【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：第2章 §1 1.2 椭圆的简单几何性质]

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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)课件：2.1 流程图( 2014高考)

第二章
§1
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[点评] 答．
解答循环结构程序框图时，为避免出现多一次或
少一次循环的错误，可将循环次数调小，检验比对后再完成解
第二章
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巩固提高学案
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[解析]
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典例探究学案
第二章
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程序框图及其画法
点”，一个或多个“终点”．
2．工序流程图工业生产的流程，这样的流程图通常称为工序用于描述__________ 流程图．
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3．统筹原理工序流程图又称统筹图，它用于描述工作的流程．统筹方法的基本原理是：从需要管理的任务的总进度着手，以任务中各工作或各工序所需要的工时为时间因素，按照工作或工序的先后顺序和__________ 相互关系作出工序流程图，以反映任务全貌， __________ 实现管理过程模型化，然后进行分析改进安排，得到最优方案并付诸实施．
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[解析] 用流程图表示新生入学注册的步骤如下图所示．
第二章

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：第1章 §2 第1课时充分条件与必要条件]

第一章 §2 第1课时一、选择题1．“x >1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)条件，可用“特例法”．当x >1时，一定有|x |>1成立，而|x |>1时，不一定有x >1，如x ＝－5.所以“x >1”⇒“|x |>1”而“|x |>1” ⇒/ x >1.2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0， ∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A.4．(2014·郑州市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<b⇒/(a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{a n}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{a n}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列时却不一定有a n＝2n＋1.9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]sinα＝sinβ⇒/ α＝β，α＝β⇒sinα＝sinβ，故填必要不充分．三、解答题10．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[答案] p ≥4[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0. 所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件.一、选择题11．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12.显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件．12．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.13．(2013·浙江文，3)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.14．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题15．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件． 16．下列说法正确的是________． ①x 2≠1是x ≠1的必要条件； ②x >5是x >4的充分不必要条件； ③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件； ④x 2<4是x <2的充分不必要条件． [答案] ②④[解析] “若x 2≠1，则x ≠1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题17．对于实数x 、y ，判断“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．[答案] 充分不必要条件[解析] 可从集合角度判断，考虑集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≠8}与B ＝{(x ，y )|x ≠2或y ≠6}的包含关系，A 是平面直角坐标系内除去直线y ＝－x ＋8上所有点的集合；B ＝{(x ，y )|x ≠2}∪{(x ，y )|y ≠6}是直角坐标平面内除去直线x ＝2上的所有点或除去直线y ＝6上的所有点的集合，即除点(2,6)的所有点的集合，知A B ，所以“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的充分不必要条件．18．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [答案] a ≤1[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。

【成才之路】高中数学第二章综合素质检测北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第二章综合素质检测北师大版选修1-1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 与点F (3,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小2，则点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝6x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－6x[答案] C[解析] 由抛物线的定义知，点M 的轨迹是F 为焦点，直线x ＋3＝0为准线的抛物线，其方程为y 2＝12x .2．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y 220＝1 [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3，又b a＝2，结合a 2－b 2＝c 2，得a ＝1，∴e ＝3，故选B.4．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积( )A ．5B ．10C ．20 D.15[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线定义知x 0＋1＝5， ∴x 0＝4故y 0＝4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10.5．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2a2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.6．(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b ax ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b ax 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4，∴△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm ，灯深40cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”值为452，所以选项C 符合题意．8．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条[答案] B[解析] 过P 与x 轴平行的直线y ＝1与抛物线只有一个交点；过P 与抛物线相切的直线x ＝0，y ＝14x ＋1与抛物线只有一个交点．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－b ax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－b a)2－8＝0，即(b a)2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b a2＝1＋8＝3.故选B.10．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[分析] 此题若用坐标法求解运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[答案] A[解析]延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，如图所示．则△APF 1是等腰三角形，∴|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 1的中点， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．故选A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.[答案] ±8[解析] 椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 12．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为________．[答案] 26[解析] 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|－|BF 2|＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝16. 又∵|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝5， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝16＋5＝21.∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.13．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn＝________. [答案]22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22， ∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 14．(2014·哈三中二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．[答案]52[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程x ＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y ＝12x ，即b a ＝12，∴e ＝1＋b 2a 2＝52. 15．(2014·唐山市一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.[答案]163[解析] 设AB所在的直线y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －y 2＝4x 消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1x 2＝1，设A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，∵A 到准线的距离为4，∴x 1＋1＝4，∴x 1＝3，∴x 2＝13，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝3＋13＋2＝163.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．[答案] (1)x 212－y 28＝1 (2)x 28－y 22＝1[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上， ∴18a－420－a＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14， ∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[答案] 6m[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (y >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．18．已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)、B (2,0)，|AD →|＝2，AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AC →，求点E 的轨迹方程．[答案] x 2＋y 2＝1(y ≠0) [解析] 如图设点E 的坐标为(x ，y )， ∵AE →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E 为BD 的中点，连结OE ，又O 为AB 的中点，∴OE ＝12AD ＝1.即动点E 到定点O 的距离为定值1，由圆的定义知，点E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E 到定点O 的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E 的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．19．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． [答案] (1)43 (2)22[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－b 2＋b22－－2b 21＋b2＝8b 41＋b2，解得b ＝22. 20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝233，过A (a,0)，B (0，－b )的直线到原点的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋5(k ≠0)交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．[答案] (1)x 23－y 2＝1 (2)±7[解析] (1)双曲线的离心率e ＝c a ＝233.①过A ，B 的直线为x a －y b＝1，即bx －ay －ab ＝0. ∵原点到直线AB 的距离为32， ∴|－ab |a 2＋b2＝ab c ＝32，②由①②，得b ＝1.∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋1a 2＝43.∴a 2＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1y ＝kx ＋5，得(1－3k 2)x 2－30kx －78＝0. ∴x 1＋x 2＝30k 1－3k.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝15k 1－3k 2， y 0＝kx 0＋5＝51－3k2. ∴MB 的斜率k MB ＝y 0＋1x 0＝－1k. ∴x 0＋ky 0＋k ＝0，即15k 1－3k 2＋5k1－3k2＋k ＝0. 解得k 2＝7，∴k ＝±7.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ (2)k 值不存在 [解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x2＋22kx ＋1＝0.①∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k2.③又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，④将②③代入④式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k . 反馈练习一、选择题1．若方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )A.－b >aB.－b <aC.b >－aD.b <－a[答案] A[解析] 方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴b <0，∴－b >a .2．“直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 直线与双曲线有唯一的公共点⇒直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的一条渐近线，故选B.3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.4．等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2[答案] B[解析] 由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，∴|AB |＝4p ，∴S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2.5．(2014·太原模拟)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线C 的离心率等于( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32[答案] D [解析] 因为|PF 1F 1F 2PF 2|＝，所以设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ，即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c 3x ＝c 3×23c＝12. 若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ，所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c＝32，所以选D.6．(2014·山西省高三四校联考)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2 D.1[答案] B[解析] 解方程2x 2－5x ＋2＝0得x ＝2或12.当e ＝2时，m <0表示焦点在x 轴上的双曲线；当e ＝12时，m >0，可表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆，故选B.7．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.8．(2014·陕西工大附中四模)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支．．．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ，在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°，∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e>1，∴e ＝c a＝7，故选D.9．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＋|BF |＝3得，x 1＋x 2＋12＝3，∴x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝54. 10．(2014·银川九中一模)已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程为y ＝x 知，b2＝1，∴b ＝2，∵点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 0＝±1，y 0＝1时，P (3，1)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝0，y 0＝－1时，P (3，－1)，PF 1→·PF 2→＝0，故选C.二、填空题11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．12．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．[答案]x 216＋y 212＝1 [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，∴所求椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32，综上可知y 21＋y 22≥32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.14．(2014·天津和平区期末质检)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]233[解析] y 2＝2bx 的焦点为(b2，0)，x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为(c,0)，由题意可知：c －b 2＝38×2c ，即c ＝2b ，而e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝4b 23b 2＝43，则e ＝233. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k ，则k ≥3，即b a≥ 3.所以e 2＝1＋b 2a2≥1＋(3)2＝4，所以e ≥2.三、解答题16．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)． (1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F ′1，F ′2，求以F ′1，F ′2为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程；(3)求过(2)中的点P ′的抛物线的标准方程． [答案] (1)x 245＋y 29＝1(2)y 220－x 216＝1 (3)y 2＝252x 或x 2＝45y [解析] (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其半焦距c ＝6.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋12＋22＝65， ∴a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝45－36＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′(2,5)，F ′1(0，－6)，F ′2(0,6)，设所求双曲线的标准方程为y 2a 1－x 2b 1＝1(a 1>0，b 1>0)，由题意知半焦距c 1＝6.∵2a 1＝||P ′F ′1|－|P ′F ′2||＝|112＋22－12＋22|＝45， ∴a 1＝25，b 21＝c 21－a 21＝36－20＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (3)设抛物线方程为y 2＝2px 或x 2＝2p 1y ， ∵抛物线过P ′(2,5)， ∴25＝4p 或4＝10p 1， ∴p ＝254或p 1＝25.∴抛物线方程为y 2＝252x 或x 2＝45y .17．已知双曲线过点P (－32，4)，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．[答案] (1)x 29－y 216＝1 (2)941[解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b2＝1① 又∵b a ＝43②，由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝d 1－d 22＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.18．(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[答案] (1)x 225＋y 216＝1 (2)(32，－65)[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x－3)代入椭圆方程得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 19.如右图，已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O 点，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．[答案] y 2＝x －12[解析] 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)， ∵M 是FQ 的中点，∴x ＝1＋x 22，y ＝y 22，∴x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点． ∴x 2＝x 12，y 2＝y 12，∴x 1＝2x 2，y 1＝2y 2，∴x 1＝4x －2，y 1＝4y .∵点P 在抛物线y 2＝4x 上， ∴(4y )2＝4(4x －2)，∴点M 的轨迹方程为y 2＝x －12.20．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A 、B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1.消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k2，由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k2，解得k 2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.21．(2014·郑州市质检)已知平面上的动点R (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2＝－34，设动点R 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点S (4,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，过点M 作MQ ⊥x 轴，交曲线C 于点Q . 求证：直线NQ 过定点，并求出定点坐标．[答案] (1)x 24＋y 23＝1(y ≠0) (2)D (1,0)[解析] (1)由题知x ≠±2，且k 1＝yx ＋2，k 2＝y x －2，则y x ＋2·y x －2＝－34，整理得，曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设NQ 与x 轴交于D (t,0)，则直线NQ 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，记N (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由对称性知M (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12x ＝my ＋t 消去x 得：(3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0，所以Δ＝48(3m 2＋4－t 2)>0，且y 1,2＝－6mt ±Δ3m 2＋，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt3m 2＋4，y 1·y 2＝3t 2－123m 2＋4，由M 、N 、S 三点共线知k NS ＝k MS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4，所以y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0，整理得2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0，所以2m 3t 2－12－6mt t －43m 2＋4＝0，即24m (t －1)＝0，t ＝1，所以直线NQ 过定点D (1,0)．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版-选修1-1)练习试题：第4章-§1-1.2-函

