全国百套名校高三数学模拟试题分
【名校试题】2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(解析版)
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A. {|22}x x -<< B. {|24}x x -≤≤ C. {|22}x x -≤≤ D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A. 3 B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由(2)0a a b ⋅-=r r r ，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r， 即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r ==故选：A【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A. 2sin 2x - B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2 B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥的体积112223323P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯==W ， 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDS S S =++=⨯+⨯⨯=+V V W ， 因13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,856[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】 【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c+的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）. （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19.在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯==所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】 【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x -＃；（2）[7,3]-【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020届全国100所名校高三理科数学模拟金典试题(三)及参考答案
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１００所名校高考模拟金典卷 数学试卷（三） 第 ２ 页 共 ６ 页
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全国100所名校单元测试示范卷高三数学
全国100所名校单元测试示范卷高三数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = tan(x)D. y = e^x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 4}3. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)：A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，求ab的最大值：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/65. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (1, 0)6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. -4C. -3D. 47. 根据题目所给的三角函数关系，求cos(α + β)的值：A. cosαcosβB. sinαsinβC. cosαsinβ - sinαcosβD. sinαcosβ + cosαsinβ8. 若a, b, c ∈ R，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b + c)^2的最大值：A. 1B. 3/2C. 2D. 9/49. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x - 3|，求f(2)：A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值。
答案：__________12. 若sinθ = 1/3，且θ为锐角，求cosθ的值。
答案：__________13. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求第5项b5。
2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三理科数学(十)试题
100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ）A. M N ⋂=∅B. N M ⊆C.{1,0,1}M N ⋂=-D.M N =R U【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合M ，观察两个集合间的关系，即可得答案；【详解】Q 24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，{2,1,0,1,2}N =--， N M ∴⊆.故选：B.【点睛】本题考查集合间的基本关系和基本运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.下列复数中实部比虚部小的是（ ） A.92i +B.34i - C. 2(3)i + D. (45)i i +【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算，化简C ，D 选项，即可得答案；【详解】Q 2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，∴四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算、实部与虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（ ）A.1-B. 1C. 4D.4-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于m 的方程，解方程即可得答案；【详解】由题意，得(3,3)a b m +=-r r，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4.在ABC V 中，sin 22sin B A =，2a =，且4C π=，则c =（ ）A.10B. 3C.33D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得22b a =，再利用余弦定理，即可得答案； 【详解】由正弦定理知22b a =， 因为2a =，所以4b =.因为2222cos104ca b ab π=+-=，所以10c =.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A. 乙逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】C 【解析】 【分析】利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解.【详解】对于选项A, 甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题； 对于选项B, 甲的数学建模能力指标值为4，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D, 甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题. 故选C【点睛】本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（ ）A. 122V V >B. 222V V =C. 12163V V -=D. 12173V V -=【答案】D 【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=.∴12416243173V V -=-= 故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 7.如图，正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）A.35B.38C.310D.320【答案】C 【解析】分析：先利用三角形相似得出13FH a =，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解． 详解：设CG BF H =I，由BCH FGH ∆∆∽，得122HF a BH a ==，即13FH a =， 则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，2221183=()2332CFH GFH S S S a a a ∆∆+=+=阴影， 由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.故选C ．点睛：本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力． 8.已知的数31()2cos 22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A. 3,022k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B. 2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C. 35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D. 5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用平移变换和伸缩变换得到()g x 的解析式，进而利令233x k ππ-=，k ∈Z ，即可得到对称中心. 【详解】31()2cos22f x x x =-Q，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k xππ=+，k ∈Z ， ∴函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中的辅助角公式、平移变换和伸缩变换、图象的对称中心，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解不等式即可得答案； 【详解】分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的循环结构，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面αI 平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（ ）A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面AF ABCD l ==，11//,//CD BA BD AF Q ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线AF 与直线1BA 所成的角为60o . 故选C.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ V 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） 2B. 253【答案】D 【解析】 【分析】 设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得22m a =，22)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，22)n a =，在12QF F V 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222224(22)(222)222(222)122c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.RB. [0,1]C. 133133,2424⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D. (,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(23)()f x f x +=，即函数()f x 的周期3T =[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)-，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，，函数的周期是23，∴当33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的区域，当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小. 【详解】由题意得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分）， 当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小， 所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题考查简单线性规划的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用.14.若5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m -，则12d m x x =⎰______.【答案】24【解析】 【分析】根据二项式定理可求得m 的值，再代入定积分中，即可得答案；【详解】Q 5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1031r -=，得3r =，∴x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =， 则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.故答案为：24.【点睛】本题考查二项式定理展开式指定项系数、定积分计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.【答案】113-或7- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值，再代入两角差的正切公式中，即可得答案； 【详解】2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=.