2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十章圆锥曲线(含解析)

合集下载

2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章第2节排列与组合

高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(
m (3)若组合式 Cx ＝ C n n ，则 x＝m 成立．(
)
(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )
高三一轮总复习
3 B [当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 C1 A 2 4
＝48 个；当五位数的万位为 5 时，个位可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 C1 3 A3 4＝72 个，所以比 40 000 大的偶数共有 48＋72＝120 个．]
高三一轮总复习
法二(间接法)：从 9 人中选 3 人有 C3 9种方法，其中甲、乙均不入选有 C3 7种方法，
3 ∴满足条件的选排方法有 C3 9－C7＝84－3，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边(A，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
高三一轮总复习
3．(2016· 四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( A．24 C.60 ) B.48 D.72
D [第一步，先排个位，有 C1 3种选择；第二步，排前 4 位，有 A4 4种选择．
4 由分步乘法计数原理，知有 C1 · A 3 4＝72(个)．]
(2)(2017· 北京西城区质检)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种. 【导学号：01772381】

【高三数学试题精选】2018年高考真题理科数学直线与圆归类汇编

2018年高考真题理科数学直线与圆归类汇编
5 5）2＋2=9外，且对c1上任意一点，到直线x=﹣2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值
（Ⅰ）求曲线c1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,0)（0≠±3）为圆c2外一点，过P作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点A，B和c，D证明当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，c，D的纵坐标之积为定值
【解析】（Ⅰ）解法1 设的坐标为，由已知得
，
易知圆上的点位于直线的右侧于是，所以
化简得曲线的方程为
解法2 由题设知，曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为
（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为于是
整理得
①
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
②
由得③
设四点A,B,c,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以
④。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第二章函数 Word版含解析

第二章函数第一节函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无题型11 同一函数的判断——暂无题型12 函数解析式的求法题型13 函数定义域的求解题型14 函数值域的求解第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是．解析易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．解析由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况．在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分．且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点，因而方程解的个数为8个．故填8．第三节二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关解析函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟，即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号），所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =，()h x=222x x +=…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ．解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x+>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…，解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg 3lg10361lg 380x =-=⨯-，即93.28x =，所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx =3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x =，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m =的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x =-与y m =有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第十章

10．3 几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝_____________．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．自查自纠1．均等的2．长度面积体积几何概率模型几何概型3.构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34解：由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，由几何概型知所求概率为2040＝12.故选B.已知球O是正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点M，点M在球O内的概率是( )A.π4B.π6C.π8D.π12解：记正方体的边长为a，则所求概率为P＝V球V正方体＝43π·⎝⎛⎭⎪⎫a23a3＝π6.故选B.(2016·全国卷Ⅱ)从区间随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解：由题意可知(x i，y i)(i＝1，2，…，n)在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝mn，所以π＝4mn.故选C.( (解：设阴影部分的面积为S ，则118.为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图，不妨在过等边三角形作垂直于直径的弦，当弦为时，就是等边三角形的边长，弦长大于到弦的距离小于12，由几何概型公式得： (1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2，π2上随机取一个数内任取一点的面积大于14的概率；到原点的距离小于1的概率．解：①如图，取线段BC ，AO 的中点EF 上时，S △APB ＝所在的区域为矩形OFEC (阴影部分矩形OFEC 正方形OABC ＝12.所以符合条件的点轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是在如图所示平面直角坐标系下，(xπ≤a≤π，-π≤bπ)2＝4π2.为“函数f(x)＝x2＋2axP(A)＝A的面积Ω的面积＝＋（24-2）2×12＝506.5 ABCDA解：在直角三角形B1EF中，因为斜边255a，B1F＝5a5.根据几何概型概率公式，得由题意，设输出数对(x ，y )的概率为所表示的平面区域与不≤1，所表示的平面区域面积的比．如图所示，所求概率P ＝π×122×2＝π4. 【点拨】本题是以程序框图、线性规划为背景，考查以面积为度量的几何概型．列出条件，画出图形，计算面积是解决此题的关键．集合A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x -y ＋1≥0，x ＋2y ＋2≥0}）|x 2＋y 2≤1，从集合B 中任选一个元素，中元素的概率是____________．解：作图可知，集合A 中的点构成如图三角形部，而集合B 构成单位圆圆面，且该三角形恰在单位圆内，故结合几何概型知识可知所求概率为三角形面积与圆面积之比，容易求得两直线交点坐标为y x2表示“随机向正方形内投点，所投的点记录做了多少次投点试验，用计1．几何概型与古典概型的关系中的测度定性为线段长度，当∠满足条件的点M 等可能的分布在线故所求概率等于CM 0CB ＝33.例作射线与线段CB 相交，这样的射线有均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝°°＝23.科学设计变量，数形结合解决问题．某人午觉醒来，发现表停了，求他等待时间不多于某人午觉醒来，发现表停了，×2＝2，S △BCE ＝122-14＝74.故由几何概型得，所求的A 作AH ⊥BC ，垂足为cos60°＝2cos60M ，则在Rt △ABM 2.由图可知，要使△只能在线段BH 或线段＋26＝12.故选C .ABC 内一点，PB →＋将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△____________．＋2PA →＝0，所以＝2PD →，所以-2PA →的中点．＝12S △PBC ＝14S △ABC ，P ＝S △PAC S ＝14.故填用几何概型，化概率为角度之比有公共点，则射线AP BAC BAD ＝30°90°＝13.故填13．如图所示，在边长为1的正方形x ，y ，1为边长能构成锐角三角形＋y >1得构成三角形的点内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角-12＞0，x 2＋y 2＞为半径的圆外．所以点围成的区域内．所以其概率为：·山东一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴图中四个阴影部分均为扇形，°，边界忽略不计)即为中奖．的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )| 1≤x ≤6，1≤y ≤6且-2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD ＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25-12×2×4＝21，故a ·b <0的概率为2125.已知Ω＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4-x 2，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4-x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-22π，1，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1D ．解：如图，由题意得m ≥0，根据几何概型的意义，知P (M )＝S 弓形S 半圆＝S 弓形2π，又P (M )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-22π，1，所以S 弓形∈，直线y ＝mx ＋2m 恒过点(-2，0)，当m ＝0时，S 弓形＝2π，当m ＝1时，S 弓形＝14×π×22-12×2×2＝π-2，结合图象可知0≤m ≤1.故选D .。