第四章§1 1.2一、选择题1．(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案] C[解析]∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/ q，故选C.2．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当x∈(－2，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝－1时，f(x)有极大值，且f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为()A．1，－3 B．1,3C．－1,3 D．－1，－3[答案] A[解析]因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0. ① 又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2. ②由①②解得a ＝1，b ＝－3. 4．设函数f (x )＝x e x ，则 ( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 [答案] D[解析] f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )，令f ′(x )>0，得x >－1，令f ′(x )<0，得x <－1，∴函数f (x )在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x ＝－1时，f (x )取得极小值． 5．(2014·湖北重点中学期中联考)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则( )A ．a <－1eB ．a >－1C ．a <－1D ．a >－1e[答案] C[解析] y ′＝e x ＋a ，由题意知a <0. ∵函数有大于零的极值点x ＝x 0， ∴e x 0＋a ＝0，且x 0>0， ∴a <－1，故选C.6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )[解析] 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x ＋f (x )e x ， ∵x ＝－1为函数g (x )的一个极值点， ∴g ′(－1)＝f ′(－1)e －1＋f (－1)e －1＝0. ∴f ′(－1)＝－f (－1)． D 选项中，f (－1)>0，∴f ′(－1)＝－f (－1)<0，这与图像不符．二、填空题7．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取得极小值时，x 的值是________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)，令f ′(x )>0得－1<x <2，令f ′(x )<0，得x <－1或x >2，∴函数f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．8．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． [答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6. 当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)，故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12) ＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值．9．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．[答案] 1，－1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.10．设y ＝f (x )为三次函数，且图像关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求函数f (x )的解析式．[答案] f (x )＝4x 3－3x[解析] 设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，因为其图像关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，得ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax 3－bx 2＋cx －d ，∴b ＝0，d ＝0，即f (x )＝ax 3＋cx . 由f ′(x )＝3ax 2＋c ，依题意，f ′⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋c ＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝18a ＋c 2＝－1，解之，得a ＝4，c ＝－3.故所求函数的解析式为f (x )＝4x 3－3x.一、选择题11．设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋a 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝－1，b ＝0，c ＝－1B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝01－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.14．(2014·郑州一中期中)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2013，对任意x ∈R ，都有f ′(x )<2x 成立，则不等式f (x )>x 2＋2009的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，＋∞) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )－x 2－2009，则F ′(x )＝f ′(x )－2x <0，∴F (x )在R 上为减函数，又F (－2)＝f (－2)－4－2009＝2013－2013＝0， ∴当x <－2时，F (x )>F (－2)＝0，∴不等式f (x )>x 2＋2009的解集为(－∞，－2)．二、填空题15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，由3x 2－3＝0得x ＝1或－1，当x <－1，或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴x ＝－1时，f (x )取到极大值f (－1)＝2，x ＝1时，f (x )取到极小值f (1)＝－2，∴欲使直线y ＝a 与函数f (x )的图像有相异的三个公共点，应有－2<a <2.三、解答题16．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的单调递减区间； (2)求函数的极值．[答案] (1)(－1,3) (2)极大值为16；极小值－16 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的单调递减区间为(－1,3)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.17．(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x 轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间． (2)求实数a 的值．[答案] (1)极小值点3，减区间(1,3) (2)a ＝1[解析] (1)由图像可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数；当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数；当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)上为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)． (2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1.。

【成才之路】高中数学第一章统计案例综合测试北师大版选修1-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学第一章统计案例综合测试北师大版选修1-2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④[答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．2．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[答案] A[解析] 题图A 中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A. 3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[答案] B[解析] 恰好有1人解决分两种情况： ①甲解决乙没解决：P ′＝P 1(1－P 2)②甲没解决乙解决：P ″＝(1－P 1)P 2∴恰好有1人解决这个问题的概率P ＝P ′＋P ″＝P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1) 4．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题： ①将A 、B 、C 三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤[答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝0.4，⑤是真命题．5．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过( ) A ．(2,2)点 B ．(1.5,0)点 C ．(1,2)点 D ．(1.5,4)点[答案] D[解析] 计算得x ＝1.5，y ＝4，由于回归直线一定过(x ，y )点，所以必过(1.5,4)点．6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A.25% C ．2.5% D ．97.5%[答案] D[解析] 查表可得K 2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x 和y 有关系”．7．同时抛掷三颗骰子一次，设A ：“三个点数都不相同”，B ：“至少有一个6点”，则P (B |A )为( )A.12 B ．6091 C.518D ．91216[答案] A[解析] P (A )＝6×5×46×6×6＝120216，P (AB )＝3×4×56×6×6＝60216，∴P (B |A )＝P AB P A ＝60216×216120＝12.8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%[答案] A[解析] 当y ^＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，所以7.6759.262≈0.829，故选A.9．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，得K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C10．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点；③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某镇居民2009～2013年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：有________线性相关关系．(填“正”或“负”)[答案] 13 正[解析] 找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．12．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：[答案] 0.001[解析] 可计算K 2的观测值k ＝11.377>10.828.13．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.14．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________.[答案]310[解析] 由P (B |A )＝P AB P A 得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310.15．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －) [答案] 70[解析] 根据表格中的数据可求得x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －－b x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分12分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？[答案] 12[解析] 设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＝23×12＋13×12＝12.17．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数．[答案] (1)0.808 (2)有线性相关关系 (3)b ^＝0.398 a ^＝134.8 [解析] (1)根据数据可得：x ＝77.7，y ＝165.7，∑10i ＝1x 2i＝70 903，∑10i ＝1y 2i ＝277 119， ∑10i ＝1x i y i ＝132 938，所以r ＝0.808，即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808；(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系； (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.18．(本题满分12分)(2014·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d[答案] [解析] (1)300×450015000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表综合列联表可算得K 2＝75×225×210×90＝21≈4.762>3.841. 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．” 19．(本题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？[答案] (1)图略 (2)有线性相关关系，求线性回归方程有意义 (3)y ^＝30.8＋46.9x (4)547[解析] (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：r ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －x2∑i ＝110y 2i －y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，自然求线性回归方程有实际意义．(3)b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.20．(本题满分13分)(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d[答案] (1)表略不相关(2)10[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．21．(本题满分14分)(2014·济南模拟) 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：K2＝a＋b＋c＋d ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，当K2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)限购令的概率．[答案] (1)表略有90%的把握(2)710[解析] (1)K2＝40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率P＝710.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)课件：1.1 第2课时可线性化的回归分析( 2014高

于是有 b＝
zi2－5 z 2
i＝1
5
≈0.29. ∴a＝ y －b z ≈34.32. 0.29 ∴y 与 x 之间的回归曲线方程是 y＝34.32＋ x . 当 x0＝0.038 时，y0≈41.95，即 y0 的值约为 41.95.
第一章 §1 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修1-2
b y＝aex
(3)倒指数曲线
.
其散点图在如下图所示曲线附近．
1 u＝lny，c＝lna，v＝x 设______________________，则转化为线性关系：u＝c＋
bv.
第一章 §1 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修1-2
(4)对数曲线y＝a＋blnx.
由此可得： u2 i ＝1.412 i＝1
10

10
989， y2 i ＝171.803，
i＝1
10
uiyi＝15.208 78， u ＝0.224 8， y ＝3.14，
i ＝1
第一章
§1
第2课时
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则线性相关系数
uiyi－10 u
第一章
§1
第2课时
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3．几种常见模型
(1)幂函数曲线y＝axb. 其散点图在如下图所示曲线附近．
u＝lny，v＝lnx，c＝lna ，则转化为线性关系： u ＝ c 设 _______________________
＋bv.

