函数的简单性态
第三节 函数的性态研究
18
在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述 方法：
设函数 f ( x ) 在区间 I (开或闭， 可无限)上连续， 且在 I 内部 (即去掉端点 )只有一个驻点或不可导点x 0 ，则
若 f ( x 0 ) 是极小值，即为最小值；
若 f ( x 0 ) 是极大值，即为最大值。
19
四、曲线的凹凸性与拐点
17
例3
求函数 y 2 x 3x 12 x 14 在[3, 4]
3 2
上的最大值与最小值.
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
令 f ( x) 0, 得
x1 2, x2 1.
计算 f ( 3) 23; f ( 2) 34; f (1) 7; f (4) 142; 比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
x
(, 0)
2 3
0
无
极 大 值
( 0, 1)
1
(1, )
f ( x )
f ( x)
0
极 小 值
极大值 f (0) 0 ，
1 极小值 f (1) . 2
14
求极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域；
(2) 求导数 f ( x );
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.
(2) 求出端点的函数值 f (a ), f (b) ；
(3) 最大值 max max{f ( x1 ),, f ( xk ), f (a ), f (b)}
x[ a ,b ]
函数的性态分析
高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。
思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。
例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。
函数的性态知识点总结
函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。
2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。
5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。
三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。
2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。
四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。
3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。
4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。
五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。
2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。
3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。
4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。
六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。
2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。
3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。
七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。
函数单调性及其应用论文
函数单调性及其应用函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用.1.函数单调性的概念1.1、函数单调性的定义定义如果函数对于区间i内的任意两点，当时有，则称此函数在i上单调增加，i称为单调增区间；当时有，则称此函数在i上单调减少，i称为单调减区间.1.2.1、函数单调性的判定的预备知识以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.定理1.2.1（罗尔中值定理）设函数满足以下三个条件：（1）在闭区间内连续；（2）在开区间内可导；（3）则至少存在一点，使得 .定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数满足以下两个条件：在闭区间内连续；（1）在开区间内可导则至少存在一点，使得 .定理1.2.3（根的存在定理）设函数在闭区间内连续且，则至少存在一点，使得 .即方程至少存在一个根 .1.2.2、函数单调性的判定有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。
但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。
因此需要借助以下定理：定理1.2.4 设函数在区间内可导，若导函数，则函数在区间内单调递增；若导函数，则函数在区间内单调递减.2.函数单调性的应用2.1、证明不等式用函数单调性可以证明不等式.例2.1.1 证：当时， .证构造辅助函数，有，当时有即在内单调增加，从而当时有故也即 .即证.例2.1.2 证：当时， .证构造辅助函数当时，即在内单调减少.从而当时，有 .由的定义知，有，由对数的性质可得 .故原证题得证.这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当时，有幂的大小关系 .2.2、求函数的最值用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.例2.2.1 求在闭区间内的最大值和最小值.解当时，有即在闭区间内单调增加。
