2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数教学案含解析新人教A版

第4节幂函数与二次函数考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a 对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是减函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是减函数[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0时恒有f(x)>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.( )解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x13不是幂函数，(1)错.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a，故(4)错.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22， 所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.答案 C3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在(－∞，4)单调递增. 当a ≠0时，f (x )在(－∞，4)上单调递增.则a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上可知，－14≤a ≤0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，04.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . 答案 A5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A.{0，－3} B.[－3，0]C.{0，3}D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)解析 依题意，得Δ＝4(m ＋3)2－4×3(m ＋3)＝0，则m ＝0或m ＝－3.∴实数m 的取值范围是{0，－3}. 答案 A6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1. 答案 －1考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，b＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.b <a <c解析 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.(2)由于f (x )＝(m －1)x n为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n. 又点(2，8)在函数f (x )＝x n的图象上，所以8＝2n，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数，又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则b >c >a . 答案 (1)C (2)A规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(2019·荆门模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数(2)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A.－1<m <0<n <1B.－1<n <0<mC.－1<m <0<nD.－1<n <0<m <1解析 (1)设幂函数y ＝f (x )＝x α，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，∴2α＝12，得α＝－1，则f (x )＝x －1在x ∈R 且x ≠0时为奇函数，但在定义域内不单调.(2)幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1. 当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数. 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1. 答案 (1)A (2)D 考点二 二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.答案x2－4x＋3考点三二次函数的图象及应用【例3】 (1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0解析(1)若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(a －1)x 2－x 图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0. 答案 (1)A (2)C规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】 一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a >0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向上，A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a >0，b >0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向上，对称轴x ＝－b2a <0，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a <0，b <0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向下，对称轴x ＝－b2a<0，C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a <0，b <0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向下，D 错误. 答案 C考点四 二次函数的性质多维探究角度1 二次函数的单调性与最值【例4－1】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]. (2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1). 角度2 二次函数中的恒成立问题【例4－2】 (2020·沈阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －6，g (x )＝x ＋4.若对任意x 1∈(0，＋∞)，存在x 2∈(－∞，－1]，使f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的最大值为( ) A.6B.4C.3D.2解析 由题意f (x )max ≤g (x )max ，(*)由g (x )在(－∞，－1]上单调递增，则g (x )max ＝g (－1)＝3，f (x )＝－x 2＋ax －6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－6.当a ≤0时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )<f (0)＝－6，显然f (x )<g (x )max ＝3. 所以当a ≤0时，(*)恒成立.当a >0时，x ＝a2∈(0，＋∞)，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24－6.此时应有a 24－6≤3，且a >0，解得0<a ≤6. 综上可知a ≤6，则a 的最大值为6. 答案 A规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练4】 (1)(角度1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定(2)(角度2)若函数f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋a ＋1对于x ∈[－1，1]时恒有f (x )≥0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.(2)∀x ∈[－1，1]时，f (x )≥0⇔a (x －1)2≥x －1.(*) 当x ＝1时，a ∈R ，(*)式恒成立. 当x ∈[－1，1)时，(*)式等价于a ≥1x －1恒成立. 又t ＝1x －1在[－1，1)上是减函数，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1max＝－12. 综上知a ≥－12.答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·濮阳模拟)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m －3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m ＝( ) A.－1B.2C.3D.2或－1解析 由题意，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f (x )＝x 5的图象与坐标轴有交点，不合题意. 当m ＝－1时，f (x )＝x －4的图象与坐标轴无交点，符合题意. 综上可知，m ＝－1. 答案 A2.已知p ：|m ＋1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2－m －1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 p ：由|m ＋1|<1得－2<m <0，又幂函数y ＝(m 2－m －1)x m在(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－m －1＝1，且m <0，解得m ＝－1. 故p 是q 的必要不充分条件. 答案 B3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 答案 B4.(2020·长沙一中调研)定义在R 上的函数f (x )＝－x 3＋m 与函数g (x )＝f (x )＋x 3＋x 2－kx 在[－1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.[2，＋∞)C.[－2，2]D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 易知f (x )＝－x 3＋m 在R 上是减函数.依题设，函数g (x )＝x 2－kx ＋m 在[－1，1]上单调递减. ∴抛物线的对称轴x ＝k2≥1，则k ≥2.答案 B5.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A.[0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.答案 D 二、填空题6.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________.解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12.因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.答案 157.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________. 解析 f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4， ∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值， ∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1. 答案 18.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________.解析由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.答案[0，4]三、解答题9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).10.已知幂函数f(x)＝(m－1)2x m 2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q 成立的必要条件，求实数k的取值范围.解(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，因p是q成立的必要条件，则B⊆A，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1].B 级 能力提升11.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a－1b＝( )A.0B.1C.12D.2解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.答案 A12.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[1，2] C.[2，3]D.[1，2]解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2， 只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2. 答案 B13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.解析 当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧|f （0）|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1；|f （1）|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1， 因此n ＝－1，∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x ＝0，∴2－m ＝0，m ＝2， ∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－19.答案 －1914.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).C 级 创新猜想15.(组合选择题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确.对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误. 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误. 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确.答案 B。