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：第3章 §2 导数的概念及其几何意义]

第三章 §2一、选择题1．设函数f (x )在x ＝1处存在导数，则lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)[答案] C [解析] lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)． 2．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2 D.12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.3．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.4．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°[答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －Δx 2＋13Δx 3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13Δx 2，lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13Δx 2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°.5．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2 B.52 C ．1 D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.6．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ， ∴Δy Δx ＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1. 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0(2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上，故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 9．若f ′(x )＝3，则lim Δx →f (x ＋2Δx )－f (x )Δx＝________.[答案] 6 [解析] lim Δx →f (x ＋2Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →02·f (x ＋2Δx )－f (x )＝2lim Δx →f (x ＋2Δx )－f (x )2Δx＝2f ′(x )＝6.三、解答题10．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227；当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．一、选择题11．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.12.已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0 [答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 13．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2) ＝3x 2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题14．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.15．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝________；lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.16．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．[答案] y ＝2x －1[解析] 设P (x 0，x 20)，则k ＝y ′＝2x 0＝2，故x 0＝1，∴P (1,1)，k ＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.三、解答题17．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x [解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1，∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →0 2xΔx ＋Δx 2＋ΔxΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)课件：1.2 第1课时条件概率与独立事件( 2014高

2．条件概率的概念 B发生时在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为________ P(A|B) ． A发生的条件概率，记为__________ _________________ 类似地，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为 P(B|A) A发生时B发生的条件概率，记为__________ _________________________ ．
第一章 §2 第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修1-2
相互独立事件的概率
甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为 0.6，乙击中敌机的概率为 0.5，求： (1)甲、乙都未击中的概率； (2)敌机被击中的概率．
[分析]
(1)直接利用相互独立事件同时发生的概率公式计
如果事件 A1 ， A2 ，„， An 相互独立，那么这 n 个事件同时
发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1·A2·„·An) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)·„·P(An)．
运用公式P(AB)＝P(A)·P(B)时一定要注意成立的条件，只相互独立时，公式才成立．此公式说明：两个有当事件A、B__________
第一章
§2
第1课时
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它们之间的概率关系如下表所示. 概率 P(A＋B) P(AB) P( A B) A、B 互斥 P(A)＋P(B) 0 1－[P(A)＋P(B)] P(A)＋P(B) B) 1 A、B 相互独立 1－P( A )P( B ) P(A)P(B) P( A )P( B ) P(A)P( B )＋P( A )P(B) 1－P(A)P(B)

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习：1.1第2课时可线性化的回归

2 4 2 2 2第一章 §1第 2 课时一、选择题1. 下列说法错误的是()A. 当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B. 把非线性回归化线性回归为我们解决问题提供一种方法C ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决[答案] A[解析] 此题考查解决线性相关问题的基本思路．2. 下表是某厂 1～4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份 x 1 2 3 4 用水量 y /百吨4.5432.5y＝－0.7x ＋a ，则 a 等于()A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25[答案] D1＋2＋3＋4 54.5＋4＋3＋2.5 7 7 5 [解析] x ＝ 4 ＝，y ＝＝，a ＝y －bx ＝＋0.7× ＝5.25. 3．由一组数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y ) ^ ^ x^ 1 1 2 2 n n 得到的回归直线方程y ＝b ＋a ，则下列说法不正确的是( )A ^ ^ ^．直线y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )B ^ ^ ^ ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)(x 2，y 2)……(x n ，y n )中的一个点n^ ^^∑i ＝1x i y i －n C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为 n∑i ＝1x 2i －n x 2D ^ ^ ^．直线y ＝bx ＋a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线x y[答案] B 4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：)1A ．y ＝2x －2B ．y ＝( )x2 1C ．y ＝log 2xD ．y ＝ (x 2－1)2[答案] D[解析] 代入检验，当 x 取相应的值时，所得 y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．5. 下列数据符合的函数模型为()A. y ＝2＋ xB ．y ＝2e x 31C ．y ＝2e x[答案] DD ．y ＝2＋ln x[解析] 分别将 x 的值代入解析式判断知满足 y ＝2＋ln x .6. 设由线性相关的样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )，求得的回归直线^ ^ 21 2方程为y ＝bx ＋a ，定义残差 e i ＝y i －y i ＝y i －bx i－a ，i ＝1,2，…，n ，残差平方和 m ＝e ＋e＋…＋e 2n . 已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D[解析] r 越接近 1，相关性越强，残差平方和 m 越小，相关性越强，故选 D. 二、填空题7. 在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是；相关系数是度量的量．[答案] 从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合两个变量之间线性相关程度8. 若回归直线方程中的回归系数 b ＝0 时，则相关系数 r 的值为()A.1 B ．－1 C ．0 D ．无法确定[答案] Cn[解析] 若 b ＝0，则∑x i y i－n xy 0，∴r ＝0.i ＝19. 若 x 、y 满足之间关系的函数解析式为．2 [答案] y ＝xb 2[解析] 画出散点图，观察图像形如 y ＝x ，通过计算知 b ≈2，∴y ＝x .三、解答题10. 某工厂今年 1～4 月份生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、1.3 万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量，可用函数 y ＝a e bx 来模拟该产品的月产量y (万件)与月份 x 的关系，求模拟函数．[答案] y ＝e －0.066 1＋0.010 24x[解析] 设 μ＝ln y ，c ＝ln a ，则 μ＝c ＋bx .44∑x i＝10，∑μi＝0.759 5，∑x 2i＝30，∑μ2i≈0.201 2，i ＝1i ＝1i ＝1i ＝14∑x i μi＝2.411，x ＝2.5，μ≈0.189 9，相关系数 r ＝i ＝14∑x i μi－4x i ＝14 4∑x 2i －4(x )2∑μ2i －4(μ)2i ＝1i ＝1μμ2.411－4 × 2.5 × 0.189 9≈≈0.959 7，相关程度较强．4∑x iμi－4xi＝12.411－4 × 2.5 × 0.189 9b＝4≈∑x2i－4(x)2i＝1 30－4 × 2.52＝0.102 4，c＝μ－bx≈0.189 9－0.1024×2.5＝－0.066 1，所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x，y＝e－0.066 1＋0.010 24x.一、选择题11.我国1990～2000 年的国内生产总值如下表所示：年份1990 1991 1992 1993 1994 1995 产值/亿元18 598.4 21 662.5 26 651.9 34 560.5 46 670.0 57 494.9 年份1996 1997 1998 1999 2000 产值/亿元66 850.5 73 142.7 76 967.1 80 422.8 89 404.0A．y＝a e kx B．y＝a＋bxbC．y＝ax b D．y＝a ex[答案] B[解析] 画出散点图，观察可用y＝a＋bx 刻画国内生产总值发展变化的趋势．二、填空题12.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则作变换t＝才能转为y 是t 的线性回归方程．b[答案] (x＋)22ab 4ac－b2[解析] ∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，2a 4ab 4ac－b2∴令t＝(x＋)2，则y＝at＋，此时y 为t 的线性回归方程．2a 4a13.若x，y 满足x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1y 0.27 0.45 0.73 1.21 1.99 3.30 5.44之间关系的函数解析式为．30－4 ×2.52×0.201 2－4 ×0.189 92[答案] y ＝2e x[解析] 画出散点图，形如 y ＝a ·e bx ，其中 a ≈2，b ≈1. ∴y ＝2e x . 三、解答题14. 下表所示是一组试验数据：x0.5 0.25 160.125 0.1 y64138205285360(1) (2) 利用所得的函数模型，预测 x ＝10 时 y 的值．[答案] (1)散点图略 y 与 x 不具线性可能成反比例型函数关系 (2)－7.605 [解析] (1)散点图如图所示，从散点图可以看出 y 与 x 不具有线性相关关系．b根据已有知识发现样本点分布在函数 y ＝ x＋a 的图像的周围，其中 a ，b 为待定参1数．令 x ′＝x，y ′＝y ，由已知数据制成下表：序号 i x i ′ y i ′ x ′2i y ′2i x ′i y ′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64 81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑301 052220275 9907 790x ′＝ 6， y ′＝ 210.4，故∑x ′2i－ 5(x ′)2＝ 40， ∑y ′2i－ 5y ′2＝ 54 649.2， r ＝779 0－5 × 6 × 210.4i ＝1i ＝1≈0.999 7，由于 r 非常接近于 1，∴x ′与 y ′具有很强的线性关系，计算知 b ≈36.95，a ＝210.4－36.95×6＝－11.3， ∴y ′＝－11.3＋36.95x ′，36.95∴y 对 x 的回归曲线方程为 y ＝ x－11.3.36.95(2)当 x ＝10 时，y ＝ 10－11.3＝－7.605.40 × 54 649.215.如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N，试建立N 对x 的回归方程，并表述二者之间的关系.震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 地震数28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698 震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206 震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7地震数148 98 57 41 25[答案]^N＝10－0.741x＋6.704[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y＝lg N.得到的数据如下表所示．图 1x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314x 6.2 6.4 6.6 6.8 7y 2.170 1.991 1.756 1.613 1.398图 2从散点图(2)中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此由最小二乘法得a ≈6.704， b ≈－0.741，故线性回归方程为 y ＝－0.741x ＋6.704.因此，所求的回归方程为：lg N ＝－0.741x^＋6.704，故N ＝10－0.741x ＋6.704.[点评] 在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合16.某商店各个时期的商品流通率 y (%)和商品零售额 x(万元)资料如下：散点图显示出 x b 率 y 决定于商品的零售额 x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋x .试根据上表数据，求出 a 与 b 的估计值，并估计商品零售额为 30 万元时的商品流通率．[答案] ^ 56.25 0.1875＋所求流通率约为 16.875% y ＝－ x1[解析] 设 u ＝x，则 y ≈a ＋bu ，得下表数据：10∑u 2i －10u ≈0.004 557 3，i ＝110∑u i y i－10u y≈0.256 35，i＝10.256 35b≈≈56.25，0.004 557 3a＝y－b·u0.187 5，^ 56.25.当x＝30 时，y＝1.687 5，即商品零售额为30 万所求的回归方程为y＝－0.187 5＋x元时，商品流通率为1.687 5%.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

