ch7弯曲变形
弯曲变形的知识点总结
弯曲变形的知识点总结1. 弯曲变形的原理在弯曲变形中，受力物体会在外力作用下发生曲率变化。
这种变形通常由外力施加在物体表面上引起的应力产生。
在一根杆或梁上的外力，会在杆或梁上引起内力，这些内力会使杆或梁的横截面发生应力，从而引起曲率的变化。
弯曲变形的原理涉及到材料的力学性能、结构的形状和外力的作用方式等因素。
2. 弯曲变形的应用弯曲变形在实际生活和工程中有着广泛的应用。
例如，桥梁、建筑结构、汽车的悬挂系统、飞机的机翼等都会受到弯曲变形的影响。
了解弯曲变形的原理和规律，可以帮助人们设计更加稳定、安全的结构，提高工程的可靠性和安全性。
3. 弯曲变形的影响因素弯曲变形的大小和形式受到多种因素的影响。
如外力的大小和方向、材料的性能、结构的形状和支撑条件等都会对弯曲变形产生影响。
了解这些影响因素可以帮助人们更好地预测和控制弯曲变形，从而提高结构的稳定性和安全性。
4. 弯曲变形的测量和分析为了更好地探测和分析弯曲变形，人们开发了多种测量和分析方法。
如应变计、光栅光束测量技术和有限元分析等方法都可以帮助人们准确地测量和分析弯曲变形的情况，从而为工程设计和结构优化提供数据支持。
5. 弯曲变形的控制和减小为了降低弯曲变形对结构安全性的影响，人们采用了多种方法进行控制和减小。
如调整结构的形状、改变材料的性能、增加支撑和加固等方式都可以有效地减小弯曲变形的影响，提高结构的稳定性和可靠性。
6. 弯曲变形的研究进展随着科学技术的发展，人们对弯曲变形的研究也不断取得新的进展。
如新材料的开发、新技术的应用以及先进的模拟和分析工具的发展，都为弯曲变形的研究提供了新的思路和方法。
未来，人们可以进一步深入研究弯曲变形的机理和规律，为工程设计和结构优化提供更加科学的依据。
总之，弯曲变形是一种重要的物理现象，对工程结构的稳定性和安全性有着重要的影响。
了解弯曲变形的原理、应用和影响因素，可以帮助人们更好地设计和优化结构，提高工程的可靠性和安全性。
弯曲变形实验报告
弯曲变形实验报告弯曲变形实验报告引言：弯曲变形是材料力学中的重要研究内容之一，它涉及到材料的强度、刚度和韧性等性能参数。
本实验旨在通过对不同材料进行弯曲变形实验，探究材料在受力情况下的变形特性，并对实验结果进行分析和总结。
实验装置与方法：本次实验使用了一台弯曲试验机，试验样品选取了铝合金、钢材和塑料等不同材料的试样。
首先，将试样固定在试验机上，调整试验机的参数，如加载速度和加载方式等。
然后，通过试验机施加不同的弯曲载荷，记录下试样在不同载荷下的变形情况。
实验结果与分析：实验结果显示，不同材料在受力下表现出不同的变形特性。
首先，铝合金试样在受力后出现较为明显的塑性变形，这是由于铝合金具有较高的韧性和良好的可塑性。
其次，钢材试样在受力后呈现出较小的变形，这是由于钢材具有较高的强度和刚性。
最后，塑料试样在受力后出现较大的变形，并且不能恢复原状，这是由于塑料具有较低的强度和刚性，易于发生永久性变形。
进一步分析发现，不同材料的变形特性与其微观结构密切相关。
铝合金由于晶粒细小且均匀，因此在受力时更容易发生塑性变形；而钢材由于晶粒较大且排列有序，因此在受力时更难发生塑性变形。
塑料由于分子链之间的相对滑动性较高，因此在受力时更容易发生形变。
实验结果的应用：弯曲变形实验结果对工程领域具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，通过对不同材料的弯曲变形特性进行研究，可以选择合适的材料用于不同的结构部件。
