2011年第8届东南数学竞赛

2011年第八届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2011.7.27)1. 已知31min22=++∈x b ax Rx .（1）求b 的取值范围；（2）对给定的b ,求a . 解法1 记1)(22++=x b ax x f . 由b f =)0(知，3≥b ，且易知0>a .（i ）当02≥-a b 时，3)(2111)(2222=-≥+-++=++=a b a x a b x a x b ax x f 等号当1122+-=+x a b x a 时，即aab x 2-±=时取到 此时，292-±=b b a ，特别当3=b 时，23=a（ii ）当02<-a b 时，令)1(12≥=+t t xtab at t g x f -+==)()( 当1≥t 时单调增加，所以 3)1()(min ==-+==b a b a g x f ，此时23>a综上所述：（1）b 的取值范围是),3[+∞（2）当3=b 时，23≥a ；当3>b 时，292-±=b b a解法2 设1)(22++=x b ax x f . 因为31min22=++∈x b ax Rx ，且b f =)0(，所以3≥b易知0>a ，2/322)1()2()('+--=x a ab x ax x f （i ）当02≤-a b 时，令0)('=x f 得驻点00=x ，且有0<x 时，0)('<x f ；0>x 时，b f x f =⇒>)0(0)('为最小值所以3=b即○13=b ，○22ba ≥（ii ）当02>-a b 时，令0)('=x f 得驻点00=x ，aab x 22,1-±= 此时易知b f =)0(不是最小值3>⇒b ，)(2,1x f 为最小值3122)(2,1=+-+-⋅=aab b a ab a x f 3)(2=-⇒a b a ⇒0492=+-ab a ⇒292-±=b b a 即○13>b ，○2292-±=b b a综上所述：（1）b 的取值范围是),3[+∞（2）当3=b 时，23≥a ；当3>b 时，292-±=b b a2. 已知a 、b 、c 为两两互质的正整数，且)(,)(,)(332332332b a c c a b c b a +++，求a 、b 、c 的值。

解答 由题设可得到：)(,)(,)(333233323332c b a c c b a b c b a a ++++++，又因为a 、b 、c 两两互质，所以)(333222c b a c b a ++。

不妨设c b a ≥≥，所以33222223333c b a c b a c b a a ≥⇒≥++≥又4443233318922cb c b b a c b b ≤⇒≥⇒≥+≥ 当12≤⇒≥b c ，与c b ≥矛盾。

所以1=c 。

显然（1,1,1）是一组解。

当2≥b 时，c b a >>。

由212)1(2223333322b a b a b a a b a b a ≥⇒≥++≥⇒++又由41)1(42332b a b b a ≥≥+⇒+：当5>b 时，无解；经验证，2=b ，3=c 。

