10.3 实数的认识
实数知识点归纳
实数知识点归纳数学作为一门重要的学科，包含着许多的知识点。
其中一个关键的概念就是实数。
实数是数学中的一种基本概念，它们是我们日常生活中经常使用的数字。
本文将对实数的定义、性质以及实数的分类进行归纳和分析。
一、实数的定义和性质实数是指包括正数、负数和零的所有有理数和无理数的集合。
具体地说，实数是一个无穷的、密度很高的数轴。
根据实数的定义，我们可以得出一些关键性质。
首先，实数集合是一个无限的集合。
无论你选择多少个实数，总是可以找到更多的实数。
这反映了实数的无穷性。
其次，实数集合是一个连续的集合。
任意两个不相等的实数之间，总是可以找到无穷多个其他的实数。
我们可以通过不断逼近来证明这一点。
最后，实数集合是一个稠密的集合。
对于任意给定的两个实数，总是可以找到其他的实数位于它们之间。
也就是说，实数在数轴上是无处不在的。
二、实数的分类实数可以根据其性质和特点进行分类。
常见的实数分类有有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的实数。
有理数可以是正数、负数和零。
例如，整数、分数和循环小数都属于有理数的范畴。
有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
无理数是无法用两个整数的比值表示的实数。
无理数是无限不循环的小数，它们无法精确表示为分数形式。
例如，π和根号2就是无理数。
无理数在数轴上是不可数的，即无法用有限个数字进行描述。
实数的分类还可以根据是否为代数数进行划分。
代数数是满足代数方程的实数，它是有理数和无理数的交集。
而超越数是无理数中的一类特殊数，它们不满足任何代数方程。
例如，e和π就是超越数。
三、实数在实际应用中的意义实数在数学中具有重要的作用，同时也广泛应用于实际生活中。
在几何学中，实数用于测量距离、长度和面积等概念。
实数的连续性以及实数的代数运算性质为几何学提供了基础。
在物理学中，实数用于描述运动、速度和力等物理量。
实数在精确计量和建立物理模型方面起着关键作用。
在经济学和金融学中，实数用于进行精确计算和分析。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
《实数概念理解》 讲义
《实数概念理解》讲义一、实数的定义与范围实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数包括整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）。
整数大家都很熟悉，像 0、1、－2 等等。
而分数呢，比如 1/2、－3/4 这样能表示为两个整数之比的数。
无理数则是那些不能表示为两个整数之比的数，也就是无限不循环小数。
最常见的无理数就是圆周率π和开方开不尽的数，比如√2。
实数的范围非常广泛，它涵盖了我们在日常生活和数学研究中遇到的几乎所有的数值。
从测量物体的长度、计算物体的面积和体积，到解决各种数学问题，实数都发挥着至关重要的作用。
二、实数的性质1、有序性实数是具有有序性的。
也就是说，对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必定有一种成立。
例如，2 ＜ 3，5 ＝ 5，7 ＞ 4 等等。
2、稠密性实数还具有稠密性。
这意味着在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多个实数。
比如说，在 1 和 2 之间，有 11、12、13 等等，还有 111、112 等等，无穷无尽。
3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除）是封闭的。
这是什么意思呢？就是说，任意两个实数进行加、减、乘、除运算（除数不为 0），得到的结果仍然是实数。
比如 3 ＋ 5 ＝ 8，7 2 ＝ 5，4 × 6 ＝ 24，10 ÷ 2 ＝5，结果都是实数。
三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。
有限小数和无限循环小数都对应着有理数，而无限不循环小数则对应着无理数。
例如，025 是有限小数，是有理数；0333是无限循环小数，也是有理数；π ≈ 31415926是无限不循环小数，是无理数。
2、数轴表示我们还可以通过数轴来表示实数。
数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
数轴的正方向通常向右，原点为 0，左边为负数，右边为正数。
实数教学总结知识点
实数教学总结知识点一、实数的定义和分类1. 实数的定义实数是指能用数线上的一点表示的数。
包括有理数和无理数两个部分。
有理数是指可以表示为两整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类实数分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无理数是指不能表示为有理数的数，比如π和e等。
二、实数的性质和运算1. 实数的大小比较实数之间可以通过大小关系进行比较，可以使用大小关系进行排序。
在实数范围内，大于0的数为正数，小于0的数为负数。
2. 实数的加法和减法实数的加法和减法遵循交换律和结合律，满足加法逆元和减法逆元的性质。
3. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循交换律和结合律，分母不为0时可进行除法运算。
4. 实数的运算性质实数的运算满足分配律、结合律、交换律和消去律等性质。
三、实数的代数运算1. 实数的乘方和开方对于实数的乘方运算，有着指数运算的法则，例如乘方和开方的逆运算。
2. 实数的多项式运算实数的多项式运算包括加法、减法、乘法和除法等运算。
3. 实数的根式运算根式运算是对实数的开方运算，需要注意分母不为0，并且运算结果可能是有理数或无理数。
四、实数的应用1. 实数在代数方程中的应用实数在代数方程中起到了重要作用，可以通过实数的代数运算解决方程，例如一元一次方程、二元一次方程等。
2. 实数在几何中的应用实数在几何中有着广泛的应用，比如用实数表示坐标、长度、面积和体积等概念。