[精品]2018高考数学理科(通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十章圆锥曲线和答案

第十章圆锥曲线第一节椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆22194x y +=的离心率是（）.23 D. 594.解析由椭圆方程可得，229,4a b ==，所以2225c a b =-=，所以3a =，c =，3c e a ==.故选B ． 5.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；5.解析（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． 6.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；6.解析（1）由题意知ce a ==，22c =，所以a =1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.7.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；7. 解析（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）.A ．3B ．3C ．3D ．138．解析因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d等于半径，即d a =，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =，所以c e a ==故选A.题型115 椭圆焦点三角形——暂无第二节双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线221y x m-=的离心率为，则实数m =_________.9. 解析 =2m =. 10.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为若经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）.A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 10.解析由题意得a b =，41c=--，所以4c =.又因为22216c a b =+=，所以28a =，28b =，则双曲线方程为22188x y -=.故选B.11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）.A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=11．解析因为双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =①又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①,②，解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是．12.解析双曲线的渐近线方程为y x=，而右准线为32x=，所以3,22P⎛⎝⎭，3,22Q⎛-⎝⎭，从而1214222F PF QS⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭13（2017山东理14）.在平面直角坐标系xOy中，双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的右支与焦点为F的抛物线()220x py p=>交于,A B两点，若4AF BF OF+=，则该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析设()(),,,A B B BA x yB x y，由题意得||||4222A B A Bp p pAF BF y y y y p+=+++=⨯⇒+=.又22222222221202x ya y pb y a ba bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A Bpby y pa+==a⇒=，从而双曲线的渐近线方程为y x=.题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）. A．2 B．C．D14．解析取渐近线by xa=，化成一般式0bx ay-=，圆心()20，到直线=，得224c a=，24e=，2e=．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若60MAN∠=，则C的离心率为________.15. 解析如图所示，OA a=，AN AM b==.因为60MAN∠=，所以AP=，OP==从而tanAPOPθ==.又因为tan baθ=，所以ba=，解得223a b=，则e=题型119 双曲线的焦点三角形第三节抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px=：过点()11P，.过点12⎛⎫⎪⎝⎭，作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；16.解析（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-. 17.（2107全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．17．解析由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF=，且MNMF=，所以6NF NM MF =+=.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无18.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE+的最小值为（）.A ．16 B ．14 C ．12 D ．1018. 解析解法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以2122224424k AB x x p k k +=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当1k =± 时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ，2AK 垂直x 轴于点2K ，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以cos AF p AFθ⋅+=，即1cos pAF θ=-，同理1cos p BF θ=+，所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.而24y x =，即2p =，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=时取等号，即AB DE +的最小值为16.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无第四节曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程； 19．解析（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又NM ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上，所以221x +=，即222x y +=．第五节直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．20解析（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=．（2）由（1）知()11,0F -，()21,0F ．设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>．当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符．当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y --，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①②，解得20001,x x x y y =-=-，所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上，由对称性得20001x y y =±-，即22001x y -=或22001x y +=．又点P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为⎝⎭． 21.（2017北京理18）已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点.21.解析（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =-. （2）解法一：由题意，设直线l 的方程为()102y kx k =+≠，l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=.则1221kx x k -+=，12214x x k =.因为点P 的坐标为()1,1，所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y .因为直线ON 的方程为22y y x x =，所以点B 的坐标为2112,y x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420kk k k x --⨯+==，所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.解法二：要证A 为BM 的中点，且,,A B M x x x 相同，只需证2A M B y y y =+，等式两边同时除以M x ，则有2OA OM ON k k k =+.因为1221121*********11++22OM ONkx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+=== ()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又1OA OP k k ==，所以等式成立，即M 为OB 的中点. 题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △求直线AP的方程.22.解析 (1)依题意设点F (,0)c -，由题意知21==a c e ，且2pa =.由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -=，则12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b a c =-=.从而椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.(2)由于准线l 的方程为1x =-，依题意设),1(t P -(0≠t )，则),1(t Q --.因为)0,1(A ，则2tk AP -=，得直线AP 的方程为()12t y x =-- ① 将①式代入方程34322=+y x 中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点),(00y x B ，由韦达定理得332200+-==t t x x x A ，则()0023123t t y x t =--=+，即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则t t k BQ 262+=，于是得直线BQ 方程为26(1)2t y t x t ++=+. 令0=y ，解得6622+-=t t x ，即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.则612661||222+=+--=t t t AD ，211226APD S t t ==⋅⋅+△，化简得(2||0t =，即得6±=t .代入①式化简得直线AP 方程为330x -=，或330x -=. 23.（2017山东理21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图所示，动直线l：1y k x =-E 于,A B 两点，C 是椭圆E上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M的半径为MC ，OS ，OT 是M的两条切线，切点分别为S ，T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时，直线l 的斜率.23.解析（1）由题意知 ce a ==，22c =，所以 a =1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设点()()1122,,,A x yB x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 整理得()22114210kx x +--=，由题意知0∆>，且121x x +=()12211221x x k =-+，所以121AB x =-，由题意可知圆M的半径123r AB==由题设知12k k =21k=，因此直线OC 的方程为1y=.联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OC r令2112t k =+，则()11,0,1t t >∈，因此1OC r ===，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin22SOT ∠…，因此26SOT ∠π…，所以SOT ∠的最大值为3π.综上所述，SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 24．解析（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1. ①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =，则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题——暂无25. （2017全国2卷理科20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 25．解析（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又NM ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上，所以2212x +=，即222x y +=．（2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–12P ⎛ ⎝⎭，，412P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.26. 解析（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=22228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--. 当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．题型129 定值问题题型130 最值问题——暂无27. （2107浙江21）如图所示，已知抛物线2x y =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，抛物线上的点(),P x y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求PA PQ ⋅的最大值.27.解析（1）设直线AP 的斜率为k ，已知1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(),P x y ，则21114411222y x k x x x --===-++.因为1322x -<<，所以111x -<-<，所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）因为直线AP ⊥BQ ，且3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<，2Q PQ x -+=-=，11k -<<，所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<，令()()()311,11f k k k k =--+-<<，因为()()()2421f k k k '=--+，当112x -<<时，()0f k '>，当112x <<时，()0f k '<，所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因此当12k =时，PA PQ ⋅取得最大值2716.。

2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(北京卷,参考解析)

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2x1}，B={x |x–1或x3}，则AB =（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x1} （D ）{x |1x3}【答案】A【解析】{}21A Bx x =-<<-I ，故选A.（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1）（B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞）（D ）（–1，+∞）【答案】B【解析】()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩ ，解得：1a <-，故选B.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C.（4）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=r r，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r rr r，反过来，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第四章三角函数 Word版含解析

第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45 三角函数定义题——暂无题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减解析函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()c o 23s i n 22s i n 26fxx x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-1sin cos 22x x ωω⎫=-=⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ．解析解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称，则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 339αβ⎛-=+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o s x t =且[]01t ∈，，214y t =-++21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1． 4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()c o 23s i n 22s i n 26fxx x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ，过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG=40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=，于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析（1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7214c A C a ==⨯=. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=. 3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析（1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=，所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为3+4.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析（1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-．因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析（1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =. （2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??，所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πC B D B D C??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十六章选讲内容 Word版含解析

第十六章选讲内容第一节极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1、（2017天津理11）在极坐标系中,直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________、 1、解析直线14sin 1022ρθθ⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=,由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=,得其直角坐标方程为222x y y +=,即()2211x y +-=,则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<,知直线与圆相交,得它们的公共点的个数为2、2、（2017北京理11）在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为()1,0,则AP 的最小值为___________、2、解析由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,化为普通方程为222440x y x y +--+=, 即()()22121x y -+-=,由圆心为()1,2,P 为()1,0,则AP 最小值为1、故选D 、3、（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值． 3．解析（1）设()()00M P ρθρθ，，，,则0||OM OP ρρ==，．由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,解得4cos ρθ=,化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠、（2）联结AC ,易知AOC △为正三角形,||OA 为定值．所以当高最大时,AOB △的面积最大,如图所示,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于点H ,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大, max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2、题型161 直角坐标方程化为极坐标方程题型162 参数方程化普通方程4、（17江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数）,曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．4、解析直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上,设()22P s ,从而点P 到直线l的距离224s d +==当s =,min 5d =．因此当点P的坐标为()4,4时,曲线C 上点P 到直线l5、（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数、（1）若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l求a 、5、解析（1）当1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程为2219xy +=、联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，、（2）直线l 一般式方程为440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos sin p θθ，．则点P 到l的距离d ==其中3tan 4ϕ=．依题意得max d 解得16a =-或8a =、6、（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数）,直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3cos sin 0l ρθθ+=：,M 为3l 与C的交点,求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ① ()21:2l y x k=+ ② ⨯①②,消k 可得224x y -=,即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠、⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y+=,联立2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,解得ρ=即M．题型163 普通方程化参数方程——暂无题型164 参数方程与极坐标方程的互化——暂无第二节不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式7、（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++,()11g x x x =++-、（1）当1a =时,求不等式()()f x g x …的解集；（2）若不等式()()f x g x …的解集包含[]–11，,求a 的取值范围、 7、解析（1）当1a =时,()24f x x x =-++为开口向下,对称轴为12x =的二次函数, ()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，剟,当(1,)x ∈+∞时,令()()f x g x 単,即242x x x -++…,解得x ⎛∈ ⎝⎦、当[]11x ∈-，时,令()()f x g x 単,即242x x -++…,解得[]1,1x ∈-．当()1x ∈-∞-，时,令()()f x g x 単,即242x x x -++-…,解得x ∈∅．综上所述,()()f x g x …的解集为1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立,即220x ax --≤在[]11-，恒成立, 则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩……,解得11a -剟．故a 取值范围是[]11-，． 8、（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x …的解集；（2）若不等式()2–f x x x m+…的解集非空,求m 的取值范围．8．解析（1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩……、由()1f x …,可得①当1x -…时显然不满足题意； ② 当12x -<<时,211x -…,解得1x …； ③ 当2x …时,()31f x =…恒成立、综上,()1f x …的解集为{}1x x …、 ⑵不等式()2f x x x m -+…等价于()2f x x x m -+…, 令()()2g x f x x x =-+,则()g x m …的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦…、而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩……、①当1x -…时,()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时,()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x …时,()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦、综上所述,()max 54g x =⎡⎤⎣⎦,故54m …、题型166 不等式的证明题型167 函数单调性在证明不等式中的应用题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无9、（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明：8ac bd +…．9、解析由柯西不等式可得()()()22222ac bd a bcd +++…,因为224a b +=,2216c d +=,所以()264ac bd +…,因此8ac bd +…． 10、（2107全国2卷理科23）已知0a >,0b >,332a b +=,求证：（1）()()554a b a b ++…；（2）2a b +…．10．解析（1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥,即1a b ==时取等号．（2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…,所以()38a b +≤,即2a b +≤,当且仅当1a b ==时等号成立．。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第六章数列(含解析)

