第3课时整式
第3课时 多项式及整式
2.1整式第3课时多项式及整式一、新课导入1.课题导入：在前面我们学习整式第一节时，例2出现了式子3x÷5y÷2zlab-nr∖χ2+2χ+18.这些式子有什么特点呢？它们是单项式吗？它们叫做什么式呢？这节课就来学习一一多项式.(板书课题：多项式)2.三维目标：(1)知识与技能①通过本节课的学习，使学生掌握整式、多项式的项及其次数、常数项的概念.②知道整式和单项式、多项式的关系.(2)过程与方法通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知识的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新.(3)情感态度初步体会类比和逆向思维的数学思想.3.学习重、难点：重点：多项式的有关概念.难点：对多项式的项、次数概念的理解，并会确定多项式的项和次数. 二、分层学习第一层次学习1.自学指导⑴自学内容:教材第57页“思考”至第58页例4之前的内容.（2）自学时间:5分钟.（3）自学要求:认真阅读课文内容，重要的概念和提示做上记号，认真领会概念的含意，不清楚的地方可讨论.（4）自学参考提纲：①“思考”中五个代数式与上节课所学单项式有何区别？有加减法的运算②几个单项式的和叫做多项式；其中，每个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项.③多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.④单项式和多项式统称为整式.⑤3x+5y+2z, ；ab-Ji1分别是哪些单项式的和？它们的项和次数分别是什么？3x+5y+2z是单项式3x,5y,2z的和，它的项为3x,5y,2z,次数为1.Iab Jr2是单项式12ab,∙冗於的和,它的项为12ab,-nr2,次数为22.⑥多项式3χ2-2x+5有3项，它们是3x2、-2x、5,其中5是常数项.一个多项式含有几项，就叫几项式.例如，3χZ2x+5是一个二次三项式.⑦如果yx m-2xy+3x2-4是一个三次四项式，那么m =2.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：教师巡视课堂了解学生自学中存在的认识偏差和疑点a指出多项式的项时，是否带上它前面的符号；b.多项式的次数与单项式的次数有何区别？②差异指导：对个别学生或小组讨论中存在的问题进行点拨、引导.(2)生助生：引导学生相互交流帮助解决一些自学中的疑难问题.4.强化：(1)概念:多项式，多项式的项和项数，多项式的次数，整式.(2)注意事项：①多项式的次数不是所有项的次数之和；②多项式的每一项都包括它前面的符号.第二层次学习5.自学指导：⑴自学内容:教材第58页例4.(2)自学时间：5分钟.(3)自学要求：认真阅读课文，将你认为重要的过程或步骤或你认为不能理解的地方做上记号.(4)自学参考提纲：①圆的面积如何计算？π r2②圆环的面积与外圆、内圆的面积有什么关系？圆环的面积等于外、内圆面积之差.③如图(图中长度单位：Cm),列式表示钢管的体积.兀R2a-πr2a④求右下图阴影部分的面积.6.自学：同学们可结合自学指导进行自学.7.助学：(1)师助生：①明了学情:教师深入了解学生自学例4时，是否找到圆环面积的求法.②差异指导：对于个别不理解圆环面积算法的学生可指导用实物演示说明道理.(2)生助生：学生间交流互动，帮助解答疑点问题.8.强化：(1)列多项式时有时需要用到有关公式，有必要记住有关几何面积、体积公式，工程问题，行程问题，销售问题等问题中的相关数量关系.(2)求多项式的值的方法、步骤.三、评价L学生的自我评价(围绕三维目标)，让部分学生代表自我评价这节课的学习表现、收获与疑点.9.教师对学生的评价：（1）表现性评价:教师对同学们在本节课学习中的积极表现和存在的问题进行小结.（2）纸笔评价：课堂评价检测10教师的自我评价（教学反思）：本课时先复习了上一课时所学的用字母表示数量关系，通过题目的形式进行了展现，再由学生观察式子的共同特点，从而归纳出多项式的有关概念•因为学生已有单项式知识的经验，所以教学中要注重学生自主学习，充分让学生主动探究发现，培养学生主动学习的兴趣和能力，让学生充分感知多项式相关概念的形成过程，并及时通过练习巩固所学知识.«------------ 评价作业--------------- >一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50 分）L（Io分）几个单项式的和，叫做多项式;单项式和多项式统称整式.2.（10分）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是三次四项式，它的各项的次数者R 是3.3.（10分）单项式-xy2z3的系数和次数分别是（C）A.-l, 5B.0, 6C.-l, 6D.0, 54.（10分）多项式∙χ2∙12x∙l的各项分别是（B）A.-X2,-X,1B.-X2,--X,-12 2C.x2, ∣x,1D.以上答案都不对5.（10分）下列说法正确的是（D）A.1不是单项式B. 2是单项式 2a CX 的系数是O D.%殳是整式 26.（20分）如果一个多项式是五次多项式，那么（D ）A.这个多项式最多有六项B.这个多项式只能有一项的次数是五C.这个多项式一定是五次六项式D.这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五二、综合应用（每题15分，共30分）7.（10分）将下列代数式分别填在相应的集合中：-5a-Qb,-尹2 一2血当期」-1号 + L 单项式集合：：-. 多项式集合：：1 三、拓展延伸（20分）9. （10分）有一个多项式alθ-a9b+a8b2-a7b3+…，按这个规律写 下去:3 2 2 3整式集合： 8. （10分）填表(1)写出它的第六项、最后一项；(2)这个多项式是几次几项式？W： (I) -a5b5,b,°; (2)十次H^一项式.2.2整式的加减第3课时整式的加减一、新课导入1.课题导入：前面我们学习了合并同类项，去括号等知识，它们是进行整式加减运算的基础，这节课我们来学习整式的加减运算.(板书课题).2.