对于需要承受较大变形的结构，可以选择具有较高韧性的材料，如铝合金；对于需要承受较大载荷的结构，可以选择具有较高强度和刚性的材料，如钢材。
此外，弯曲变形实验结果还可以用于材料性能的评估和质量控制。
通过对材料在受力下的变形情况进行观察和分析，可以判断材料的强度、刚度和韧性等性能是否符合设计要求，从而确保产品的质量。
结论：通过弯曲变形实验，我们对不同材料在受力下的变形特性进行了研究和分析。
实验结果表明，不同材料在受力下表现出不同的变形特性，这与其微观结构密切相关。
机械工程材料ch7机械零件的失效和选材
铸造曲轴（球墨铸铁）
锻钢曲轴：45、40Cr、50Mn、42CrMo、 机械工程材料ch7机械零件的失效和 选材
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
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2020/11/18
机械工程材料ch7机械零件的失效和 选材
•轴承外机圈械塑工程性材料变ch形7机械零件的失效和
选材
•潘存云教 授研制
•潘存云教授研制
•轴瓦磨损
•齿面接触疲劳
•失效统计：
• •
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断裂仅占5% 腐蚀、磨损、疲劳破坏占74%
机械工程材料ch7机械零件的失效和 选材
•常见零件的工作条件和失效形式
•零件
•工作条件
•应力 •载荷 •受载 种类 性质 状态
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机械工程材料ch7机械零件的失效和 选材
•实例 2： 机床齿轮
❖ 机床齿轮的工作条件 ：工作条件较好，载荷不大，转速 中等，工作平稳，少有强烈的冲击，要求除了有高的接 触疲劳强度、弯曲强度、表面硬度与耐磨性外，还应保 证高的传动精度和小的工作噪声。
❖ 选材 ：一般采用调质钢，如45钢、40Cr或40MnB钢。
局部镀铜的目的：渗碳前对一些不需要有较高的力学性能、 而且还需要后续切削加工的部位进行局部镀铜防渗处理。
渗碳淬火+低温回火：淬火后心部获得低碳马氏体组织，有较 好的冲击韧度。低温回火的目的消除淬火应力，降低脆性。
喷丸处理：可以去除热处理后的氧化皮，还可在表层形成一
层残余亚应力，有助于提高齿面的接触疲劳强度。
•二、工艺性能 —— 铸、锻、焊、机加工、热处理
材料力学教程-7.弯曲变形
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
ch7弥散强化
7.1 不可变形粒子的强化机制
弥散粒子与基体不共格,它不能被D穿过而变形; 弥散粒子与基体不共格,它不能被D穿过而变形; 不共格 稳定的第二相及外加的弥散粒子都不能让D线穿过, 稳定的第二相及外加的弥散粒子都不能让D线穿过,D线只能 绕过它们,这就是1948年奥罗万提出的机制; 1948年奥罗万提出的机制 绕过它们,这就是1948年奥罗万提出的机制; 奥罗万(绕过)机制:一条直 向不共格粒子靠近, 奥罗万(绕过)机制:一条直D线向不共格粒子靠近,在粒子处 弯曲,从两粒子间弓出 随后,类似于F 源的形成过程, 弓出, 弯曲,从两粒子间弓出,随后,类似于F-R源的形成过程,在粒 留下一个位错环, 子周围留下一个位错环 原位错继续前进. 子周围留下一个位错环,原位错继续前进.