3. 实数在金融和经济中的应用实数在金融和经济中也有着广泛的应用，比如利息计算、货币兑换和股票投资等。
五、实数教学方法和策略1. 实数教学方法在实数教学中，老师可以采用讲解、示范、演练、实验、讨论等多种教学方法，提高学生对实数的理解和应用能力。
2. 实数教学策略在实数教学中，老师可以引导学生进行探究性学习，激发学生的学习兴趣，培养学生的实际动手能力和解决问题的能力。
六、实数教学中的注意事项1. 注重基础知识的建立实数是数学的基础，老师要注重实数的基本概念和分类，使学生能够对实数有一个清晰的认识。
实数知识点
实数知识点实数是数学中重要的概念之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从实数的概念、性质、分类以及实数在数学和实际生活中的应用等方面进行详细介绍。
一、实数的概念及性质实数是数学中最基本的数集之一，包括有理数和无理数。
它们可以用数轴来表示，数轴上的每个点都对应着一个实数。
实数具有以下性质：1. 实数的有序性：对于实数集中的任意两个数a、b，必定存在三种关系：a＜b，a＝b或a＞b。
这个性质使得实数可以进行大小比较。
2. 实数的稠密性：对于任意两个实数a、b (a＜b)，必定存在一个实数c (a＜c＜b)，即实数集中不存在空隙。
这个性质可以用来证明实数集的连续性。
3. 实数的无穷性：实数集是无界的，即没有最大和最小值。
无论给定多大或多小的数，总可以找到比它更大或更小的数。
4. 实数的完备性：实数集中满足某个性质的数列必定收敛于一个实数。
这个性质使得实数集可以用来描述物理量的测量结果。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
有理数可以表示为无限循环小数，例如1/3＝0.3333...。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的小数表示无限不循环。
常见的无理数有开方数（如√2）和圆周率π。
无理数在数轴上是无限不重复的。
三、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，同时也贯穿于实际生活的各个领域。
1. 几何学：实数可以用来度量和描述几何图形的属性，例如线段的长度、角的度数等。
实数的大小和比较关系可以帮助我们确定图形的大小和位置。
2. 物理学：实数可以用来表示物理量的不同数值，例如速度、质量和能量等。
实数的运算规律可以帮助我们进行物理量的计算和分析。
3. 经济学：实数可以用来表示货币的数额、价格的变动等经济指标。
实数的运算可以用于货币的兑换和经济指标的计算。
4. 统计学：实数可以用来表示数据的测量结果，例如年龄、身高、体重等。
课题：10.3实数数学教案
课题：10.3实数数学教案
标题：10.3 实数数学教案
一、教学目标：
1. 学生能理解和掌握实数的概念。
2. 学生能够运用实数进行基本运算（加法、减法、乘法、除法）。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：
1. 实数的定义
2. 实数的分类：有理数和无理数
3. 实数的基本运算
三、教学过程：
(1) 引入新课：
通过日常生活中的实例引入实数的概念，如测量长度、重量等。
(2) 新课讲解：
1) 实数的定义：所有能用数轴上的点表示的数都是实数。
2) 实数的分类：有理数和无理数。
- 有理数：可以用两个整数的比表示的数。
- 无理数：不能用两个整数的比表示的数。
3) 实数的基本运算：加法、减法、乘法、除法。
(3) 课堂练习：
设计一些简单的实数运算题目，让学生进行练习。
(4) 小结与作业：
对本节课的主要内容进行回顾，并布置一些相关的课后习题。
四、教学方法：
1. 讲解法：通过教师讲解，使学生理解实数的概念和性质。
2. 演示法：通过数轴演示，帮助学生理解实数在数轴上的表示。
3. 练习法：通过实际操作，使学生熟练掌握实数的运算。
五、教学评价：
通过课堂提问、小测验和课后作业等方式，检查学生对实数的理解程度和运算能力。
实数知识点总结概括初中
实数知识点总结概括初中一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数的集合，记作R。
有理数包括整数和分数，而无理数是那些无法写成有理数形式的数，如π和√2等。
实数的概念是对数的一个总称，它是数学研究和运用的基础。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限的循环小数。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而无理数通常用无限不循环小数表示。
3. 实数的分布实数可以用数轴表示，数轴上的点对应着实数。
实数在数轴上是连续的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种连续的性质是实数的重要特点之一。
二、实数的性质1. 实数的比较实数之间可以比较大小，可以用不等式表达实数的大小关系。
对于任意两个实数a和b，有a＜b、a＝b或a＞b三种可能的关系。
2. 实数的绝对值实数的绝对值是这个实数到原点的距离，记作|a|，其中a是实数。
绝对值有以下性质：（1）若a＞0，则|a|=a；（2）若a＜0，则|a|=-a；（3）|a|=0的充分必要条件是a=0。
3. 实数的有序性实数集合是有序的，即实数集合中的每个实数都可以和实数集合中的其他实数相比较大小。
这种有序性是实数与数学中其他集合的一个重要区别。
4. 实数的密度实数在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种性质体现了实数的密度，也是实数在数学中的重要性质之一。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法和减法是最基本的运算，可以利用数轴对实数的加法和减法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法是对实数进行组合和分解的运算，可以用数轴对实数的乘法和除法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
