11.2 反比例函数的图像与性质(2)
11.2反比例函数的图像与性质(2)
归纳与填表
反比例函数 解析式
图象形状 象限（并画出 k>0 大致图像）
增减性
象限（并画出 k<0 大致图像）
增减性
练一练
1、请写出几个反比例函数，问问你的小伙伴 它们所在的象限和增减性、大致图像
2、反比例函数 y
m
x
2
（1）若图像在二、四象限，求m的范围
（2）在同一个象限内，y随x的增大而减小，求 m的范围。
例1已知反比例函数 （1）求k的值
y＝
k x
图像经过点A（2，－ 4）.
（2）函数图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ （3）点B（ 1 ，－16）、C（ － 3，5）在这个函数的
2 图像上吗？
(4)
若点-5，y1
，(-2,y2
)在图像上，则试比较y y 的大小？ 1, 2
初中数学 八年级(下册)
11.2 反比例函数的图像与性质（2）
y6
y6
x
x
பைடு நூலகம்
y3 x
y4 x
y5 x
增减性
y＝ 6
y2
x
x1
在同一个象限内， y随x的增大而 减小
x2
y1 判断 点A(x1, y1)B(x2, y2 )在图像上，
若x1 x2,则一定有y1 y2成立。
当x1 x2 0 时 ， y1 y2
点-5，y1
，(2,y2
)在图像上，则试比较y y 的大小？ 1, 2
已知反比例函数
y＝ k x
图像经过点A（2，－ 4）
若点(-5,y )，(-2,y ),(2,y )都在图像上，
第11章 11.2 反比例函数的图像和性质(解答题)
11.2 反比例函数的图像和性质（解答题）1．（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．2．（2017•宁波）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．3．（2017•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．4．（2017•株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA 的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．5．（2017•绵阳）如图，设反比例函数的解析式为y=（k＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．6．（2017•贵阳）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB 于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？7．（2017•随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．（1）求反比例函数的解析式；（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．8．（2017•常德）如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB 的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围．9．（2017•安顺）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．10．（2017•巴彦淖尔）如图，反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于A（2，4），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限．11．（2017•深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；（2）求证：AD=BC．12．（2017•广元）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．13．（2017•聊城）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．14．（2017•广安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6，（1）求函数y=和y=kx+b的解析式．（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y=的图象上一点P，使得S△POC=9．15．（2017•巴中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．16．（2017•武汉）如图，直线y=2x+4与反比例函数y=的图象相交于A（﹣3，a）和B两点（1）求k的值；（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．若MN=4，求m的值；（3）直接写出不等式＞x的解集．17．（2017•岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．18．（2017•常州）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．（1）求m的值；（2）若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．19．（2017•黄冈）已知：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A （﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．（1）求k的值；（2）求四边形AEDB的面积．20．（2017•菏泽）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A、B 两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．21．（2017•宜宾）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．22．（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．23．（2017•柳州）如图，直线y=﹣x+2与反比例函数（k≠0）的图象交于A（﹣1，m），B（m，﹣1）两点，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，（1）求m，n的值及反比例函数的解析式；（2）请问：在直线y=﹣x+2上是否存在点P，使得S△PAC=S△PBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2017•襄阳）如图，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）求点C的坐标，并结合图象直接写出y1＜0时x的取值范围．25．（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．26．（2017•湘西州）如图所示，一次函数y1=x+b（b为常数）的图象与反比例函数y2=的图象都经过点A（2，m）．