H70 660
QBe2 1400
合金强化
序号 1 2 合金元素作用 形成单相固溶体 形成弥散的第二相 强化类型 固溶强化 弥散强化
细化晶粒
细晶强化
固溶强化
序号 6.1 类 型 均匀 定 义 S.A均匀无规(统计) S.A均匀无规(统计) 均匀无规
固溶强化 地分布在基体中 6.2 非均匀 S.A偏聚在D周围或作 S.A偏聚在D周围或作 偏聚在
7.1 不可变形粒子的强化机制
固溶强化讲过: 运动时障碍间距L S.A间距l 固溶强化讲过:D运动时障碍间距L与S.A间距l关系为 间距 L=l·sin( sin(θ L=l sin(θc/2)-1/2,克服障碍的临界切应力 ,障碍阻力F与D线张力关系为 障碍阻力F ,故有 =(2/l·b·T τc=(2/l·b·T1/2)(Fm/2)3/2; 以上这些也适用于第二相粒子,只是l为粒子平均间距; 以上这些也适用于第二相粒子,只是l为粒子平均间距; 设第二相粒子半径为r,体积分数为f,S.P r,体积分数为f,S.P上平均间距 设第二相粒子半径为r,体积分数为f,S.P上平均间距 l,则厚度为 则厚度为2 单粒子层) 为l,则厚度为2r(单粒子层)单位面积中第二相粒子数 2r·1 1 可表示为: 可表示为: ×f
ch5弯曲变形1-3-2013
C
(5 3a)
(q 以弧度计)
及其挠度: EIw M (x)dx dx Cx D (5 3b)
§5-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
EIq
EI
dw dx
M
(x)dx
C
(5 3a)
(q 以弧度计)
EIw M(x)dx dx Cx D (53b)
§5-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
解:为了应用公式
(5－2b)求解,首先
写出此梁的弯矩方 程。为此,可取x处
横截面右侧梁段, 由荷载P直接写出:M(x)= -P(l-x) (l)
将式(1)中的M(x)代入公式(5－2b),即得挠曲
载变形后,成为载荷作用平面内的一条 平面曲线-----挠度曲线(挠曲线 Deflection Curve),它又叫弹性曲线 (Elastic Curve)。
§5-1 概述 Introduction
由图可见,弯曲使梁上任一横截面(如C截面)产
生移动和绕中性轴的转动。梁横截面形心的垂直位
移(如CC’=fC)称为挠度(Deflection),用y表示(因变
其中的积分常数(Integral Constant)C1和C2可由 梁对变形的约束来确定(其相应的条件叫边界条件 (Boundary Conditions)。此法通常叫二次积分法 (Double Integration Method)。
式(5-3a)通常叫转角方程(Rotative Angle Equation) 式(5-3b)通常叫挠度方程(Deflectional Equation)
仪器分析-红外吸收光谱法
第6章红外吸收光谱法6.1 内容提要6。
1.1 基本概念红外吸收光谱——当用红外光照射物质时，物质分子的偶极矩发生变化而吸收红外光光能，有振动能级基态跃迁到激发态(同时伴随着转动能级跃迁），产生的透射率随着波长而变化的曲线。
红外吸收光谱法——利用红外分光光度计测量物质对红外光的吸收及所产生的红外光谱对物质的组成和结构进行分析测定的方法，称为红外吸收光谱法.振动跃迁-—分子中原子的位置发生相对运动的现象叫做分子振动。
不对称分子振动会引起分子偶极矩的变化,形成量子化的振动能级。
分子吸收红外光从振动能级基态到激发态的变化叫做振动跃迁。
转动跃迁——不对称的极性分子围绕其质量中心转动时，引起周期性的偶极矩变化，形成量子化的转动能级.分子吸收辐射能（远红外光）从转动能级基态到激发态的变化叫做转动跃迁.伸缩振动—-原子沿化学键的轴线方向的伸展和收缩的振动。
弯曲振动——原子沿化学键轴线的垂直方向的振动，又称变形振动,这是键长不变，键角发生变化的振动。
红外活性振动—-凡能产生红外吸收的振动，称为红外活性振动,不能产生红外吸收的振动则称为红外非活性振动。
诱导效应——当基团旁边连有电负性不同的原子或基团时，通过静电诱导作用会引起分子中电子云密度变化，从而引起键的力常熟的变化，使基团频率产生位移的现象。
共轭效应——分子中形成大 键使共轭体系中的电子云密度平均化，双键力常数减小，使基团的吸收频率向低波数方向移动的现象。
氢键效应—-氢键使参与形成氢键的原化学键力常数降低，吸收频率将向低波数方向移动的现象。
溶剂效应—-由于溶剂(极性）影响,使得吸收频率产生位移现象.基团频率——通常将基团由振动基态跃迁到第一振动激发态所产生的红外吸收频率称为基团频率，光谱上出现的相应的吸收峰称为基频吸收峰,简称基频峰。
振动偶合——两个相邻基团的振动之间的相互作用称为振动偶合。
基团频率区—-红外吸收光谱中能反映和表征官能团（基团）存在的区域.指纹区——红外吸收光谱中能反映和表征化合物精细结构的区域。
ch7弯曲变形ok-PPT课件
1 M ( x)（非纯弯）——挠曲轴曲率 ( x) EI
平面曲线 w w(x) 的曲率
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度
smax < sp
挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
3/2
M(x) EI
小变形时： w2 << 1
以及最大挠度和最大转角。
解：
建立坐标系（如图）。 弯矩可以用一个函数描述，无需分段。
梁的弯矩方程
xHale Waihona Puke M(x)FQ(x)
在坐标为x的截面处截开，由右侧部分的平衡，得到弯
矩方程：
M (x) 1 q l x2
0 x l
2
建立微分方程并积分
将弯矩方程代入小挠度微分方程，得
EIw" M 1 q l x2
§1 引言—梁变形的描述
弯曲变形特点 挠度与转角
弯曲变形特点
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交.