三维目标：(1)知识与技能让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算.(2)过程与方法培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力.(3)情感态度认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.学习重难点：重点：熟练进行整式加减运算.难点：能运用整式加减运算解决简单的实际问题.二、分层学习第一层次学习4.自学指导：(1)自学内容:教材第67页例6的内容.(2)自学时间:6分钟.(3)自学要求:认真阅读课文，理解例6中两个算式的意义，尝试归纳出整式加减运算的解题步骤.(4)自学参考提纲：①第⑴题是计算多项式2x-3y和5x+4y的和;第(2)题是计算多项式8a-7b和4a-5b的差.这说明求几个多项式的和或差的运算时，每个多项式都要用括号括起来.②由例题可归纳出整式加减运算的一般步骤是怎样的？小组同学相互交流一下自己的见解.先去括号，再移项，合并同类项.③尝试解答下列问题，并相互展示自己的计算过程和结果.a.计算：5 (3a2b-ab2) -3(ab2+2a2b)原式二15a2b-5ab2-3ab2-6a2b=9a2b-8ab2.b.求;x-2(x-；y2)+(- ∣∙x+gy2)的值，其中χ=-2,y=∙∣.原式化简为y2∙3x.当x=-2, y=g,原式=(∣∙)2∙3X (-2) q.5.自学：同学们可结合自学指导进行自学.6.助学：(1)师助生：①明了学情:教师巡视课堂，了解学生是否掌握了去括号法则及自学参考提纲完成情况.②差异指导：对个别学生在法则认知上存在的问题或提出的疑点进行点拨和引导.(2)生助生：学生相互交流探讨来解决自学中的疑难问题.7.强化：(1)整式加减的一般步骤：先去括号，再合并同类项.(2)应注意的问题：①去括号时，不能漏乘括号前的系数，并注意符号的变化.②求值时，要先化简，并注意求值的书写格式.(3)练习：教材第69页“练习”的第1、2、3题.第二层次学习1.自学指导：(1)自学内容:教材第68页例7和例8.(2)自学时间:8分钟.(3)自学要求:认清例题中反映的条件，思考问题中要利用的数量关系，正确列出相关的代数式.(4)自学参考提纲：①例7有两种考虑问题的角度.第一种先求出小红和小明买这两种物品分别花费多少钱，再得出花费多少钱，这样可列出式子：(3x+2y) +(4x+3y).第二种先求出买笔记本和买圆珠笔分别花费多少钱，再得共花费多少钱,于是可列出式子：(3x+4x) +(2y+3y).②长方体共有几个面？都是什么形式？相对的两个面大小有什么关系？因此，在例8中，a.小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca) c∏Λ大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca)cm2.b.做两个纸盒共用料多少平方厘米?可列出式子：(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca).计算得8ab+10bc+8ca.c.做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米,可列出式子(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca).计算得4ab+6bc+4ca.2.自学：同学们可结合自学参考提纲进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情:教师巡视课堂了解学生的自学情况以及存在的问题. 注意在求多项式的和或差时，相应的多项式是不是没加括号.②差异指导：对个别学生在法则认知上存在的问题或提出的疑点进行点拨和引导.(2)生助生：学生相互交流探讨来解决自学中的疑难问题.4.强化：(1)集中讲解学生自学过程中存在的共性问题.(2)练习：甲村种植小麦a亩，种植水稻面积是小麦面积的2倍, 乙村种植小麦b亩，种植水稻的面积比小麦面积的3倍少200亩，求甲、乙两村两种作物的总面积是多少亩？解：甲村种植作物总面积为(a+2a)亩，乙村种植总面积为(b+2b-200)亩,所以甲、乙两村两种作物的总面积为(a+2a) +(b+3b-200)= (3a+4b-200)亩.三、评价1.学生的自我评价(围绕学习目标)：自我评价在本节课学习的收获和不足.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生在本节课学习中相关方面情况进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本课时是在学生掌握了合并同类项、去括号法则的基础上学习的，主要任务是通过探索性练习，引导学生总结归纳出整式加减的一般步骤，并应用其进行整式加减的准确运算，所以可采用以旧带新的方式，让学生在练习中熟悉法则，纠正错误，弥补不足.鼓励学生间互相交流，互相改正问题，充分体现学生自行解决问题的主体作用.◄ ----------- 评价作业--------------- >一、基础巩固(第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50 分)L (40分)计算：(1) (5a+4c+7b) ÷(5c-3b-6a)解：原式=5a+4c+7b+5c-3b-6a=-a+4b+9c(2)(8xy-x2+y2)-(x2-y2+8xy)解：原式二8xy∙χ2+y2-χ2+y2.8χy=∙2χ2+2y2(3)(2x2-l+3x)-4(x-x2+∣)解：原式二2χ2-1 +3X-4X+4X2-2=6X2-X--2 2(4)3X2- [7x-(4x-3)-2χ2]解：原式二3χ2-(7x-4x+3-2χ2)=3χ2-7x+4x-3+2χ2=5χ2-3x-32.(10 分)求(-x2+5+4x) +(5x-4+2χ2)的值，其中χ=-2.解：(-x2+5+4x)+(5x-4+2x2)=-x2+5+4x+5x-4+2x2=x2+9x+1当x=-2 时,原式=G2)2+9X(∙2)+1=4∙18+1=-13.3.(10分)已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-l,求这个多项式.