3. 实数的乘方和开方实数的乘方和开方是对实数进行多次相乘或多次开方的运算，可以用数轴对实数的乘方和开方进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是实数运算的综合应用，包括加减乘除、乘方开方等多种运算的组合和应用。
七年级数学上册实数知识点
七年级数学上册实数知识点在七年级数学上册中，实数是重要的知识点之一。
实数的概念是数学中极其基础的知识之一，也是日常生活中最常用的数学概念之一。
在本文中，我们将介绍实数基本概念、实数的种类、实数的运算等知识点。
一、实数的基本概念实数是数学中最常用的概念之一，它包括有理数和无理数两种，而有理数又包括整数、分数和正负数三种。
实数的概念可以用几何图像表示，即实数可以表示为实轴上的一个点，如图一所示。
图一在图一中，实数0表示实轴的原点，正数和负数分别在0的右侧和左侧。
对于两个实数a和b(a≠0)，它们的乘积ab可以表示为一条长度为|a|的线段和一条长度为|b|的线段所组成的矩形面积。
二、实数的种类实数主要分为有理数和无理数两种。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数、整数和正负数均为有理数。
其中，整数有正整数、负整数及零；分数有正分数、负分数和零；正数和负数则只是不包括零的整数的集合。
而无理数则是不能用有理数形式表示的数。
例如，根号2是一个无理数，无理数可以表示为以0为根和1为顶的不可终止的连分数，如下所示：√2 = [1;2,2,2,…]实数在数轴上分布不均，有理数和无理数也分别分布在数轴的不同部位。
三、实数的运算实数有四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
具体运算规则如下：1.加法：对于任意实数a和b，它们的和为a+b，如负数加正数、两个负数相加、分数相加等。
2.减法：对于任意实数a和b，它们的差为a-b，如正数减负数、负数减正数、分数减分数等。
3.乘法：对于任意实数a和b，它们的积为ab，如正数乘负数、两个负数相乘、分数相乘等。
4.除法：对于任意实数a和b(b≠0)，它们的商为a÷b，如分数相除、正数除以负数、负数除以正数等。
总之，实数作为数学中的基础概念，是非常常用的数学工具之一。
掌握实数的基本概念、种类和运算规则是数学学习的基础，也是我们日常生活中计算和理解问题的必要工具。
实数的知识点总结人教版
实数的知识点总结人教版一、实数的概念实数是数学中的一个基本概念，它是有理数和无理数的总称。
有理数指的是可以用整数分数表示的数，包括正整数、负整数、零以及所有的分数。
无理数指的是不能用整数分数表示的数，如根号2、π等。
实数的概念包括有理数和无理数两个部分，它是数学中最基础、最广泛的一个概念。
在数学的学习中，实数是很多数学问题的基础，比如代数方程、不等式、函数、数列等问题都离不开实数。
实数的概念也是数学分析、微积分等高级数学学科的基础。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数之间可以进行大小比较，实数集合是一个有序集合。
对于任意两个实数a、b，可以根据它们的大小关系判断出a>b、a<b或者a=b。
2. 实数的稠密性实数集合具有稠密性，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多的实数。
这是因为实数可以用有理数逼近，而有理数又是稠密的，所以实数也是稠密的。
3. 实数的代数结构实数集合具有良好的代数结构，它是一个域。
实数集合中的元素满足加法封闭性、乘法封闭性、加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律等性质。
4. 实数的有界性实数集合具有有界性，对于任意非空有限实数集合，它必有上界和下界。
5. 实数的连续性实数集合具有连续性，即实数集合中的任何两个数之间都存在着无穷多的实数。
三、实数的运算实数的运算主要包括加法、减法、乘法、除法等。
1. 实数加法实数加法满足交换律、结合律、分配律等性质，对于任意两个实数a、b，它们的和为a+b。
2. 实数减法实数减法是加法的逆运算，对于任意两个实数a、b，它们的差为a-b。
3. 实数乘法实数乘法满足交换律、结合律、分配律等性质，对于任意两个实数a、b，它们的积为a*b。
4. 实数除法实数除法是乘法的逆运算，对于任意两个实数a、b（其中b≠0），它们的商为a/b。
实数的运算是数学中最基础的运算，它是其他数学概念和问题的基础。
在实际的数学运算中，实数的运算是很多数学问题的关键。
《实数概念理解》 讲义
《实数概念理解》讲义一、实数的定义实数，这个在数学中经常出现的名词，到底是什么呢？简单来说，实数是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），它们都可以表示为两个整数的比值。
而无理数，则是那些无限不循环小数，比如圆周率π、根号 2 等等。
二、实数的分类为了更好地理解实数，我们可以对其进行分类。
实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数包括正有理数和正无理数。
正有理数像 1、2、3 这样的正整数，以及像 1/2、2/3 这样的正分数。
正无理数比如π、根号 3 等等。
零，是一个特殊的实数，它既不是正数也不是负数。
负实数则包括负有理数和负无理数。
负有理数像－1、－2、－3 这样的负整数，以及像－1/2、－2/3 这样的负分数。
负无理数比如π、根号 2 等等。
三、有理数有理数是实数中比较有规律的一部分。
整数很好理解，像 0、1、－1 等等。
而分数，其实就是把一个整数分成若干等份的表示形式。
比如3/4 ，表示把一个整体平均分成 4 份，取其中的 3 份。
有理数有很多特性。
它们可以写成有限小数或者无限循环小数。
比如 1/2 可以写成 05 ， 1/3 可以写成 0333（无限循环）。
四、无理数无理数相对来说比较神秘和难以捉摸。
它们不能表示为两个整数的比值，并且其小数部分是无限不循环的。
例如，圆周率π约等于 31415926，它的小数位是无穷无尽且没有循环规律的。
还有像根号 2 约等于 141421356，也是无限不循环小数。
无理数的发现对于数学的发展有着重要的意义，它们让我们对数字的世界有了更深入和全面的认识。
五、实数的性质实数具有很多重要的性质。