挠度与转角—梁位移
挠曲轴 转角
EI
wx M0 x2 Cx D
2EI
边界条件 w0 0, D 0 w' 0 0,C 0
wx M0 x2 x M0 x
2EI
EI
wB
M0l2 2EI
B
M0l EI
例3-2，已知：悬臂梁承受
均布载荷。均布载荷集度为q ，
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
弯曲变形知识点总结
弯曲变形知识点总结一、弯曲变形的原理1.1 弯曲应力和弯曲应变在外力作用下，梁或梁状结构会发生弯曲变形。
在梁上的任意一点，都会受到弯曲应力的作用。
弯曲应力是指由于梁在受力下产生的内部应力，它的大小和方向取决于梁的截面形状、受力方向和大小等因素。
弯曲应力与梁的截面形状呈二次关系，通常情况下，弯曲应力最大值出现在梁的截面中性轴附近。
随着梁的弯曲，材料内部会产生弯曲应变。
弯曲应变也是和梁的截面形状有关的，并且与弯曲应力呈线性关系。
弯曲应变可以用来描述梁在受力下的变形情况，对于计算梁的弯曲变形非常重要。
1.2 理想弹性梁的弯曲变形对于理想弹性梁而言，其弯曲变形可以通过弯曲方程来描述。
弯曲方程可以根据梁的几何形状和外力作用来得到，通过求解弯曲方程可以得到梁的变形情况。
理想弹性梁的弯曲变形遵循胡克定律，即弯曲应力和弯曲应变成正比。
1.3 破坏弯曲当外力作用到一定程度时，梁会发生破坏弯曲。
在破坏弯曲阶段，梁的抵抗力不足以克服外力作用，导致梁发生不可逆的变形。
在此阶段，梁的弯曲应力和弯曲应变将迅速增大，直至梁失去稳定性。
二、弯曲变形的计算方法2.1 弯曲方程弯曲方程是描述梁弯曲变形的重要工具，可以根据弯曲方程来求解梁的弯曲应力和弯曲应变。
通常情况下，弯曲方程是一种二阶微分方程，需要求解出合适的边界条件，才能得到梁的变形情况。
弯曲方程的求解与梁的截面形状直接相关，对于不同形状的梁，需要采用不同的弯曲方程。
2.2 梁的截面性质对于计算梁的弯曲变形而言，了解梁的截面性质非常重要。
梁的截面性质包括截面面积、截面惯性矩等参数，这些参数会直接影响弯曲方程的求解。
在实际工程中，可以通过截面性质来选择合适的梁截面形状，以满足结构设计的需求。
2.3 数值计算方法为了解决复杂梁的弯曲变形问题，通常需要采用数值计算方法。
数值计算方法可以通过数学模型来描述梁的变形行为，然后通过计算机仿真来得到梁的变形情况。
在工程实践中，有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以对复杂结构的弯曲变形问题进行有效求解。
常见高分子红外光谱谱图解析
C=C 伸缩振动 苯环－C＝C－ 弯曲振动
－CH 弯曲振动 单取代苯环 ＝CH 面内变形 （反式1，4）－CH=CH- 面外变形 单取代苯环 ＝CH 面外变形
13 / 24
10.聚氯乙烯[ ―CH2―CHCl― ]
2970 cm－1 2911
1426 cm－1 1334、1254 cm－1
对称伸缩
不对称伸缩
弯曲
1 / 24
弯曲型 XY2：
不对称伸缩
对称伸缩
面内弯曲（剪式）
面内摇摆 平面型 XY3：
面外摇摆
卷曲
对称伸缩
不对称伸缩
面内弯曲
面外弯曲 角锥型 XY3：
对称弯曲
不对称弯曲
2 / 24
面内摇摆
4）聚合物红外光谱的特点 1、组成吸收带 2、构象吸收带 3、立构规整性吸收带 4、构象规整性吸收带 5、结晶吸收带
－CH3 不对称伸缩振动 －CH2－ 不对称伸缩振动 －CH2－ 对称伸缩振动
C N 伸缩振动
C=C 伸缩振动 －CH2－ 弯曲振动
－CH3 弯曲振动 （3，4-）> C=CH2 面外变形 （顺式1，4-）－CH=CH2- 面外变形
11 / 24
8.聚苯乙烯
3082、3059、3025、3000 cm－1 2923 cm－1 2849 cm－1
1085、1015 cm－1 830 cm－1
>C=O 伸缩振动 苯环－C＝C－ 弯曲振动
－C(CH3)2 弯曲振动 －C－O－C－ 伸缩振动 苯环－C＝C－ 弯曲振动 对位取代苯环 ＝CH 面内变形 对位取代苯环 ＝CH 面外变形
15 / 24
13.聚对苯二甲酸乙二醇酯
17弯变形7-2
=−
+
384EI 16EI
θ A = θ Aq + θ Am
= − ql 3 + ml 24EI 6EI
15
例12-5
A
B
2F
a
a
A
B
A
fB
θB
2F
F 已知：EI=常数
C 求: fC 1,2
( ) F (2a) 3
F fC1 = 3EI ↓
C fC2 = fB +θBa
fC1
( ) 2Fa 3 2Fa 2
q
qa
B
qa2 θB
2a
a
注意：引起 θB的有两项: q 和M=qa2，
他们的转向不同， 叠加时注意正负号。
θB
=θq
+θM
=q(2a)3 24EI
−
qa2 ⋅ 2a 3EI
= − qa3 (↵)
3EI
BC段B截面转角引起 θB a （↓）
29
习题12-7（a）
q
qa
q
qa
A
A
B
C
B
qa2 θB
2a
+
Pa ⋅ a 2EI
=
3Pa2 4EI
vAP A
EI B
( ) vB
=
−
Pa 3 3(2EI )
−
Pa ⋅ a2 2(2EI )
=
−
5 Pa 2 12 EI
↓
()
()
θA
=