7
4 ，因此 S6 1 q 3 9 ，得 q 2 ．
63
S3
4
又 S3 a1 a2 a3 a1 1 q q2
7a1
7 4 ，得 a1
1 4 ，所以 a8
a1q7
32．故填 32 ．
7
S3
解法二（由分段和关系）：由题意
4
，所以 q3 8 ，即 q 2 ．下同解法一．
S6 S3 q3S3 63 4
n1
2
6a1 15d 48
②
① 3 ② ，得 21 15 d 24，即 6d 24 ，所以 d 4 .故选 C.
3.（ 2017 全国 2 理 3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上
2 12
2 23
2
2
111
21
nn 1 nn 1
2 23
，
1 11 1 n1 n n n1
1 21
n1
2n .
n1
题型 70 判断或证明数列是等差、等比数列
1. （ 2017 江苏 19 ）对于给定的正整数 k ，若数列 an 满足
an k a 1 n k
a1 n a1 n + aan k n2 kk 对a任n 意正整数 n n k 总成立，则称数列 an 是
第六章数列
第一节等差数列与等比数列
题型 67 等差（等比）数列的公差（公比）
1.(2017 北京理 10)若等差数列
an 和等比数列 bn 满足 a1

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第八章立体几何(含解析)

第八章立体几何第一节空间几何体及其表面积和体积题型85 空间几何体的表面积与体积1.（2017江苏6）如图所示，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是．1.解析设球O 的半径为r ，由题意212V r r =π⋅，3243V r =π，所以1232V V =．故填32．2．（2017天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .2.解析设正方体的边长为a ，则226183a a =⇒=.外接球直径为正方体的体对角线，所以23==R ，344279πππ3382==⨯=V R . 3.（2107全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______.3.解析由题意，联结OD ，交BC 于点G ，如图所示，则OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比.设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h ，2132ABC S x =⋅⋅=△，则13ABC V S h =⋅△令()452510f x x x =-，50,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，当()0f x '<，得522x <<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.故()()280f x f =≤，则V =，所以体积的最大值为3.题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离4.（2107全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）. A ．πB ．3π4C ．π2D ．π44．解析如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径r =23ππ4V r h ==.故选B.题型87 几何体的外接球与内切球第二节空间几何体的直观图与三视图题型88 斜二测画法与直观图——暂无题型89 空间几何体的三视图5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）.A.π12+ B. π32+ C. 3π12+ D. 3π32+5.解析由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积为()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，三棱锥体积为211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+．故选A ．6.（2017全国1卷理科7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）.A.10B.12C.14D.166. 解析由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面， ()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯.故选B.7.（2107全国2卷理科4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）. A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π7．解析该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，如图所示． 2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.8.（2017北京理7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）.A. B.23 C.2D.28. 解析几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即l ==.故选B.9.（2017山东理13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.9. 解析该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+．第三节空间点、直线、平面之间的位置关系题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” ——暂无题型91 截面问题——暂无10.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．AC A 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ10.解析（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ，过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG=40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=，于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ，故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．题型92 异面直线的判定——暂无第四节直线、平面平行的判定与性质题型93 证明空间中直线、平面的平行关系11.（2107浙江19（1））如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点.（1）证明：//CE 平面PAB .11.解析（1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=E F B C ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN F DBCEA12.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD AC ⊥．ABDCEF12.解析（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥.A BCDPE又AB AD ⊥，BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.13.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；EM DCBAP13．解析（1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA 的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB.题型94 与平行有关的开放性、探究性问题第五节直线、平面垂直的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系14.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD AC ⊥．ABDCEF14.解析（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.15.（2017全国1卷理科18（1））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. (1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；DCBAP15. 解析（1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P =，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .16.（2017全国3卷理科19（1））如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；16．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO . 因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形，从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，OB = 所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥. 由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无第六节空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算题型98 空间角的计算17.（2017全国2卷理科10）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）. ABCD17．解析设M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 的中点，则1AB 和1BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）.可知112MN AB ==，112NP BC ==取BC 的中点Q ，联结,,PQ MQ PM ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，12MQ AC =. 在ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，即AC，则MQ ，则在MQP △中，MP =.在PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MN NP +-∠=⋅⋅222+-==. 又异面直线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，．故选C.18.（2107山东理17）如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G 是DF 的中点.（1）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（2）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.18.解析（1）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，ABAP A =，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥.又120EBC ∠=︒，所以30CBP ∠=︒.（2）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A ，(2,0,0)E，G，(C -，则(2,0,3)AE =-，AG =，(2,0,3)CG =.设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量，由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，可得11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取12z =，可得平面AEG的一个法向量(3,2)m =. 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量，由00AG CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，可得22220230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取22z =-，可得平面ACG的一个法向量(3,2)=-n . 从而1cos ,2⋅==⋅m n m n m n ，易知二面角E AG C --为锐角.因此所求的角为60︒.19.（2017江苏22）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB AD ==，1AA =120BAD ∠=︒．（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值；（2）求二面角1B A D A --的正弦值．A 1B 1C 1D 1ABCD19.解析在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC 于点E ．因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AE ⊥，1AA AD ⊥．如图所示，以{}1,,AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．BB y因为2AB AD ==，1AA =120BAD ∠=︒．则()0,0,0A，)1,0B -，()0,2,0D，)E，(1A，1C ．（1）(13,1,A B =-，(13,1,AC =，则111111cos ,A B ACA B AC A B AC⋅=1,177-⋅==-．因此异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17．（2）平面1A DA 的一个法向量为()3,0,0AE =．设(),,x y z =m 为平面1BA D 的一个法向量，又(13,1,A B =-，()BD =，则100A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即030y y--=+=⎪⎩．不妨取3x =，则y =2z =，所以()=m 为平面1BA D 的一个法向量.从而cos ,AEAE AE ⋅=m m m34⋅==，设二面角1B A D A --的大小为θ，则3cos4θ=．因为[]0,θ∈π，所以sin 4θ==．因此二面角1B A D A --20.（2017全国1卷理科18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. (1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，求二面角A PB C --的余弦值.DCBAP20. 解析（1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P =，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥ 平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（2）取AD 的中点O ，BC 的中点E ，联结PO ，OE ，因为AB CD ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以OE AB ∥.由（1）知，AB ⊥平面PAD ，所以OE ⊥平面PAD .又PO ，AD ⊂平面PAD ，所以OE PO ⊥，OE AD ⊥.又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，从而PO ，OE ，AD 两两垂直.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2PA =，所以()002D -，，)220B ，，(002P ，，，()202C -，，所以(022PD =-，，()222PB =，，()2200BC =-，.设()x y z =n ,,为平面PBC 的一个法向量，由00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y +=-=⎪⎩.令1y =，则z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(01=n ,. 因为90APD ∠=︒，所以PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以PD AB ⊥，又PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB . 即PD 是平面PAB的一个法向量，(0PD =,,，从而cos PD PD PD ⋅===⋅n n n,. 由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为21.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值.EM DCBAP21．解析（1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA 的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB .（2）以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设1AB BC ==，则()000O ，，，()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()010D ，，，(00P ．点M 在底面ABCD 上的投影为M '，所以M M BM ''⊥，联结BM '．因为45MBM '∠=，所以MBM '△为等腰直角三角形．因为POC △为直角三角形，OC =，所以60PCO ∠=．设MM a '=，CM '=，1OM '=．所以100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，，．BM a a '===⇒=．从而112OM '==-．所以100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，，102M ⎛- ⎝⎭，，112AM ⎛=- ⎝⎭，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m，则110AM y z ⋅==m，所以(02)=-，m ，易知平面ABD 的一个法向量为(001)=，，n，从而cos ,⋅==⋅m n m n m n ．故二面角M AB D --的余弦值．22.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值．22．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO . 因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形，从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，OB = 所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥.由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ，D 到平面ACE 的距离相等，即点E 为BD 的中点.以O 为坐标原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，易得324a a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面AED 的法向量为()1111=,,x y z n ，平面AEC 的法向量为()2222=,,x y z n ，则1100AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，取13,1,3=n ；220AE OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，取(20,1,3=n .设二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos θ⋅=⋅n n n n.23.（2017北京理16）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC，PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点；（2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．23.解析（1）设,AC BD 的交点为E ，联结ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC平面PBD ME =，所以PD ME ∥.因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.MP EDCBA（2）取AD 的中点O ，联结OP ，OE . 因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥. 因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，则2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(4,4,0)BD =-，(2,0,PD =.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即44020x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，则1y =，z ==n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π.（3）由（1）知1,M ⎛- ⎝⎭，(2,4,0)C ，(3,2,2MC =-. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则2sin cos ,9MC MC MCα⋅===<>n n n . 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为9. 24.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=.点D E N ，，分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =. （1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长. NM ED CBAP24.解析如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP 为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE =，()2,0,2DB =-.设(,,)x y z =n 为平面BDE 的一个法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =-，可得0MN ⋅=n ，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则2200EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n . 因此有121212cos ,|||21⋅==n n n n |n n ，于是1215sin ,=n n . 所以二面角C EM N --15. （3）依题意，设()04AH h h =剟，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-.由已知得||7cos ,||||NH BE NH BE NH BE h ⋅===2102180h h -+=，解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12. 25.（2107浙江19）如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点.（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.A BCDPE25.解析（1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=E F B C ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN MF DBCEA（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N .联结PN 交EF 于点Q ，联结MQ .因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 的中点，在平行四边形BCEF 中，//MQ CE . 由PAD △为等腰直角三角形，得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥，N 是AD 的中点，所以12ND AD BC ==，且BC DN ∥,所以四边形BCDN 是平行四边形，所以CD BN ∥，所以BN AD ⊥.又BNPN N =,所以AD ⊥平面PBN ，由//BC AD ，得BC ⊥平面PBN ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，联结MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中，由2PC =，1CD =，PD =CE =，又BC ⊥平面PBN ，PB ⊂平面PBN ，所以BC PB ⊥.在PBN △中，由1PN BN ==，PB =QH PB ⊥,Q 为PN 的中点，得14QH =. 在Rt MQH △中，14QH =，MQ =，所以sin 8QMH ∠=，所以直线CE 与平面PBC所成角的正弦值是8. 26．（2107浙江9）如图所示，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为α，β，γ，则（）.A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<26.解析如图所示，设点D 在底面ABC 内的射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离，O 到哪条线段的距离越小，对应的二面角就越大.显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边的距离相等．动态研究问题：1P P ®，所以O 到QR 的距离不变，O 到PQ 的距离减少，O 到PR 的距离变大．所以αγβ<<．O P 1R QC题型99 空间距离的计算——暂无题型100 与空间角、空间距离有关的开放性、探索性问题——暂无27.（2017全国3卷理科16）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在的直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角； ②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）.27．解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，作出图像如图所示．不妨设图中所示的正方体的边长为1，故1AC =，AB =AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则点A 保持不变，点B 的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，CA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0) ，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈.那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=-，2AB '= 设AB '与直线a 所成夹角为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos AB θθαθ⎡-⋅=∈⎢'⎣⎦a ，所以ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故③正确，④错误．设AB '与直线b 所成夹角为π[0,]2β∈，(cos ,sin ,1)(1,0,0)cos cos AB AB AB θθβθ'⋅-⋅===''b b b . 当AB '与直线a 夹角为60︒时，即π3α=， 2sin 23πθα==．因为22cos sin 1θθ+=，所以2cos θ=．从而21cos 22βθ==．因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π=3β，此时AB '与b 的夹角为60︒．所以②正确，①错误．故填② ③.28.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=.点D E N ，，分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =. （1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE，求线段AH 的长. NM ED CBAP28.解析如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP 为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE =，()2,0,2DB =-.设(,,)x y z =n 为平面BDE 的一个法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =-，可得0MN ⋅=n ，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n .因此有121212cos ,|||⋅==n n n n |n n，于是12sin ,=n n . 所以二面角C EM N --.（3）依题意，设()04AH h h =剟，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-.由已知得||cos ,||||NH BE NH BE NH BE h ⋅===2102180h h -+=，解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12.题型101 立体几何中的最值问题探究与扩展——暂无。