又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，将tan α的值代入上式可得：1tan 13β=-或tan 7β=-. 故答案为：113-或7-. 【点睛】本题考查同角三角函数的商数关系、两角差的正切，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两种情况的值.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于、、A B C三点，令1||||AFBFλ=，2||||BCBFλ=，则当3πα=时，12λλ+=______.【答案】5【解析】【分析】设()11,A x y，()22,B x y，求出两点的坐标，再根据焦半径公式求出12,λλ的值，即可得答案；【详解】设()11,A x y，()22,B x y，则由过抛物线24y x=的焦点的直线的性质可得122416||2sin603AB x x=++==︒，12103x x∴+=，又21214px x==Q，13x∴=，213x=.分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点,E D，则1||||3(1)31||||(1)3AF AEBF BDλ--====--，同理可得2||||12||||sin30BC BCBF BDλ︒====，125λλ∴+=.故答案为：5.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.公差大于32的等差数列{}n a的前n项和为n S，13a=-，345,,4a a S+成等比数列，等比数列{}n b的前n项和为122n +-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25n a n =-；2nn b =（2）16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪==⎨⎪+-⋅⎩…【解析】 【分析】（1）根据等比中项可得()24354a a S =+，从而求得d ，再利用等差数列和等比数列的通项公式，即可得答案；（2）对n 进行讨论，化简数列|25|2nn c n =-⋅，再利用错位相减进行求和. 【详解】（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①-②()41108222(25)2n n nT n +⇒-=-++++--⋅L ，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩…. 【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意n T 要写成分段的形式.18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()nn N*∈个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． ()1求n 的值；()2若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；()3若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）n 7=；（2）37；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出n 的值； （2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值； （3）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()28285648715n C C n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况； 若2个全是小集团，共有2828C =种情况； 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，计算()04874151039C C P X C ===，()13874158139C C P X C ===，， ()228741528265C C P X C ===，()3187415563195C C P X C ===， ()40874152439C C P X C ===；故X 的分布列为：X0 1 2 3 4P139 839 2865 56195 239数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 19.如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AECD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、.2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若//DE CF ，3CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）520【解析】 【分析】（1）连接BE ，证明DE ⊥平面ABFE 内的两条相交直线,AF AE ，即可证明结论；（2）过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量(1,3)n =-r，求出|cos ,|CP n 〈〉u u u r r即可得答案；【详解】（1）连接BE ，由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， 在题图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I，即AE ⊥平面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM=，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,3)C ，130,,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1,3)AC =-u u u r 132,,2AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，12,,33CP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r .设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 得230132022x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,1,3)n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2253|cos ,|1573CP n -〈〉==⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭u u u r r，则5sin θ=.【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求线面角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22182x y +=（2）存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T时，常数为34+，当定点为2(T -时，常数为34- 【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，利用向量关系2BP PA =u u u r u u u r坐标化，可得曲线C 的方程；（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，将MT NT k k ⋅表示成关于,m t 的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.【详解】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--，即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=， 从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=.（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩， 故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()121222*********84(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-.当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±显然当t =t =-34-.所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T 时，常数为2(T -时，常数为34-.【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程、椭圆中的定值与定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤.（1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<. 【答案】（1）2a =.（2）见解析. 【解析】试题分析：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤，可证：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意.（2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，可证()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，进而证明()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.试题解析：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，则()22'at h t a tt-=-=，当0a ≤时，()'0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于()10h=，所以当1t >时，()()10h t h >=，不合题意.当0a >时，()2'a t a h t t⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，()'0h t >；当2t a >时，()'0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()ht 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 2h t h a⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln22ln a a =-+-. 所以要使()0ht ≤在0t >时恒成立，则只需()max 0h t ≤，亦即22ln22ln 0a a -+-≤， 令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则()22'1a a a aϕ-=-=， 所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>，即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤， 所以()1h为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故()'10h =.又()22'ath t a t t-=-=，所以2a =， 此时()()21't h t t-=，当01t <<时，()'0h t >，当1t >时，()'0h t <，即：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意. （2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，则()22'1x s x xx-=-=，由于2x >，所以()'0s x >，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()80s <，()90s >，所以()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()gx 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增. 所以()()0mingx g x = 000022ln 2x x x x +=- 2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-） 即0m x =，所以()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】 【分析】（1）结合cos ,sin x y ρθρθ==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cos sin ρραα+=+，用α表示OA OB +，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭， 所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， 故OA OB +的取值范围是(2,.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大． 23.已知()1f x x x m =+++，()232g x x x =++.（1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x ≤的解集为A ，不等式()0g x ≤的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）2m =；（2）04m ≤≤ 【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得()11f x m ≥-=，解出方程即可；（2）易得[]2,1B =--，()3f x ≤即4x m x +≤+，即42m x +≥-且4m ≤，再根据B A ⊆列出不等式即可得结果. 试题解析：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x =-时，等号成立） ∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又0m >，∴2m =.（2）由()0gx ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13x x m -+++≤ 44442m x m x x x m x x +⇔+≤+⇔--≤+≤+⇔≥-且4m ≤ 422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤21。
【名校试题】全国100所名校最新高考模拟示范卷高三文科数学模拟测试试题(一)(原卷版)
数学模拟测试
本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整，笔迹清楚.