θ AP
+θB
=
Pa2 2EI
+
3Pa2 4EI
= 5Pa2 4EI
ch7弯曲变形new
§1 引言—梁变形的描述
弯曲变形特点 挠度与转角
弯曲变形特点
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交.
挠度与转角—梁位移
挠曲轴 转角
b
转角方程为
w ww12((xx))
0<x<a a < x<b
Pb 6EIl
3x2
(b2
l
2
)
Pa 6EIl
3(l
x)2
(a2
l
2
)
0< x<a a< x<l
B x
FBy
A
梁的最大转角：
< 0
C
当x =0时，转角为
A
w1(0)
Pab 6EIl
(l
b)
当x =l时，转角为
(顺时针）
B
w2( l )
1 M ( x)（非纯弯）——挠曲轴曲率 ( x) EI
平面曲线 w w(x) 的曲率
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度
smax < sp
挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
3/2
M(x) EI
小变形时： w2 << 1
B
C
a
a
q/2
A C
B
A
a
a
对称, 转角为0
5 q l4
ch7 弯曲变形(3rd)
第七章 弯曲变形7-2 图示外伸梁AC ，承受均布载荷q 作用。
已知弯曲刚度EI 为常数，试计算横截面C的挠度与转角，。
题7-2图解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座A 与B 的支反力分别为23 ,2qaF qa F By Ay ==AB 段（0≤x 1≤a ）：121122d d x EI qa x w -=121114d d C x EIqa x w +-= (a)11131112D x C x EIqa w ++-= (b)BC 段（0≤x 2≤a ）：2222222d d x EI q x w -=232226d d C x EIq x w +-= (c)22242224D x C x EIq w ++-= (d)2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为0 0 11==w x 处，在(1)0 11==w a x 处，在(2)连续条件为 2121 w w a x x ===处，在(3)221121d d d d x w x w a x x -===处，在(4)由式（b ）、条件（1）与（2），得01=D ， EIqa C 1231=由条件（4）、式（a ）与（c ），得EIqa C 332= 由条件（3）、式（b ）与（d ），得EIqa D 24742-= 3. 计算截面C 的挠度与转角将所得积分常数值代入式（c ）与（d ），得CB 段的转角与挠度方程分别为 EI qa x EI q 36332+-=2θEIqa x EI qa x EI q w 247324423422-+-= 将x 2=0代入上述二式，即得截面C 的转角与挠度分别为() 33EI qa C =θ()↓-= 2474EIqa w C7-3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。
试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的大致形状。
题7-3图解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图7-3。
图7-37-6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为M 1与M 2的力偶。
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第七章 弯曲变形7-2 图示外伸梁AC ，承受均布载荷q 作用。
已知弯曲刚度EI 为常数，试计算横截面C 的挠度与转角，。
题7-2图解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座A 与B 的支反力分别为23 ,2qaF qa F By Ay ==AB 段（0≤x 1≤a ）：121122d d x EI qa x w -=121114d d C x EIqa x w +-= (a)11131112D x C x EIqa w ++-= (b)BC 段（0≤x 2≤a ）：2222222d d x EI q x w -=232226d d C x EIq x w +-= (c)22242224D x C x EIq w ++-= (d)2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为0 0 11==w x 处，在(1)0 11==w a x 处，在(2)连续条件为2121 w w a x x ===处，在(3)221121d d d d x w x w a x x -===处，在(4)由式（b ）、条件（1）与（2），得01=D ， EIqa C 1231=由条件（4）、式（a ）与（c ），得EIqa C 332= 由条件（3）、式（b ）与（d ），得EIqa D 24742-= 3. 计算截面C 的挠度与转角将所得积分常数值代入式（c ）与（d ），得CB 段的转角与挠度方程分别为 EI qa x EI q 36332+-=2θEIqa x EI qa x EI q w 247324423422-+-= 将x 2=0代入上述二式，即得截面C 的转角与挠度分别为() 33EI qa C =θ()↓-= 2474EIqa w C7-3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。