2018年高考数学总复习：第10章第3讲二项式定理含解析

第3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n 当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值当n为奇数时，中间的两项12Cnn-与12Cnn+取最大值(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案 40考点一求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案－211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案－64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8 解析由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十六章选讲内容(含解析)

第十六章选讲内容第一节极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1.（2017天津理11）在极坐标系中，直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 1.解析直线14sin 102ρθθ⎫++=⎪⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=，由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=，得其直角坐标方程为222x y y +=，即()2211x y +-=，则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为2. 2.（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为___________.2. 解析由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，化为普通方程为222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，由圆心为()1,2，P 为()1,0，则AP 最小值为1.故选D.3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 3．解析（1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，．由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠. （2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2=.题型161 直角坐标方程化为极坐标方程题型162 参数方程化普通方程4.（17江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），曲线C 的参数方程为222x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．4.解析直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上，设()222P s s ，从而点P 到直线l的距离224sd +==，当s =min d =因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值为5． 5.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数. （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .5.解析（1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，．则点P 到l的距离d ==，其中3tan4ϕ=．依题意得max d =16a =-或8a =.6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 20l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ① ()21:2l y x k=+ ② ⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l xy +，联立2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρM ．题型163 普通方程化参数方程——暂无题型164 参数方程与极坐标方程的互化——暂无第二节不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式7.（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++，()11g x x x =++-.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x …的解集；（2）若不等式()()f x g x …的解集包含[]–11，，求a 的取值范围. 7.解析（1）当1a =时，()24f x x x =-++为开口向下，对称轴为12x =的二次函数， ()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，剟，当(1,)x ∈+∞时，令()()f x g x 単，即242x x x -++…，解得1711,x ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦. 当[]11x ∈-，时，令()()f x g x 単，即242x x -++…，解得[]1,1x ∈-．当()1x ∈-∞-，时，令()()f x g x 単，即242x x x -++-…，解得x ∈∅．综上所述，()()f x g x …的解集为1711⎡--⎢⎣⎦，．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立，即220x ax --≤在[]11-，恒成立，则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩……，解得11a -剟．故a 取值范围是[]11-，． 8.（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x …的解集；（2）若不等式()2–f x x x m+…的解集非空，求m 的取值范围．8．解析（1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩…….由()1f x …，可得①当1x -…时显然不满足题意； ② 当12x -<<时，211x -…，解得1x …； ③ 当2x …时，()31f x =…恒成立.综上，()1f x …的解集为{}1x x ….⑵不等式()2f x x x m -+…等价于()2f x x x m -+…，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m …的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦…. 而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩…….①当1x -…时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x …时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上所述，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ….题型166 不等式的证明题型167 函数单调性在证明不等式中的应用题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无9.（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明：8ac bd +…．9.解析由柯西不等式可得()()()22222ac bd a bcd +++…，因为224a b +=，2216c d +=，所以()264ac bd +…，因此8ac bd +…． 10.（2107全国2卷理科23）已知0a >，0b >，332a b +=，求证：（1）()()554a b a b ++…；（2）2a b +…．10．解析（1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥，=1a b ==时取等号．（2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…，所以()38a b +≤，即2a b +≤，当且仅当1a b ==时等号成立．。