首先是有序性，任意两个实数都可以比较大小。
比如 2 大于 1 ，－3 小于 0 。
其次是稠密性，也就是说在任意两个不同的实数之间，都存在着无穷多个实数。
比如在 1 和 2 之间，有 15 、 125 、 11 等等。
实数的知识点
实数是数学中的一种基本概念，它包括有理数和无理数。
实数的概念在数学中具有重要的地位，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、实数的性质、实数的分类以及实数的应用等方面逐步展开。
一、实数的基本概念实数是数学中最基本的一个数系。
从直观上来理解，实数是包括所有可能的数值，无论是整数、分数还是无理数，都被认为是实数。
实数集通常用符号R表示，其中R代表实数的意思。
实数包括有理数和无理数两个部分。
二、实数的性质 1. 实数的有序性：实数集中的任意两个数都可以进行比较大小。
这是实数集的一个重要性质，它使得我们可以进行数字的排序和比较大小操作。
2. 实数的稠密性：在任意两个实数之间，总是可以找到另外一个实数。
这个性质说明实数集中没有任何空隙，每个数都可以用一个区间包围住。
3. 实数的完备性：实数集中的每个非空有上界的子集都有上确界。
这个性质保证了我们能够对实数进行精确的计算和推理。
三、实数的分类实数可以进一步分为有理数和无理数两个部分。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数可以用分数的形式表示，例如1/2、-3/4等。
2. 无理数：无理数是无法表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
无理数不能用分数的形式表示，例如π和√2等。
四、实数的应用实数在数学中的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用领域：1. 几何学：实数被广泛应用于几何学中，用于描述线段的长度、角的度量等。
2.物理学：实数用于描述物理量的大小和关系，例如时间、质量、速度等。
3. 统计学：实数被用于统计学中，用于描述数据的分布、平均值、方差等。
4. 金融学：实数用于描述金融市场中的价格、收益率等。
5. 计算机科学：实数在计算机科学中被广泛使用，用于表示计算机程序中的浮点数和精确计算。
总结：实数是数学中的一个基本概念，包括有理数和无理数两个部分。
实数具有有序性、稠密性和完备性等性质，这些性质使得实数集在数学中具有重要的地位。
实数知识点总结归纳
实数知识点总结归纳一、实数的定义1. 实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数等；无理数是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。
实数的概念是对一切可以在数轴上标出的点的统称。
2. 实数的表示实数可以用十进制数表示，包括整数部分和小数部分。
例如，数3.14是一个实数，3是它的整数部分，0.14是它的小数部分。
3. 实数的性质实数具有有限性、稠密性、连续性和比较性等基本性质。
有理数与无理数的性质有所不同，但它们都是实数的一部分。
二、实数的性质1. 实数的顺序性实数集合中任意两个数都可以比较大小，即对于任意a，b∈R，要么a＜b，要么a＝ b，要么a＞b。
2. 实数的稠密性实数集合中任意两个不相等的实数之间都有无穷多个实数。
例如，任意两个有理数之间必存在无理数，任意两个无理数之间必存在有理数。
3. 实数的加法性质实数的加法运算满足交换律、结合律和分配律。
对于任意a，b，c∈R，有a＋b＝b＋a，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），a（b＋c）＝ab＋ac。
4. 实数的乘法性质实数的乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。
对于任意a，b，c∈R，有ab＝ba，（ab）c＝a（bc），a（b＋c）＝ab＋ac。
另外，实数0的乘法恒等于0，实数1的乘法恒等于自身。
5. 实数的整除性实数可以相互整除，如果a，b∈R，且a≠0，则必存在一个实数c，使得a＝bc。
这个性质表明了实数的整除性。
6. 实数的实数运算实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即对于任意a，b∈R，a＋b，a－b，ab，a/b∈R。
这意味着实数的四则运算可以得到实数。
7. 实数的有理数和无理数性质有理数和无理数的性质有所不同，其中有理数可以表示为有限小数、循环小数或分数，而无理数不能用这些形式表示。
三、实数的应用1. 实数在数轴上的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴是一个无限延伸的直线，用来表示实数的大小和相对位置。
数学实数的知识点总结
数学实数的知识点总结1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的所有的实数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数；无理数是不能表示为两个整数的比值的数，如π和e等。
实数的定义通常是这样的：实数是所有可以用十进制表示的数的集合，可以是一个有理数，也可以是一个无理数。
2. 实数的性质实数具有以下几个重要的性质：（1）对于任意两个实数a和b，存在一个实数c，使得a+b=c；（2）对于任意两个实数a和b，存在一个实数c，使得a×b=c；（3）对于任意两个实数a和b，如果a>b，则a+c>b+c，a×c>b×c；（4）对于任意三个实数a、b和c，在满足a>b和b>c的情况下，有a>c。
这些性质是实数运算中非常重要的基本规则，它们决定了实数的运算规律，我们在实际计算中经常会用到这些性质来简化运算步骤。
3. 实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
接下来分别介绍这几种运算的规则。
（1）加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着实数的加法顺序不影响结果，而且可以将多个数的加法合并为一个式子进行计算。