【成才之路】高中数学第1章集合测试题北师大版必修1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章集合测试题北师大版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·全国新课标Ⅱ文，1)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝( )A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}[答案] B[解析] ∵B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，∴A∩B＝{2}．2．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[答案] B[解析] A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．若集合M＝{y|y＝1x2}，P＝{y|y＝x－1}，那么M∩P＝( ) A．(0，＋∞)B．[0，＋∞) C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案] A[解析] M＝{y|y＝1x2}＝{y|y>0}，N＝{y|y≥0}，故M∩P＝(0，＋∞)，故选A.4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( ) A．－1 B．0C．1 D．1或－1[答案] A[解析] 由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0或1，∴a＝0,1，－1.而当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝1.5．下列集合中，只有一个子集的是( )A．{x∈R|x2－4＝0} B．{x|x>9，或x<3}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x>9，且x<3}[答案] D[解析] A、B、C均为非空集合，任何非空集合本身和空集都是它的子集．D为空集，空集只有一个子集即为本身，故选D.6．满足{a，b A⊆{a，b，c，d，e}的集合A的个数是( )A．5 B．6C．7 D．8[答案] C[解析] ∵{a，b A，∴集合A中含有元素a和b，且包含c、d、e三个元素中的一部分．∵A⊆{a，b，c，d，e}，∴A＝{a，b，c}，A＝{a，b，d}，A＝{a，b，e}，A＝{a，b，c，d}，A＝{a，b，c，e}，A＝{a，b，d，e}，A＝{a，b，c，d，e}，故选C.7．设S＝R，M＝{x|－1<x<13}，N＝{x|x≤－1}，P＝{x|x≥13}，则P等于( )A．M∩N B．M∪N C．∁S(M∪N) D．∁S(M∩N) [答案] C[解析] ∵M∪N＝{x|－1<x<13}∪{x|x≤－1}＝{x|x<13}，∴∁S(M∪N)＝{x|x≥13}＝P.8．设U是全集，M、P、S是U的三个子集，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪(∁U S)C．(M∩P)∪S D．(M∩P)∩(∁U S)[答案] D[解析] 阴影部分不属于S，属于P，属于M，故选D.9．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合{x∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0[答案] D[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，∴①不正确． ②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x∈N ，∴{x ∈Q |6x∈N }是无限集，∴④不正确．10．设集合M ＝{x |x ≤23}，a ＝11＋b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( ) A ．a M B ．a ∉M C ．{a }∈M D ．{aM[答案] D[解析] 由集合与集合及元素与集合之间的关系知，显然A 、C 不正确．又因为23＝12，所以当b ＝0时，a ＝11，可知11<12，而当b ＝1时，a ＝12，可知D 正确．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集． [答案] 8[解析] 共8个子集，分别为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}． 12．设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N ＝________. [答案] {x |x <－2}[解析] ∵M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴∁R M ＝{x |x <－2或x >2}．又N ＝{x |x <1}，∴(∁R M )∩N ＝{x |x <－2}．13．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． [答案] 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B . 又∵a 2＋4≥4， ∴a ＋2＝3，解得a ＝1.14．设集合A ＝{x ，y 2,1}，B ＝{1,2x ，y }，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________． [答案] 2,2[解析] 由集合相等可知，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x y 2＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝yy 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2.由集合中元素的互异性知只有x ＝2，y ＝2适合题意．15．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3l ＋1，l ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系是________．[答案] S P ＝M[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P . 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |x <－3或x >1}．求：(1)A ∩B ； (2)(∁U A )∩(∁U B )； (3)∁U (A ∪B )．[解析] ∁U A ＝{x |x ≤0或x >2}，∁U B ＝{x |－3≤x ≤1}，A ∪B ＝{x |x <－3，或x >0}． ∴(1)A ∩B ＝{x |1<x ≤2}；(2)(∁U A )∩(∁U B )＝{x |－3≤x ≤0}； (3)∁U (A ∪B )＝{x |－3≤x ≤0}．17．(本小题满分12分)设集合U ＝{1,2,3,4}，且M ＝{x ∈U |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{1,4}，求实数p 的值．[解析] ∵U ＝{1,2,3,4}， ∁U M ＝{1,4}，∴M ＝{2,3}，即方程x 2－5x ＋p ＝0有两实根2和3，由根与系数的关系得p ＝2×3＝6. 18．(本小题满分12分)设数集A ＝{a 2,2}，B ＝{1,2,3,2a －4}，C ＝{6a －a 2－6}，如果C ⊆A ，C ⊆B ，求a 的取值的集合．[解析] ∵C ⊆A ，C ⊆B ，∴C ⊆(A ∩B )．又C 中只有一个元素，∴6a －a 2－6＝2，解得a ＝2或a ＝4.当a＝2时，a2＝4,2a－4＝0满足条件；当a＝4时，a2＝16,2a－4＝4也满足条件．故a的取值集合为{2,4}．19．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N⊆M，求实数a所构成的集合A，并写出A的所有非空真子集.[解析] ∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．20．(本小题满分13分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．[解析] (1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B，即x2－ax＋a2－19＝x2－5x＋6，∴a＝5.(2)由已知有B＝{2,3}，C＝{－4,2}．∵∅A∩B，A∩C＝∅，∴3∈A，而－4,2∉A.由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝∅矛盾，∴a＝－2.(3)若A∩B＝A∩C≠∅，则有2∈A.由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{3,2}，不符合条件，当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．∴a＝－3.21．(本小题满分14分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析] (1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：综合素质检测3]

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx的值为( )A ．－2aB ．2aC ．aD ．－a[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ，∴lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 2．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 3．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．－43B ．－3C ．－1D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 4．函数y ＝x 2－1x 的导数是( )A ．y ′＝x 2－1xB ．y ′＝x 2＋1x 2C ．y ′＝x 2－1x 2D ．y ′＝1－x 2x[答案] B[解析] y ′＝(x 2－1x )′＝(x 2－1)′x －x ′(x 2－1)x 2＝2x 2－x 2＋1x 2＝x 2＋1x2.5．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.6．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∴k ＝3x 20＝3，∴x 0＝±1，∴P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．7．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( )A ．4B ．64C ．16D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ，∴s ′(4)＝43－6×4＝40.8．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′ (0)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，∴选B.9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝12，则lim Δx →0f (x 0＋3Δx )Δx ＝________.[答案] 32[解析] lim Δx →f (x 0＋3Δx )Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝32.12．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________.[答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x ，∴f ′(π3)＝－12(32)2＋32(12)2＝－23＋2 3.13．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．14．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4 [解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2，令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.15．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________. [答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24.∴f ′(5)＝30－24＝6.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数． (1)y ＝e x ＋x ln x ； (2)y ＝sin x －x x.[答案] (1)y ′＝e x ＋ln x ＋1 (2)y ′＝x ·cos x －sin xx 2[解析] (1)y ′＝(e x )′＋(x ln x )′＝e x ＋ln x ＋x ·1x ＝e x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝(sin x －x )′·x －x ′(sin x －x )x 2＝(cos x －1)x －sin x ＋x x 2＝x ·cos x －sin xx 2. 17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程．[答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3[解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x.曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3.∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)，即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1，∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0. 19．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0＝d f ′(0)＝0＝cf ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3f ′(3)＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0.故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数．令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中， x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0，由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16.综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.21．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，(1)求直线l 的方程；(2)求以F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． [答案] (1)y ＝－1 (2)x 2＝4y[解析] (1)令y ＝f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4，∴f ′(2)＝22－4＝0.∴直线l 的斜率为0，直线方程为y ＝－1.(2)抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，设抛物线方程为x 2＝2px ，则p2＝1，即p＝2，∴x 2＝4y .。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)课件：1.1 第1课时回归分析相关系数( 2014高