4,x Z}与B {x| x 2k, k Z}6.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列
说法正确的是（）
中国电动汽车充电桩细分产品占比情况
■公共类口私人类
中国电动汽车充电标细分产品保存量情况（单位；万台）
70
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
百校大联考全国名校2022年高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤2．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3103．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．54．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 5．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．137．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >8．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．199．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1610．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-11．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max37a c+-=B ．max37a c-+=C ．min37a c+-= D ．min37a c-+=12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国100所名校2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题含解析
全国100所名校2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32 B ．33 C ．12 D ．222．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x = 3．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．5324．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO = ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,22⎡⎤⎣⎦C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎤⎣⎦ 6．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ） A ． B ． C ． D ．7．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+ 8．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．9．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<10．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2i z 的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H12．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．512．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．123．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 4．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 5．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-26．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．524+ D ．98．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．409．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2311．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
100所名校高考模拟金典卷数学卷二
100所名校高考模拟金典卷--数学卷(二)第一部分：选择题（每小题4分，共40分）1.已知函数f(x) = 3x^2 + ax + 2，当x = 1时，f(x) = 4，则a的值为多少？A. -3B. 0C. 1D. 22.已知一个等差数列的前四项依次为1，4，7，10，则这个等差数列的第n项是多少？A. 3n-2B. 3n+1C. 3n+2D. 3n+33.已知函数f(x) = 2^x + 2^(-x)，则f(2)的值为多少？A. 4B. 6C. 8D. 104.已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的最小值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 25.已知正方形ABCD的边长为3cm，点E是线段AD的中点，连接BE并延长至交点F，若BE = 2cm，则CF的长度是多少？A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6.已知函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4，求f(1)的值。
A. -4B. -3C. -2D. -17.已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，纵坐标之和为2。
则a+b+c的值为多少？A. 2B. 1C. 0D. -18.已知函数f(x) = 3x + 2，g(x) = 2x - 1，求f(g(1))的值。
A. 0B. 2C. 4D. 69.已知三角形ABC中，∠B = 90°，AB = 3cm，BC = 4cm，则AC的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm10.已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(-1)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3第二部分：填空题（每小题4分，共40分）11.一个数加上它的倒数等于9/8，这个数是______。
12.已知函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，求f(g(2))的值。
百校大联考试卷高三数学
1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\frac{\pi}{2}$C. $3.14$D. $\sqrt{3}$2. 已知函数$f(x)=x^2-4x+4$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 1C. 4D. 83. 若$|x+1|=3$，则$x$的值为（）A. 2B. -2C. 4D. -44. 下列函数中，奇函数是（）A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=x^3$C. $f(x)=|x|$D. $f(x)=\sqrt{x}$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1=3$，$a_5=13$，则$a_3$的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 106. 已知圆$O$的方程为$x^2+y^2=4$，则圆心$O$的坐标为（）A. $(0,0)$B. $(2,0)$C. $(-2,0)$D. $(0,2)$7. 若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值为（）A. 1B. 2C. $\frac{5}{2}$D. 38. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_4=16$，则$q$的值为（）A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 4D. $\frac{1}{4}$9. 已知函数$f(x)=\log_2(x+1)$，则$f(-1)$的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在10. 若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\tan\alpha$的值为（）A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$B. $\sqrt{3}$C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$D. $-\frac{1}{\sqrt{3}}$11. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1=3$，$a_5=13$，则$a_3$的值为______。
全国百套高考数学模拟试题分类汇编
全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线二、填空题1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。