（2）减法：实数的减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中的负号表示b的相反数。
减法的结果是一个实数，可以使用加法的规则进行计算。
（3）乘法：实数的乘法也满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
此外，乘法还满足分配律，即对于任意实数a、b和c，有a×(b+c)=a×b+a×c。
这意味着实数的乘法也可以合并为一个式子进行计算。
（4）除法：实数的除法是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)，其中1/b表示b的倒数。
实数概念知识点总结
实数概念知识点总结一、实数的定义实数是指所有的有理数和无理数的总称。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。
实数包括了所有的有理数和无理数，是数轴上的所有点的集合。
实数的定义还可以从数轴的角度来理解。
数轴是一条无限长的直线，上面标记了所有的实数。
数轴上任意一点都对应着一个实数，数轴上的点是有序的，也就是说数轴上的点按大小顺序排列。
这种对应关系使得我们可以将实数看做是一个有序的集合。
二、实数的性质1.实数的代数性质实数满足加法、减法、乘法和除法运算。
对于任意的实数a、b和c，有以下代数性质成立：（1）交换律：a + b = b + a，ab = ba；（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(ab)c = a(bc)；（3）分配律：a(b + c) = ab + ac；（4）单位元素：存在0和1，使得a + 0 = a，a · 1 = a；（5）加法逆元：对于任意的实数a，存在一个数-b，使得a + (-b) = 0；（6）乘法逆元：对于任意的非零实数a，存在一个数1/a，使得a · (1/a) = 1。
2.实数的大小比较实数具有大小的比较关系。
对于任意的实数a和b，有以下性质成立：（1）对于任意的实数a，有a > 0，a = 0或a < 0；（2）对于任意的实数a和b，有严格不等式a < b，a > b或者a = b。
3.实数的密度性质实数是一个稠密的集合，它意味着在数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在着无限多个实数。
这一性质对于实数的连续性和无限性具有重要意义。
4.实数的有理数与无理数性质（1）有理数的性质：有理数是可以表示为两个整数之比的数，它们在数轴上是分散的、不连续的点。
有理数包括了整数和分数两种类型。
（2）无理数的性质：无理数是不能表示为有理数的数，它们在数轴上是一些孤立的、不连续的点。
实数知识点总结大全
一、实数的概念及性质1. 实数的定义：实数是指可以用在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
2. 实数的性质：实数具有以下性质：（1）实数集合是一个实数域，它包含了所有实数。
（2）实数是可比较的，即任意两个实数之间可以进行大小比较。
（3）实数是封闭的，对任意两个实数进行加减乘除得到的结果还是实数。
（4）实数满足传递性，即如果a>b，b>c，则a>c。
3. 实数的稠密性：实数的一个重要性质是稠密性，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多个实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻地分布着的，没有空隙。
4. 实数的有限性：实数作为一种数学对象，是有限的，也就是说，对于任意一个实数，它都可以用有限个操作从某个给定的实数得到。
5. 实数的无限性：实数也具有无限性，例如无理数的小数部分是无限不循环的，这使得实数具有无限性。
二、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c，a+b=b+a，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法：实数的减法可以看作加上一个相反数，即a-b=a+(-b)。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c，ab=ba，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法：实数的除法满足除法运算的性质，即分子与分母都不为零。
5. 实数的乘方：实数的乘方运算是幂运算的一种特殊形式，即对于实数a和自然数n，有a^n=a*a*...*a（共n个a）。
6. 实数的开方：实数的开方是乘方运算的逆运算，即给定一个实数a，求出另一个实数b，使得b^2=a。
7. 实数的绝对值：实数的绝对值是一个非负的实数，它表示了这个实数到原点的距离，通常用|a|表示。
8. 实数的倒数：对于一个非零实数a，它的倒数是1/a。
1. 实数的大小比较：实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有以下比较关系：（1）a>b：表示a大于b。
人教版实数知识点总结
人教版实数知识点总结一、实数的概念1、实数的概念实数是数学中非常重要的一个概念，它包括有理数和无理数两大类。
实数是由所有有理数和无理数组成的数集。
它比有理数更加广泛，包括了所有的数。
2、有理数和无理数有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、正分数、负分数等，而无理数则是那些不能用任何有限小数或者分数表达的数，例如$\sqrt{2}$、$\pi$等。
二、实数的运算1、实数的加法实数的加法满足交换律和结合律，即对于任何实数a、b、c，有：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2、实数的减法实数的减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。
对于任何实数a，有：a-0=a，0-a=-a。
3、实数的乘法实数的乘法也满足交换律和结合律，即对于任何实数a、b、c，有：a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