所以满足条件正整数为（1,1,1），（12,3），（1,3,2），（2,1,3），（2,3,1），（3,2,1），（3,1,2）。

3．设集合{}50,,3,2,1 =M ，正整数n 满足：M 的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素b a ,，使n b a =+或n b a =-.求出所有这样的n .解答 取}35,,3,2,1{⋅⋅⋅=A ，则对任意A b a ∈,，693534,=+≤+-b a b a 下面证明691≤≤n . 设35213521},,,,{a a a a a a A <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅= （i ）当191≤≤n 时，考虑5013521≤<⋅⋅⋅<<≤a a a69195013521=+≤+<⋅⋅⋅<+<+≤n a n a n a由抽屉原理，存在35,1≤≤j i ，使j i a n a =+，即n a a j i =- （ii ）当6951≤≤n 时， 由5013521≤<⋅⋅⋅<<≤a a a68113435≤-<⋅⋅⋅<-<-≤a n a n a n由抽屉原理，至少存在35,1≤≤j i ，使j i a a n =-，即n a a j i =+ （iii ）当2420≤≤n 时，由于1040502501)12(50=-≤-=++-n n 所以3521,,,a a a ⋅⋅⋅中至少有25个属于]2,1[n 又由于}2,{,},2,2{},1,1{n n n n ⋅⋅⋅++至多有24个 存在j i a a ,，使},{},{i n i a a j i +=，所以n a a i j =- （iv ）当3425≤≤n 时，由}2,{,},2,2{},1,1{n n n n ⋅⋅⋅++至多有34个由抽屉原理，存在j i ,使i n a i a j i +==,，即n a a i j =- （v ）当35=n 时，}50{,},36{},35{},18,17{,},33,2{},34,1{⋅⋅⋅⋅⋅⋅共33个所以，存在35,1≤≤j i ，使得35=+j i a a（vi ）当5036≤≤n 时，若12+=k n ，}50{,},12{},1,{,},12,2{},2,1{⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-k k k k k 当2018≤≤k 时，1436502501)12(50=-≤-=++-k k 当2421≤≤k 时，842502501)12(50=-≤-=++-k k 均存在j i ,使n k a a j i =+=+12若k n 2=，}50{,},12{},2{},{},1,1{,},22,2{},12,1{⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--k k k k k k k 当1918≤≤k 时，163)12(50≤++-k 181191=-≤-k当2320≤≤k 时，1222503)12(50≤+-≤++-k k 221231=-≤-k 当2524≤≤k 时，422503)12(50≤+-≤++-k k 241251=-≤-k 所以，均存在j i ,使k a a j i 2=+4．如图，过ABC ∆的外心O 任作一直线，分别交边,AB AC 于,M N ，F E ,分别是,BN CM 的中点.证明：EOF A ∠=∠.先证引理：如图，过O 的直径KL 上的两点,A B 分别作弦,CD EF ，连,CE DF ，分别交,K L 于,M N ，若OA OB =，则MA NB =.引理证明：设CD EF P =，直线,CE DF 分别截PAB ∆，据梅涅劳斯定理，1AC PE BM CP EB MA ⋅⋅=，1BF PD ANFP DA NB⋅⋅=； 则MA AC AD PE PF BMNB BE BF PC PD AN⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ……① 而由相交弦，得PC PD PE PF ⋅=⋅ ……② 若O 的半径为R ，OA OB a ==，则22AC AD AK AL R a BK BL BE BF ⋅=⋅=-=⋅=⋅ …③，据①②③得，MA MB NB NA =，即1MA MA AB ABNB NB AB AB +===+.因此MA NB =.引理得证. 回到本题，如下图（两图都适用），延长MN 得直径1KK ，在直径上取点1M ，使1OM OM =，设11CM O A =，连1A B 交1KK 于1N ，由引理，11MN M N =，（右图中则是11M N MN =）因此，O 是1NN 的中点，故,OE OF 分别是1NBN ∆及1MCM ∆的中位线，于是得1EOF BA C A ∠=∠=∠.第一天(2011.7.28)5．设000,,AA BB CC 是ABC ∆的三条角平分线，自0A 作01A A ∥0BB ，02A A ∥0CC ，12,A A 分别在,AC AB 上，直线123A A BC A =；类似得到点33,B C ．证明：333,,A B C 三点共线．证明：据梅尼劳斯逆定理，只要证，3333331CA AB BC B C A B C A⋅⋅= …… ① 由于直线123A A A 截ABC ∆，得2313211BA CA AA A B A A AC ⋅⋅=，所以 321321CA A A A CA B BA AA =⋅ …… ②； 同理有321321AB B B B A B C CB BB =⋅ …… ③，321321BC C C C BC A AC CC =⋅…… ④． 由020BC BA BA BC =⋅，020AA AA AC AI =⋅，得200200AA AA AC BC BA BA BC AI⋅=⋅⋅ … ⑤3311又由010AA AA AB AI=⋅，010CA CA CB CB=⋅，得100100A C CA CB AIAA AA AB BC⋅=⋅⋅… ⑥ 据②、⑤、⑥得23000030000CA CA CA AC CB A B BA BC AB A B ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭； 同理可得，23030CB CB B A B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23030AC AC C B C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭…… ⑦ 由于ABC ∆的三条角平分线000,,AA BB CC 共点，由塞瓦定理，0000001CA AB BC B C A B C A⋅⋅= …… ⑧，于是由⑦、⑧得， 23033003330001CA CA AB BC AB BC B C A B C A B C A B C A ⎛⎫⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即①成立，因此结论得证．