答案：y2=－8x3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案：5164、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为.答案：1＜e≤25、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－16、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：107、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________.答案：28、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．答案：[π4,π3].解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a ≤≤，得1ba≤≤，∴43ππθ≤≤9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ .答案：5或－1310、(北京市宣武区高三综合练习一)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足CB AC 2=，则动点C 的轨迹方程是 .答案：14122=+y x 11、(北京市宣武区高三综合练习二)设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF . 答案：812、(成都市高中毕业班摸底测试)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为答案：45 13、(东北区三省四市第一次联合考试)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝。
2022届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编
2022届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编汇编圆锥曲线二、填空题某2y21、(安徽省潜山县三环中学2022届高三上学期第三次联考)对于曲线C∶=1，给4kk1出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;④若曲线C表示焦点在某轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为_____________.答案：③④52某2y22、(江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习)已知椭圆221(ab0)的两ab个焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且满足PF1F22，则该椭圆的1PF20，tanPF离心率为答案：53某2y2513、(上海市张堰中学高2022届第一学期期中考试)若m0，点Pm,在双曲线452上，则点P到该双曲线左焦点的距离为.13答案：24、(厦门市第二外国语学校2022—2022学年高三数学第四次月考)已知圆C:某2y26某4y80．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．解：圆C:某y6某4y80220),(4，0),y0某26某80,得圆C与坐标轴的交点分别为(2，某2y21则a2,c4,b12,所以双曲线的标准方程为41225、(江苏省常州市2022-2022高三第一学期期中统一测试数学试题)已知点P是抛物线y24某|PA||PM|上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|4时，的最小值是．答案：a2916、(广东省佛山市三水中学2022届高三上学期期中考试)在圆中有结论:如图,“AB是圆O的直经,直线AC,BD是圆O过A,B的切线,P是圆O上任意一点,CD是过P的切线,则有PO2PCPD”。
类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴,直线AC,BD是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有.”答案：PF1PF2PCPD7、(广东省华南师范附属中学2022届高三上学期第三次综合测试)在ABC中,ABBC,coBCPCOBADPDAF2OF1B7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率18e．3答案：88、(黑龙江省双鸭山一中2022-2022学年上学期期中考试)已知ABC 的顶点B-3,0、C3,0，E、F分别为AB、AC的中点，AB和AC边上的中线交于G，且|GF|+|GE|5=，则点G的轨迹方程为某2y21(某5)答案：25169、(福建省莆田第四中学2022届第二次月考)离心率e方程是.5，一条准线为某＝3的椭圆的标准3某29y21答案：52022、(江苏省赣榆高级中学2022届高三上期段考)抛物线y4a某(a0)的焦点坐标是_____________;答案：(a,0)2某2y21上一点P作某轴的平行线11、(四川省万源市第三中学高2022级测试)过双曲线34交两渐线于Q．R两点，则PQPR=答案：3某2y2112、(四川省成都市2022—2022学年度上学期高三年级期末综合测试)P是双曲线3的右支上一动点,F是双曲线的右焦点,已知A(3,1),则PAPF的最小值是.答案：262313、(四川省泸县六中高09级二诊模拟数学试题)已知P(某,y)是抛物线y2＝－8某的准线与双曲某2y212线8的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z＝2某－y的最大值为答案：514、(苍山诚信中学·理科)将抛物线某4a(y3)2(a0)按向量v=（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为.答案：(1,0)4a12某(m0)的焦点坐标是.m15、(苍山县·理科)抛物线y答案：（0，m）4某2y216、(郓城实验中学·理科)已知F1、F2是椭圆2=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B是2a(10a)短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是答案：10039某2y21的右支上一动点，17、(聊城一中·理科)P是双曲线F是双曲线的右焦点，已知A(3，31)，则PAPF的最小值是．答案：262318、(重庆市万州区2022级高三第一次诊断性试题)设O是坐标原点，F是抛物线y22p某(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与某轴正向的夹角为60°，则|OA|为.答案：21p27．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e▲．1819、(江苏省梁寨中学08－09学年高三年级调研考试)在△ABC中，ABBC，coB答案：3820、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)已知在直角坐标系中，两定点坐标为A（-4,0），B（4，0），一动点M （某,y）满足条件MAMB1AB2，则点M的轨迹方程是某2y21答案：41221、(浙江省嘉兴市)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2某的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为▲．答案：2-3或2+322、(浙江省嘉兴市文)已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是▲．某2y21答案：423、(浙江省嘉兴市文)己知等边三角形的一个顶点位于抛物线y某的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为▲．答案：2-3或2+3．24、（金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷（理科）抛物线y4某的焦点坐标为答案：（1，0）22某2y21的左焦点重25、(浙江省宁波市.文)若抛物线y2p某(p0)的焦点与双曲线32合,则p的值▲.答案：4某2y226、（台州市2022学年第一学期理）已知双曲线221(a0,b0)的离心率e=2，则其ab渐近线的方程为▲.答案：1327、(2022学年第一学期十校高三期末联考数学试题)以抛物线y24某的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______。
高三数学百所名校测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，则$f(x)$的图像大致为（）A. 图像开口向上，有3个零点B. 图像开口向下，有1个零点C. 图像开口向上，有1个零点D. 图像开口向下，有3个零点2. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_3+a_5=24$，则该数列的前10项和$S_{10}$等于（）A. 100B. 120C. 140D. 1603. 已知复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为（）A. 线段$[-1,1]$B. 线段$[-1,1]$的垂直平分线C. 线段$[-1,1]$的延长线D. 线段$[-1,1]$的对称线4. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，则$f(x)$的对称中心为（）A. $(1,0)$B. $(-1,0)$C. $(1,0)$和$(-1,0)$D. 无对称中心5. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3+a_5=32$，则该数列的公比$q$等于（）A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 4D. $\frac{1}{4}$二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}=______$。
2. 已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(x)$的顶点坐标为______。
3. 已知复数$z=1+i$，则$|z-i|$的值为______。
4. 已知函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$，则$f(x)$的奇偶性为______。
5. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{3}$，则$a_5=______$。
三、解答题（每题20分，共60分）1. （1）已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，求证：$a_n=3n-1$。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学文科卷(二)(解析版)