（1）求点A的坐标及一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时y1＜y2．27．（2017•六盘水）已知函数y=kx+b，y=，b、k为整数且|bk|=1．（1）讨论b，k的取值．（2）分别画出两种函数的所有图象．（不需列表）（3）求y=kx+b与y=的交点个数．28．（2017•资阳）如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=（m≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当x＜0时，比较y1与y2的大小．29．（2017•百色）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．（1）求这个反比函数的解析式；（2）求△ACD的面积．30．（2017•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，﹣2），反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，C两点．（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积．31．（2017•河南）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．32．（2017•葫芦岛）如图，直线y=3x与双曲线y=（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．33．（2017•来宾）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，﹣2）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式ax+b≤的解集．34．（2017•山西）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．（1）求函数y=的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；（2）求△AEF的面积．35．（2017•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数y=（k＜0）的图象于点D，y=（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC 的面积为4，连接OD．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求△AOD的面积．36．（2017•恩施州）如图，∠AOB=90°，反比例函数y=﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．（1）求a和k的值；（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=于另一点C，求△OBC的面积．37．（2017•天水）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B （﹣4，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．38．（2017•苏州）如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB=4，BC=．（1）若OA=4，求k的值；（2）连接OC，若BD=BC，求OC的长．39．（2017•东营）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，△AOB 的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．40．已知直线y=x上点C，过点C作CD∥y轴交x轴于点D，交双曲线y=于点B，过点C作NC∥x轴交y轴于点N，交双曲线y=于点E，若B是CD的中点，且四边形OBCE 的面积为．（1）求k的值；（2）若A（3，3），M是双曲线y=第一象限上的任一点，求证：|MC|﹣|MA|为常数6．（3）现在双曲线y=上选一处M建一座码头，向A（3，3），P（9，6）两地转运货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（提示：利用（2）的结论转化）参考答案与解析1．（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）将A点代入y=x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，∴m=3﹣2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=，∴k=3×1=3，（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x﹣2，x﹣2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），n＞0点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN=|﹣n|，||≥2∴0＜n≤1或n≥3【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．2．（2017•宁波）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AO，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可求出k的值；（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，∵AC=AO，∴CD=DO，∴S△ADO=S△ACD=6，∴k=﹣12；（2）联立得：，解得：或，即A（﹣2，6），B（2，﹣6），根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．3．（2017•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC 的面积为3，可得方程m×|m﹣|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得a=﹣4，∴A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得k=8，∴反比例函数的表达式为y=，∵点B与点A关于原点对称，∴B（4，2）；（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，设P（m，），则C（m，m），∵△POC的面积为3，∴m×|m﹣|=3，解得m=2或2，∴P（2，）或（2，4）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．4．（2017•株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA 的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S可得答案；△PAB（2）将（1）中所得解析式配方求得w max=，代入T=w max+a2﹣a配方即可得出答案．