件物理第二章能带和载流 子
几种固体材料导电特性总结
绝缘体
半导体
导体（金属） 半金属
T=0K T = 300 K
举例
23
不导电
不导电
导电
的最外层有四。
4
半导体器件物理第二章能带和载流 子
金刚石晶格结构：复式晶格。由两个面心 立方晶格沿立方对称晶胞的体对角线错开 1/4长度套构而成。
排列方式 以双原子层ABCABC
晶格常数 原子密度
晶格常数 a (Å)
Si
Ge
5.43089
5.65754
5X1022
4.42X1022
§2.4 共价键
金刚石晶格结构：共价键 闪锌矿晶格结构：共价键 但存在微量离子键成分 本征激发或热激发： 电子与空穴 见Flash
11
半导体器件物理第二章能带和载流 子
§2.5 能带
电子共有化运动 原子能级分裂成能带 绝缘体、半导体、导体的能带
第2章 半导体中的载流子及PN结
半导体中存在的微量杂质和缺陷，能够对半导体材料的物理性质和化学性质产生决定性影响， 也严重影响半导体器件的质量。例如，在Si晶体中，若以每105个Si原子掺入1个B原子的比例掺入 硼元素，则Si晶体的导电率在室温下会增加103倍。又如，用于生产一般硅平面器件的硅单晶，要 求将位错密度控制在103cm-2以下，位错密度过高不可能生产出性能良好的器件。
所以在半导体中，导带的电子和价带的空穴均参与导电，这是与金属导体的最大差别。 绝缘体的能带结构与半导体类似，但是绝缘体的禁带宽度很大，将下层满带中的电子激发到上 层的空带，需要很大的能量，在通常温度下，能够激发到导带去的电子很少，所以绝缘体导电性很 差。如图2.6所示。 半导体禁带宽度比较小，数量级在1eV左右，在通常温度下已有不少电子被激发到导带中，所 以半导体具有一定的导电能力，这是半导体与绝缘体的主要区别。例如，室温下，金刚石禁带宽度 为6-7eV，是绝缘体；硅为1.12eV，锗为0.67eV，砷化镓为1.43eV，都是半导体。
电子在周期性势场中运动的基本特点和自由电子的运动十分相似，先分析自由电子的运动：微 观粒子具有波粒二象性，表征波动性的量与表征粒子性的量之间有一定联系。一个质量为m0，速 度v自由运动的电子，其动量与能量分别为：
经过推导可得：
可以看到，对于波矢为k的运动状态，自由电子的能量E，动量p，速度v均有确定的数值。因此， 波矢k可用以描述自由电子的运动状态，不同的k值标志着自由电子的不同状态。图2.4是自由电子 的E与k的关系曲线，呈抛物线形状。由于k的连续变化，自由电子的能量是连续谱，从零到无限大 的所有能量值都是允许的。
以原子结合成晶体的过程定性说明半导体中的电子状态： 原子中的电子在原子核的势场和其他电子的作用下，分列在不同的能级上，形成所谓的电子壳层， 不同支壳层的电子分别用1s；2s，2p；3s，3p，3d；4s∙∙∙等符号表示，每一支壳层对应于确定的能量。 当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子壳层之间就有了一定程度的交叠。大量原子组成 晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上， 因而，电子将可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子的共有化运动。 由于各原子中相似壳层上的电子才有相同能量，电子只能在相似壳层间转移。
半导体物理习题答案
半导体物理习题答案 The document was prepared on January 2, 2021第一章半导体中的电子状态例1.证明:对于能带中的电子，K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相反。
即：v(k)= －v(－k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
解：K状态电子的速度为：（1）同理，－K状态电子的速度则为：（2）从一维情况容易看出：（3）同理有：（4）（5）将式（3）（4）（5）代入式（2）后得：（6）利用（1）式即得：v(－k)= －v(k)因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，即：E(k)=E(－k)故电子占有k状态和-k状态的几率相同，且v(k)=－v(－k)故这两个状态上的电子电流相互抵消，晶体中总电流为零。
例2.已知一维晶体的电子能带可写成：式中，a为晶格常数。
试求：（1）能带的宽度；（2）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）由E(k)关系（1）（2）令得：当时，代入（2）得：对应E(k)的极小值。
当时，代入（2）得：对应E(k)的极大值。
根据上述结果，求得和即可求得能带宽度。
故：能带宽度（3）能带底部和顶部电子的有效质量：习题与思考题：1 什么叫本征激发温度越高，本征激发的载流子越多，为什么试定性说明之。
2 试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因。
3 试指出空穴的主要特征。
4 简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。