解:这个多项式为(3χ2+4x∙ 1 )∙(3χ2+9x)=3χ2+4x∙ 1 -3x2-9x=-5x-l.二、综合应用（每题15分，共30分）4.（10分）窗户的形状如图所示（图中长度单位：Cm）,其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形,已知下部小正方形的边长是a cm,计算：（1）窗户的面积；（2）窗户外框的总长.解：（1）窗户的面积为：+4a2= π （cm2）（2）窗户的外框总长是：π a+2a×3= π a+6a=（ π +6）a（cm）2Λ三、拓展延伸（20分）6. （20 分）（1）一个两位数的个位上的数是a,十位上的数是b,列式表示这个两位数.（2）列式表示上面的两位数与10的乘积.⑶列式表示（1）中的两位数与它的10倍的和，这个和是11的倍数吗？为什么？解：(1) lOb+a； (2) 10(10b+a);(3) 1 Ob+a+10( 1 Ob+a)= 11(1 Ob+a),这个和是11 的倍数，因为它含有11这个因数.。
第3课时 整式
第3课时整式教学目标：1、了解代数式的概念，会列简单的代数式。
理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；2、理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；3、掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；4、能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算；5、掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。
重点难点：掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。
能正确地求出代数式的值教学设计：一、基础回顾：1．代数式的有关概念．(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．(3)代数式的分类2．整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析(3)多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．(4)同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即(++其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。
2023年人教版数学七年级上册2 第3课时 整式的加减课件优选课件
则B－A一定是（ ）
A.二次多项式
B.三次多项式
C.五次三项式
D. 五次多项式
4.多项式
与多项式
的
和不含二次项，则m为（ ）
5.已知 则
(1)－
5 3
ab3+2a3b－
9 2
a2b－ab3－
1 2
a2b－a3b
(2)(7m2－4mn－n2)－(2m2－mn+2n2)
(3)－3(3x+2y)－0.3(6y－5x)
2 3
2
6
4 9
6
4. 9
有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式
3a3b3－ 1 a2b＋b－（4a3b3－ 1 a2b－b2）＋（a3b3
＋
1
2
4
a2b）－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错
4
抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果
却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
第3课时 整 式
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注意：(1)只有同类项才能合并；
(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变． 整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 去括号 ，然后再
合并同类项 ．
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3．幂的运算法则 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝ am＋n (m，
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4．整式的乘除法 单项式与单项式相乘：把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a＋b＋c)＝ ma＋mb＋mc . 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ ma＋mb＋na＋nb .
n都为整数)． 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n＝ amn (m，n都为整数)．
积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab)n＝ anbn (n为整数)．
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同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝ am－n (a≠0，m，n都为整数)． 注意：不要把同底数幂的乘法与整式的加减相混淆，不要出现下面的错误：a2＋ a3＝a5.
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3．[2019·吉林]先化简，再求值：(a－1)2＋a(a＋2)，其中a＝ 2. 解：原式＝a2－2a＋1＋a2＋2a＝2a2＋1， 当a＝ 2时， 原式＝2×( 2)2＋1＝2×2＋1＝5.