【解答】解：（1）∵点P（3，4），∴k=3×4=12，在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），当y=4时，x=，即点B（，4），则S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），如图，延长PA交x轴于点C，则PC⊥x轴，又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，∴w max=，则T=w max+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，∴当a=时，T min=．【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质，熟练掌握反比例系数k的几何意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键．5．（2017•绵阳）如图，设反比例函数的解析式为y=（k＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．【分析】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•2•3k+•2•k=，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入y=，得到3k=2，∴k=．（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，∴y=kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴•2•3k+•2•k=，解得k=，∴直线l的解析式为y=x+．【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2017•贵阳）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB 于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），∴m=2×1+6=8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A（1，8），∴8=，∴k=8，∴反比例函数的解析式为y=．（2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+，∴n=3时，△BMN的面积最大．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．7．（2017•随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．（1）求反比例函数的解析式；（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．【分析】（1）求出点B坐标即可解决问题；（2）结论：P在第二象限，Q在第四象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）由题意B（﹣2，），把B（﹣2，）代入y=中，得到k=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）结论：P在第二象限，Q在第四象限．理由：∵k=﹣3＜0，∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∴P、Q在不同的象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．【点评】此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2017•常德）如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB 的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为y=，∵A（4，m），∴m==1；（2）∵当x=﹣3时，y=﹣；当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数y=在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质以及代数式的变形能力．9．（2017•安顺）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【分析】（1）由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，即可得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值，从而得到B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意，结合图象，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的区域，易得答案．【解答】解：（1）∵A（1，4）在反比例函数图象上，∴把A（1，4）代入反比例函数y1=得：4=，解得k1=4，∴反比例函数解析式为y1=的，又B（m，﹣2）在反比例函数图象上，∴把B（m，﹣2）代入反比例函数解析式，解得m=﹣2，即B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B坐标（﹣2，﹣2）代入一次函数解析式y2=ax+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y2=2x+2；（2）根据图象得：﹣2＜x＜0或x＞1．【点评】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质及待定系数法求解析式，要掌握它们的性质才能灵活解题．10．（2017•巴彦淖尔）如图，反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于A（2，4），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）直线y=x+2，交y轴与D（0，2），可以根据S△AOB=S△BOD+S△AOD计算即可；（3）利用图象法解决问题即可；【解答】解：（1）∵y=与一次函数y=k2x+b的图象交于A（2，4），B（﹣4，m）两点∴k1=8，m=﹣2，∴B（﹣4，﹣2），则有解得，∴k1=8，k2=1，b=2；（2）∵直线y=x+2，交y轴与D（0，2），∴S△AOB=S△BOD+S△AOD=×2×6=6．（3）观察图象可知，点M在第三象限，点N在第四象限；【点评】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2017•深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；（2）求证：AD=BC．