试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的大致形状。
题7-3图解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图7-3。
图7-37-6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为M 1与M 2的力偶。
如欲使挠曲轴的拐点位于离左端l /3处，则力偶矩M 1与M 2应保持何种关系。
题7-6图解：梁的弯矩图如图7-6所示。
依题意，拐点或M =0的截面，应在3/l x =处，即要求3:32:12l l M M =由此得122M M =图7-67-7 在图示悬臂梁上，载荷F 可沿梁轴移动。
如欲使载荷在移动时始终保持相同的高度，则此梁应预弯成何种形状。
设弯曲刚度EI 为常数。
题7-7图解：在位于截面x 的载荷F 作用下，该截面的挠度为()↓-= 3)(3EIFx x w因此，如果将梁预弯成EIFl x w 3)(3= 的形状，则当载荷F 沿梁轴移动时，载荷始终保持同样高度。
7-8 图示悬臂梁，弯曲刚度EI 为常数。
在外力作用下，梁的挠曲轴方程为3ax w =式中，a 为已知常数。
试画梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的载荷。
题7-8图解：1. 内力分析EIax xwEI M 6d d 22==EIa xMF 6d d S ==梁的剪力、弯矩图如图7-8所示。
图7-82. 外力分析0d d 22==x M q在区间A ＋B －内，由上式与剪力、弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中载荷。
由剪力、弯矩图可知，截面B －的剪力与弯矩分别为EIa F B 6-S,= EIal M B 6=-在梁端切取微段B －B ，并研究其平衡，得作用在截面B 的集中力与集中力偶矩分别为EIa F 6= （）EIal M 6e = （）7-9 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。
试用奇异函数法计算截面B 的转角与截面C的挠度。
题7-9图(a)解：1.求支反力由梁的平衡方程0=∑B M 和0=∑y F ，得)( 2 )( 2↓=↑=aM F a M F e By e Ay ， 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为e e 2a x M x aM M --=挠曲轴的通用近似微分方程为0e e 222d d a x M x a M xw EI --=将其相继积分两次，得 C a x M x a M x w EI+--=e 2e 4d d (a)D Cx a x M x a M EIw ++--=2e 3e 212(b)3．确定积分常数 梁的位移边界条件为： 在0=x 处，0=w (c)在a x 2=处，0=w(d)将条件(c)代入式(b)，得0=D将条件(d)代入式(b)，得12e aM C -=4．建立挠曲轴方程将所得C 与D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为]12212[1e 2e 3e x a M a x M x a M EI w ---=由此得AC 段与CB 段的挠曲轴方程分别为 )1212(1e 3e 1x aM x a M EI w -=]12)(212[1e 2e 3e 2x a M a x M x a MEI w ---=5．计算C w 和B θ将a x =代入上述1w 或2w 的表达式中，得截面C 的挠度为0=C w将以上所得C 值和a x 2=代入式(a)，得截面B 的转角为EIa M a M a M a aM EI θB 12)1244(1e e e 2e -=--= )((b)解：1.求支反力由梁的平衡方程0=∑B M 和0=∑y F ，得)(41)(43↑=↑=qa F qa F By Ay ，2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为222243a x q x q x qa M -+-=挠曲轴的通用近似微分方程为22222243d d a x q x q x qa xw EI -+-=将其相继积分两次，得 C a x q x q x qa x w EI+-+-=3326683d d (a)D Cx a x q x q x qa EIw ++-+-=44324248(b)3．