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第3课时__整式学案__基训题目
第3课时 整式学案 基训题目1、同类项应满足下列两个条件:①所含的字母 ;②相同字母的指数也分别 .2、合并同类项就是把同类项的系数 ,所得的结果作为系数,字母和字母的指数 .3、去括号的法则是:括号前面是“＋”号,把括号和它前面的“＋”号去掉,括号内的各项都 ;括号前面是“－”号,把括号和它前面的“－”号去掉,括号内的各项都要 .4、添括号的法则是:所添括号前面是“＋”号,括到括号里的各项都 ,所添括号前面是“－”号,括到括号里的各项都 .5、整式的加减实质上就是“去括号”和“合并同类项”法则的综合运用,如果有括号,就 ,如果有同类项,再 .6、同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数 ,指数 .7、幂的乘方:幂的乘方:底数 , 指数 .8、积的乘方:先把积中的每一个因式分别 ,再把所得的结果 .9、同底数幂的除法:同底数幂相除,底数 ,指数 .10、零指数幂:不等于零的数的零次幂等于 . 即=0a (a ≠0).11、负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的 . 即 =-p a (a ≠0,p 是正整数).12、计算1092)21(⋅-=13、下列计算正确的是 ( ). （A)3232a a a =+ (B)a a 2121=- (C)623)(a a a -=⋅- (D)aa 221=- 14、下列计算中,正确的是 ( ). (A)842x x x =⋅(B)236x x x =÷ (C)532532a a a =+ (D)6234)2(x x =15、若3=m a ,2=n a ,则n m a +=16、利用乘法公式计算:()()n m n m 234234+--+17、计算:()()x y y x 5225---18、已知6,5-==+ab b a ,试求22b ab a +-的值19、计算:2011200920102⨯-20、已知4=+y x ，1=xy ，试求代数式)1)(1(22++y x 的值21、一个矩形的面积为ab a 322+,其宽为a ,试求其周长.22、试确定2011201075⋅的个位数字。
七年级数学 第3课时 整式的加减
R·七年级上册
新课导入
某学生合唱团出场时第一排站了n人，从第二 排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排， 则该合唱团一共有多少名学生参加？
解：n+(n+1)+(n+2)+(n+3) 化简得：4n+6
推进ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课
整式加减的一般步骤可以总结为： （1）如果有括号，那么先去括号 （2）如果有同类项，再合并同类项。
解：原式 5ab2 2a2b [3ab2 (4ab2 2a2b)] 5ab2 2a2b 3ab2 (4ab2 2a2b) 5ab2 2a2b 3ab2 4ab2 2a2b 4ab2 当a 3，b 0.5时，原式 4（ 3）（0.5）2 3
5.若代数式a²+2kab+b²-6ab+9不含ab项，求k的值
解：原式=a²+（2k-6）ab+b²+9 ∵代数式中不含ab项 ∴2k-6=0 即k=3
课堂小结
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两 个知识的综合。
2.整式的加减的一般步骤： ①如果有括号，那么先算括号。 ②如果有同类项，则合并同类项
3
5
2
xy 1 x2 y2 3 xy 1 x2 y2
3
52
(1 3)xy ( 1 1 )x2 y 2
5
32
2 xy 5 x2 y2 56
(2)x3 2x2 x 4,2x3 5x 6
解：(x3 2x2 x 4) (2x2 5x 6) x3 2x2 x 4 2x3 5x 6 3x3 2x2 4x 2
24年新人教版 4.1 整式(第3课时)
课堂检测
能力提升题
1.若
是关于x的一次式，则a
=___2__；若它是关于x的二次二项式，则a =__-_3_.
2.多项式
是关于a、b的四次三项
式，且最高次项的系数为－2，则x =_-_5__，y=__3__.
课堂检测
拓广探索题
已知多项式
是六次四项式，单项式
的次数与这个多项式的次数相同，求n 的值.
a
r
r
解：（1）L＝2a+2πr;
（2）花坛的面积是一个长方形的面积与
两个半圆的面积之和，即S=2ar+ πr2.
探究新知
素养考点 4 多项式的求值问题
例4 如图，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆n张桌子，可 同时容纳多少人？当n=20时，可同时容纳多少人？
1
1 2 …… 1 2 …… n
（1）
（2）
解：由题意得2+m+2=6，所以m=2.
又因为3n+4-m+1=6，即3n+3=6，所以n=1.
课堂小结
概念
几个单项式的和叫做多项式
多项式
概念 项
每个单项式叫做多项式的项
常数项 不含字母的项叫做常数项
次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这 个多项式的次数
整式：单项式与多项式统称整式．
课后作业
作业 内容
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，圆
环的面积为 πR2 πr2.
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积（单位： cm2）是
πR2 πr2 3.14152 3.14102 392.（5 cm2）
巩固练习
一个花坛的形状如图所示，花坛的两端是半径相等的半圆，求：
第3课时 整式
4．已知am＝2，an＝3，则am＋n＝________ ． 6
5．若a＋b＝5，ab＝4，则a2＋b2的值为________ ． 17
6 ．化简： (2 － 1)(2 ＋ 1)(2 2 ＋ 1)(2 4 ＋ 1) … (2 16 ＋ 1) ＋ 1 ＝
________ ． 232
1 7．计算：20142－2013×2015＝________ ． 15 8．已知ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是________ ．
形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部
分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积 的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持 不变，则a，b满足( B )
5 A．a ＝ b 2 7 C．a ＝ b 2
B．a＝3b D．a＝4b
图1－3－2 第3课时 整式
4x y ． 8．计算：(－2x y ) ＝________
2 3 2
4 6
33 ． 9．若 a－b＝5，ab＝4，则 a2＋b2 的值为________
第3课时
整式
┃考向互动探究┃ 类型题展 ► 类型之一 幂的运算
例1下列运算正确的是(
)
A．2a2＋a＝3a3
B．(－a)2÷a＝a D．(2a2)3＝6a6
A．2 B．3 C．5 D．0
第3课时
整式
3．已知3a＝5，9b＝10，求3a＋2b.
答案：50
4．已知x2－2＝y，求x(x－3y)＋y(3x－1)－2 的值．
答案：0
第3课时
整式
1 a －1 a ＋a 13．先化简，再求值： － 2 ÷ 2 ，其中 a＝－ 2a a －2a＋1 a －2a＋1 1 . 2
3.1 第3课时 整式
水结成冰后体积是多少?