第一章 §1 第1课时
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[方法规律总结] 1.求回归直线方程的一般步骤 (1)作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系． ^、b ^，写出 (2)当两变量具有线性相关关系时，求回归系数a 回归直线方程．
第一章
§1
第1课时
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^ ^ ^ ^ 2．回归直线方程y＝a＋bx 中的b表示 x 每增加 1 个单位时，
^ ^. y的变化量的估计值为b
^ ^ ^ 可以利用回归直线方程y＝a＋bx 预报在 x 取某个值时 y 的
估计值．
化学成绩(y) (1)画出散点图；
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(2)求化学成绩y对数学成绩x的线性回归方程．
[分析] 描点画出散点图，依次计算 x 、 y 、∑xiyi、∑x2 i代入公式即可求出回归直线方程．
第一章 §1 第1课时
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2．上图2中各点散布在一条直线附近，可否用这条直线对
y随x的变化作出近似估计？如果可以，这条直线怎样求？如何刻画这种估计的可靠性？
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【成才之路】高中数学第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y[答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上， ∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝23.2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点恰好与椭圆x 29＋y 25＝1的一个焦点重合，则p ＝( )A ．1B ．2C ．4 D.8[答案] C[解析] 椭圆中a 2＝9，b 2＝5，∴c 2＝a 2－b 2＝4，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F (－p 2，0)与F 1重合，∴－p2＝－2，∴p ＝4，故选C.3．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] ∵圆心到直线x ＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)． 4．抛物线y 2＝4x 上点P (a,2)到焦点F 的距离为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] B[解析] ∵点P (a,2)在抛物线上， ∴4a ＝4，∴a ＝1，∴点P (1,2)．又抛物线的焦点F 坐标为(1,0)， ∴|PF |＝0＋4＝2.5．P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A 、B 、P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|、|BB 1|、|PP 1|，则有( )A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1| B ．|PP 1|＝12|AB |C ．|PP 1|>12|AB |D ．|PP 1|<12|AB |[答案] B [解析] 如图，由题意可知|PP 1| ＝|AA 1|＋|BB 1|2，根据抛物线的定义，得 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BC |， ∴|PP 1|＝|AF |＋|BF |2＝12|AB |.6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)．如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠FA 1A ，∠BFB 1＝∠FB 1B . 又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠AF 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ， ∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.二、填空题7．(2014·长春市调研)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，设|FA |>|FB |，则|FA ||FB |＝________.[答案] 3＋2 2[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过F 斜率为1的直线方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，求得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，故由抛物线的定义可得|FA ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝3＋2 2.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－2[解析] 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2.9．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.[答案] ±2 3[解析] 设正三角形边长为x .由题意得，363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax ，得a ＝2 3.当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax ，得a ＝－23，故a ＝±2 3. 三、解答题10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． [答案] (1)略 (2)±16[解析] (1)如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x ＋，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k.∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上， ∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12－1k2＋4.∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.一、选择题11．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D.－8[答案] B[解析] y ＝ax 2⇒x 2＝1ay ，由题意得14a ＝－2，a ＝－18，故选B. 12．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴相交于点Q ，若过点Q 的直线与抛物线有公共点，则此直线的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4][答案] C[解析] 准线x ＝－2，Q (－2,0)，设y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋y 2＝8x，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，由Δ≥0得，－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围是[－1,1]，故选C.13．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ， ∴OF 垂直平分AB .∴AB 为垂直于x 轴的直线，设A (2pt 2,2pt )(t >0)，B (2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ， ∴k OB ·k AF ＝－1.即－pt 2pt 2－p2pt2＝－1，整理，解得t 2＝54.∴直线AB 的方程为x ＝2pt 2，即x ＝52p ，∴选C.14．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等知识．由于抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点且经过点M (2，y 0)，可设方程为y 2＝2px ，由点M 到抛物线焦点的距为3，则由抛物线定义得2＋p2＝3，解得p ＝2，则y 2＝4x ，又M (2，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，则y 20＝8，|OM |＝22＋y 20＝12＝2 3. 二、填空题15．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．[答案]32[解析] 抛物线的焦点为F (3,0)，椭圆的方程为：x 23k ＋y 23＝1，∴3k －3＝9，∴k ＝4，∴a ＝23，c ＝3，离心率e ＝c a ＝32. 16．过点P (2,2)作抛物线y 2＝3x 的弦AB ，恰被P 所平分，则AB 所在的直线方程为______________．[答案] 3x －4y ＋2＝0[解析] 解法一：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝3x 1，① y 22＝3x 2，② x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4.③ ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝3(x 1－x 2)．④将③代入④得y 1－y 2＝34(x 1－x 2)，即34＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为y －2＝34(x －2)，即3x －4y ＋2＝0.解法二：设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －2)＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝k x －＋2.消去x ，得ky 2－3y －6k ＋6＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由韦达定理和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝3k ，又y 1＋y 2＝4，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为3x －4y ＋2＝0. 三、解答题17．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．[答案] y 2＝4x[解析] 依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0x 20＋y 20－9x 0＝0，∴x 20＋(2p －9)x 0＝0.①∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p2－x 0＝－1，即2px 0x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫p2－x 0＝－1.∴x 0＝52p .②把②代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x .18．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[答案] y 2＝－4x[解析] 如图所示，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12py 2＝2px，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .。

【成才之路】高中数学 1.1 归纳与类比基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.1 归纳与类比基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．(2014·太原模拟)如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )[答案] A[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B ．l 22C ．lr2D ．不可类比[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．(2013·华池一中期中)平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( ) A.43a B.63a C.54a D.64a [答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题4．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝＋2＝1 000.5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]x－x ＋2[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x－x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x2－x ＋22， f 3(x )＝x 7x ＋8＝x 3－x ＋23， f 4(x )＝x15x ＋16＝14－x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝xn－x ＋2n.三、解答题6．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求点P 1、P 2的坐标； (2)猜想点P n 的坐标公式．[分析] 两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形[答案] C[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．(2014·三峡名校联考)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n －1个式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<n 2n ＋1[答案] C[解析] 观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1i2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n.4．(2014·临沂模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011等于( )A ．1 003B ．1 005C ．1 006D ．2 011[答案] B[解析] 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n .又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.5．(2014·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，则L＝2πr，由136L2h≈13sh，代入s＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.本题的关键是理解“若V≈136L2h，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．[答案] S2△ABC＝S△OBC·S△DBC[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC.7．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案] F＋V－E＝2[解析] 5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题8．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23； S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34； S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sinα＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质：(1)通项a n＝a m＋(n－m)·d；(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N＋，则a m＋a n＝a p＋a q；(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N＋，则a m＋a n＝2a p；(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质．[解析] 在等比数列{b n}中，公比为q，前n项和为S n，则可推出：(1)通项b n＝b m·q n－m；(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N＋，则b m·b n＝b p·b q；(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N＋，则b m·b n＝b2p；(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列．。

