2000年高考江西、天津卷

——5分 （II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至 少 有一人抽到选择题的概率为，所求概率为。 ——10分 或 ，所求概率为。
——10分 （18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。满分12分。
如图，以C为原点建立空间直角坐标系O。
（I）解：依题意得B，N，
∴
——2分
（II）解：依题意得，B，C，。
角在内变动时，的取值范围是
（A） （B） （C）∪ （D）
（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面
积的比
是
（A） （B） （C） （D）
（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直
线的方程是
（A） （B） （C） （D）
（11）过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线
=2，M、N分别是、的中点。 （I）求的长； （II）求，的值； （III）求证。
（18乙）（本小题满分12分）
如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且= 。
（I）证明：⊥BD； （II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。 （19）（本小题满分12分）
设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。
段PF与FQ的长分别是、，则等于
（A） （B） （C） （D）
（12）二项式的展开式中系数为有理数的项共有
（A）6项 （B）7项 （C）8项 （D）9项
二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在 题中横
线上。 （13）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每 个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于 ________。 （14）椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角
③不与垂直 ④
中，是真命题的有
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）②④
（3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，，，这个长方体
对角线的长是
（A）2 （B）3 （C） （D）6
（4）已知，那么下列命题成立的是
（A）若、是第一象限角，则
（B）若、是第二象限角，则
（C）若、是第三象限角，则
（D）若、是第四象限角，则
2000年高考江西、天津卷
数 学（文史类）
一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每
小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合A=，B=，则A∪B中的元素个数是
（A）11 （B）11 （C）16 （D）15
（2）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①；
②
∴ BD，
——3分
但 AC⊥BD，AC∩=O，
∴ BD⊥平面。
又 平面，
∴ BD。
——6分
（II）当时，能使⊥平面。
证明一：
∵，
∴ BC=CD=，
又，
由此可推得BD=。
∴ 三棱锥C- 是正三棱锥。
——9分
设与相交于G。
∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，
∴ ∶GO=2∶1。
又 是正三角形的BD边上的高和中线，
解：设等差数列的公差为，则
∵ ，， ∴ 即
——6分
解得 ，。 ∴，
∵，
——8分
∴ 数列是等差数列，其首项为，公差为，
∴。
——12分
（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分 类讨论的
数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。 解：（I）不等式即 ， 由此得，即，其中常数。 所以，原不等式等价于
演算步骤。 （17）（本小题满分10分）
甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6 个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。
（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
（18甲）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱
即
——3分
所以，当时，所给不等式的解集为；
当时，所给不等式的解集为。
——6分
（II）在区间上任取，，使得<。
。
——9分
∵ ，且，
∴，
又，
∴，
即。
所以，当时，函数在区间上是单调递减函数。 ——12分
（21）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题 的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。满分12 分。
∴ 点G是正三角形的中心，
∴ CG⊥平面。
即 ⊥平面。
——12分
证明二：
由（I）知，BD⊥平面，
∵ 平面，∴ BD⊥。
——9分
当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥的证法可得⊥。
又 BD∩=B，
∴⊥平面。
——12分
（19）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力。
满分12分。
C、D、E三点，且以A、B为焦点。求双曲线的离心率。
2000年高考江西、天津卷
数学试题（文史类）参考解答及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）C （2）D （3）C （4）D （5）D
（6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
∴ ，。
。，
——5分
∴
——9分
（III）证明：依题意得，M
，，
∴ ，∴
——12分
（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理 能力。满分
12分。
（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结。 ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD。
又∵ ，
∴，
∴，
∵ DO=OB，
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为。 ——12分
（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和
性质，推
理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。
解：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标
系，则CD⊥轴。
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知
…
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介
于
（A） 800~900元
（B）900~1200元
（C）1200~1500元
（D）1500~2800元
（7）若，P=，Q=，R=，则
（A）RPQ
（B）PQ R
（C）Q PR
（D）P RQ
（8）已知两条直线，，其中为实数。当这两条直线的夹
（5）函数的部分图象是
（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所 得不超过
800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此 项税
款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
时，点P横坐标的取值范围是________。 （15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，
3，…），则它的通项公式是=________。
（16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方 体的面上的射影可能是_______。（要求：把可能的图的 序号都填 上）
三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明 过程或
（20）（本小题满分12分） 设函数，其中。 （I）解不等式； （II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。
（21）（本小题满分12分） 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的
底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求 出它的最大容积。
（22）（本小题满分14分） 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过
C、D关于轴对称。
——2分
依题意，记A，B，C，其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高。
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
，
。
——5分
设双曲线的方程为，则离心率。
由点C、E在双曲线上，得
——10分
由①得，代入②得。
所以，离心率。
——14分
（13）0.05 （14） （15） （16）②③
三、解答题
（17）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题 的能力。满分10分。
解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题 中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可 能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽到 选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；
解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为
由和，得， 设容器的容积为，则有
整理，得
，
——4分
∴
——6分
令，有
，
即，
解得 ，（不合题意，舍去）。
——8分
从而，在定义域（0，1，6）内只有在处使。由题意，若过小（接近
0）或过大（接受1.6）时，值很小（接近0），因此，当时取得最大值
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，
这时，高为。