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B =U （ ） A. {1,2,3,4,5} B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义可直接求得结果. 【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5A B =U .故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.详解】2z i =-Q ，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,b λ=-r ，若//a b rr ，则实数λ等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行关系可构造方程求得结果.【详解】//a b r r Q ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】直接利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 45y x =±B. 54y x =±C. 43y x =±D. 34y x =?【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，结合,,a b c 的关系求出,a b 的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为53，即53c e a ==，所以53c a =，又222c a b =+，所以43b a =，因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：C【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误.【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为193，极差为24，所以选项C 的说法是错误的. 故选：C【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.7.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a =---，则cos A =（ ） A.45B.35C.310D.25【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得2226b c a c +-=，再利用余弦定理即可求得cos A . 【详解】因为5b =，22625c c a =---，所以2226b c a c +-=， 又2222cos bc A b c a ⋅=+-，所以62cos c bc A =⋅，所以3cos 5A =. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.函数()()21e ln 11exxf x x x -=+-+的图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性排除选项,C D ；利用()20f >排除选项A 即可.【详解】由题意知，函数())21e ln 11e xxf x x x -=++的定义域为R ，其定义域关于原点对称，因为())21ln11xxe f x x x e ----=++)21ln11x x e x x e -=++又因为()))1222ln1ln1ln1x x x xx x -+=+=-+，所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，故排除,C D ；又因为())2212ln5201e f e -=>+，故排除A.故选：B【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB. 12πC.112π D.212π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥，因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A. d ≈B. d ≈C. d ≈D. d ≈【答案】C 【解析】 【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可. 【详解】由316V d π=得：36V d π=. 由A 得：3916V d ≈，69 3.37516π=∴⨯≈；由B 得：312V d ≈，632π∴≈=； 由C 得：3157300Vd≈，6157 3.14300π⨯∴≈=；由D 得：3815V d ≈，683.215π⨯∴≈=， C ∴的公式最精确.故选：C .【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12B. 12-C.14D. 14-【答案】A 【解析】 【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果. 【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=，由2sin sin αβ+=()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=，两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A .【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.12.已知,,A B C 为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC V 的重心，则ABC V 的面积为( )A.B.C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，C 到直线AB 的距离为d ，分直线AB 斜率不存在与存在两种情况讨论：斜率不存在时，求出AB 与d ，计算ABC V 的面积；斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，联立消元，应用韦达定理得到12x x +与12x x ，化简表示出AB 与C ，将点C 坐标代入椭圆方程得到22441b k =+，计算ABC V 的面积.综合两种情况，可得答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，记C 到直线AB 的距离为d ，Q O 为ABC V 的重心，∴1230x x x ++=，1230y y y ++=，①当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆对称性可知，12y y =-，12x x =，则12AB y =， 由O 为ABC V 的重心知，12312x x x ==-，30=y ，则()2,0C 或()2,0C -， ∴133332d x x x =-==，1y ==AB ，∴ABC S =△，②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，易知0b ≠，联立方程2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得()2214kx x b ++=，化简整理得，()222418440k x kbx b +++-=，()()()222228441446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，由韦达定理得，122841kb x x k +=-+，21224441b x x k -=+， ∴12x x -==，∴12241AB x k ==-+，Q O 为ABC V 的重心，∴()3122841kbx x x k =-+=+，()()()312121221224kx b kx b k x by y y k x b +++=-+--+==-=-+，∴22824141,kbb k C k ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭，∴C 到直线AB的距离为d ==将点C 代入椭圆方程得，222282411441kb b k k ⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭， 整理得22441b k =+，222641616480k b b ∆=-+=>，∴AB ==，∴ABC V 的面积为212SAB d ==⋅=， 综上所述，ABC V 的面积恒为2. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查了三角形重心的性质，考查了运算能力，另外,作为选择题，本题可直接通过特殊位置求出ABC V 的面积，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6- 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果. 【详解】()g x Q 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题. 14.已知数列()*{}n a n ∈N是等差数列，其前n 项和为nS，若11=66S ，36927a a a +=，则12S =___________.【答案】78 【解析】 【分析】由11=66S 及等差数列的性质可得66a =，代入所给等式可得39627a a =+，两式联立即可求得1a 、d ，再利用等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为116611666S a a ==⇒=①， 所以36939627a a a a a +=+=②， 由①②可得115672027a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以121=126678S a d +=. 故答案为：78【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，等差数列性质的应用及前n 项和公式，属于基础题. 15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω.【详解】2,0 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭Q和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x两个相邻的对称中心，722632Tπππ∴=-=，即2Tππω==，2ω∴=.