4、实数的除法实数的除法是乘法的逆运算，即a除以b等于a乘以$\frac{1}{b}$。
除数不为0，即b≠0。
三、实数的性质1、实数的零元素实数0是加法的零元素，即对于任何实数a，有：a+0=a。
2、实数的单位元素实数1是乘法的单位元素，即对于任何实数a，有：a×1=a。
3、实数的分配律实数的乘法对加法分配律，即对于任何实数a、b、c，有：a×(b+c)=a×b+a×c。
4、实数的乘法逆元素非零实数a的乘法逆元素是$\frac{1}{a}$，即a乘以$\frac{1}{a}$等于1，0没有乘法逆元素。
5、实数的乘法消去律如果实数a、b、c满足a×c=b×c且c≠0，则有a=b。
四、实数的比较1、实数的大小比较对于任何实数a、b，有三种相互大小的可能性：a<b，a>b或者a=b。
其中，a<b表示a 小于b，a>b表示a大于b，a=b表示a等于b。
实数的知识点全总结
实数的知识点全总结一、实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有实际存在的数。
有理数是可以表示为两个整数的比的数，而无理数是不能表示为两个整数的比的数。
例如，根号2就是一个无理数，它不能被表示为两个整数的比。
实数的定义是数学上一个很基础的定义，但是实数的性质和运算规则却有很多深刻的内容，需要深入研究和探讨。
二、实数的性质1. 实数的闭包性：任意两个实数相加、相减、相乘得到的仍然是一个实数，这就是实数的闭包性。
实数集合对于加法和乘法是封闭的，这也是实数集合与有理数集合的一个重要区别。
2. 实数的稠密性：实数集合是一个稠密集合，任意两个实数之间都存在有理数，也存在无理数。
这就意味着实数集合是一个非常密集的数学概念，包含了所有可能的数。
3. 实数的有序性：实数集合是一个有序集合，任意两个实数都可以进行比较大小。
这是实数集合与无理数集合的一个重要区别，也是实数集合在数学分析中应用广泛的一个性质。
4. 实数的无限性：实数集合是一个无限集合，它包括了所有可能的有理数和无理数。
实数集合的无限性是数学中一个非常重要的概念，它在分析、代数、几何等不同领域都有重要的应用。
5. 实数的稳定性：实数集合是一个稳定的数学概念，它对于加法、乘法、取绝对值等运算都是稳定的。
这也是实数集合与有理数集合的一个重要区别，有理数集合在进行除法运算时往往会出现不稳定的情况。
三、实数的运算规则1. 实数的加法：对于任意两个实数a和b，它们的和a+b也是一个实数。
加法满足交换律、结合律和分配律等运算规则。
2. 实数的减法：对于任意两个实数a和b，它们的差a-b也是一个实数。
减法是加法的逆运算，减法也满足交换律和结合律。
3. 实数的乘法：对于任意两个实数a和b，它们的积ab也是一个实数。
乘法满足交换律、结合律和分配律等运算规则。
4. 实数的除法：对于任意两个实数a和b，如果b不等于0，那么它们的商a/b也是一个实数。
实数的除法是乘法的逆运算，除法满足交换律和结合律。
实数章节知识点总结
实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。
（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。
无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。
3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。
二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。
（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。
（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。
三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。
（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。
（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。
3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。
《实数概念理解》 讲义
《实数概念理解》讲义一、实数的定义与范围实数，这个在数学中频繁出现的概念，是我们进行数学运算和解决数学问题的重要基础。
那么，到底什么是实数呢？简单来说，实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数和分数，整数像－3、0、5 这样能够被完整表示的数，分数则如 1/2、－3/4 等可以写成两个整数之比的数。
而无理数，则是那些不能表示为两个整数之比的数，比如圆周率π，它的小数位无限且不循环。
再比如√2（根号 2），也是一个无理数。
实数的范围非常广泛，从我们日常生活中常见的整数、小数，到那些看似抽象的无理数，都被包含在实数的大家庭中。
二、实数的分类为了更好地理解和研究实数，我们通常会对其进行分类。
1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数就是大于零的实数，像2、35 等；负实数则是小于零的实数，比如－1、－25 等；零既不是正实数也不是负实数，它是一个特殊的存在。
2、按性质分类如前面所提到的，实数可以分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分，整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的表示方法实数通常可以用小数形式或者分数形式来表示。
小数形式包括有限小数和无限循环小数，例如 05 是有限小数，0333 是无限循环小数，它们都属于有理数。
而无理数则通常用无限不循环小数来表示，比如π约等于31415926 ，√2 约等于 14142135 。
在数轴上，每一个实数都对应着一个唯一的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
这就是实数与数轴的一一对应关系。