5 某一维晶体的电子能带为其中E0=3eV，晶格常数a=5×10-11m。
求：（1）能带宽度；（2）能带底和能带顶的有效质量。
6原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同原子中内层电子和外层电子参与共有化运动有何不同7晶体体积的大小对能级和能带有什么影响8描述半导体中电子运动为什么要引入“有效质量”的概念用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性9 一般来说，对应于高能级的能带较宽，而禁带较窄，是否如此为什么10有效质量对能带的宽度有什么影响有人说：“有效质量愈大，能量密度也愈大，因而能带愈窄。
ni本征载流子浓度公式
ni本征载流子浓度公式
本征载流子浓度，也就是本征半导体材料中自由电子和自由空穴的平衡浓度，它与禁带宽度和温度相关。
一般来说，同样的材质的半导体，温度越高，热激发越强烈，本征载流子浓度越高；在同样的温度下，禁带宽度越窄，电子或空穴更容易从价带跃迁到导带，因此本征载流子浓度也会越高。
具体的计算公式为：ni²＝NcNvexp[－Eg/kT]
其中Nc/Nv分别为导带/价带有效状态密度；Eg为禁带宽度，T为温度，单位K。
另外，通常用ni来表示本征载流子浓度，ni＝pi。
需要注意的是，虽然这个公式给出了本征载流子浓度的理论计算方式，但由于有效质量值是低温下进行的回旋共振实验测定的，可能与实验结果不太吻合。
此外，半导体的状态密度函数是由三维无限深势阱中的电子模型推广出来的，这可能导致理论函数与实验结果的差异。
3.2---半导体物理本征载流子浓度
注意点：
1 对于某种半导体材料，T 确 定，ni 也确定
室温下 Si Ge
1.5 ×1010 cm-3 2.4 ×1013 cm-3
2
斜率
=
-
Eg 2k
∝Eg
3 极限工作温度 Si ~ 520 K
ni< 5×1014cm -3 Ge ~ 370 K GaAs~ 720 K “高温”半导体
－杂质能级的分布函数
ND > NA，Ef 钉扎在 ED 附近，则远在EA之上，EA完全被电子填充 p0 0 pA 0 ，而 n0，nD 则不确定.
(1) NA >> n0
n0 + NA = 极低温度情形
1
+
2
ND
exp
E
f
ED kT
NA
=
1+
ND
2
exp
E
f
ED kT
Ef
=
ED
+
kT
ln
ND NA 2NA
可以证明：
(1) 电子占据施主能级的几率 (2) 空穴占据受主能级的几率
fD
(
E
)
=
1+
1 2
1
exp
ED E kT
f
fA
(E)
=
1+
1 2
1
exp
E
f
EA kT
讨论 fD (E)： 1o 当 ED-Ef >> kT 时 fD(E) 0 2o 当 Ef-ED >> kT 时 fD(E) 1
Ef EA kT
电离施主浓度
（向导带激发电子的浓度）
半导体物理学简明教程标准答案陈志明编第二章-半导体中的载流子及其输运性质-课后习题标准答案
半导体物理学简明教程答案陈志明编第二章-半导体中的载流子及其输运性质-课后习题答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2半导体物理学简明教程 0第二章 半导体中的载流子及其输运性质1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E －E C ）的状态数Z 由式（2-20）给出。
证明：设导带底能量为C E ，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-l t C m k m k k E k E 23222122)(η 与椭球标准方程2221122221k k k a b c++= 相比较，可知其电子等能面的三个半轴a 、b 、c 分别为212])(2[ηc t E E m b a -== 212])(2[ηc l E E m c -= 于是，K 空间能量为E 的等能面所包围的体积即可表示为232122)()8(3434C t l E E m m abc V -==ππη因为k 空间的量子态密度是V/(4π3)，所以动能小于（E －E C ）的状态数（球体内的状态数）就是2/332/122)()8(31C t l E E m m V Z -=ηπ2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。
证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量m p 轻和m p 重表示。
价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。