确定积分常数梁的位移边界条件为： 0 0==w x 处，在 (c)0 2==w a x 处，在(d)将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得16303qa C D -==， 4．建立挠曲轴方程将所得C 与D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为]16324248[13443x qa a x q x q x qa EI w --+-=由此得AC 段与CB 段的挠曲轴方程分别为)163248(13431x qa x q x qa EI w --=]163)(24248[134432x qa a x q x q x qa EI w --+-= 5．计算C w 和B θ将a x =代入上述1w 或2w 的表达式中，得截面C 的挠度为)(4854↓-=EIqa w C将以上所得C 值和a x 2=代入式（a ），得截面B 的转角为)( 487]163)2(6)2(6)2(83[133332✈EIqa qa a a q a q a qa EI θB =--+-= (c)解：1.求支反力 由梁的平衡方程∑=0yF和∑=0A M ，得)( 21)( Fa M F F A Ay =↓=，2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为a x F a x Fa Fx Fa M 22320-+-+-=挠曲轴的通用近似微分方程为a x F a x Fa Fx Fa xw EI 2232d d 022-+-+-=将其相继积分两次，得DCx a x F a x Fa x F x Fa EIw C a x F a x Fa x F x Fa x w EI++-+-+-=+-+-+-=323222264364222322d d(b)(a)3．确定积分常数 该梁的位移边界条件为： 0 0==w x 处，在 (c)0d d 0===xwx θ处，在 (d)将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得00==C D ，4．建立挠曲轴方程将所得C 与D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为]264364[13232a x F a x Fa x F x Fa EI w -+-+-=由此得AC 段、CD 段和DB 段的挠曲轴方程依次为])2(6)(4364[1])(4364[1 )64(1 323232322321a x F a x Fa x F x Fa EI w a x Fax F x Fa EI w x F x Fa EI w -+-+-=-+-=-=5．计算w C 和B θ将a x =代入上述1w 或2w 的表达式中，得截面C 的挠度为)( 123↑=EIFa w C将以上所得C 值和a x 3=代入式(a)，得截面B 的转角为)( 2])(2)2(23)3(2)3(2[1222 EIFa a F a Fa a F a Fa EI θB =++-=(d)解：1.求支反力由梁的平衡方程0=∑B M 和0=∑y F ，得)( 1211 )( 127↑=↑=qa F qa F By Ay ， 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为3366127a x aq x a q x qa M -+-=挠曲轴的通用近似微分方程为332266127d d a x a q x a q x qa xw EI -+-=将其相继积分两次，得 C a x a q x a q x qa x w EI+-+-=4422424247d d (a)D Cx a x a q x a q x qa EIw ++-+-=553120120727(b)3．确定积分常数 梁的位移边界条件为： 在0=x 处， 0=w (c)在a x 2=处， 0=w(d)将条件(c)代入式(b)，得0=D将条件(d)代入式(b)，得3720187qa C -= 4．建立挠曲轴方程将所得C 与D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为]720187120120727[13553x qaa x a q x a q x qa EI w --+-=由此得AC 段与CB 段的挠曲轴方程分别为 )720187120727(13531x qa x a q x qa EI w --=]720187)(120120727[135532x qa a x a q x a q x qa EI w --+-= 5．计算C w 和B θ将a x =代入上述21w w 或的表达式中，得截面C 的挠度为 )(240414↓-=EI qa w C 将以上所得C值和a x 2=代入式(a)，得截面B 的转角为)( 720203]72018724124162447[33✈EIqa EI qa θB =-+-⨯= 7-10 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。