四、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方等。
加法和减法：同号两数相加（减），取相同的符号，并把绝对值相加（减）；异号两数相加（减），取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
实数知识点总结文字
实数知识点总结文字一、实数的定义与性质1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合，它们可以在实数轴上表示，可以用小数或者分数表示，是数学中最基本的数的概念之一。
2. 实数的性质实数具有以下几个基本性质：① 闭合性：实数集合对于加法和乘法都是封闭的，即任何两个实数进行加法或者乘法运算的结果仍然是实数。
② 交换律、结合律和分配律：实数的加法和乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
③ 有序性：实数集合中的任意两个实数都可以进行大小比较，即实数集合具有大小顺序。
④ 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间都存在有理数和无理数。
二、实数的运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，都有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
同时，实数的加法也满足分配律，即对于任意的实数a、b、c，都有a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中-a是实数b的加法逆元。
3. 实数的乘法实数的乘法也满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，都有ab=ba，(ab)c=a(bc)。
同时，实数的乘法也满足分配律，即对于任意的实数a、b、c，都有a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法实数除法可以看作是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)，其中1/b是实数b的乘法逆元。
5. 实数的乘方和开方对于实数a，a的n次幂为a的n-1次方与a的乘积，其中n为正整数。
而a的n次方的n次根为实数n，且对任何实数a、b，都有(ab)^n=a^n×b^n。
6. 实数的绝对值实数a的绝对值是a到原点的距离，记作|a|，即当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
三、实数的有理数与无理数1. 有理数有理数是指可以用整数表示为分子、分母为非零整数的数，包括了正整数、负整数、零和分数。
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5
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0. 6
0 3 9 3 0.13
火眼金睛 判断快枪手——看准最快最准！
2 （ 1） 是分数（× ） 2 （2）实数不是正实数就是负实数。（× ）
（3）无理数都是开方开不尽的数。（ ×） （4）实数不是有理数就是无理数。（ （5）无理数都是无限不循环小数。（ ） ）
2、如果将整数看做小数点后面是0的小数，则对实数 进行下面四种分类中，不正确的是（ C ）
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3 0. 6 4 3 64 0 . 6 4
0 0
3
3
3 0.13 3 0.13
9
3
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9
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1.请将数轴上的各点与下列实数对应起来； — — √ 2 -1.5 √ 5 ～ 3
A
-2
0
B
C DE 4
速 战 速 乘 决 胜 追 击
引导自学
带着问题自学课本84页“思考”和 “例1”
1.无理数也有相反数吗？怎么表示？
2.有绝对值吗？怎么表示？
3.有倒数吗？怎么表示？
在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内 的相反数、绝对值的意义完全一样。
无理数集合
合 二 “ 为 贯 一 穿 前 后 ”
有理数和无理数统称为实数。 实数的分类 （按定义分）
整数
有理数 实数 无理数
分数
有限小数或 无限循环小数
无限不循环小数
实数的分类（按数的正负性质分）
正有理数 正实数 正整数 正分数
正无理数
实数
零
负有理数 负实数
负整数 负分数
负无理数
把下列各数分别填入相应的集合内：
3 8,
3
32 ,
64
整数集合
3.1415926 , 2.1 21, 9 ,0.07 , Байду номын сангаас 1 16
分数集合
把下列各数分别填入相应的集合内：
3
同步P86
3 3.1415926 , 2 , 0.3737737773… （相邻两个3之间的7 2 的个数逐次加1）
6
,
3.14
(2)指出 5,1 3各是什么数的相反数 (3)求 3 64的绝对值 (4)已知一个数的绝对值是 3 求这个数.
百 战 百 知 胜 己 知 彼
让我们用 所学知识 使智慧之 树开花
填空 实力神枪手——看谁百发百中 １、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是
0 ，
负实数的绝对值是 它的相反数 .
这一仗打得很 漂亮，现在盘 点一下本节课 的收获吧
盘 点 收 收 获 兵 回 营
优 秀 小 组 颁 奖
练习1.判断下列数哪些是有理数?哪 些是无理数？
6 , 2
解: 1. 2 3
2
,
22 7
2
1.23,
22 , 36 7
1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
36 是有理数,
揭示新知一
我们把这种无限且不循环
的小数叫做无理数。 无理数的两个特征:
1.无限小数; 2.不循环小数.
你还知道哪些常见的无理数?