【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=，将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，∴B（8，1），将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，，∴，∴一次函数解析式为y=﹣x+5；（2）∵直线AB的解析式为y=﹣x+5，∴C（10，0），D（0，5），如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，∴E（0，4），F（8，0），∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD==，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC==，∴AD=BC．【点评】此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形．12．（2017•广元）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===，∴OA=2，CE=3．∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得．故直线AB的解析式为y=﹣x+2．∵反比例函数y=的图象过C，∴3=，∴k=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣；（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2，△BOC的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8；（3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．13．（2017•聊城）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．【分析】（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值；（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．∵△AOE∽△BOF，又=，∴===．由点A在函数y=的图象上，设A的坐标是（m，），∴==，==，∴OF=3m，BF=，即B的坐标是（3m，）．又点B在y=的图象上，∴=，解得k=9，则反比例函数y=的表达式是y=；（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，），又已知过A作x轴的平行线交y=的图象于点C．∴C的纵坐标是，把y=代入y=得x=9m，∴C的坐标是（9m，），∴AC=9m﹣m=8m．∴S△ABC=×8m×=8．【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式以及相似三角形的判定与性质，正确利用m 表示出个点的坐标是关键．14．（2017•广安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6，（1）求函数y=和y=kx+b的解析式．（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y=的图象上一点P，使得S△POC=9．【分析】（1）把点A（4，2）代入反比例函数y=，可得反比例函数解析式，把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得一次函数解析式；（2）根据C（3，0），可得CO=3，设P（a，），根据S△POC=9，可得×3×=9，解得a=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（4，2）代入反比例函数y=，可得m=8，∴反比例函数解析式为y=，∵OB=6，∴B（0，﹣6），把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣6；（2）在y=2x﹣6中，令y=0，则x=3，即C（3，0），∴CO=3，设P（a，），则由S△POC=9，可得×3×=9，解得a=，∴P（，6）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式．15．（2017•巴中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）由图直接解答；（3）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可．【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y=上，∴=4，解得m=1，∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y=上，∴=n，解得n=2，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A、B在y=kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x+6．（2）x的取值范围为1＜x＜2；（3）∵直线y=﹣2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为（3，0），S△AOB=S△AON﹣S△BON=×3×4﹣×3×2=3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．16．（2017•武汉）如图，直线y=2x+4与反比例函数y=的图象相交于A（﹣3，a）和B两点（1）求k的值；（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．若MN=4，求m的值；（3）直接写出不等式＞x的解集．【分析】（1）把点A（﹣3，a）代入y=2x+4与y=即可得到结论；（2）根据已知条件得到M（，m），N（，m），根据MN=4列方程即可得到结论；（3）根据＞x得到＞0解不等式组即可得到结论．【解答】（1）∵点A（﹣3，a）在y=2x+4与y=的图象上，∴2×（﹣3）+4=a，∴a=﹣2，∴k=（﹣3）×（﹣2）=6；（2）∵M在直线AB上，∴M（，m），N在反比例函数y=上，∴N（，m），∴MN=x N﹣x M=﹣=4或x M﹣x N=﹣=4，解得：∵m＞0，∴m=2或m=6+4；（3）x＜﹣1或5＜x＜6，方法1：x﹣5=m，则x=m+5，＜m+5，反比例函数y=与一次函数y=m+5的交点是（﹣6，﹣1），（1，6），函数y=与函数y=x的交点是（﹣1，﹣1），（6，6），综上，原不等式的解集是：x＜﹣1或5＜x＜6．方法：2：由＞x得：﹣x＞0，∴＞0，∴＜0，∴或，结合抛物线y=x2﹣5x﹣6的图象可知，由得，∴或，∴此时x＜﹣1，由得，，∴，解得：5＜x＜6，综上，原不等式的解集是：x＜﹣1或5＜x＜6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求不等式组的解集，正确的理解题意是解题的关键17．（2017•岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，∴双曲线的解析式为y=；把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，∴直线的解析式为y=x+1；（2）设P点的坐标为（x，0），在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，∵△BCP的面积等于2，∴BP×CO=2，即|x﹣（﹣1）|×1=2，解得x=3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．。