因而函数在闭区间内的最大值为，最小值为 .例2.2.2 求的最大值和最小值.解函数的定义域为实数域，现考虑该函数在实数域上的最大值和最小值。
4-3 函数的性态(二)
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0)为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在(0, )为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那么 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
d2 y 由 2 0, 得t1 1, t2 1 dx
d2 y 当 t < – 1 时, 0, 即x < –4, y = f (x)是凸的. 2 dx d2 y 当–1< t <1时, 2 0, 即–4< x <4时, y = f (x)是凹的. dx
当 t > 1时,
d2 y 0, 即x >4时, y = f (x)是凸的. 2 dx
两侧邻域同号，那么它就不是曲线y=f(x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
高等数学基本知识点大全
高等数学基础知识大全一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。
如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N +或N +。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z 。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q 。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R 。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作AB （或B A ）。
⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即AA②、对于集合A 、B 、C ，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
高数基础知识点汇总
高数知识点汇总第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。
高等数学基础PPT第一章
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.2初等函数与建立函数关系式—初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
数学解决函数问题的常用方法和技巧
数学解决函数问题的常用方法和技巧函数是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于各个领域。
解决函数问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和应用函数。
本文将介绍一些常见的数学解决函数问题的方法和技巧。
一、函数的定义和性质在解决函数问题之前，我们首先要了解函数的定义和性质。
函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
了解函数的定义和性质，是解决函数问题的基础。
二、函数的图像和性态分析在解决函数问题时，图像和性态分析是常用的方法之一。
我们可以通过绘制函数的图像，来观察函数的特点。
图像的斜率可以帮助我们判断函数的增减性；图像的凹凸性可以帮助我们判断函数的凹凸区间；图像的交点可以帮助我们找到函数的解等等。
通过对函数的图像进行分析，可以更好地理解和解决函数问题。
三、函数的求值和化简在解决函数问题时，求值和化简也是常用的方法之一。
我们可以通过给定的条件，将问题转化为函数的求值或者化简问题。
对于给定函数，我们可以通过给定的输入值来求解函数的输出值。
当函数含有复杂的表达式时，可以通过化简的方法，将函数转化为更简单的形式。
求值和化简可以帮助我们更好地处理函数问题。
四、函数的求导和积分函数的求导和积分是解决函数问题的重要方法之一。
求导可以帮助我们研究函数的变化趋势和极值点；积分可以帮助我们计算函数的面积和曲线长度。
对于给定的函数，我们可以通过求导和积分的方法，快速求解函数的一些性质和问题。
函数的求导和积分是高级数学中的重要内容，掌握这些方法可以帮助我们更高效地解决函数问题。
五、函数的递推和逆运算在解决函数问题时，递推和逆运算也是常用的方法之一。
递推是指通过递归的方式，根据已知的条件来逐步推导出未知的结果。
递推常用于函数的数列和递归定义的问题。
逆运算是指通过反向推导的方式，从给定的结果反推出函数的输入。
逆运算可以帮助我们确定函数的逆函数等。
递推和逆运算是一种思维方式，掌握这些方法可以帮助我们更灵活地解决函数问题。
高等数学教学大纲
《高等数学》课程教学大纲（课程代码：本科）一、授课学院：基础学院二、授课专业：公共课三、本课程性质、任务、要求：高等数学课程是一门重要的基础理论课，它视为培养工科大学本科人才的需要而设制的.通过本门课程的学习，为以后学习工程力学、机械设计基础、机械制造基础、电工技术基础、电子技术基础、自动控制系统及应用、微型计算机基础及应用、数控技术及应用、可编程序控制其原理及应用等后继课程提供必要的高等数学基础. 通过本课程的自学,要求考生达到：1.系统地获得一元函数微积分学和常微分方程的基本知识、必要的基本理论和常用基本方法，这是重点内容.2.获得多元函数微积分学( 包括空间解析几何)和级数的初步知识.在教学过程中，要求学生切实掌握有关内容的基础概念、基础理论和基础方法，使学生具有比较熟练的运算能力和逐步达到能应用所获得的基本知识与技能去分析问题和解决问题，同时注意培养抽象思维能与一定的逻辑推理能力，并能够不断提高自学能力，从而为学习后继课程打好数学基础.