【成才之路】高中数学第四章综合素质检测北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第四章综合素质检测北师大版选修1-1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4 D.5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.2．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1 D ．不确定[答案] A[解析] ∵M ＝m ，∴f (x )在[a ，b ]上为常数，∴f ′(x )＝0.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3] [答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图像是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.5．(2014·辽宁省协作校联考)若点P (a ，b )在函数y ＝－x 2＋3ln x 的图像上，点Q (c ，d )在函数y ＝x ＋2的图像上，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．8[答案] D[解析] 设与直线y ＝x ＋2平行且与函数y ＝－x 2＋3ln x 的图像相切的直线为y ＝x ＋m ，且切点为(x 0，y 0)，∵y ＝－x 2＋3ln x ，∴y ′|x ＝x 0＝－2x ＋32|x ＝x 0＝－2x 0＋3x 0＝1，∵x 0>0，∴x 0＝1，∴y 0＝－1，∴m ＝－2.∴切线方程为x －y －2＝0，两平行线间距离d ＝22， ∴(a －c )2＋(b －d )2＝d 2＝8.6．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图像关于点(π，0)对称B ．偶函数且图像关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图像关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图像关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图像关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.7．(2014·银川九中二模)已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图像是( )[答案] A[解析] f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )＝12x －sin x ，∵－1≤sin x ≤1，且f ′(－x )＝－f ′(x )， ∴f ′(x )为奇函数，排除B 、D ；令g (x )＝12x －sin x ，则g ′(x )＝12－cos x ，当x ∈(0，π3)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，π3)上为减函数，即f ′(x )在(0，π3)上为减函数，排除C ，故选A.8．(2014·北京西城区期末)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是( )①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ， ⑤f (x )＝x ＋1xA ．2B ．3C ．4 D.5[答案] B[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x )＝f ′(x )，则x 2＝2x ，解得x ＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则e －x＝－e －x，由对任意的x ，有e －x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则ln x ＝1x ，由函数f (x )＝ln x 与y ＝1x的图像有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则tan x ＝1cos 2x，即sin x cos x ＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x )＝f ′(x )，则x ＋1x ＝1－1x2，即x 3－x 2＋x ＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．(2014·秦安县西川中学高二期中)函数f (x )＝－x 3＋3x 的单调增区间为( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－1,1) D ．(－∞，0)[答案] C[解析] f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)，由f ′(x )>0得－1<x <1，故选C.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．(2014·宁夏三市联考)经过点P (2,1)且与曲线f (x )＝x 3－2x 2＋1相切的直线l 的方程是________．[答案] 4x －y －7＝0或y ＝1 [解析] 设切点为(x 0，x 30－2x 20＋1)，由k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，可得切线方程为y －(x 30－2x 20＋1)＝(3x 20－4x 0)(x －x 0)，代入点P (2,1)解得：x 0＝0或x 0＝2. 当x 0＝0时切线方程为y ＝1；当x 0＝2时切线方程为4x －y －7＝0.综上得直线l 的方程是：4x －y －7＝0或y ＝1.12．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为________．[答案] c <14[解析] ∵f ′(x )＝x 2－x ＋c 且f (x )有极值， ∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0. 解得c <14.13．函数y ＝f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________． [答案] －1[解析] f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，即x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由于f (e)＝1max 14．(2014·沈阳质检)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．[答案] 8 2[解析] ∵f (x )＝x (x －a )(x －b )，∴f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋x [(x －a )(x －b )]′， ∴f ′(0)＝ab ＝4，∴a 2＋2b 2≥22ab ＝8 2.15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)，由f (x )的图像经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ∈R ，b ∈R )．若a >0，且f (x )的极大值为5，极小值为1，求f (x )的解析式．[答案] f (x )＝x 3＋3x 2＋1[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.又∵a >0，∴－2a3<0.∴当x <－2a3或x >0时，f ′(x )>0；当－2a3<x <0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，－2a 3)和(0，＋∞)上是增函数，在(0，2a3)上是减函数．∴f (－2a3)是f (x )的极大值，f (0)是f (x )的极小值，即f (－2a 3)＝(－2a 3)3＋a (－2a 3)2＋b ＝5；f (0)＝b ＝1，解得a ＝3，b ＝1.∴所求的函数解析式是f (x )＝x 3＋3x 2＋1.17．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围． [答案] (1)0 (2)－6≤a ≤－3[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.18．用总长为14.8m 的钢条制成长方体容器的框架，如果容器的底面的长比宽多0.5m 那么高为多少时容器的容积最大？并求最大容积．[答案] 高1.2m 最大容积1.8m 3[解析] 设容器面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x >0x >0，解得0<x <1.6.设容器的容积为f (x )m 3，则有f (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， f ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令f ′(x )＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使f ′(x )＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，f (x )取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2m.因此，容器高为1.2m 时，容器的容器最大，最大容积为1.8m 3. 19．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． [答案] (1)(－∞，－1)和(3，＋∞) (2)最小值－7 [解析] (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )<0，解得x <－1，或x >3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7. 20．(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．[答案] (1)f (x )＝x 3－3x (2)增区间(－∞，－1)，(1，＋∞)；减区间(－1,1) 极大值2 (3)略[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－2，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．21．在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子如图，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[答案] 箱底的边长是40cm 时，容积最大，最大容积16000cm 3[解析] 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2cm ，得箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <60)，V ′(x )＝60x －3x22(0<x <60)．令V ′(x )＝60x －3x22＝0，解得x ＝0(舍去)，x ＝40，并求得V (40)＝16000.由题意可知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，故当x ＝40cm 时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm 3.反馈练习1．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12[答案] A[解析] 由条件知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2， ∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.2．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,0) D ．(－1,0)[答案] C[解析] 设P (x 0，y 0)，f ′(x )＝4x 3－1，由题意得f ′(x 0)＝3， ∴4x 30－1＝3，∴x 0＝1. ∴y 0＝x 40－x 0＝0，故选C.3．函数f (x )＝x －ln x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ，令f ′(x )>0，即1－1x>0，∴1x<1，∴x >1，故选C.4．f (x )＝x 3－3x ＋1在[－2,3]上的最大值为( ) A ．3 B ．－1 C ．24 D ．19[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,3]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[－2，－1)和(1,3]上单调递增，在(－1,1)上单调递减，∴x ＝－1时，f (x )取到极大值f (－1)＝3，x ＝1时，f (x )取到极小值为f (1)＝－1，又f (－2)＝－1，f (3)＝19，∴f (x )的最大值为19.5．(2014·浙江调研)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图像上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图像大致为( )[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，显然g (x )为奇函数，排除B 、C. 当0<x 0<π2时，g (x 0)＝x 0cos x 0>0，排除D ，故选A.6．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符；由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f xx≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.7．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，∴2≤m ≤4，故选D.8．函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )[答案] D[解析] x <0时，f (x )为增函数，所以导函数在x <0时大于零；x >0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零．故D 符合．9．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.10．如图所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像，则x 21＋x 22等于( )A.23 B.43 C.83 D ．4[答案] C[解析] 由图像可知，函数f (x )过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，所以f (x )＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x .则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.因为x 1，x 2是极值点，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝83.二、填空题11．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.12．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.13．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为n－2－1＝2n ＋1－2.14．(2014·海南五校联考)函数y ＝cos 3x ＋sin 2x －cos x 的最大值________． [答案]3227[解析] ∵y ＝cos 3x ＋sin 2x －cos x ＝cos 3x ＋(1－cos 2x )－cos x ＝cos 3x －cos 2x －cos x ＋1，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1，则y ＝t 3－t 2－t ＋1，则y ′＝3t 2－2t －1＝(3t ＋1)(t －1)，令y ′＝0，解得t ＝－13或t ＝1，列表如下：故函数y ＝t 3－t 2－t ＋1在t ＝－3时取得极大值，亦即最大值，即y max ＝3227.15．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图像关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图像向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图像，∴函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f x ＋，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)三、解答题16．(2014·成都质量检测)已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x.(1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [答案] (1)y ＝(1－e)x ＋12 (2)(－∞，－1e 3][解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x，则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝32－e ，f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －(32－e)＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋12.(2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ，f ′(x )＝－x ＋2－a e x，于是有不等式－x ＋2－a e x≥0在R 上恒成立，即a ≤2－xex 在R 上恒成立，令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下：故函数g (x )在x 即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1e 3，即实数a 的取值范围是(－∞，－1e3]．17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [答案] (1)a ＝0，c ＝2 (2)(1，＋∞) [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )，令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎨⎧f －b，f b ，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值．[答案] (1)f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5 (2)最大值13，最小值－11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f23＝232＋2a ×23＋b ＝0，f＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表：∵f (3)＝27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.19．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [答案] (1)3 (2)1[解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ，由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.20．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [答案] (1)y ＝256mx＋m x ＋2m －256(0<x ≤m ) (2)9个[解析] (1)设需要新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256(m x－1)＋m x(2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )．(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数；当64<x ≤640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640]上为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．21．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[答案] (1)减区间(0,1) 增区间(1，＋∞) 最小值1 (2)0<x <1时，g (x )>g (1x) x >1时，g (x )<g (1x) (3)(0，e)[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。

【成才之路】高中数学第三章推理与证明综合测试北师大版选修1-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学第三章推理与证明综合测试北师大版选修1-2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.2．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1*1=1,(ii)(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于 A ．n B ．n+1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1， ∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A.3．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中，a ，b 对应的运算是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D[答案] B[解析] 根据题意可知A 对应横线，B 对应矩形，C 对应竖线，D 对应圆．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2n ＋2B ．2nn ＋C.22n－1 D ．22n －1[答案] B[解析] a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1，∴a 2＝13，a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13，∴a 3＝16.a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16，∴a 4＝110.由此猜想a n ＝2nn ＋.5．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n n ＋2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1a －b ＋c ＝7a －b ＋c ＝34，所以a ＝12，b ＝c ＝14.7．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)，则f2015(x)等于( )A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x[答案] D[解析] 由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，可以归纳出：f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N*)．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cos x.8．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”，其中正确的叙述有( )A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析] ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．9．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A．一定大于零B．一定等于零C．一定小于零D．正负都有可能[答案] A[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.10．(2014·福建文，12)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L －距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是( )[答案] A[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则|x ＋c |＋|x －c |＋2|y |＝2a .当y >0时，y ＝⎩⎨⎧x ＋a ，x <－ca －c ，－c ≤x ≤c－x ＋a ，x >c，当y ≤0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a ，x <－c ，c －a ，－c ≤x ≤c ，x －a ，x >c .∴图像应为A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)．[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段相等；真[解析] 类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．12．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]xn－x ＋2n[解析] 由已知可归纳如下：f 1(x )＝x1－x ＋21，f 2(x )＝x2－x ＋22，f 3(x )＝x3－x ＋23，f 4(x )＝x4－x ＋24，…， f n (x )＝x n－x ＋2n.13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑤“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”．以上类比得到的结论正确的是________． [答案] ①②[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．14．(2014·东北四校联考)根据下面一组等式S 1＝1， S 2＝2＋3＝5， S 3＝4＋5＋6＝15， S 4＝7＋8＋9＋10＝34， S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________. [答案] n 4[解析] 根据所给等式组，不难看出：S 1＝1＝14；S 1＋S 3＝1＋15＝16＝24； S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81＝34，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，由此可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.15．若定义在区间D 上函数f (x )对于D 上的几个值x 1，x 2，…，x n 总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 称函数f (x )为D 上的凸函数，现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．[答案]332[解析] ∵1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提)∵f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提) ∴f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论)即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb＋a ＋b －cc>3. [解析] 解法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3，只需证明b a ＋c a－1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6.而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数，得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2. 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6. 故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证．解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等． ∴b a ＋a b>2，c a ＋a c>2，c b ＋b c>2. 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6， ∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b－1)＋(a c ＋b c－1)>3，即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 17．(本题满分12分)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[答案] 证明略 [解析] f (0)＋f (1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33. 一般性结论：若x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝x 1＋3＋x 2＋3x1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33. 18．(本题满分12分)在某两个正数x 、y 之间，若插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，若插入两个数b 、c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．[解析] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y b 2＝cx ，消去c 2＝byx ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b，且有a >0>b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥b ＋c ＋，只要证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，也就是证2a ≥b ＋c .而2a ＝b 2c ＋c 2b ，只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c ，即证b 3＋c 3≥(b ＋c )bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.∵上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．19．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[答案] 证明略，一般性结论为2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号[解析] 2cos π4＝2·22＝2，2cos π8＝21＋cosπ42 ＝2·1＋222＝2＋2，2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…归纳得出，2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号. 20．(本题满分13分)数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)数列{a n }中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．[答案] (1)a n ＝3·2n－3 (2)不存在，证明略 [解析] (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，则a 1＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝2a n ＋1－n ＋S n ＝2a n －3n ⇒a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3⇒a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴{a n ＋3}为等比数列，首项为a 1＋3＝6，公比为2. ∴a n ＋3＝6·2n －1，即a n ＝3·2n－3.(2)假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r <s <t )，它们可以构成等差数列，且a r <a s <a t . ∴只能是a r ＋a t ＝2a t ，即3(2r －1)＋3(2t －1)＝6(2s －1)．∴2r＋2t＝2s ＋1.∴1＋2t －r＝2s ＋1－r.(*)∵r <s <t ，r ，s ，t 均为正整数，∴(*)式左边为奇数，右边为偶数，不可能成立． ∴数列{a n }中不存在可以构成等差数列的三项．21．(本题满分14分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x－12x 2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x－1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x－x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x－12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x－12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x－x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .。