2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第10章

第十章圆锥曲线考点1 椭圆及其性质1.(2016·新课标全国Ⅰ，5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.341.解析如图,由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt△OFB 中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb ＝a·12b,代入解得a2＝4c2,故椭圆离心率e ＝c a ＝12，故选B. 答案 B2.(2016·新课标全国Ⅲ，12)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.342.解析设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.答案 A3.(2015·广东，8)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A.2B.3C.4D.9 3.解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3. 答案 B4.(2015·福建，11)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，14.解析左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A. 答案 A5.(2014·大纲全国，9)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝15.解析由已知e ＝ca ＝33，又△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝2a ＋2a ＝43，解得a ＝3，故c ＝1，b ＝a 2－c 2＝2，故所求的椭圆方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案 A6.(2015·浙江，15)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________.6.解析设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝y 0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c·bc＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c （2c 2－a 2）a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2（2c 2－a 2）2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝ca，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 答案 227.(2014·江西，14)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________. 7.解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －（－c ）＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去). 答案 338.(2015·新课标全国Ⅱ,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.8.解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.9.(2015·安徽，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 9.(1)解由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6，又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .10.(2015·陕西，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，-1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.10.(1)解由题设知c a ＝22,b ＝1,结合a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝2,所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.11.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围.11.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ＜43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13.进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.12.(2014·新课标全国Ⅱ，20)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .12.解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28,故a ＝7,b ＝ 2 7.13.(2014·四川，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.13.解 (1)由已知可得，ca ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m .解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3.14.(2014·安徽，21)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |. (1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率.14.解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ).化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形.从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.考点2 双曲线1.(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝11.解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案 A2.(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D.x 2－y 23＝12.解析双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.答案 D3.(2015·湖南，6)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.533.解析由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3b a＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.答案D4.(2015·四川，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 34.解析右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2，23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3. 答案 D5.(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±12B.±22C.±1D.± 25.解析双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则2A C k ＝b 2ac ＋a ，1A B k ＝b 2aa －c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有1A B k ·2A C k ＝－1，即b 2ac ＋a ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1. 答案 C6.(2015·湖北，9)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A.对任意的a ，b ，e 1<e 2B.当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C.对任意的a ，b ，e 1>e 2D.当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 6.解析e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m a ＋m，即e 1<e 2.故选B. 答案 B7.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A.2B.62 C.52D.1 7.解析由双曲线方程知b 2＝3，从而c 2＝a 2＋3，又e ＝2，因此c 2a 2＝a 2＋3a 2＝4，又a >0，所以a ＝1，故选D.答案 D8.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.15 C.4 D.178.解析根据双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a .又(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，所以4a2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0，又a ＋b ≠0，所以b ＝4a ，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋42＝17.答案 D9.(2014·广东，8)若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.解析若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等.故选D. 答案D10.(2014·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝110.解析由题意可得b a＝2，c ＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，则所求双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案 A11.(2014·江西，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝111.解析设双曲线的右焦点为F ，则F (c ，0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝bax ，得y ＝b ，则A (a ，b ).由|FA |＝r ＝4，得（a －4）2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 A12.(2016·北京，12)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.12.解析由2x ＋y ＝0得y ＝－2x ，所以b a＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2. 答案 1 213.(2016·山东，14)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________. 13.解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2=c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0,两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2-3c a-2=0,即2e 2-3e -2＝0,解得e =2.答案 214.(2016·浙江，13)设双曲线x 2－y 23＝1的左、焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.14.解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)15.(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为______________.15.解析由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案 x 24－y 2＝116.(2015·北京，12)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.16.解析由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3. 答案 317.(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________. 17. 解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.答案 12 618.(2015·山东，15)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.18.解析把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c ，0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3. 答案 2＋ 3考点3 抛物线1.(2016·新课标全国Ⅱ，5)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.21.解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF ⊥x 轴知,|PF |＝2,所以P 点的坐标为(1,2),代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2,故选D. 答案D2.(2016·四川，3)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0)2.解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴y 2＝4x ，则为(1，0).答案 D3.(2015·陕西，3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)3.解析由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B. 答案 B4.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A.3 B.6 C.9 D.124.解析因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6. 答案 B5.(2014·新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B.6C.12D.7 3 5.解析抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，故选C.答案 C6.(2014·安徽，3)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A.y ＝－1B.y ＝－2C.x ＝－1D.x ＝－26.解析由y =14x 2得x 2=4y ,焦点在y 轴正半轴上,且2p ＝4,即p ＝2,因此准线方程为y =-p 2=-1.故选A. 答案 A7.(2014·四川，10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728D.107.解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2，0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 B8.(2014·辽宁，8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.－43B.－1C.－34D.－128.解析由点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2，0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 答案 C9.(2014·新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A.1 B.2 C.4 D.89.解析由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.答案 A10.(2014·上海，4)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.10.解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－211.(2014·湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等.若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________.11.解析设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0. 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)12.(2016·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.12.解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.13.(2016·浙江，19)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.13.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).14.(2015·浙江，19)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.14.解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t ，因此，点A 的坐标为(2t ，t 2).设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2.因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0，点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2，设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.15.(2015·福建，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.15.方法一(1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22).由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 法二 (1)同法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2,m )在抛物线E ：y 2＝4x 上,所以m ＝±22,由抛物线的对称性,不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.16.(2014·浙江，22)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →. (1)若|PF →|＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值.16.解 (1)由题意知焦点F (0,1),准线方程为y ＝-1.设P (x 0,y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1,得到y 0＝2,所以P (22，2)或P (－22，2).由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k ，2k 2＋m ).由PF →＝3FM →，得(－x 0，1－y 0)＝3(2k ，2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415.由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43.又因为|AB |＝41＋k2k 2＋m ，点F (0，1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2.所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43.令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.17.(2014·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.17.解方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等. 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0，3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3.半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变. 方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1，化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一.考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)1.解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.2.解 (1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0,解得y＝0或y ＝127,所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f (t )的零点,f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以f (t )在(0,＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.3.(1)证明由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝12|b -a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12,S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y .所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.4.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.4.(1)解由椭圆过点A (2，0)，B (0，1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32.(2)证明设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值2.5.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值.5.(1)解设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0).由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).直线PA 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.6.解 (1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1,解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.7.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编_第七章_不等式_有解析

第七章不等式第一节不等式的性质与不等式的解法题型75 不等式的性质——暂无题型76 比较数（式）的大小1.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-.2.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b<+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<解析由题意知1a >，01b <<，所以12a b<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论.题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法题型78 分式不等式的解法——暂无第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79 二元一次不等式组表示的平面区域题型80 求解目标函数的取值范围或最值1.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为（）.A.23 B.1 C.32D.3解析变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.32.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（）. A.1 B. 3 C.5 D.9解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.3.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大，由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.4.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9解析目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(35.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．解析由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．6.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（）.A. 0B. 2C.5D.6解析由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5x 27.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞ 解析如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81 求解目标函数中参数的取值范围——暂无题型82 简单线性规划问题的实际运用第三节基本不等式及其应用题型83 利用基本不等式求函数的最值1.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30． 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…，解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型84 利用基本不等式证明不等式——暂无a。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十章圆锥曲线 Word版含解析