1. 圆周率 及化简后含有 的 数都是无理数
例如：
,
2
,
2 1
2.带根号且开不尽方的数都是无理数
像 7,
例如：
∵
3
3, 12 的数是无理数。
注意:带根号的数不一定是无理数
周率π。经过长期的
艰苦研究，他计算出圆 周率在３．１４１５９ ２６和３．１４１５９ ２７之间，成为世界上 最早把圆周率数值推算 到七位数字以上的科学 家。
2011年10月16日，日本长野县饭田市 公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周 率计算到小数点后10万亿位，刷新了 2010年8月由他自己创下的5万亿位吉 尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是 自己组装的计算机，从10月起开始计算， 花费约一年时间刷新了纪录。
有理数是整数和分数的集合，整数亦 可看做是分母为一的分数。 任何一个有理数都可以写成分数的形式. 反过来,任何分数也都是有理数. 也可以这样给有理数下一个定义:
有理数是一个整数a和一个 非零整数b的比，
全 力 “ 备 谈 战 古 论 今 ”
祖冲之,字文远,范阳
郡人。他的最杰出贡献 是求得相当精确的圆
1.判断下列说法是否正确；
（1）无限小数都是无理数.（ 错 ） （2）无理数都是无限小数.（ 对 ） （3）带根号的数都是无理数.（ 错 ）
2.把下列各数分别填在相应的集合中；
3.1415926
√7
—
0.6
22 7
-8
√ 36
—
— √3
3
0
～
0.191191119…
每相邻两个9之间依次多一个1
有理数集合
探究二
质疑点拨
1.你能把无理数～在数 轴上表示出来吗？
～ ） ?直径为1个单位长度的圆的周长为（
直径为1的圆
-2
-1 0
1
2
3π 4
探究二
质疑点拨
1.你能把无理数～ 在数 — 2.你能把无理数 √2在 轴上表示出来吗？ 数轴上表示出来吗？
B
2
A －2 －1 0 1
2
2
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反 过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数 和数轴上的点是一一对应的。
２、 3 的相反数是
p p 3、一个数的绝对值是 ，则这个数是 2 2
50
5、绝对值等于 5 的数是
3
，绝对值是
3
． .
４、比较大小：－７
5。
练习:
P86
2.求下列各数的相反数和绝值:
2.5, 7,
2
, 3 2, 0
例2
计算下列各式的值:
(1)( 3 2) 2;
性质
分类讨 论思想
分类
按性质分类
思想
类比思想
这一仗打得很 漂亮，现在来 一下攻坚战吧
3 2 2 3
课堂检测
1.下列实数中，无理数是（ D ） A.3.14 A.-3与 √— 3 1 C. -3 与 3
3 B. 5
C.0
D. √— 3
2.下列各组数中，互为相反数的一组是（ D ）
1 B. -3 与 3 2 D. -3与 √ （-3） — 3.在数轴上与原点距离等于√ 7 的点表示的数 — ± 是（ √ 7 ）
25 25 5
\
25 是有理数
3. 有一定的规律，但不循环的无限 小数都是无理数。（即人为构造的数）
例如： 0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕 -168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕 0.12345678910111213… 〔小数部分由相继的 正整数组成〕
6 2
1.232232223……（两
个3之间依次多一个2）
是无理数.
这一仗打得很 漂亮，现在来 一下攻坚战吧
3 2 2 3
9 ,0.0777 , 1 16
2,
22 ,3 7
8,
20 , 0 .101 , 3
1 , 17
8,
3
9,
, 2.121,
32 , 3 64
有理数集合
无理数集合
速 战 速 乘 决 胜 追 击
随堂练习
9
3
把下列各数填入相应的集合内：
64
3
5
5
（1）有理数集合： 9
设x=0.3 即x=0.333…① 10x=3.333…② ∴②－①得9x=3, 根据上面提供的方法，你能把 . . 1 ...化成分数吗？ 5.8 ,0.81， 0.28
1 ∴x= 3
.
想一想:有限小数、无限循环小数都可以化成分数吗？
29 81 279 5.8 ， 0.81 ， 0.281 5 99 990
有理数
A、实数 无理数 B、实数
有限小数
无限循环小数 无限不循环小数
小数 C、实数 分数
正实数
D、实数
0
负实数
（1）若a是无理数，b是无理数。则 ab是无理数吗？ （2）若x、y是无理数，则x+y一定 是无理数吗？
（1）了解无理数的定义和特征。
（2）无理数的判断。 （3）实数的分类。
课堂小结：
无理数产生的历史背景
公元6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一 切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，从古埃及到古代中 国的数学，都认为任何一个量，总可以拥有理数来表示， 但是，出生于公元前约470年的古希腊数学家希伯索斯发现边长为1的 正方形的对角线的长不能用整数或整数的比表示，即不是有理数，由此 引发了第一次经济危机。当时他所在的毕氏学派认为这不合常理，与他 们一直信奉的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，这一发现 使毕氏学派惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希帕 斯因此被囚禁，受到百般折磨，传说2500年前，在爱琴海岸边，希帕斯 被绑上巨石投进了大海„„当然，后来人们知道，这是一个伟大的发现， 也是数学史上一个重要的里程碑。 希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不 能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴 上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简 直多得“不可胜数”。 然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们 为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取 名“无理数”——这就是无理数的由来。