【成才之路】高中数学 1.1 命题基础达标北师大版选修2-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.1 命题基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．(1)x2－5x＋6＝0.(2)若x＝4，则2x<0.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(4)语文和数学．(5)一个数不是合数就是质数．(6)求证：若x∈R，则方程x2－x＋1＝0无实根．以上语句中命题的个数是( )A．0 B．2C．4 D．6[答案] B[解析] (1)不是命题．因为语句中含有变量x，在不给定变量x的值之前，我们无法判断这一语句的真假(这种含有变量的语句称为“开语句”)．类似的如：x>0,3x>2y等都是开语句，也都不是命题．(2)是命题．它是可以作出判断的语句，而且这个判断是不成立的，即我们知道了他的真假．所以它是命题，而且是假命题(判断一语句是否为命题，不能只看它是否能作出判断，还要看它作出的判断能否判断真假)．(3)不是命题．因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断，疑问句不是命题．(4)不是命题，因为不涉及真假．(5)是命题．因为它对一个数给出了一个判断：“不是合数就是质数”，但这个判断是错误的，即可以判断真假，因而是命题，而且是假命题．(6)不是命题．它是祈使句，没有作出判断，要求我们做一件事，所以不是命题．若把“求证”两字去掉，改写成“若x∈R，则方程x2－x＋1＝0无实根”．这就可以成为命题了，而且是真命题．故选B项．2．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析] 命题①中，当m＝0时，方程是一元一次方程；命题②中，由题设知a≠0，则Δ＝4＋4a，Δ的值可能为正数，可能为负数，也可能为零，故交点个数可能为0,1,2；命题④中，空集不是空集的真子集；命题③为真命题．3．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是( )A．a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数B．a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数C．a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数D．a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数[答案] D[解析] “a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”．二、填空题4．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题是________．[答案] 若a≤b，则2a≤2b－1[解析] 该题将不等式和四种命题综合在一起，要注意不等号的方向及等号的取舍．原命题的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b－1.”5．已知下列四个命题：①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；④ab是非正数．选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是________．[答案] 若a是正数且a＋b是负数，则b是负数．[解析] 逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数，且a＋b是负数，则一定b是负数，故填：若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数．三、解答题6．写出命题“各位数字之和是3的倍数的正整数能被9整除”的逆命题、否命题和逆否命题．[解析] 原命题可改写成：如果一个正整数的各位数之和是3的倍数，则这个数能被9整除．逆命题：如果一个正整数能被9整除，则这个数的各位数字之和是3的倍数．否命题：如果一个正整数各位数字之和不是3的倍数，则这个数不能被9整除．逆否命题：如果一个正整数不能被9整除，则这个数的各位数字之和不是3的倍数．1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4 [答案] C[解析] 本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．2．(2014·辽宁理)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )[答案] A[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题；∵a ∥b ，b ∥c ，∴∃λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ，∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p ∨q 为真命题．3．在下列命题中，真命题是( )A ．命题“若ac >bc ，则a >b ”B ．命题“若b >3，则b 2>9”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”的否命题D ．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题[答案] D[解析] 对A ，因为c 的正负未知，因而a 与b 的大小不定，所以A 假；对B ，逆命题是“若b 2>9，则b >3”它未必成立，因为b 可能小于－3，所以B 假；对C ，否命题为“当x ≠2时，x 2－3x ＋2≠0为假，因为x ≠2，但可以为1，使x 2－3x ＋2＝0成立”；对D ，其逆否命题为“两个三角形的对应角不相等，则这两个三角形不相似”，为真，因为原命题与逆否命题为等价命题，原命题为真．4．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题； p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3)p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3)p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 [答案] A[解析] 本题主要考查向量的模的数量积以及解三角不等式．对于p 1：∵|a ＋b |>1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即a ·b >－12，∴cos θ>－12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π)，∴p 1正确，易得p 2错误；对于p 3：由|a －b |>1，∴a 2－2a ·b ＋b 2>1，即a ·b <12，∴cos θ<12，又θ∈[0，π]，∴θ∈(π3，π]，∴p 3错误；易得p 4正确，故选A. 5．(2014·陕西文)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 [答案] A[解析] 本题考查数列单调性概念及四种命题．原命题即“若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n }为递减数列，则a n ＋1<a n ”为真命题，所以否命题也为真命题．原命题与其逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．二、填空题6．已知命题“若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2”是假命题，则a 满足的条件是________．[答案] a ≤0[解析] 由x 1<x 2<0可得x 1x 1x 2<x 2x 1x 2即1x 2<1x 1，要使a x 1>a x 2是假命题，则a ≤0. 7．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；(4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号________(写出所有真命题的序号)． [答案] (1)(2)[解析] 本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，不能推出α和β垂直，∴(3)不正确；(4)直线l 与α垂直能够推出l 与α内的两条直线垂直，而l 与α内的两条直线垂直不能推出直线l 与α垂直，∴(4)不正确．三、解答题8．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．[解析] (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．9．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．[分析] 由“A ∩B ＝∅”是假命题，得出A ∩B ≠∅.由A ≠∅⇒Δ≥0.求出关于m 的全集U .再令方程两根均非负，求出m 的范围，最后利用补集思想在U 中取其补集即可．[解析] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32，又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[分析] 根据四种命题之间的关系写逆命题，逆否命题，利用特例、反证法，证互为逆否的命题，从而证明结论．[解析] (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0, 它是真命题，可用反证法证明它．假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，与条件矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题是：若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.若证它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ；因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，所以逆否命题为真．[点评] (1)当证明一个否定性命题的真假发生困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．(2)利用反证法证题要注意其步骤．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1、2章集合函数综合测试题北师大版必修1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1、2章集合函数综合测试题北师大版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，则下列结论正确的是( ) A ．2.5∈M B ．0⊆MC ．∅∈MD ．集合M 是有限集[答案] A[解析] 因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M 中的元素，即2.5∈M .2．(2014·某某文，2)设集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2] B ．(1,2) C ．[1,2) D ．(1,4)[答案] C[解析] A ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1≤x ≤4}， ∴A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}，故选C.3．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 偶函数的图像关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交．反例：y ＝x 0，故①错误，③正确．奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点．反例：y ＝x －1，故②错误．若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，由定义可得f (x )＝0，但未必x ∈R .反例：f (x )＝1－x 2＋x 2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．∴选A. 4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x)＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x )＝f (x )C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数且f (1x)＝f (x ) [答案] C[解析] f (－x )＝1＋－x21－－x 2＝1＋x 21－x2＝f (x )，又f (1x )＝1＋1x 21－1x2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C.5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，|x |≥1，1－x 2，|x |<1，f (33)的值为( ) A ．－23B ．13 C.23 D ．43[答案] C [解析] ∵|33|<1，则应代入f (x )＝1－x 2，即f (33)＝1－13＝23. 6．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x .7．(2013·某某高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤1}．8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[答案] A[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x ≠1∴0≤x <1，故函数定义域为[0,1)．9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值X 围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)，∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.10．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值X 围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x <0x －1 x >0，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0.∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________. [答案] －12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－12.12．已知f (x )为偶函数，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0，0≤x ≤1.[答案] 1－x[解析] 当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝1－x .13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2016f 2015的值是________． [答案] 2016[解析] ∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f n ＋1f n＝f (1)．由n 的任意性得f 2f 1＝f 4f 3＝f 6f 5＝…＝f 2016f 2015＝f (1)．故f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2016f 2015＝1008f (1)＝1008×2＝2016.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，某某数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，某某数m 的取值X 围．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，某某数p 的取值X 围．(其中R ＋＝{x ∈R |x >0})．[解析] ∵A ∩R ＋＝∅，R ＋＝{x ∈R |x >0}，A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}， ∴方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0没有正实数根，∴Δ＝(p ＋2)2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝p ＋22－4≥0－p ＋2<0，即p (p ＋4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧p p ＋4≥0，p >－2.解得－4<p <0或p ≥0， ∴实数p 的取值X 围是p >－4.19．(本小题满分12分)设函数f (x )为奇函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] 设－3≤x 1<x 2≤3，则x 2－x 1>0， ∵f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[－3,3]上是减函数．故f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝6，f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；(2)对任意的x ∈R ，都有f (1x)＝－f (x )；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0.(2)对任意x >0，用1x代替y ，有f (x )＋f (1x )＝f (x ·1x)＝f (1)＝0，∴f (1x)＝－f (x )．(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数．取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．21．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)； (2)求a ，b ，c 的值；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值X 围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0，① 令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2＝1，∴f (1)＝1.(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1② 联立①②可得b ＝a ＋c ＝12，由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0，即ax 2－12x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－4ac ≤0.∵c ＝12－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >02a －122≤0⇒a ＝14，∴a ＝c ＝14，b ＝12.(3)由(2)得：g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋12x ＋14－mx ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]∵x ∈[－1,1]时，g (x )是单调的， ∴|－2－4m2|≥1，解得m ≤0或m ≥1.∴m 的取值X 围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。