第十章圆锥曲线第一节椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆22194x y +=的离心率是（）.A.3B. 3C. 23D. 594.解析由椭圆方程可得,229,4a b ==,所以2225c a b =-=,所以3a =,c =3c e a ==.故选B ． 5.（2017江苏17（1））如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为12,两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；5.解析（1）设椭圆的半焦距为c ,由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得21a c =⎧⎨=⎩,因此b =,所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． 6.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离心率焦距为2. （1）求椭圆E 的方程；6.解析（1）由题意知c e a ==,22c =,所以a 1b =,因此椭圆E 的方程为2212x y +=. 7.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>,四点()111P ，,()201P ，,3–1P ⎛ ⎝⎭,41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；7. 解析（1）根据椭圆对称性,必过3P ,4P ,又4P 横坐标为1,椭圆必不过1P ,所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得24a =, 21b =,所以椭圆C 的方程为2214x y +=．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为（）. ABCD ．138．解析因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,所以圆心到直线的距离d 等于半径,即d a ==,又因为0,0a b >>,则上式可化简为223a b =.因为222b a c =-,可得()2223a a c =-,即2223c a =,所以c e a ==故选A.题型115 椭圆焦点三角形——暂无第二节双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线221y x m-=则实数m =_________.9. 解析 =,则2m =.10.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,若经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为（）.A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 10.解析由题意得a b =,41c=--,所以4c =.又因为22216c a b =+=,所以28a =,28b =,则双曲线方程为22188x y -=.故选B.11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为（）. A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=11．解析因为双曲线的一条渐近线方程为y =,则b a =① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点,易知3c =,则2229a b c +== ②由①,②,解得2,a b ==则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是． 12.解析双曲线的渐近线方程为y x =,而右准线为32x =,所以3,22P ⎛ ⎝⎭,3,22Q ⎛- ⎝⎭,从而1214222F PF Q S ⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭13（2017山东理14）.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()222210,0x ya b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于,A B 两点,若4AF BF OF +=,则该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析设()(),,,A B B B A x y B x y ,由题意得||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a +==a ⇒,从而双曲线的渐近线方程为2y x =±. 题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为（）.A ．2 BCD14．解析取渐近线by x a=,化成一般式0bx ay -=,圆心()20，到直线的距离为=,得224c a=,24e=,2e=．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若60MAN∠=,则C 的离心率为________.15. 解析如图所示,OA a=,AN AM b==.因为60MAN∠=,所以AP=,OP==从而tanAPOPθ==又因为tan baθ=,所以ba=,解得223a b=,则e.题型119 双曲线的焦点三角形第三节抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px=：过点()11P，.过点12⎛⎫⎪⎝⎭，作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.（1）求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程；16.解析（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =,抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =-.17.（2107全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点,则FN = ．17．解析由28y x =,得4p =,焦点为()20F ，,准线:2l x =-.如图所示,由M 为FN 的中点,故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =,4AF =,所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =,且MN MF =,所以6NF NM MF =+=.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无18.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A ,B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,则AB DE +的最小值为（）.A ．16B ．14C ．12D ．10 18. 解析解法一：设直线1l 的斜率为k ,则直线2l 的斜率为1k-,设()11,A x y , ()22,B x y ,()33,D x y ,()44,E x y ,直线()11l k x =-,直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 整理得()2222240k x k x k -++=,所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+,同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+,从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…,当且仅当1k =±时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ,抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ,2AK 垂直x 轴于点2K ,如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义）, 所以cos AF p AF θ⋅+=, 即1cos p AF θ=-,同理1cos p BF θ=+,所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2θ+,2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =,即2p =,所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥,当π4θ=时取等号,即AB DE +的最小值为16.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无第四节曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1））设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NPNM =.（1）求点P 的轨迹方程；19．解析（1）设点()P x y ，,易知(0)N x ，,(0)NP y =，,又0NM NP ⎛== ⎝,所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上,所以2212x +=,即222x y +=．第五节直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为12,两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标．20解析（1）设椭圆的半焦距为c ,由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得21a c =⎧⎨=⎩,因此b =,所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=．（2）由（1）知()11,0F -,()21,0F ．设()00,P x y ,因为点P 为第一象限的点,故000,0x y >>．当01x =时,2l 与1l 相交于1F ,与题设不符．当01x ≠时,直线1PF 的斜率为001y x +,直线2PF 的斜率为001y x -．因为11l PF ⊥,22l PF ⊥,所以直线1l 的斜率为001x y --,直线2l 的斜率为001x y --,从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①②,解得20001,x x x y y =-=-,所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上,由对称性得20001x y y =±-,即22001x y -=或22001x y +=．又点P 在椭圆E 上,故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,无解．因此点P的坐标为⎝⎭． 21.（2017北京理18）已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点.21.解析（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =, 抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =-.（2）解法一：由题意,设直线l 的方程为()102y kx k =+≠,l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ,22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得224(44)10k x k x +-+=.则1221kx x k -+=,12214x x k =. 因为点P 的坐标为()1,1,所以直线OP 的方程为y x =,点A 的坐标为11(,)x y . 因为直线ON 的方程为22y y x x =,所以点B 的坐标为2112,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420kk k k x --⨯+==,所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.解法二：要证A 为BM 的中点,且,,A B M x x x 相同,只需证2A M B y y y =+,等式两边同时除以M x ,则有2OA OM ON k k k =+.因为1221121*********11++22OM ONkx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+=== ()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又1OA OPk k ==,所以等式成立,即M 为OB 的中点.题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ）,直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △求直线AP 的方程.22.解析 (1)依题意设点F (,0)c -,由题意知21==a c e ,且2pa =.由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -=,则12a c -=,解得1a =,12c =,2p =,于是22234b a c =-=.从而椭圆的方程为22413y x +=,抛物线的方程为24y x =.(2)由于准线l 的方程为1x =-,依题意设),1(t P -(0≠t ),则),1(t Q --.因为)0,1(A , 则2t k AP -=,得直线AP 的方程为()12ty x =-- ① 将①式代入方程34322=+y x 中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点),(00y x B ,由韦达定理得332200+-==t t x x x A ,则()0023123t t y x t =--=+,即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,则t t k BQ262+=,于是得直线BQ 方程为26(1)2t y t x t++=+. 令0=y ,解得6622+-=t t x ,即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.则612661||222+=+--=t t t AD ,于是211226APD S t t ==⋅⋅+△,化简得(2||0t =,即得6±=t .代入①式化简得直线AP 方程为330x -=,或330x -=.23.（2017山东理21）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>,焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图所示,动直线l ：1y k x =-交椭圆E 于,A B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为2k ,且12k k =M 是线段OC 延长线上一点,且:2:3MC AB =,M 的半径为MC ,OS ,OT 是M 的两条切线,切点分别为S ,T .求SOT ∠的最大值,并求取得最大值时,直线l 的斜率.23.解析（1）由题意知 c e a ==,22c =,所以 a =1b =,因此椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）设点()()1122,,,A x y Bx y ,联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y 整理得()22114210kx x +--=,由题意知0∆>,且121x x +=()12211221x x k =-+,所以121AB x -=,由题意可知圆M的半径123r AB==由题设知12k k =所以21k=,因此直线OC 的方程为1y=. 联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得2221221181,1414k x y k k ==++,因此OC =由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++,而1OC r令2112t k =+,则()11,0,1t t >∈,因此1OC r ===, 当且仅当112t =,即2t =时等号成立,此时1k =,所以 1sin 22SOT ∠…, 因此26SOT ∠π…,所以SOT ∠的最大值为3π. 综上所述,SOT ∠的最大值为3π,取得最大值时直线l的斜率为1k =.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：,过点()20，的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，,求直线l 与圆M 的方程． 24．解析（1）显然当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点,不符合题意．设:2l x my =+,11(,)A x y ,22(,)B x y ,联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩,得2240y my --=, 2416m ∆=+恒大于0,122y y m +=,124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=,所以OA OB ⊥uu r uu u r,即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ,则0AP BP ⋅=uu u r uu r,即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=,即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=,即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=,化简得2210m m --=,解得12m =-或1.①当12m =-时,:240l x y +-=,设圆心为00(,)Q x y ,则120122y y y +==-,0019224x y =-+=,半径||r OQ ==则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时,:20l x y --=,设圆心为00(,)Q x y ,12012y y y +==,0023x y =+=,半径r OQ =则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题——暂无25. （2017全国2卷理科20）设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M 作x轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .25．解析（1）设点()P x y ，,易知(0)N x ，,(0)NP y =，,又0NM NP ⎛== ⎝, 所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上,所以221x +=,即222x y +=．（2）由题知()1,0F -,设()3,Q t -,(),P m n ,则()3,OQ t =-,()1,PF m n =---,33OQ PF m tn⋅=+-,(),OP m n =,()3,PQ m t n =---,由1OP PQ ⋅=,得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=,所以330m tn +-=,从而0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>,四点()111P ，,()201P ，,3–1P ⎛ ⎝⎭,41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ,B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1,求证：l 过定点.26. 解析（1）根据椭圆对称性,必过3P ,4P ,又4P 横坐标为1,椭圆必不过1P ,所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得24a =, 21b =,所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时,设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，, 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-,得2m =,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点, 故不满足．②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，,联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩, 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=,122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+, 则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-,又1b ≠21b k ⇒=--,此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--. 当2x =时,1y =-,所以l 过定点()21-，．题型129 定值问题题型130 最值问题——暂无27. （2107浙江21）如图所示,已知抛物线2x y =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,抛物线上的点(),P x y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求PA PQ ⋅的最大值.27.解析（1）设直线AP 的斜率为k ,已知1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,(),P x y ,则21114411222y x k x x x --===-++. 因为1322x -<<,所以111x -<-<,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）因为直线AP ⊥BQ ,且3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，,所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩,解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<,2Q PQ x -+=-=,11k -<<,所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<, 令()()()311,11f k k k k =--+-<<, 因为()()()2421f k k k '=--+,当112x -<<时,()0f k '>,当112x <<时,()0f k '<,所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k =时,PA PQ ⋅取得最大值2716.。