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.16.在正三棱柱111ABC A B C-中，23AB=，12AA=，,E F分别为1AB，11A C的中点，平面α过点1C，且平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，则异面直线EF与l所成角的余弦值为________.【答案】34【解析】【分析】由面面平行性质可知11//l A B，取1111,A B B C的中点分别为,H G，可证得//GF l，由此得到异面直线所成角为GFE∠或其补角，通过求得cos GFE∠可确定所成角为GFE∠，进而得到结果.【详解】Q平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，平面11A B C I平面11111A B C A B=，11//l A B∴取1111,A B B C的中点分别为,H G，连接1,,,,EH EG GH GF AC，如图所示，则11//GF A B，//GF l∴，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠或其补角，23AB=Q12AA=，14AC∴=，1EH=，3HF GF==2EG EF∴==，3322cos02GFGFEEF∴∠===>，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠，∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为34.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii tty y =--=∑.回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）$31.1120.9y t =+；（2）338.6万人. 【解析】 分析】（1）根据所给数据求出样本平均数以及对应的系数即可求得y 关于t 的线性回归方程；（2）令7t =代入所得线性回归方程即可求得预测值. 【详解】（1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， 165177201238290214.25y ++++==，()22232521(2)(1)01210i i tt =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()5=125131131.110iii ii ttty y bt=--===-∑∑$， $214.231.13120.9ay bt =-=-⨯=$， 故所求回归方程为$31.1120.9y t =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得$31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 【点睛】本题考查线性回归方程，最小二乘估计，属于基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314n n n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果； （2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314nn n S a-+=-Q ，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，Q 当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=；当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log 214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，//BC AD ，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线//AG 平面PEF . （2）求多面体AGCPEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）由//OG PE 推出//GO 平面PEF ，//AC EF 推出//AC 平面PEF ，从而推出平面//PEF 平面GAC ，由AC ⊂平面GAC 可得//AC 平面PEF ；（2）间接由多面体P ABCD -的体积减去三棱锥G ABC -、P EFD -的体积即可得解.【详解】（1）连接EC ，连接BE 交AC 于点O ，连接GO ，因为//2BC AD AD BC E =，，为线段AD 的中点， 所以//BC AE 且BC AE =，又AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，则点O 为BE 的中点， 因为O 、G 分别为线段BE 、PB 的中点，所以//OG PE ， 因为GO ⊄平面PEF ，PE ⊂平面PEF ， 所以//GO 平面PEF ，同理可得//AC 平面PEF ，又因为GO ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC ，AC GO O ⋂=， 所以平面//PEF 平面GAC ， 又因AC ⊂平面GAC ，所以直线//AC 平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以111(12)11322P ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=， 11111132212G ABC V -=⨯⨯⨯⨯=， 11111132212P DEF V -=⨯⨯⨯⨯=， 故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=. 【点睛】本题考查面面平行、线面平行的判定及证明，多面体体积的求法，属于中档题.20.已知函数2(),x f x e ax x a R =--∈，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()g x 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）12；（2）[2,)e -+∞. 【解析】 【分析】（1）令()g x =()f x '，当0a ≤时根据导数判断函数()g x 单调递增不符合题意，当0a >时利用导数判断函数单调性从而求出最小值，根据最小值为0列出方程求解即可；（2）不等式化简为210x e x ax -+-≥，则21x e x a x ---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ--=，利用导数求出函数()x ϕ的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求得a 的值. 【详解】（1）()21x f x e ax '=--， 所以()21x g x e ax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单调递增，不合题意； ②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ≥=--=，令()(1ln )1x x x μ=--，则()ln x x μ'=-，因为()0,1x ∈时()0x μ'>，(1,)x ∈+∞时()0x μ'<，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=知21a =，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x x ϕ--=，则()2(1)1()x x e x x xϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，利用导数证明不等式，涉及利用导数判断函数的单调性及求函数的最值，属于较难题. 21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值. 【答案】（1）3480x y +-=；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可由||10PF =求出p ，即可求得抛物线方程及焦点F ，由点P 在抛物线上即可求出t 从而得点P 的坐标，即可写出直线PF 的两点式方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，()33,G x y ，求出直线m 、n 的方程，联立可得直线l 的方程，由直线l 过点()0,4可得34y =-，所以点G 在定直线4y =-上，数形结合可得PG 的最小值. 【详解】（1）因为||10PF =，所以8102p+=，解得4p =， 所以()0,2F ，抛物线方程为：28x y =，又点(),8P t 在抛物线上，所以288t =⨯，又0t <，所以8t =-，则()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x --=---， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,M x y N x y ，则2118x y =，2228x y =，因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=-，整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n方程为2214y x x y =-，设()33,G x y ， 因为直线m n ，相交于点G ，联立313132321414y x x y y x x y⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎩=⎪，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以34y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于较难题.解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3πm ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 的中点为P ，求点P 的轨迹方程． 