9
10 x3 单项式，系数是 10 ，次数是 3 次。
9
9
(3) 如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、
高分别是 a，b，c。这个箱子露在外面的表面积是
多少？ ab + ac + bc
多项式，次数是 2 次。
(4) 某件商品的成本价为 a 元，按成本价提高 15% 标 价，后又以八折 (即按标价的 80% ) 销售，这件商品 的售价为多少元？
2. 判断正误：
（1）多项式 -x2y + 2x2 - y 的次数 2。（ × ）
（2）多项式 - 1 - a + 3a2 的一次项系数是 1。（ × ）
次数
4
23 1 3 3
1
总结 当单项式系数为 1 或 -1 时，“1”通常省略不写.
定义总结
多项式的相关概念： 1.每个单项式叫作多项式的项。 2.不含字母的项叫作常数项。 3.每一项次数是几就叫作几次项。
一次项 常数项
v - 2.5 (最高次项)
4.次数最高项的次数，叫作这 个多项式的次数。 5.多项式没有系数，但它的每
-n
a2h
0.8p
mn
3x + 5y + 2z x2 + 2x + 18
单项式
？
问题2：这些式子有什么特点？
v + 2.5 v - 2.5
3x + 5y + 2z x2 + 2x + 18
v + (-2.5)
都可以看作几个 单项式的和。
多项式的概念：
总结
多项式：几个单项式的 和 叫作多项式。
定义总结
第2章 2.1 第3课时 多项式及整式
3. 下列说法错误的是( C ) A．m 是单项式也是整式 B．12(m－n)是多项式也是整式 C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
4. 下列式子：①－x；②m＋3 n；③yx；④a2－b2；⑤－x42y； ⑥ 2x ＋ 3y. 其 中 属 于 单 项 式 的 有 _①__⑤___ ， 属 于 多 项 式 的 有 _②__④__⑥___，属于整式的有_①__②__④__⑤__⑥___ (填序号)．
8. 有一个多项式为 a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种 规律写下去，写出它的第六项和最后一项，这个多项式是几 次几项式？
解：第六项为：－a5b5； 最后一项为：b10； 这个多项式是十次十一项式．
9. 下表中的多项式①，②，③，…，是按照一定规律
排列的一列多项式．
序号 多项式
当 x＝－1 时，多项式的值
6. 填表．
多项式
项
次数 常数项
－2x2y－3x＋2y－
5
－2x2y，－3x，2y，－5 3
x5－2x3y3＋3x＋27 x5，－2x3y3，3x，27
6
4xy－1 5
45xy，－15
2
－5
27 －15
知识点 多项式的应用
7. 已知 a 是两位数，b 是一位数，把 a 接写在 b 的后
面，就成为一个三位数．这个三位数可表示成( C )
解：(2)因为 3x2－4x＋6＝9，所以 3x2－4x＝3，所以 x2 －43x＝1，故 x2－43x＋6＝7.
(3)将 x＝2，y＝－4 代入 ax3＋12by＋5＝2017，得 4a－b ＝1006，将 x＝－4，y＝－12代入 3ax－24by3＋2 得：－12a ＋3b＋2＝－3(4a－b)＋2，因为 4a－b＝1006，所以原式＝ －3×1006＋2＝－3016.
2.1 整式 第3课时 多项式及整式
目标二 能确定多项式的项和次数
例 2 教材补充例题 指出下列多项式的项和次数，并说出它是几 次几项式． (1)3xy－8； (2)2x2－3x＋1； (3)4x2y－5xy3＋2xy2－12.
解：列表解答如下：
多项式
(1)3xy－8
多项式的项 多项式的次数 几次几项式
3xy，－8
2 二次二项式
(2)2x2－3x＋1
解: (1)当a＝2，b＝－1时， (a－b)2＝[2－(－1)]2＝32＝9. (2)当a＝2，b＝－1时， (a＋b)(a－b)＝[2＋(－1)]×[2－(－1)]＝1×3＝3.
【归纳总结】用直接代入法求含字母的式子的值可以分三步： (1)“当……时”，即指出字母的值； (2)“原式＝……”，即代入所给字母的值； (3)计算． 注意：当字母的取值为分数或负数时，代入时要注意添加括号.
(4)区分多项式的次数与单项式的次数，不能误认为多项式 的次数是各个单项式的次数之和； (5)多项式的“项”与“项数”是两个不同的概念，“项” 是指组成多项式的单项式，包括它前面的符号，“项数”是 指项的个数．
目标二 能确定多项式的项和次数
例3 教材例4针对训练 当a＝2，b＝－1时，求下列含字母的式 子的值： (1)(a－b)2； (2)(a＋b)(a－b)．
总结反思
知识点一 多项式的概念
多项式：几个单项式的____和____叫做多项式．在多项式中， 每个单项式叫做多项式的____项____，_不__含_字__母_的_项______叫做常数
项．
次数最高项
多项式的次数：多项式里，_________的次数，叫做这个多项式的
次数．
知识点二 整式的概念 ___单__项_式____与__多_项__式_____统称整式． [点拨] 分母中含有字母的式子不是整式．
第3课时整式(定稿)课件
2S
S
1-
1
n2
，原式
3-
1
n2
错位相消法
2
2
精讲精练
练习：如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的
规律，根据此规律，最后一个三角形中 y 与 n 之间的关系是( ) B )
A. y＝2n＋1 C. y＝2n＋1＋n
B. y＝2n＋n D. y＝2n＋n＋1
(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1＝__1__.