【新苏科版】八年级下册11.2反比例函数的图像与性质(2)-教案设计
11.2+反比例函数的图像及性质(例)2课时
11.2 反比例函数的图像及性质（例）2课时一．选择题（共4小题）1．（2019•相城区一模）已知反比例函数3(k y k x-=为常数），当0x <时，y 随x 的增大而减小，k 的取值范围是( ) A ．0k <B ．0k >C ．3k <D ．3k >2．（2019春•姑苏区校级期末）已知点(1,2)A 在反比例函数ky x=的图象上，则该反比例函数的解析式是( ) A ．1y x=B ．4y x=C ．2y x=D ．2y x =3．（2019春•吴中区期中）已知11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y 是反比例函数2y x=的图象上的两点，且120x x <<，则1y ，2y 的大小关系是( ) A ．120y y <<B ．210y y <<C ．210y y <<D ．120y y <<4．（2019•河西区一模）已知反比例函数6y x=，当13x <<时，y 的取值范围是( ) A ．0y l <<B ．12y <<C ．6y >D ．26y <<二．填空题（共4小题）5．（2019春•邗江区校级期末）图1所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的序号是 ．①当3x =时，EC EM <； ②当9y =时，EC EM >③当x 增大时，EC CF 的值增大 ④当y 增大时，BE DF 的值不变．6．（2019春•太仓市期中）图象经过点(1,1)-的反比例函数的表达式是 ． 7．（2019秋•市中区期中）反比例函数2m y x-=的图象在第二、四象限，那么实数m 的取值范围是 ．8．（2019春•相城区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点(4,2)D ，反比例函数ky x=的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C 落在该反比例函数图象上，则n 的值为 ．三．解答题（共4小题）9．（2015春•张家港市校级期中）已知y 是x 的反比例函数，且当4x =，1y =-． （1）函数y 与x 之间的函数表达式为 ； （2）当132x --剟时，y 的取值范围是 ； （3）若1x >时，y 的取值范围是 ； （4）若2y <时，x 的取值范围是 ．10．（2019•相城区一模）如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D ，交BC 于E ． （1）当点E 的坐标为(3,)n 时，求n 和k 的值； （2）若点E 是BC 的中点，求OD 的长．11．（2014春•张家港市校级期末）已知函数23(2)k y k x -=-为反比例函数． （1）求k 的值；（2）它的图象在第 象限内，在各象限内，y 随x 增大而 ；（3）当30.5x --剟时，此函数的最大值为 ，最小值为 ． 12．（2019•镇平县一模）如图，在矩形OABC 中，3OA =，2OC =，点F 是AB 上的一个动点(F不与A，B重合），过点F的反比例函数kyx=的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，EFA∆的面积最大，最大面积是多少？11.2 反比例函数的图像及性质（例）2课时参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2019•相城区一模）已知反比例函数3(k y k x-=为常数），当0x <时，y 随x 的增大而减小，k 的取值范围是( ) A ．0k <B ．0k >C ．3k <D ．3k >【分析】利用反比例的性质得到30k ->，然后解不等式即可． 【解答】解：当0x <时，y 随x 的增大而减小， 30k ∴->， 3k ∴>．故选：D ．2．（2019春•姑苏区校级期末）已知点(1,2)A 在反比例函数ky x=的图象上，则该反比例函数的解析式是( ) A ．1y x=B ．4y x=C ．2y x=D ．2y x =【分析】把(1,2)A 代入解析式就得到k 的值，从而求出解析式． 【解答】解：点(1,2)A 在反比例函数ky x=的图象上， 21k ∴=， 2k ∴=，则这个反比例函数的解析式是2y x=． 故选：C ．3．（2019春•吴中区期中）已知11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y 是反比例函数2y x=的图象上的两点，且120x x <<，则1y ，2y 的大小关系是( ) A ．120y y <<B ．210y y <<C ．210y y <<D ．120y y <<【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合横坐标的大小和正负，即可得到答案． 【解答】解：反比例函数2y x=，0k >，0x ∴<时，0y <，y 随着x 的增大而减小，又120x x <<，210y y ∴<<，故选：B ．4．（2019•河西区一模）已知反比例函数6y x=，当13x <<时，y 的取值范围是( ) A ．0y l <<B ．12y <<C ．6y >D ．26y <<【分析】利用反比例函数的性质，由x 的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可． 【解答】解：60k =>，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，又当1x =时，6y =， 当3x =时，2y =，∴当13x <<时，26y <<．故选：D ．二．填空题（共4小题）5．（2019春•邗江区校级期末）图1所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的序号是 ④ ．①当3x =时，EC EM <； ②当9y =时，EC EM >③当x 增大时，EC CF 的值增大 ④当y 增大时，BE DF 的值不变．【分析】由于等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，则BEC ∆和DCF ∆都是直角三角形；观察反比例函数图象得反比例解析式为9y x=；当3x =时，3y =，即3BC CD ==，根据等腰直角三角形的性质得CE =CF =，则C 点与M 点重合；当9y =时，根据反比例函数的解析式得1x =，即1BC =，9CD =，所以EF =EM =；由于2EC CF x =；利用等腰直角三角形的性质BE DF BC CD xy ==，然后再根据反比例函数的性质得9BE DF =，其值为定值．【解答】解：因为等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，所以BEC ∆和DCF ∆都是直角三角形；观察反比例函数图象得3x =，3y =，则反比例解析式为9y x=；①、当3x =时，3y =，即3B C C D ==，所以CE =，CF ==C 点与M 点重合，则EC EM =，所以①错误；②、当9y =时，1x =，即1BC =，9CD =，所以EC =EF =EM =，所以②错误； ③、因为22218EC CF xy xy ==⨯=，所以，EC CF 为定值，所以③错误；④、因为9BE DF BC CD xy ===，即BE DF 的值不变，所以④正确． 