高考数学(理)(全国通用)大一轮复习高考试题汇编+第十

第十章圆锥曲线第一节椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆的离心率是（）. A. B. C. D.4.解析由椭圆方程可得，，所以，所以，，.故选B ．5.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；5.解析（1）设椭圆的半焦距为，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，因此，所以椭圆的标准方程为．6.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的方程；6.解析（1）由题意知，，所以，，因此椭圆的方程为.7.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点，，3–12P ⎛ ⎝⎭，，412P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程；7. 解析（1）根据椭圆对称性，必过，，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点.将代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得，，所以椭圆的方程为．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）.A ．B ．C ．D ．8．解析因为以为直径的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，又因为，则上式可化简为.因为，可得，即，所以.故选A.题型115 椭圆焦点三角形——暂无第二节双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线的离心率为，则实数_________. 9. 解析由题知，则.10.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为，离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）. A. B. C. D.10.解析由题意得，，所以.又因为，所以，，则双曲线方程为.故选B.11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（）. A ．B ．C ．D ．11．解析因为双曲线的一条渐近线方程为，则 ① 又因为椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则 ②由①,②，解得，则双曲线的方程为.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是．12.解析双曲线的渐近线方程为，而右准线为，所以32P ⎛⎝⎭，3,2Q ⎛ ⎝⎭，从而121422F PF QS ⎛=⨯⨯= ⎝⎭．故填．13（2017山东理14）.在平面直角坐标系中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 . 13. 解析设，由题意得||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以，从而双曲线的渐近线方程为.题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）.A ．2B ．C ．D ． 14．解析取渐近线，化成一般式，圆心到直线的距离为，得，，．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为________. 15. 解析如图所示，，.因为，所以，OP =tan AP OP θ==.又因为，所以ba=，解得，则e===题型119 双曲线的焦点三角形第三节抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1））已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；16.解析（1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.17.（2107全国2卷理科16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．17．解析由，得，焦点为，准线.如图所示，由为的中点，故易知线段为梯形的中位线.因为，，所以.又由抛物线的定义知，且，所以.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无18.（2017全国1卷理科10）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（）.A ．B ．C ．D ． 18. 解析解法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，，，直线，直线.联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去整理得()2222240k x k x k -++=，所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当时等号成立.故选A.解法二：设的倾斜角为，抛物线的准焦距为．作垂直准线于点，垂直轴于点，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以，即，同理，所以22221cos sin p pAB θθ==-.又与垂直，即的倾斜角为，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而，即，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭241sin 24θ== ，当时取等号，即的最小值为.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无第四节曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1））设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；19．解析（1）设点，易知，，又0NM ⎛== ⎝，所以点.又在椭圆上，所以，即．第五节直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．20解析（1）设椭圆的半焦距为，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，因此，所以椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，．设，因为点为第一象限的点，故．当时，与相交于，与题设不符．当时，直线的斜率为，直线的斜率为．因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 联立①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性得，即或．又点在椭圆上，故．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得；由220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点的坐标为77⎛⎫⎪⎝⎭． 21.（2017北京理18）已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点.21.解析（1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.（2）解法一：由题意，设直线的方程为，与抛物线的交点为，.由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=.则，.因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为. 因为直线的方程为，所以点的坐标为.因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420k k k k x --⨯+==，所以. 故为线段的中点.解法二：要证为的中点，且相同，只需证，等式两边同时除以，则有.因为1221121*********11++22OM ON kx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+=== ()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又，所以等式成立，即为的中点. 题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.22.解析 (1)依题意设点，由题意知，且. 由对称性知抛物线的准线方程为，则，解得，，，于是.从而椭圆的方程为，抛物线的方程为. (2)由于准线的方程为，依题意设 ()，则.因为，则，得直线的方程为 ①将①式代入中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点，由韦达定理得，则，即，则，于是得直线方程为.令，解得，即.则612661||222+=+--=t t t AD ，于是2112226APD S t t ==⋅⋅+△，化简得，即得.代入①式化简得直线方程为，或. 23.（2017山东理21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的方程；（2）如图所示，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，，是的两条切线，切点分别为，.求的最大值，并求取得最大值时，直线的斜率.23.解析（1）由题意知，，所以，，因此椭圆的方程为.（2）设点，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去整理得()22114210k x x +--=，由题意知，且，，所以121AB x -=，由题意可知圆的半径123r AB ==. 由题设知，所以，因此直线的方程为.联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC 由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OCr . 令，则，因此1OCr==，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以的最大值为.综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24．（2107全国3卷理科20）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．（1）求证：坐标原点在圆上；（2）设圆过点，求直线与圆的方程．24．解析（1）显然当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设，，，联立，得，恒大于，，．1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以，即点在圆上．（2）若圆过点，则，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0m y m yy y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得，解得或.①当时，，设圆心为，则，，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当时，，设圆心为，，，半径r OQ ==22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题——暂无25. （2017全国2卷理科20）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.求证：过点且垂直于的直线过的左焦点. 25．解析（1）设点，易知，，又0NM ⎛== ⎝，所以点.又在椭圆上，所以，即．（2）由题知，设，，则，，，，，由，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知，所以，从而，即.又过点存在唯一直线的垂直于，所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点，，3–1P ⎛ ⎝⎭，412P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点.若直线与直线的斜率的和为，求证：过定点. 26. 解析（1）根据椭圆对称性，必过，，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点.将代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得，，所以椭圆的方程为．（2）当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．当斜率存在时，设，，联立，消去整理得()222148440k x kbx b +++-=，，，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+，又，此时，存在使得成立．所以直线的方程为. 当时，，所以过定点．题型129 定值问题题型130 最值问题——暂无27. （2107浙江21）如图所示，已知抛物线.点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.27.解析（1）设直线的斜率为，已知，，则21114411222y x k x x x --===-++. 因为，所以，所以直线斜率的取值范围是.（2）因为直线，且，所以直线的方程为，联立直线与的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，解得点的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<，2(1)1Q k k PQ x -+=-=，，所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<，令()()()311,11f k k k k =--+-<<，因为()()()2421f k k k '=--+，当时，，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值.。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十五章数系的扩充与复数的引入(含解析)

第十五章数系的扩充与复数的引入题型155 复数的概念及分类1.（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . 1.解析 ()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ----+--+===-++-为实数，则205a +=，解得2a =-. 2.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p2. 解析 1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确；2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题3.（2107山东理2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z a =+，4z z ⋅=，则a =（）.A.1或1- 或 C.3. 解析由z a =+，4z z ⋅=，得234a +=，所以1a =±.故选A.4．（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab = . 4.解析由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==，解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =．题型157 复数的模 5.（2017江苏02）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是．5.解析解法一：()()1i 12i z =++13i =-+，所以z =．解法二：()()1i 12i z =++1i 12i =+⋅+=．6.（2107全国3卷理科2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（）.A ．12 B ．2 C D ．26．解析由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，则z 故选C.题型158 复数的四则运算7.（2107全国2卷理科1）3i1i +=+（）.A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -7．解析 ()()()()3i 1i3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D.题型159 复数的几何意义8.（2017北京理2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（）. A.()–1∞， B.()––1∞， C.()1+∞， D.()–1+∞， 8. 解析由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩，即1a <-.故选B.。