拓展延伸 解析：
(a b)5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
225 5 24 10 23 10 22 5 2 1
25 5 24 （-1）10 23 （-1）2 10 22 （-1）3 5 21 （-1）4 （-1）5
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数
基础点巧练妙记
提分必练
10. 若2ambn和-3a3bcp是同类项，则m= 3 ，n= 1 ，p= 0 .
11. 一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2，则这个多项式为( C )
A. x2-5x+3 B. -x2+x-1 C. -x2+5x-3 D. x2-5x-13
. a b 1 0 b 2
（x y）2
7. |4+4x|+x2+2xy+y2=0，则(xy)2020= 1
4 4x 0 x 1
.
x
y
0
y 1
基础点巧练妙记
基础点 2 整式及其运算
第3课 整式与因式分解
解:原式=(x+y)(x-2y+3y)=(x+y)2 当y=ax时，原式=(1+a)2x2=x2,即(1+a)2=1, 解得：a=-2或0
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A.3,3
B.3,2
C.2,3
D.2,2
2.（2016.滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3） 则a，b的值分别是（ B ） A．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 B ．a=﹣2，b=﹣3 D．a=2，b=﹣3
3.（2014.广东）计算3a-2a的结果正确的是（ B ） A.1 B.a C.-a D.-5a
考点五：代数式求值
5.（2016•济宁）已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（ A ） A．﹣3 B．0 C．6 D．9 分析：将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行
计算即可．
考点六：整式的化简求值
6.（2016•济宁）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中
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题 真 导
航
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(m+2)(m-2) 1.（2016.广东）分解因式： m2-4=_____________ 2.（2015.广州）分解因式：2mx-6my= 2m(x-3y) __________
3. (2016.深圳) 分解因式：a2b+2ab+b2=__________ b(a+b)2 4. (2015.广东)（-4x）2=（ D ） A.-8x2 B.8x2 C.-16x2 D16x2
人教版七年级数学上册第3课时整式的加减课件
新课讲授
有括号要先去括号
4 5x2 3x 2x 7x2 3 有同类项再合并同类项 (5x2 7x2 ) (3x 2x) (4 3)
2x2 x 1.
结果中不能再有同类项
练一练：求上述两多项式的差.
答案： − 12x2+5x+7
新课讲授
任意写一个三位数
交换它的百位数 字与个位数字， 又得到一个数
两个数相减 你又发现什么了规律？
新课讲授
举例： 原三位数728，百位与个位交换后的数为
827,由728 －827= －99.你能看出什么规律并
验证它吗？
任意一个三位 数可以表示成 100a+10b+c
新课讲授
验证： 设原三位数为100a+10b+c，百位与个
却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.
解：将原多项式化简后，得－b2＋b＋3.
因为这个式子的值与a的取值无关，所以
即使把a抄错，最后的结果都会一样.
1.已知一个多项式与 则这个多项式是（A ）
的和等于
随堂即练
，
2.长方形的一边长等于3a+2b,另一边比它大a-b,那么 这个长方形的周长是（ A ） A.14a+6b B.7a+3b C.10a+10b D.12a+8b
1 整式的加减
新课讲授
如果用a，b分别表示一个两位数 的十位数字和个位数字，那么这个两 位数可以表示为： 10a+b .交换这个 两位数的十位数字和个位数字，得到 的数是： 10b+a .将这两个数相加：
结论：
这些和都是 11的倍数.
人教版七年级数学上册4.2第3课时整式的加减课件
4.(新独家原创)梯形的上底为(a+2b),下底为2(3a-2b),高为4, 则梯形的面积为 14a-4b .
解析 梯形的面积为 1 [(a+2b)+2(3a-2b)]×4
2
=2[(a+2b)+(6a-4b)]=2(a+2b+6a-4b) =2(7a-2b)=14a-4b.
5.(2023山东青岛市北期末)先化简,再求值:
2.(2023江西南昌期中)一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2,则这
个多项式为 ( A )
A.-x2+5x-3
B.-x2+x-1
C.x2-5x+3
D.x2-5x-3
解析 3x-2-(x2-2x+1)=3x-2-x2+2x-1=-x2+5x-3.故选A.
3.(易错题)(2024黑龙江明水期末)已知A=2x2-1,B=3-2x2,则B-2A = -6x2+5 . 解析 易错点:多项式相减时漏加括号. 由题意得B-2A=3-2x2-2(2x2-1) =3-2x2-4x2+2=-6x2+5.
2x2-3
12-3xx2 2,其32 中xy x=y22,y=-1.
解析 原式=2x2+ 3 x2-2xy+3y2-3x2=x2
2
2
当x=2,y=-1时,
-2xy+3y2,
原式= 4 -2×2×(-1)+3×1=2+4+3=9.
2
6.老师在黑板上写了一个正确的验算过程,随后用手掌捂住 了一个二次三项式: +x2-1=3x2-4x+5. (1)求被手掌捂住的二次三项式. (2)若-x2+2x=1,求手掌捂住的二次三项式的值.