故答案为：④．6．（2019春•太仓市期中）图象经过点(1,1)-的反比例函数的表达式是 1y x =- ．【分析】设此反比例函数的解析式为(0)ky k x=≠，再把点(1,1)-代入此函数解析式求出k 的值即可．【解答】解：设此反比例函数的解析式为(0)ky k x=≠，反比例函数的图象经过点(1,1)-， 111k ∴=⨯-=-，∴反比例函数的解析式为：1y x=-． 故答案为：1y x=-．7．（2019秋•市中区期中）反比例函数2m y x-=的图象在第二、四象限，那么实数m 的取值范围是 2m < ． 【分析】由于反比例函数2m y x-=的图象在二、四限内，则20m -<，解得m 的取值范围即可．【解答】解：由题意得，反比例函数2m y x-=的图象在二、四象限内，则20m -<， 解得2m <． 故答案为：2m <．8．（2019春•相城区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点(4,2)D ，反比例函数ky x=的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C 落在该反比例函数图象上，则n 的值为 1 ．【分析】要求n 的值，求出CG 即可，根据菱形OABC ，AC 与OB 交于点(4,2)D ，可求出点B 坐标和反比例函数的关系式，借助勾股定理可求菱形的边长，进而求出点C 、G 的坐标，根据横坐标的变化得出平移距离．【解答】解：过点D 、B 分别作DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，垂足为E 、F ，延长BC 交反比例函数图象于点G ，交y 轴于点H ， (4,2)D2DE ∴=，4OE =，反比例函数的关系式为：8y x=， OABC 是菱形，OA AB BC CO ∴===，DO CD =，又//DE BF ， ∴12DE DO OE BF OC OF ===， 8OF ∴=，4BF =，(8,4)B ∴，设菱形边长AB a =，则8AF a =-，在Rt ABF ∆中，由勾股定理得：222(8)4a a =-+，解得5a =， 853CE BH BC ∴=-=-=，(3,4)C ∴把4y=代入8yx=得，2x=，(2,4)G∴321CG∴=-=，即点C向左平移1个单位到点G．故答案为：1三．解答题（共4小题）9．（2015春•张家港市校级期中）已知y是x的反比例函数，且当4x=，1y=-．（1）函数y与x之间的函数表达式为4yx=-；（2）当132x--剟时，y的取值范围是；（3）若1x>时，y的取值范围是；（4）若2y<时，x的取值范围是．【分析】（1）利用待定系数法确定反比例函数的解析式即可；（2）根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可；（3）根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可；（4）根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为kyx =，当4x=，1y=-，144k∴=-⨯=-，∴反比例函数的解析式为4yx=-；（2）当132x--剟时，4yx=-连续递增又当3x=-时，43y=，当12x=-时，8y=，∴当132x --剟时，y 的取值范围是483y 剟；（3）当1x =时，4y =-，4k =-，在每一象限内y 随着x 的增大而增大，∴当1x >时，y 的取值范围是40y -<<；（4）当2y =时，2x =-，4k =-，在每一象限内y 随着x 的增大而增大，∴当2y <时，y 的取值范围是0x >或2x <-；故答案为：4y x =-；483x 剟；40y -<<；0x >或2x <-．10．（2019•相城区一模）如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D ，交BC 于E ． （1）当点E 的坐标为(3,)n 时，求n 和k 的值； （2）若点E 是BC 的中点，求OD 的长．【分析】（1）由题意表示出点D 的坐标，由反比例函数经过点D 、E 列出关于n 的方程，求得n 的值，进而求得k 的值．（2）设(,2)D x 则(2,1)E x +，由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为2，点E 的坐标为(3,)n ， 3OB ∴=，2AB AD ==，(1,2)D ∴，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D ， 122k ∴=⨯=，∴反比例为：2y x=， 反比例函数ky x=在第一象限的图象交BC 于E ， 23n ∴=； （2）设(,2)D x 则(2,1)E x +， 反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D 、点E ， 22x x ∴=+，解得2x =， (2,2)D ∴， 2OA AD ∴==，OD ∴==11．（2014春•张家港市校级期末）已知函数23(2)k y k x -=-为反比例函数． （1）求k 的值；（2）它的图象在第 二、四 象限内，在各象限内，y 随x 增大而 ； （3）当30.5x --剟时，此函数的最大值为 ，最小值为 ．【分析】（1）根据反比例函数的定义确定k 的取值即可，注意比例系数不能为0； （2）根据反比例函数的性质描述其图象的位置和增减性即可； （3）根据反比例函数的增减性确定其最值即可． 【解答】解：（1）23(2)k y k x -=-为反比例函数，231k ∴-=-，20k -≠，解得：2k =-；（2）由（1）得反比例函数的解析式为4y x=-，40k =-<，∴它的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随x 增大而增大；（3）当30.5x --剟，∴483y 剟， ∴此函数的最大值为8，最小值为43． 12．（2019•镇平县一模）如图，在矩形OABC 中，3OA =，2OC =，点F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数k y x=的图象与BC 边交于点E ． （1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，EFA ∆的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）当F 为AB 的中点时，点F 的坐标为(3,1)，由此代入求得函数解析式即可；（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可．【解答】解：（1）在矩形OABC 中，3OA =，2OC =，(3,2)B ∴， F 为AB 的中点，(3,1)F ∴，点F 在反比例函数k y x =的图象上， 3k ∴=，∴该函数的解析式为3y x=；（2）由题意知E ，F 两点坐标分别为(2k E ，2)，(3,)3k F ， 1111(3)2232EFA S AF BE k k ∆∴==⨯-， 211212k k =- 21(699)12k k =--+-213(3)124k =--+ 当3k =时，S 有最大值．