6．设n P P P ,,,21 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记M P i 为点i P 与M 的距离，n i ,,3,2,1 =，证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑∑∑===ni i ni i ni i B P A P M P 111,max .解答 设原点为O ，则有：OB t OA t OM )1(-+= )1,0(∈t |)1()1(|||||i i i i t t t t M P ----+=-= ||)1(||||)1(||B P t A P t OP OB t OP OA t i i i i -+=--+-≤因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+≤∑∑∑∑∑=====ni i ni i ni i n i i n i i B P A P P t P t M P 11111,max ||)1(||7．设数列{}n a 满足：12121,7,3n n n a a a a a n --===-≥．证明：对于每个*n N ∈，12n n a a +++皆为完全平方数．证：易求得数列开初的一些项为：1,1,6,41,281,1926，…，注意到，22221223344522,23,27,218a a a a a a a a ++=++=++=++=，…，构作数列{}n x ：12122,3,3,3n n n x x x x x n --===-≥，则对每个*n N ∈，n x 为正整数．我们来证明：对于每个*n N ∈，皆有：212n n n a a x +++=． 引理：数列{}n x 满足：对于每个*k N ∈，2215k k k x x x ++-=．引理证明：令221()k k k f k x x x ++=-，则222111()(1)()()k k k k k k f k f k x x x x x x ++-+--=---222111()()k k k k k k x x x x x x ++-+=+-+211111()()330k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x +++-++=+-+=-=．所以()(1)f k f k =-，于是2132()(1)(2)(1)5f k f k f k f x x x =-=-===-=．回到本题，对n 归纳，据数列{}n a 的定义，2212123224,29a a x a a x ++==++==， 若结论直至(2)n n ≥皆已成立，则对于1n +，有12112(7)(7)2n n n n n n a a a a a a ++-+++=-+-+117(2)(2)10n n n n a a a a +-=++-++-2222221111710(3)210(3)(3)210n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ----=--=---=-+-- 22221111111(2)2102(5)n n n n n n n n n x x x x x x x x x ++-+-++=+--=+--=．即在1n +时结论也成立．故本题得证．8．将时钟盘面上标有数字1,2,,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构作n 个凸四边形，使其满足： （1）每个四边形的四个顶点四色都有；（2）任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．解：为叙述方便，改用,,,A B C D 分别表示这四种颜色，而同色的三点，则分别用123,,a a a ；123,,b b b ；123,,c c c 以及123,,d d d 来表示．今考虑其中一色，例如A 色；若在这n 个四边形中，A 色点123,,a a a 出现的次数分别为123,,n n n ，则123n n n n ++=，且设123n n n ≥≥；如果10n ≥，则127n n +≥；再考虑这7个四边形（其A 色顶点要么是1a ，要么是2a ），它们中B 色点123,,b b b 出现的次数分别为123,,m m m ，则1237m m m ++=，据对称性，可设123m m m ≥≥，则32m ≤，即125m m +≥；继续考虑这5个四边形（其A 色顶点要么是1a ，要么是2a ；B 色顶点要么是1b ，要么是2b ），它们中C 色点123,,c c c 出现的次数分别为123,,k k k ，则1235k k k ++=，据对称性，可设123k k k ≥≥，则31k ≤，即124k k +≥；最后考虑这4个四边形，记为1234,,,T T T T （其A 色顶点要么是1a ，要么是2a ；B 色顶点要么是1b ，要么是2b ；C 色顶点要么是1c ，要么是2c ），由于D 色点只有三个，故其中必有两个四边形，其D 色点相同，设12,T T 的D 色点都为1d ；那么，三个四边形123,,T T T 中，无论哪种颜色的顶点，所标数字皆有重复，这与条件(2)相矛盾！因此，9n ≤．再说明，最大值9n =可以取到；采用构造法，我们只要作出这样的九个四边形即可．作三个“同心圆环图”，给出标号，并适当旋转相应的圆，标号对齐后，图中的每根线（半径）上的四个点分别表示一个四边形的四个顶点颜色及其标号，九条半径共给出九个四边形，且都满足条件（1）；再说明，它们也满足条件（2）：从中任取三条半径（三个四边形）； 如果三条半径（三个四边形）来自同一个图，则除了A 色之外，其余,,B C D 每色的顶点，三数全有；如果三条半径（三个四边形）分别来自三个图，则A 色的顶点，三数全有；如果三条半径（三个四边形）分别来自两个图：将三个图分别称为1A 图、2A 图、3A 图， 每图的三条半径分别称为“向上半径”、“向左半径”、“向右半径”；且分别记为,,S Z Y ． 来自两个图的三条半径，如果“向上”、“向左”、“向右”三种半径都有，那么相应的三个四边形，B 色的顶点，三数全有；如果三条半径，只涉及两个图，两个方位，将图123,,A A A 分别简记为1,2,3，则按三个图的搭配情况，可得下表：222221,21,21,21,21,21,21,21,2S Z Y11111YZ S 产生C 色三数产生D 色三数1,21,21,21,2122222222,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,32,3S Z YYZ S 产生C 色三数产生D 色三数3333331,333333311,31,31,31,31,31,31,31,31,31,31,3产生D 色三数产生C 色三数S Z Y11111YZ S。