黑龙江双鸭山人教版七年级数学上册2.1整式(第3课时)(26张PPT)
例 1:如图，用式子表示圆环的面积．当 R 15 cm，
r 10 cm 时，求圆环的面积（ π 取 3.14 ）．
解：外圆的面积减去内圆的面积就 是圆环 的面积，所以圆环的面积是 πR2 πr2 ．
当 R 15 cm ，r 10 cm 时， 圆环的面积（单位：cm2）是
πR2 πr2 3.14152 3.14102 392.5(cm2 )
1 x x2 按 的指数从小到大的顺序排列
（2）升幂排列：把一个x多项式按某一个字母的 指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多 项式按这个字母升幂排列。
练习：把多项式 3x2y 4xy2 x3 1
按 x 的降幂和升幂排列
按x 的降幂排列：x3 3x2 y 4xy2 1 按 x 的升幂排列：1 4xy2 3x2 y x3
例3
如图，文化广场上摆了一些桌子，若并排
摆 n 张桌子，可同时容纳多少人？当 n 20
时，可同时容纳多少人？
1
1 2 …… 1 2 …… n
（1）
（2）
（n）
解：41 2 ，42 2 ，… ，4n 2 ．
当 n 20 时，4n 2 4 20 2 82
多项式的排列
例2：已知－5xm＋104xm+1－4xmy2是关于x、y 的六次多项式，求m的值，并写出该多项式. 分析：该多项式最高次项为－4xmy2，其次数为 m＋2，故m＋2=6.
解：由题意得m＋2=6，所以m=4.
所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
归纳总结：解题的关键是弄清多项式次数是多 项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列 出方程，求出m的值.
2.1 整式 （第3课时）
教学课件：第3课时-整式的除法
例如，$(2x^2) div (3x) = frac{2}{3}x$。
多项式除以单项式
总结词
多项式除以单项式，先把这个多 项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加。
详细描述
例如，$(2x^2 - 3x) div (3x) = frac{2}{3}x - 1$。
多项式除以多项式
总结词
详细描述
设计一系列简单的整式除法题目，如单 项式除以单项式、多项式除以单项式等 。
进阶练习题
总结词：提高学生的整式 除法运算能力和对复杂问 题的解决能力。
详细描述
设计一些涉及多个步骤和 技巧的整式除法题目，如 多项式除以多项式、分式 的约分等。
老师提供指导和提示，帮 助学生找到正确的解题思 路。
鼓励学生分组讨论，共同 解决问题。
数学与其他学科的联系
在物理学中，整式除法被广泛应用于解决力学、电磁 学、光学等领域的问题。在化学中，整式除法被用于 描述化学反应速率和平衡常数等。在生物学中，整式 除法被用于描述细胞生长和繁殖等生物过程。
数学作为一门基础学科，与其他学科有着密切的联系 。整式除法作为数学中的基本运算之一，也与其他学 科有着广泛的联系。
教学课件：第3课时-整式的除法
目录
• 引言 • 整式除法的定义和性质 • 整式除法的运算规则 • 整式除法的实际应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
整式的除法
本课时主要讲解整式的除法运算，包 括单项式除以单项式、多项式除以单 项式以及多项式除以多项式等。
整式除法的意义
整式除法在数学中有着广泛的应用， 如代数方程的求解、函数的分析等。 掌握整式的除法对于提高学生的数学 思维和解题能力具有重要意义。
2.1 整式(第3课时)课件(新人教版七上)
归纳：
多项式定义：几个单项式的和叫做多项式. 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项
叫做常数项．
多项式v－2.5的项是v与－2.5，其中－2.5是常 数项． 多项式x2+2x+18的项是x2，2x与18，其中18是 常数项．
归ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多
项式的次数．
如多项式 v 2.5 中次数最高项是一次项 v， 这个多项式的次数是１．
（1 ） a ，b分别表示长方形的长和宽，则长方形的
周长 l＝ 2(a b)，面积 ＝
s
ab ，当 a ＝2 cm，
b ＝3 cm时， l ＝
10 cm ， s＝
6 cm 2 ；
a，b 分别表示梯形的上底和下底， h 表示 （2 ）
1 ( a b )h 梯形的高，则梯形面积 s ＝ 2 ，当
2 010
n 1 n a 第n项是 ． n
【课堂小结】
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）请你举例说明多项式的概念、多项式的
项和次数的概念. （3）请你举例说明整式的概念.
【布置作业】 教材中第58页练习的第2题， 习题2.1的第3题，第5题，第6题.