即：2/132/321)()2(2)(E E m V E g V p V -=η轻π 2/132/322)()2(2)(E E m V E g Vp V -=η重π半导体物理学简明教程 11价带顶附近的状态密度 =)(E g V 1)(E g V 2)(E g V +即：=)(E g V 2/132/32)()2(2E E m V V p -η轻π+2/132/32)()2(2E E m V V p -η重π ]2)2[()(223232212）（重轻p P V m m E E V +-=ηπ 只不过要将其中的有效质量m p *理解为3/22/32/3*)(重轻p p p m m m +=则可得：])2)2[()2(2/32323*重轻（p p p m m m +=带入上面式子可得： 2/132/3*2)()2(2)(E E m V E g V p V -=ηπ 3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决定。
半导体载流子浓度
本征或非本征半导体，质量作用定律同样适用。
本征半导体，n=p；N型半导体，施主掺杂使n增大，p减小，
n>p。P型半导体，受主掺杂使p增大，n减小，p>n。
8
本征半导体费米能级
本征激发：价带电子直接激发到导带产生载流子 (电子和空穴）。
导带
E
Ei
g
价带
本征激发过程中的电中性条件：
np
G e G e (E c E F )/k B T
EF Ev kBTlnN GvA
nGe(EcEF)/kBT
c
普
pGe(EFEv)/kBT v Eg
npGcGve kBT ni2
适 公 式
16
17
杂质的补偿作用
当半导体内部同时存在施主和受主时，完全电离且 ︱NA-ND︱远大于本征载流子浓度ni时，半导体内载 流子浓度：
当NA>ND，p型， pp=NA-ND，np=ni2/(NA-ND) 当ND>NA ，n型，nn=ND-NA，pn=ni2/(ND-NA)
如室温下，Si：ni109cm-3； GaAs：ni106cm-3。
10
N型半导体载流子浓度
杂质激发：施主能级电子激发至导带或受主能级空穴激发至 价带。
设N型半导体，施主能级位置为ED，施主浓度为ND，受主浓 度NA=0。在足够低的温度下，载流子将主要是由施主激发 到导带的电子。用n代表导带电子浓度，则电中性条件为：
G c
电子浓度随温度 升高指数增加--施主随温度升高 逐渐电离。12
高温完全电离区
由于Gc与T3/2成正比，当温度足够高，则有：
4ND eEI /kBT 1 Gc
1/2
n114G N cDeEI/kB T 2eEI/kB T
施敏-课后习题答案
exp(ax)
aq
kT q
n N0
exp(ax)
a kTn N0 exp(ax)
a kTn N D qn N D
akT q
注，可用题十中的公式：
E(x)
kT q
1 N D (x)
dN D (x) dx
(b) E(x) a kT 1106 0.026 260V / cm q
(1) 低温情况（77K）
由于低温时，热能不 足以电离施主杂质，大部 分电子仍留在施主能级， 从而使费米能级很接近施 主能级，并且在施主能级 之上。（此时，本征载流 子浓度远小于施主浓度）
EF
EC
ED 2
kT 2
ln
ND NC
0.027
0.022
0.005eV
(2) 常温情况（T=300K）
n
ni 2 p
(9.65109 )2 5 1015
1.86104 cm3
1 qp p
1 1.6 1019 5 1015 150 8.33cm
8. 给定一个未知掺杂的硅晶样品，霍耳测量提供了以下的 信息：W = 0.05 cm，A = 1.610-3 cm2（参考图3.8），I = 2.5 mA，且磁场为30T（1特斯拉（T）= 10-4 Wb/cm2）。若 测量出的霍耳电压为 +10 mV，求半导体样品的霍耳系数、 导体型态、多数载流子浓度、电阻率及迁移率。
因为霍耳电压为正的，所以该样品为p型半导体(空穴导电)
多子浓度：
p
IBZW qVH A
2.5103 30104 0.05 1.61019 10103 1.6103
复旦大学半导体器件第二章平衡载流子
重点内容
• 费米分布函数和玻尔兹曼分布函数及其适用的条件； • 施主、受主能级上电子和空穴的分布几率； • 在计算有效质量时要考虑各向异性，在计算有效状态
密度时要考虑到导带最低点的个数（硅有六个）；
• 载流子浓度和中性施主、受主浓度的公式； • 均匀掺杂半导体满足电中性条件，电中性条件的公式；
• n0 p0 ni2 成立的条件；
• 虚线是本征载流子浓度，只在 本征激发区才显示出和电子浓 度可比拟的量。
• 饱和电离区是晶体管和集成电 路正常工作的温度范围。
三个区域的计算公式
• 弱电离区
1/2
n0NgcN DD expE2ckBTED
• 饱和电离区
n0 ND
• 本征激发区
n0p0ni NcNV1/2exp2E kB gT
• 电子－空穴浓度积始终满足
• 费米分布函数：在热平衡情况下，考虑到一个量子态最多只能被
一个电子占有，能量为E的单量子态被电子占有的几率为：
fe
E
exp
1
E EF kBT
1
kB是 玻 尔 兹 曼 常 数
• 一个状态要么被一个电子占有要么没有电子占有，该状态空着的
几率是：
1feEfh(E)expEkF1BTE1
费米分布函数和玻尔兹曼分布函数
• 处于费米能级相同位置的能量状态 上，电子占有的几率是1/2,费米能级
表示电子的平均填充水平。
EEF：fe
fh
1 2
• 玻尔兹曼分布函数（一个量子态可 以同时被多个电子占有）
feAexpEkT
EEF kT时费米分布近似于玻尔兹曼分布
fe(E)1exp1EkTEF
expkETF expkET
半导体物理习题与问题