高考数学一轮复习第10章第3讲二项式定理课件理

解析
题型二二项式系数的性质或各项系数的和 1．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ________. 答案－33
答案
解析令 x＝1 得(－2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32. 令 x＝0 得，1＝a0；所以 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－33.
(3)设第 r＋1 项的系数为 ar＋1 最大，则 ar＋1＝2－rCr8，
则ar＋1＝ ar
2－2r－－1rCCr8r8－1＝92－r r≥1，
aarr＋＋12＝2－2r＋－1rCCr8r8＋1＝28r－＋r1≥1，
答案
解得 2≤r≤3. 当 r＝2 时，a3＝2－2C28＝7，当 r＝3 时，a4＝2－3C38＝7，因此，第 3 项和第 4 项的系数最大，故系数最大的项为

(2)
x＋ 1 4

8
的展开式的通项
Tr＋1＝Cr8(
1 x)8－r· 4

4－34r
r＝2－rCr8x
(r
2 x
2 x
＝0,1，…，8)，
答案
要求有理项，则 4－34r必为整数，即 r＝0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1
＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
解析

2．(2018·九江模拟)已知
x＋
1 4

n
的展开式中，前三项的系数成等差
2 x
数列．
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，
由已知得 2×12C1n＝C0n＋14C2n，解得 n＝8(n＝1 舍去)．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十章圆锥曲线第一节椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆22194x y +=的离心率是（）.A.B. 5C. 23D. 594.解析由椭圆方程可得，229,4a b ==，所以2225c a b =-=，所以3a =，5c =5c e a ==.故选B ． 5.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；xyOF 1F 25.解析（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此3b ==E 的标准方程为22143x y +=． 6.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>2，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；6.解析（1）由题意知 2c e a ==，22c =，所以 2a =1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.7.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，412P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；7. 解析（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过 234P P P ，，三点.将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）.A．3B ．33C ．23D ．138．解析因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d 等于半径，即d a ==，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =，所以6c e a ==故选A. 题型115 椭圆焦点三角形——暂无第二节双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线221y x m-=3，则实数m =_________.9. 解析 13m+=2m =. 10.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，2.若经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）.A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 10.解析由题意得a b =，41c=--，所以4c =.又因为22216c a b =+=，所以28a =，28b =，则双曲线方程为22188x y -=.故选B. 11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）. A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=11．解析因为双曲线的一条渐近线方程为5y ，则5b a =① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +== ② 由①,②，解得2,5a b ==C 的方程为22145x y -=.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是．12.解析双曲线的渐近线方程为3y x =，而右准线为32x =，所以332P ⎛ ⎝⎭，3,2Q ⎛ ⎝⎭，从而121342232F PF QS ⎛=⨯⨯= ⎝⎭2313（2017山东理14）.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析设()(),,,A B B B A x y B x y ，由题意得||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a +==2a b ⇒=，从而双曲线的渐近线方程为22y x =±. 题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）.A ．2B 3C 2D ．23314．解析取渐近线by x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，2223b a b=+得224c a =，24e =，2e =．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为________. 15. 解析如图所示，OA a =，AN AM b ==.因为60MAN ∠=，所以3AP =，2234OP a b =-2232tan 34AP OP a b θ=-.又因为tan b a θ=，所以b a =，解得223a b =，则22123113b e a =++=.θy=b aM P N A Oyx题型119 双曲线的焦点三角形第三节抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 16.解析（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =-.17.（2107全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．17．解析由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =，且MN MF =，所以6NF NM MF =+=.lFN M C BAOyx题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无18.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为（）.A ．16B ．14C ．12D ．10 18. 解析解法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ， ()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以2122224424k AB x x p k k +=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k +=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当1k =± 时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ，2AK 垂直x 轴于点2K ，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以cos AF p AF θ⋅+=，即1cos p AF θ=-，同理1cos p BF θ=+，所以22221cos sin p pAB θθ==-. 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =，即2p =，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=时取等号，即AB DE +的最小值为16.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无第四节曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；19．解析（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又1022NM ⎛== ⎝，，所以点12M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又M 在椭圆C 上，所以22122x +=，即222x y +=．第五节直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．xyOF 1F 220解析（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此3b ==E 的标准方程为22143x y+=．（2）由（1）知()11,0F -，()21,0F ．设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>．当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符．当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y --，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①②，解得20001,x x x y y =-=-，所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上，由对称性得20001x y y =±-，即22001x y -=或22001x y +=．又点P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P 的坐标为4737⎝⎭． 21.（2017北京理18）已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点.21.解析（1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =-.（2）解法一：由题意，设直线l 的方程为()102y kx k =+≠，l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=.则1221k x x k -+=，12214x x k =. 因为点P 的坐标为()1,1，所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y . 因为直线ON 的方程为22y y x x =，所以点B 的坐标为2112,y x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420kk k k x --⨯+==，所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.解法二：要证A 为BM 的中点，且,,A B M x x x 相同，只需证2A M B y y y =+，等式两边同时除以M x ，则有2OA OM ON k k k =+.因为1221121*********11++22OM ONkx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+=== ()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又1OA OPk k ==，所以等式成立，即M 为OB 的中点. 题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程.22.解析 (1)依题意设点F (,0)c -，由题意知21==a c e ，且2pa =.由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -=，则12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b a c =-=.从而椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.(2)由于准线l 的方程为1x =-，依题意设),1(t P -(0≠t )，则),1(t Q --.因为)0,1(A ，则2t k AP -=，得直线AP 的方程为()12ty x =-- ①将①式代入方程34322=+y x 中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点),(00y x B ，由韦达定理得332200+-==t t x x x A ，则()0023123t t y x t =--=+，即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则t t k BQ 262+=，于是得直线BQ 方程为26(1)2t y t x t++=+.令0=y ，解得6622+-=t t x ，即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.则612661||222+=+--=t t t AD ，于是211226APD S t t ==⋅⋅+△，化简得(2||60t =，即得6±=t .代入①式化简得直线AP方程为330x -=，或3630x -=.23.（2017山东理21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>2，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图所示，动直线l ：13y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时，直线l 的斜率.yxTSM C BA O23.解析（1）由题意知c e a ==，22c =，所以 2a =1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程221123x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 整理得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且112123k x x +=，()12211221x x k =-+，所以2211122111821+2k k AB x k++=-=，由题意可知圆M 的半径221111182223k k r AB ++==. 由题设知122k k =，所以212k =，因此直线OC 的方程为12y =. 联立方程221122x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=++由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而212122111181411822k OCk r k k ++=++21221112324141k k k +++令2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此22212221121119224OC rt t t t t ==+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时12k =，所以 1sin22SOT ∠…，因此26SOT ∠π…，所以SOT ∠的最大值为3π. 综上所述，SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k =.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 24．解析（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0A P B P ⋅=uu u r uu r，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0m y m y y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径229185||=4216r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径2231=10r OQ =+22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题——暂无25. （2017全国2卷理科20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 25．解析（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又1022NM ⎛== ⎝，，所以点12M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又M 在椭圆C 上，所以22122x +=，即222x y +=．（2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点()111P ，，()201P ，，33–12P ⎛ ⎝⎭，，412P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点. 26. 解析（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过 234P P P ，，三点.将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．题型129 定值问题题型130 最值问题——暂无27. （2107浙江21）如图所示，已知抛物线2x y =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，抛物线上的点(),P x y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求PA PQ ⋅的最大值.27.解析（1）设直线AP 的斜率为k ，已知1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(),P x y ，则21114411222y x k x x x --===-++. 因为1322x -<<，所以111x -<-<，所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）因为直线AP ⊥BQ ，且3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)2111,112PA k k k =+=++-<<，222(1)111Q k k PQ k x k-+=+-=+11k -<<，所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<，令()()()311,11f k k k k =--+-<<，因为()()()2421f k k k '=--+，当112x-<<时，()0f k '>，当112x <<时，()0f k '<，所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因此当12k =时，PA PQ ⋅取得最大值2716.。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第十章 圆锥曲线(含解析)

2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章 第2节 排列与组合

【高三数学试题精选】2018年高考真题理科数学直线与圆归类汇编

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第二章 函数 Word版含解析

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第十章

最新高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第十章 圆锥曲线 Word版含解析

[精品]2018高考数学理科(通用)大一轮复习2017高考试题汇编第十章圆锥曲线和答案

2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(北京卷,参考解析)

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第四章 三角函数 Word版含解析

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第十六章 选讲内容 Word版含解析