【答案】（1）2m ≥或2m ≤-；（220y m +-= 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把曲线C 和直线l 的方程化为直角坐标方程，并联立直线l 和曲线C 的直角坐标方程，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆≤即可求出实数m 的取值范围；()2根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，直线l 和曲线C 的直角坐标方程联立，得到关于x 的一元二次方程，由两个交点A ，B 可得判别式>0∆，求出m 取值范围，利用韦达定理和点P 在直线l 上表示出点P 坐标，消去参数m 即可求出A ，B 的中点P 的轨迹方程. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α可得，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=， 由题意知，直线l的极坐标方程可化为1sin cos 22m ρθρθ-=， 因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l20y m -+=，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，因为直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，所以判别式)()22410m ∆=--≤，解得2m ≥或2m ≤-，所以所求实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，所以判别式)()22410m ∆=-->，解得22m -<<，由韦达定理可得，122x x x m +==， 因为点P 在直线l上，所以222my m m ⎫=-+=⎪⎪⎭，所以可得0x +=，()11y -<<即为点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、动点轨迹方程的求法；考查运算求解能力；熟练掌握参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键；属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 为正实数，222a b +=． （1）证明：2a b ab +≥． （2）证明：442a b +≥． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式222a b ab +≥，证得01ab <≤，再利用作差法证得ab ≤，然后由基本不等式a b +≥即可得证；（2）由()222422424a b a a b b +=++=知，224424a b a b =--，结合（1）中01ab <≤，证得2222a b ≤即得证.【详解】（1）证明：因为0,0a b >>，222a b +=， 由基本不等式222a b ab +≥可得，01ab <≤，当且仅当a b =时等号成立，所以01<≤，即110-<≤，所以)10ab =≤，所以ab ≤2ab ≥，由基本不等式可得，a b +≥所以2a b ab +≥≥，即2a b ab +≥得证. （2）证明：因为222a b +=， 所以()222422424a b a a b b +=++=，即224424a b a b =--，由（1）知，01ab <≤，所以2222a b ≤， 所以4442a b --≤，即442a b +≥得证.【点睛】本题主要考查利用两个正数的基本不等式进行不等式的证明；考查运算求解能力和逻辑推理能力；灵活运用两个正数的基本不等式是求解本题的关键；属于中档题.。
2022年全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学卷(五) (2)
一、单选题二、多选题1. 已知是抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为6.若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则（ ）A ．18B ．17C ．16D ．152. 若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（ ）A．B ．1C ．3D ．93. 设点，若在圆上存在点N ，使得，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.若将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，则关于函数的四个结论的是（ ）A．的最小正周期为B ．在区间上的最小值为C．在区间上单调递减D ．的图象对称中心为不正确6. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．7. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）A．B．C ．D ．18. 若直线与曲线恰有两个公共点，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.记为等差数列的前项和，则（ ）A．B．C ．，，成等差数列D．，，成等差数列10. 关于空间两条不同直线，和两个不同平面，，下列命题错误的是（ ）A ．，，则B ．，，则C ．，，则D ．，，则11. 一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（ ）A ．取出个球，取到红球的概率为B ．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为C ．取出个球，第二次取到红球的概率为D ．取出个球，取到红球个数的均值为2022年全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学卷（五） (2)2022年全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学卷（五） (2)三、填空题四、解答题12. 将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（）A．B．C ．在上单调递增D ．函数在的零点为，，，，则13. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB 与CD 的夹角为__________．14.设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作.若：，：，则__________．15. 已知函数，曲线与x 轴的两个相邻交点为P ，Q ，曲线与直线的一个交点为M ，若，则实数______．16. 某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．（1）试用销售单价表示利润；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？17. 如图，三棱柱中，是的中点，.(1)证明：平面；(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.18.在中，，，，为线段的中点，为线段的三等分点（如图1）.将沿着折起到的位置，连接（如图2）.(1)若平面平面，求三棱锥的体积；(2)记线段的中点为，平面与平面的交线为，求证：.19. 如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，点为的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积.20. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin（A-C）＝cos C．(1)求角A的大小；(2)当时，求a2＋b2的取值范围．21. 已知椭圆：经过点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.。
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答案：
16 5
32、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线
x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线 a2 b2
.
的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为 答案：1＜e≤2 33、 (北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆 °，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e= 答案： 3－1 34、(北京市丰台区高三统一练习一)过双曲线 M： x
x2 y2 + =1(5＜a＜10＝的两个焦点， B是短轴的一个端点， 则△F1BF2 a 2 (10 a) 2
100 3 9
x2 y 2 = 1 的右支上一动点，F 是双曲线的右焦点，已知 A(3，1)，则 PA + PF 的 17、(聊城一中理科)P 是双曲线 3
最小值是 答案： 26 2 3 18、(重庆市万州区 2009 级高三第一次诊断性试题)设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点，A 是抛物
2
x2 y2 右焦点分别为F1， 2， F 点P为椭圆上一点， 且∠PF1F2=30 + = 1 的左、 a2 b2
.
y2 = 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条 b2
渐近线相交于 B、C 两点 , 且 AB = BC , 则双曲线 M 的离心率为. 答案： 10
7 ． 若以 A ，B 为 18
AC 的中点， AB 和 AC 边上的中线交于 G ，且 | GF |+ | GE |= 5 ，则点 G 的轨迹方程为
x2 y 2 答案： + Leabharlann 1( x ≠ ±5) 25 16
9、(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)离心率 e = 答案：
x2 y2 + =1，给出下面四个命题： 4 k k 1
5 2
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ，点 a2 b2
P 在椭圆上，且满足 PF1 PF2 = 0 ， tan ∠PF1 F2 = 2 ，则该椭圆的离心率为 答案：
2
为 答案： (
.