34S =最大值．考点卡片1．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．2．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．3．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．4．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．5．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．6．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．7．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）8．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）。
初中数学八年级下册苏科版11.2反比例函数的图像与性质优秀教学案例
2.反比例函数的性质有哪些？
3.如何运用反比例函数解决实际问题？
（四）总结归纳
在学生小组讨论后，我会引导学生总结反比例函数的性质，并归纳出反比例函数的一般形式。同时，我会强调反比例函数在实际生活中的应用，让学生认识到学习反比例函数的重要性和实际意义。
（五）作业小结
在课堂的最后，我会布置相关的作业，让学生巩固所学知识。作业包括填空题、选择题和解答题，难度适中。在学生完成作业后，我会及时进行批改和反馈，帮助学生巩固知识，提高解题能力。同时，我还会鼓励学生在课后进行自主学习，深入探究反比例函数的知识，提高学生的综合素质。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将引导学生进行反思与评价，让学生总结自己在学习过程中的收获和不足。例如，可以让学生回答以下问题：
1.你觉得反比例函数的性质是什么？
2.你认为自己在学习反比例函数的过程中遇到了哪些困难？是如何克服的？
3.你如何评价自己在学习反比例函数的表现？
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.反比例函数的图像有哪些特点？
3.反比例函数的性质有哪些？如何证明？
4.如何运用反比例函数解决实际问题？
（三）小组合作
在教学过程中，我将组织学生进行小组合作，共同探讨反比例函数的性质。例如，可以让学生分组讨论以下问题：
1.反比例函数的图像有哪些特点？
2.反比例函数的性质有哪些？
3.如何运用反比例函数解决实际问题？
在教学过程中，我将以实际问题为载体，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索反比例函数的图像与性质。同时，注重培养学生的动手操作能力、逻辑思维能力和数学建模能力，使他们在学习过程中体验到数学的乐趣，提高他们对数学学科的兴趣和自信心。
反比例函数的图像与性质2.ppt
以前我们学习了一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,知道了 当k>0时, y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.
那么反比例函数有哪些性质呢?
自学释疑
观察与猜想
观察反比例函数y=2/x，y=4/x 与的图象,你能发现它们的共同特点
吗?
y
y
y=2/x
y=4/x
ox
ox
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？ (2)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？ （3)在每一个象限内，随着x的值增大，
y=k4/x
y=k1/x
k1>k2>k3>k4
思考：
y=k3/x
反比例函数y=m/x与一次函数y=kx+b 交于点A(1,8),和B(4,2),则三角形AOB
的面积是__1_5_____
y
A
y=k2/x
双曲线离原点越远 k的绝对值越大 双曲线离原点越近 k的绝对值越小
B
o
x
你有什么收获？
• 反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而 减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
y的值是怎样变化的？
解疑释疑 探求新知
当k>0时,在每 一象限内,y随 x的增大而减 小
y X=1时，y=4
8 X=2时, y=2
7 6
X=4时， y=1
5
4
3 2
y=4/x
1
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O-1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
-2
-3
-4
-5
-6
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
11.2 反比例函数的图像与性质(2)
八年级 下 册 课程标准苏科版实验教科书
11.2 反比例函数的图象与性质（2）
射阳县实验初中初二数学备课组
苏科版数学八年级下册
5.在反比例函数 的图像上有两点（x1，y1） 和（x2，y2），若x1＜0＜x2时，y1＞y2，则k的 取值范围是＿＿＿＿＿＿ k 1 6.正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝ x 在同 一坐标系的图像不可能是（ ）
k 4、已知反比例函数 y x 的图象如右图，则函数 y kx 2 的图象是下图中 的（ ）
y y 2 O -2 A x O B x C y 2 x
自 学 检 查
苏科版数学八年级下册
y x
O
y
-2 D
x
合 作 交 流
y
A(1,6) B(2,3)
苏科版数学八年级下册
A(-1,6)
y
B(-2,3) o
1、反比例函数的图象经过点（－1，2），那么 这个反比例函数的解析式为＿＿＿＿，图象在第 ＿＿＿象限； 1 2、双曲线经过点B( ， 16)，点C(－2，m)在 2 这个函数的图象上，则此双曲线的关系式是＿＿ ＿＿；分布在第＿＿＿＿象限，m=＿＿＿＿ ； 1 m2 2 3、若关于y＝(m－ )x 是反比例函数，且它 2 的图像分布在第二、四象限，则m的值为____；
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小 k＜0，在每个象限y随x的增大而增大
苏科版数学八年级下册
k 例1 已知反比例函数 y 的图象经过点 x A（2，－4） （1）求其函数关系式 （2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x的增大而如何变化？ （3）画出它的图象;
1 （4）点B（ ，－16）、C（－3，5）是 2
反比例函数的图像与性质(2)课件最新版
反比例函数的两支图像关于原点对称． 见几何画板文件
11.2 反比例函数的图像与性质（2） 练习
1．反比例函数① y ＝ 2 ；②
x
④ y＝ 3 的图像中：
y＝
1 3x
；③ 7 y＝ － 1 0
x
；
100 x
（1）在第一、三象限的是
① ② ④ ，在
第二、四象限的是 ③
.