第一章半导体中的电子状态例1.证明:对于能带中的电子，K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相反。
即：v(k)= －v(－k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
解：K状态电子的速度为：（1）同理，－K状态电子的速度则为：（2）从一维情况容易看出：（3）同理有：（4）（5）将式（3）（4）（5）代入式（2）后得：（6）利用（1）式即得：v(－k)= －v(k)因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，即：E(k)=E(－k)故电子占有k状态和-k状态的几率相同，且v(k)=－v(－k)故这两个状态上的电子电流相互抵消，晶体中总电流为零。
例2.已知一维晶体的电子能带可写成：式中，a为晶格常数。
试求：（1）能带的宽度；（2）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）由E(k)关系（1）（2）令得：当时，代入（2）得：对应E(k)的极小值。
当时，代入（2）得：对应E(k)的极大值。
根据上述结果，求得和即可求得能带宽度。
故：能带宽度（3）能带底部和顶部电子的有效质量：习题与思考题：1 什么叫本征激发？温度越高，本征激发的载流子越多，为什么？试定性说明之。
2 试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因。
3 试指出空穴的主要特征。
4 简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。
5 某一维晶体的电子能带为其中E0=3eV，晶格常数a=5×10-11m。
求：（1）能带宽度；（2）能带底和能带顶的有效质量。
6原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同？原子中层电子和外层电子参与共有化运动有何不同？7晶体体积的大小对能级和能带有什么影响？8描述半导体中电子运动为什么要引入“有效质量”的概念？用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性？9 一般来说，对应于高能级的能带较宽，而禁带较窄，是否如此？为什么？10有效质量对能带的宽度有什么影响？有人说：“有效质量愈大，能量密度也愈大，因而能带愈窄。
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任一k值，沿一个坐标轴 方向均为1/L的整数倍，
在k空间均匀分布
其中，L是半导体晶体的线度，V=L3是晶体体积。
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➢每个允许的能量状态在k空间中与由整数组(nx，ny，nz)决定 的一个代表点 (kx，ky，kz)相对 应；
➢每一个代表点占据 ➢K空间的体积为1/V=L3， ➢K空间中代表点的密 ➢度为V。
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➢k空间中电子的允许量子态密度
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米能级是系统的化学势，即：
EF
F N
Байду номын сангаас
T
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能；
N：电子总数，决定费米能级的条件是： f (Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变
半导体中的导电电子浓度和 空穴浓度都保持一个稳定值
➢ 热平衡载流子：处于热平衡状态下的电子和空穴； ➢ 当温度改变时，破坏了原来的平衡状态，又重新建立起新
的平衡状态，热平衡载流子浓度也将随之发生变化，达到 另一稳定数值。 ❖热平衡状态时载流子浓度决定于：
4
2.6.2本征载流子浓度与费米能级
• 概念： ❖本征半导体：当半导体中的杂质浓度远小
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三、k空间中量子态的分布
➢k空间就是以波矢k的三个互相正交的分量kx、ky、kz为坐标 轴的直角坐标系所描写的空间。
➢k空间中电子的波矢k只能取分立值，而不能取任意值，其允 许值为：
k x
nx L
k y
ny L
k z
nz L
(nx 0,1,2) (ny 0,1,2) (nz 0,1,2)
化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
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➢ 处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以处于热 平衡状态的电子系统有统一的费米能级；
➢ 费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含 量以及能量零点的选取有关；