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x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为＋＝1 或＋＝1. 25 9 9 25 (2)当焦点在 x 轴上时， ∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)，∴a＝7. x2 y2 ∴方程可设为＋ 2＝1，又过点(1,1)， 49 b 49 x2 48y2 代入可得 b2＝，∴椭圆方程为＋＝1. 48 49 49 当焦点在 y 轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)， ∴b＝7. y2 x2 ∴椭圆方程可设为 2＋＝1，又过点(1,1)，代入可得 a 49 49 a2＝，这与 a2>b2 矛盾，∴不符合题意． 48 x2 48y2 综上可知，椭圆方程为＋＝1. 49 49 (3)∵2c＝8，∴c＝4，当焦点在 x 轴上时，因为椭圆顶点为(6,0)，∴a＝6，∴b2＝36－ 16＝20， x2 y2 ∴椭圆方程为＋＝1. 36 20 当焦点在 y 轴上时，因为顶点为(6,0)，∴b＝6. x2 y2 ∴a2＝36＋16＝52，∴椭圆方程为＋＝1. 36 52 x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为＋＝1 或＋＝1. 36 20 36 52
[解析] 依题意得，c<b，即 c2<b2， ∴c2<a2－c2,2c2<a2， c 2 故离心率 e＝ < ， a 2 又 0<e<1，∴0<e< 2 . 2
16．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(－2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程为________． [答案] x2 y2 ＋＝1 16 4
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线 x＝4 交于点 Q，问： → → 是否存在一个定点 M(t,0)，使得MP· MQ＝0，若存在，求出点 M 坐标；若不存在，说明理由． x2 y2 [答案] (1) ＋＝1 4 3 (2)存在 M(1,0)
[解析] 由条件可得 a＝2b，c＝2 3. 又∵b2＋c2＝a2， ∴b2＋12＝4b2， ∴b＝2， ∴a＝4， x2 y2 ∴方程为＋＝1. 16 4 三、解答题 x2 y2 17．(2014· 山西省重点中学四校联考)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点 F(1,0)， a b 右顶点 A，且|AF|＝1.
2 2
)
B．有相等的焦距 D．x，y 有相同的取值范围
)
x y B. ＋＝1 16 36 y2 x2 D. ＋＝1 6 4
2
2
二、填空题 7．已知 B1、B2 为椭圆短轴的两个端点，F1、F2 是椭圆的两个焦点，若四边形 B1F1B2F2 为正方形，则椭圆的离心率为________． [答案] 2 2 2 a， 2
t＝1 2 ，即 t＝1. t －4t＋3＝0
∴存在点 M(1,0)适合题意． x2 18．设 F1、F2 分别是椭圆＋y2＝1 的左、右焦点，设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交 4 于不同的两点 A、B，且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围． [答案] －2<k<－ 3 3 或 <k<2 2 2
2 2 2 [解析] 设弦端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 x2 1＋2y1＝4，x2＋2y2＝4， 2 2 2 ∴x1 －x2 2＝－2(y1－y2)，
) 3 6 D. 2
B．2 3 C.
30 3
y1－y2 x1＋x2 1 ∴弦所在直线的斜率 k＝＝－＝－， 2 x1－x2 2y1＋y2 1 ∴弦所在直线方程为 y－1＝－ (x－1)， 2 1 3 即 y＝－ x＋代入 x2＋2y2＝4，整理得 3x2－6x＋1＝0， 2 2 1 ∴x1· x2＝，x1＋x2＝2. 3 ∴|AB|＝ x1＋x22－4x1x2· 1＋k2＝ 1 1 30 4－4× · 1＋＝ . 3 4 3
∴点 P 的横坐标为± 7， 7 y2 81 9 设 P(± 7，|y|)，把 x＝± 7代入椭圆方程，知＋＝1⇒y2＝ ⇒|y|＝ . 16 9 16 4 x2 y2 12．(2014· 大纲全国理，6)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心 a b 率为 3 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( 3 x2 B. ＋y2＝1 3 x2 y2 D. ＋＝1 12 4 )
1 D. 2
[答案] D c 1 [解析] 由题意得 a＝2c，∴离心率 e＝＝ . a 2 x2 y2 4．过椭圆＋＝1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( 4 3 A．8,6 C．2， 3 [答案] B B．4,3 D．4,2 3 )
[解析]
2b2 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是 . a
[解析] 如图，由已知得 b＝c＝ c 2 ∴e＝＝ . a 2
8．若椭圆两焦点 F1(－4,0)，F2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF1F2 的最大面积是 12，则椭圆方程为________． [答案] x2 y2 ＋＝1 25 9
[解析] ∵焦点为(－4,0)，∴c＝4，且焦点在 x 轴上又最大面积为 bc＝12，∴b＝3，∴ a2＝16＋9＝25， x2 y2 ∴椭圆方程为＋＝1. 25 9 x2 y2 9．如图，把椭圆＋＝1 的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的 25 16 上半部分于 P1 、 P2 、…P7 ，七个点， F 是椭圆的一个焦点，则 |P1F|＋ |P2F| ＋…＋ |P7F|＝ ____________.
x2 y2 A. ＋＝1 3 2 x2 y2 C. ＋＝1 12 8 [答案] C
c 3 x2 [解析] 根据条件可知＝，且 4a＝4 3，∴a＝ 3，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋ a 3 3 y2 ＝1. 2 13．已知椭圆 x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( A．3 2 [答案] C
2b2 2×3 ∴最长的弦为 2a＝4，最短的弦为＝＝3， a 2 故选 B. x2 y2 x2 y2 5．椭圆＋＝1 与＋＝1(0<k<9)的关系为( 25 9 9－k 25－k A．有相等的长、短轴 C．有相同的焦点 [答案] B [解析] ∵0<k<9，∴0<9－k<9,16<25－k<25， ∴25－k－9＋k＝16，故两椭圆有相等的焦距． 6．椭圆的焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的标准方程为( x y A. ＋＝1 36 16 x2 y2 C. ＋＝1 6 4 [答案] A [解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， x2 y2 解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为＋＝1. 36 16
7 14．(2014· 抚顺二中期中)在△ABC 中，AB＝BC，cosB＝－ .若以 A，B 为焦点的椭圆 18 经过点 C，则该椭圆的离心率 e＝( 3 A. 4 3 C. 8 [答案] C ) 3 B. 7 3 D. 18
[解析] 设|AB|＝x>0，则|BC|＝x， AC2＝AB2＋BC2－2AB· BC· cosB 7 25 5 ＝x2＋x2－2x2· (－ )＝ x2，∴|AC|＝ x， 18 9 3 由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c， 5 c 2c x 3 ∴ x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝＝＝＝ . 3 a 2a 8 8 x 3 二、填空题 → → 15．已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1· MF2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． [答案] (0， 2 ) 2
[解析] (1)由条件知 c＝1，a－c＝1，∴a＝2，∴b＝ 3， x2 y2 椭圆 C 的标准方程为＋＝1. 4 3
y＝kx＋m (2)由 2 消去 y 得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 2 3x ＋4y ＝12
∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即 m2＝3＋4k2. 4km 4k 4k2 3 4k 3 xp＝－＝－， y ＝ kx ＋ m ＝－＋m＝，即 p(－， )． 2 p p m m m m m 3＋4k 假设存在点 M(t,0)． 4k 3 → → 又 Q(4,4k＋m)，则MP＝(－－t， )，MQ＝(4－t,4k＋m)， m m 4k 3 4k → → ∴ MP · MQ ＝ ( －－ t)· (4 － t) ＋ · (4k ＋ m) ＝ t2 － 4t ＋ 3 ＋ (t － 1) ＝ 0 恒成立，故 m m m
[解析] 显然直线 x＝0 不满足题设条件，可设直线 ly＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝kx＋2 2 联立x 消去 y，整理得 2 4 ＋y ＝1 1 (k2＋ )x2＋4kx＋3＝0. 4
4k 3 ∴x1＋x2＝－，x1x2＝ . 2 1 2 1 k＋ k＋ 4 4 1 由 Δ＝(4k)2－4(k2＋ )×3＝4k2－3>0， 4 得 k> 3 3 或 k<－ . 2 2 ①
Hale Waihona Puke → → 又 0° <∠AOB<90° ⇔cos∠AOB>0⇔OA· OB>0. → → ∴OA· OB＝x1x2＋y1y2>0. 又 y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝－8k2 －k2＋1 ＋＋4＝ . 1 1 1 k2＋ k2＋ k2＋ 4 4 4 3k2 －k2＋1 ＋ >0. 1 1 k2＋ k2＋ 4 4 3
第二章
§1
1.2

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