（2）在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增大
见几何画板文件
11.2 反比例函数的图像与性质（2） 数学实验室
反比例函数 y ＝ k 的图像随k值的变化情况． x
见几何画板文件
11.2 反比例函数的图像与性质（2）
总结
反比例函数 y ＝
k x
（k为常数，k≠0）的图像是双
曲线．
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，
在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，
在每一个象限内，y随x的增大而增大．
11.2 反比例函数的图像与性质（2）
例1 已知反比例函数 y ＝ k 的图像经过点A（2， x
－ 4）.
（1）求k的值；
（2）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎
样变化？
（3）画出函数的图像；
（4）点B（
1 2
的是 ③
.
11.2 反比例函数的图像与性质（2） 练习
2．已知反比例函数的图像经过点A（ － 6，－3）. （1）确定这个反比例函数的表达式； （2）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎
样变化？
（3）点B（4， 9 ），C（2，－5）在这个函数的 2
图像上吗？
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会判断一个点是否在函数图像上．
探索反比例函数图像的中心对称性：
（1）点A（4，－2）在函数 的图像上吗？写出点A关于原点O对称的点A′的坐标，点A′在函数 的图像上吗？
（2）在函数 的图像上任取一点B，点B关于原点O的对称点B′在这个函数的图像上吗？
函数 的图像上画出相应的点，并判断这些点是否在函数图像上．
学生动手操作，探索反比例函数图像的中心对称性．
总结：
反比例函数的两支图像关于原点对称．
学生自主小结．
培养学生勇于发表自己看法的能力．
练习：P130-131第1、2题．
课后作业：
P134第3题．
温故知新，练习提高．
（3）反比例函数的图像与x轴有交点吗？与y有交点吗？为什么？（小组讨论）
积极思考，小组合作，归纳总结．
让学生根据图形得到直观的结论，再小组合作交流，发展学生的语言表达能力．
数学实验室：
反比例函数 的图像随k值的变化情况．
随着图形的动态变化，进一步体验反比例函数的性质．
通过几何画板文件演示反比例函数 的图像随k值的变化情况，让学生在图像的动态变化中领悟反比例函数的性质．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
导语：
同学们，在上节课我们画出了反比例函数 、 、 、 的图像，请观察这些函数的图像，思考反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像有什么特征？
学生观察、思考．
引导学生对函数图像进行分类讨论．
引导学生思考如下问题：
（1）每个函数的图像分别在哪几个象限？
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作者：方秀林（盐城市毓龙路实验学校）
11.2反比例函数的图像与性质（2）
教学目标
1．会用待定系数法确定反比例函数解析式；
2．能根据图像分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
教学重点
分析并掌握反比例函数的性质．
教学难点
理解反比例函数的性质．
例1已知反比例函数y＝ 的图像经过点A（2，－4）．
（1）求k的值；
（Байду номын сангаас）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图像；
（4）点B（ ，－16）、C（－3，5）在这个函数的图像上吗？
学生先独立思考后，写出解答过程，然后小组交流补充，形成完整的有条理的解题过程．
引导学生认识反比例函数由k值确定．要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图像上一个点的坐标即可．
总结：
反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图像是双曲线．
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
和教师一起总结反比例函数的性质．
通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯和有条理的表达能力．