1 ,0) 4a 1 2 x ( m < 0) 的焦点坐标是 m
.
15、(苍山县理科)抛物线 y = 答案： （0，
m ） 4
16、 (郓城实验中学理科)已知F1、 2是椭圆 F 的面积的最大值是 答案：
3 8
MA MB = 1 AB 2
20、(广东省汕头市潮南区 08－09 学年度第一学期期末高三级质检)已知在直角坐标系中，两定点坐标为 A（-4,0） ， B（4，0） ，一动点 M（x,y）满足条件 ，则点 M 的轨迹方程是
x2 y2 答案： =1 4 12
21、(浙江省嘉兴市)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y = x 的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三
2
角形的边长为
▲
．
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2
．
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6、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)在圆中有结论:如图,“AB 是圆 O 的直经,直线 AC,BD 是圆 O 过 A,B 的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO 2 = PC PD ” 类比到椭圆： 。 “AB 是椭圆的长轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有
2 2
.
轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 解：圆 C : x + y 6 x 4 y + 8 = 0
2 2
．
y = 0 x 2 6 x + 8 = 0, 得圆 C 与坐标轴的交点分别为 (2， (4， 0), 0), x2 y2 则 a = 2, c = 4, b = 12, 所以双曲线的标准方程为 =1 4 12
答案：2- 3 或 2+ 3 ． 24、 （金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷（理科） 抛物线 y = 4 x 的焦点坐标为
2
答案： （1，0）
x2 25、(浙江省宁波市.文)若抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点与双曲线 y 2 = 1 的左焦点重合,则 p 的值 3
x2 y2 = 1 ( a > 0 ) 的一条渐近线方程为 3 x 2 y = 0 ， a＝. 则 35、 (北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线 2 9 a
答案：2 36、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线 所构成的角的取值范围是． ππ 答案：[4,3].
则 PQ PR = 答案：3 12、 (四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)P 是双曲线 线的右焦点,已知 A(3,1),则 PA + PF 的最小值是 答案： 26 2 3 . 。
x2 y 2 = 1 的右支上一动点,F 是双曲 3
x2 y2 =1 2 的两条渐近 13、(四川省泸县六中高 09 级二诊模拟数学试题)已知P(x,y)是抛物线y2＝－8x的准线与双曲线 8
答案：2- 3 或 2+ 3 22、(浙江省嘉兴市文)已知椭圆中心在原点，一个焦点为( 3 ，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ 答案： ．
x2 + y2 = 1 4
2
23、(浙江省嘉兴市文)己知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y = x 的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边 三角形的边长为 ▲ ．
2
．
线上的一点， FA 与 x 轴正向的夹角为 60°，则 | OA | 为
.
答案：
21 p 2
7 ．若以 A，B 为焦点的 18
19、(江苏省梁寨中学 08－09 学年高三年级调研考试)在 △ ABC 中， AB = BC ， cos B = 椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率 e = 答案： ▲ ．
▲
答案：x2 +y2 =4 28、 （宁波市 2008 学年度第一学期高三期末数）若抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点与双曲线
2
x2 y 2 = 1 的左焦点重 3
合,则 p 的值 答案：4
.
29、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是 x= -3,那么抛物线的焦点坐标是. 答案：(1，0) 30、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P与定圆C：(x+2)2+y2=1 相外切，又与定直线L：x=1 相切，那么动圆的 。 圆心P的轨迹方程是： 2 答案：y =－8x 31、(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知 P 为双曲线 线距离为；
2
5、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知点 P 是抛物线 y = 4 x 上的动点，点 P 在 y 轴
2
上的射影是 M，点 A 的坐标是（4，a） ，则当 | a | > 4 时， | PA | + | PM | 的最小值是 答案： a + 9 1
5 ，一条准线为 x＝3 的椭圆的标准方程是 3
.
x2 9 y2 + =1 5 20
2
10、(江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)抛物线 y = 4ax ( a < 0) 的焦点坐标是; 答案：(a,0)
x2 y2 11、(四川省万源市第三中学高 2009 级测试)过双曲线 = 1 上一点 P 作 x 轴的平行线交两渐线于 Q．R 两点， 3 4
2
▲
.
答案：4 26、 （台州市 2008 学年第一学期理 ）已知双曲线 . 答案：13 焦点到准线的距离为半径的圆的方程是。 27、 (2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题)以抛物线 y = 4 x 的顶点为圆心，
2
x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率e=2，则其渐近线的方程为 a 2 b2
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线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z＝2x－y的最大值为 答案：5 14、(苍山诚信中学理科)将抛物线 x + 4 = a ( y 3) ( a ≠ 0) 按向量 v=（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标
5 3
x2 y2 5 3、(上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)若 m > 0 ，点 P m, 在双曲线 = 1 上，则点 P 到该双曲线 4 5 2
左焦点的距离为 13 答案： 2 4、(厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)已知圆 C : x + y 6 x 4 y + 8 = 0 ．以圆 C 与坐标