2 2
r 10 cm 时，圆环的面积 当 R 15 cm ，
（单位：cm2）是
πR πr 3.14 15 3.14 10
2 2 2
2
392.5
这个圆环的面积是392.5 cm2 ．
例２ 如图，文化广场上摆了一些桌子，若并排 摆 n 张桌子，可同时容纳多少人？当 时，可同时容纳多少人？ 1
它的项和次数吗？
（2）请你写出一个二次三项式，并使它的二次
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第3课时整式
1.下列运算正确的是()
A ．a ·a 3＝a 3
B ．2(a －b)＝2a －b
C ．(a 3)2＝a 5
D ．a 2－2a 2＝－a 2 2.下列运算正确的是()
A ．3x －2x ＝x
B ．2x ·3x ＝6x
C ．(2x)2＝4x
D ．6x ÷2x ＝3x 3.下列运算正确的是()
A ．(－ab 2)3÷(ab 2)2＝－ab 2
B ．3a ＋2a ＝5a 2
C ．(2a ＋b)(2a －b)＝2a 2－b 2
D ．(2a ＋b)2＝4a 2＋b 2 4．计算(a 3)2的结果是( )
A ．a 9
B ．a 6
C ．a 5
D ．A
5.．计算2xy 2＋3xy 2
的结果是( )
A ．5xy 2
B ．xy 2
C ．2x 2y 4
D ．x 2y 4： 6．下列运算中，正确的是( )
A ．3a ＋2b ＝5ab
B ．2a 3＋3a 2＝5a 5
C ．3a 2b －3ba 2＝0
D ．5a 2－4a 2＝1 7.下列计算，正确的是( )
A ．x 3·x 4＝x 12
B ．(x 3)3＝x 6
C ．(3x)2＝9x 2
D ．2x 2÷x ＝x
8.在下列单项式中，与2xy 是同类项的是( ) A ．2x 2y 2 B ．3yC ．xy D ．4x 9.若3×9m ×27m ＝311
，则m 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．若(m －n)2＝8，(m ＋n)2＝2，则m 2＋n 2＝( )
A ．10
B ．6
C ．5
D ．3
11.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（b a >）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A.
222()2a b a ab b +=++ B.222
()2a b a ab b -=-+ C.22()()a b a b a b -=+- D.22
(2)()2a b a b a ab b +-=+-
12.若54,32==y x ，则y
x 22
-的值是（ ）
A.53
B. -2
C. 5
53 D. 56 13.下列各组中是同类项的是（ ） A 、b a 2与2ab B 、abc 3-与2abc C 、232m n 与323n m -D 、22x b 与 14.z y x -+-的相反数是（ ） A 、z y x -+B 、z y x --C 、z y x +-
D 、z y x +--
15.7
32y x -的系数是，次数是；z y x 2343-的系数是，次数为.
16.522-+-ab b a 为次项式，常数项是.
17.多项式
5324
25+-y x x 是次项式，它的最高次顶的系数为. 18.若a y x 23与
y x b 1
+-是同类顶，则=-b a 3. 19.化简()()b a b a 54278---=；(2a ＋1)(2a －1)－4a(a －1)=． 20.计算(x －3)(x ＋2)=________；=÷3757128y x z y x ________． 21.计算： ()()b a a b a b 2352-++＝________．
22．先化简，再求值：2a(a ＋2b)－(a ＋2b)2
，其中a ＝－1，b ＝ 3.
23．已知a ＋b ＝－2，求代数式(a －1)2＋b(2a ＋b)＋2a 的值．
24.先化简，再求值：(3－x)(3＋x)＋(x ＋1)2.其中x ＝2.
第4课时整式乘法与因式分解
a
图2
图1
4
22396n n m mn --1、计算(
)2
32a
-的结果是（ ）
A 、52a
B 、54a
C 、62a -
D 、64a 2、下列运算正确的是（）
A 、3-= 3
B 、2
1)2
1
(-=--C 、()
53
2a a =D 、2632a a a =⋅
3、下列计算正确的是（ ）
A 、532x x x =+
B 、632x x x =⋅
C 、532)(x x =
D 、235x x x =÷ 4、若1632793=⨯⨯m m ，则m 的值为（ ）
5、若43=x ,79=y
，则y x 23-的值为（ ）
A 、74
B 、47
C 、3-
D 、72
6、下列计算正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
7、分解因式2x 2
—4x+2的结果是 ( )
A 、2x(x －2)
B 、2(x 2－2x+1)
C 、2(x －1)2
D 、(2x －2)2 8、下面的多项式中，能因式分解的是（） A 、B 、C 、D 、 9、已知（m ﹣n ）2=8，（m+n ）2=2，则m 2+n 2=（ ） A 、10B 、6C 、5D 、3 10、若2294y mxy x +-是完全平方式，则m 的值是（ ） A 、12B 、-6C 、6±D 、±12 11、计算：(
)
1293
b a b
a m n =，则m =，n =.
12、计算：)2()1)(3(-+-+a a a a =；()(
)
2
132-+-=.
13、化简()()2
111a a a -++-=.
14、化简：=.
15、分解因式：； .
16、因式分解：=； =.
17、已知31=-x x ，则221x x +的值是.计算：()
=⨯⎪
⎭
⎫
⎝⎛2003
2002
5.132
18、))((22a ax x a x ++-的计算结果是.
计算
19、()()
3
32
3223c ab b a -⋅- 20、()27338881999320
4-+÷-⨯-
21、y x y x x y xy y x x 232223)]()([÷--- 22、()()3232-++-y x y x
因式分解
23、
24、4422-+-b b a 25、
26、 27、()()9432
-+++x x x
简便计算（每个4分）
（1）、()33331329⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-（2）、()()9
13712538321125.0⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
236
(2)8x x =623a a a ÷=222326a a a ⋅=01()303
⨯=n m +212+-m m n m -2122+-m m )41()()(22b a b a b a -+--+=-a a 422______92=-x 2
2a b ab b ++22x x +-a a 322
-1272+-x x。