➢ 只要知道了费米能级的数值，在一定温度下，电子在
各量子态上的统计分布就完全确定。 每个费米子都占据能量 最低的可供占据的量子态。最后 一个费米子占据着的量子态 可粗略认为费米能级。 在半导体物理和电子学领域中，费米能级常被当做电子 或空穴化学势的代名词。 对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米 能级。 费米能级的物理意义：该能级上的一个状态被电子占据 的几率是1/2。
➢ 导带中的电子浓度可将N(E)F(E)由导带底端(为简单起见， 将EC起始视为0)积分到顶端Etop：
其中n的单位是cm－3，N(E)是单位体积下可允许的能态密度，F(E) 为电子占据此能量范围的几率即费米分布函数， n(E)是在能量 dE范围内的电子浓度。
费米能级EF 把半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，则费
在热平衡时，电子按能量大小具有一定的统计分布规 律性。对半导体材料中的电子体系，可把体系看做一 个近独立体系，即认为电子之间的相互作用很弱，它 们除了交换能量达到平衡外，其他影响可不必考虑。 所以费米-狄拉克统计的物理含义是：热平衡时，每 个能量为E的单量子态被电子占据的几率。
根据量子力学，费米子为自旋为半整数的粒子， 其本征波函数反对称，在费米子的某一个能级上， 最多只能容纳一个粒子。又称费米-狄拉克分布， 简称费米分布函数，可表示为：
于由热激发产生的电子空穴浓度时，此半 导体称为本征半导体。 ❖本征激发：当半导体的温度T>0k时，本征 半导体就有电子 从价带激发到导带去，同 时价带中产生了空穴的过程。
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➢ 本征载流子浓度：在本征半导体中，导带中每单位体积的 电子数与价带中每单位体积的空穴数相同，电子与空穴浓 度相同。即n=p=ni，ni称为本征载流子浓度。
而在经典力学背景下，任何一个粒子的运动都 是严格符合力学规律的，有着可确定的运动轨 迹可以相互区分，因此所有经典粒子体系都是 定域粒子体系，在近独立假设下，定域粒子体 系都符合玻尔兹曼统计。
因而符合玻尔兹曼统计分布的粒子，当他们处 于某一分布（“某一分布”指这样一种状态： 即在能量为{Ej}的能级上同时有nj个粒子存在着) 时，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微 观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态， 而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态 出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的 分布状态被称为最可几分布。
2)费米-狄拉克统计： 是费米子依从的统计规律。它们符合泡利不相容原理。 费米子：自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子及其
. 反粒子 费米-狄拉克统计表示在温度T时，能级E的一量
子态上平均分布的电子数。 (玻色子：自旋为整数的粒子，不受泡利原理限制，如光子、 含有偶数个费米子的分子、原子等,遵从玻色-爱因斯坦统 计.)
其中k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度，EF是费米能级。 费米能级是电子占有率为1/2时的能量。
2.6.4 状态密度
一、概念
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二、状态密度的计算方法
➢ 首先算出单位k空间中的量子态数，即k空间中的状态密度； ➢ 然后算出k空间中与能量E~(E+dE)间所对应的k空间体积，
并和k空间中的状态密度相乘，从而求得在该能量间隔的 量子态数dZ； ➢ 最后，根据式(1)求得状态密度g(E).
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2.6.3 玻尔兹曼统计和费米-狄拉克统计
• 1)玻尔兹曼统计 • 是描述独立定域粒子体系分布状况的统计
规律。
• 所谓独立定域粒子体系是指：粒子间相互 没有任何作用，互不影响，并且各个不同 的粒子之间都是可以互相区别的。
• 在量子力学背景下只有定域分布粒子体系 中的粒子是可以相互区分的，因此这种体 系被称为独立定域粒子体系。
第二章本征载流子浓度
2.6.1热平衡状态：
热平衡状态：在一定的温度下，电子从低能量的量子态 跃迁到高能量的量子态及电子从高能量的量子态跃迁到 低能量的量子态这两个相反过程之间建立起动态平衡， 称为热平衡状态。
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➢热平衡状态是在恒温下的稳定状态，且并无任何外 来干扰，如光照、压力或电场。在恒温下，连续的热 能使电子从价带激发到导带，同时又有电子从导带跃 迁到价带。 ➢即产生率=复合率。 ➢热平衡状态下的载流子浓度不变。