计划课时144课时，8学分.五、课程内容：第一章函数（一）教学内容1.一元函数的定义.2.函数的表示法(包括分段表示法).3.函数的简单性态─有界性、单调性、奇偶性、周期性.4.函数的增量.5.反函数及其图形.6.复合函数.7.基本初等函数与初等函数(包括它们的定义、定义区间简单性态和图形). （二）教学目的与要求深刻理解一元函数的定义；掌握函数的表示法和函数的简单性态；理解函数增量的概念；理解反函数概念和复合函数概念；熟练掌握基本初等函数和了解什么是初等函数. （三） 重点、难点： 重点是:函数的定义；基本初等函数.难点是：复合函数. （四）考核知识点与考核要求1．函数的定义，要求达到“领会”层次.知并会叙述函数的定义，知道定义的两个要素——定义域和对应法则. 认知函数记号中的含义 能区分函数记号与常数的区别. 能区分单值函数与多值函数. 会计算函数的值.牢记基本初等函数的定义域，性态及图形. 牢记反三角函数的主值范围.知道初等函数的构成.2．函数的简单性态，要求达到“简单应用”层次.知道四种简单性态——有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义 能判定一些简单函数的性态.弄清反函数的概念.知道同一坐标中原函数与反函数的关系. 3.复合函数，要求达到“综合应用”层次. 弄清中间变量在复合函数中的作用.会求复合函数的定义域，并计算复合函数的值. 会把两个函数复合成一个函数.第二章 极限与连续（一）教学内容 1.数列概念. 2.数列的极限.3.收敛数列的性质----有界性、唯一性.4.数列极限的存在准则—单调有界准则.5.函数的极限（包括当∞→x 和ξ→x 时，函数极限的定义及左、右极限的定义）.6.函数极限的存在准则—夹逼准则.7.极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）. 8.两个重要极限： 1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→xx e x x x x9.无穷小量的概念及其运算性质 10.无穷小量的比较11.无穷大量及其与无穷小量的关系 12.函数极限与无穷小量的关系 13.函数的连续性 14.函数的间断点15.连续函数的和、差、积、商及复合的连续性 16.初等函数的连续性 17.闭区间上连续函数的性质 （二）教学目的与要求:深刻理解极限的概念；了解极限的两个存在准则──单调有界准则和夹逼准则；熟练掌握极限的四则运算法则；牢固掌握两个重要极限；理解无穷小量，掌握它的性质；掌握无穷小量的比较；理解无穷的量及其无穷小量的关系；理解极限与无穷小量的关系；理解函数连续性的概念；了解函数的间断点；熟练掌握连续函数的性质；掌握出等等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质. (三) 重点、难点：重点是:极限的概念与极限运算；连续概念与初等函数的连续性. 难点是：极限概念. （四）考核知识点与考核要求 1.极限，要求达到“综合应用”层次. 熟知并会叙述数列极限. 知道数列的收敛，发散的意义. 熟知并会叙述函数的极限. 正确认知和表述函数的左右极限. 会求分段函数在分段点处的 左右极限. 知道这一准则也适用于数列.牢记这条准则，并领悟它在求极限似的作用正确认识并牢记四则运算法则.熟练地运用法则求数列与函数的极限.牢记两个重要极限，结合法则运用重要极限，求数列与函数的极限.弄清无穷小量是极限为零的变量，不是一个固定的数.正确认识并牢记无穷小量的运算性质.会判断一个简单变量是否是无穷小量.弄清高阶无穷小量、同阶无穷小量、等阶无穷小量的概念，并记住几个常见的等阶无穷小量.会判断两个无穷小量的关系.弄清无穷大量的概念，熟知无穷大量与无穷小量的关系.会判断一个简单变量是否是无穷大量.2.函数的连续性，要求达到“简单应用”层次.正确认识函数在一点的连续性定义.知道函数在一点连续的充要条件.知道函数在区间上连续的含义.会确定分段函数在分段点处的连续性.能区别函数连续与极限的相同点与不同点.知道函数间断的含义，及三种常见形式.能识别函数的间断点及其类型.知道第一简断点与第二间断点.熟知两个连续函数在同一定义域上的性质.知道连续函数的复合函数仍是连续函数.知道单调连续函数必有单调的连续反函数.会利用连续函数的性质求函数的极限.正确认识基本初等函数与初等函数在它们定义域内的连续性.会叙述函数的最大值与最小值的定义.牢记最大值与最小值定理.领悟介值定理在判定函数与区间上存在零点中所起的作用.第三章导数与微分(一) 教学内容1. 导数的定义.2. 导数的几何意义.3. 导数作为函数对自变量的变化率的概念.4. 平面曲线的切线和法线.5. 函数可导与连续的关系.6. 可导函数的和、差、积、商求导的运算法则.7. 复合函数的求导法则.8. 反函数求导法则.9. 基本初等函数的求导公式和了解初等函数的求导问题.10.高阶导数.11.隐函数求导法与取对数求导法12.由参数方程所确定的函数的求导法13.微分的定义.14.微分的基本公式、运算法则和一阶微分形式不变性.（二）教学目的与要求深刻理解导数的定义、了解它的几何意义和它作为变化率的概念;掌握平面曲线的切线方程和法线方程的求法;数，理解函数可导与连续的关系;熟练掌握和、差、积、商求导的运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则;熟练掌握基本初等函数的求导公式和了解初等函数的求导问题;掌握隐函数求导法、取对数求导法、由参数方程所确定的函数的求导法;理解高阶导数的定义；理解微分的定义；熟练掌握微分的运算法则及一阶微分形式不变性.（三）重点、难点：重点是：导数的定义及其几何意义；导数作为变化率的概念；可导函数的和、差、积、商求导的运算法则；复合函数求导法则；初等函数的求导问题；微分定义；难点是：复合函数求导法则.（四）考核知识点与考核要求：1．导数，要求达到的“综合应用”层次.熟知并会叙述函数的导数和左右导数的定义.会叙述函数可导的充要条件.知道函数在区间上可导的的定义.知道曲线上一点处切线的定义.知道切线斜率是曲线上一点处的纵坐标y对横坐标x的导数.知道曲线上一点处的法线斜率是该点处切线的斜率的负倒数.会求曲线上一点处的法线与切线方程.正确认识函数连续是可导的必要条件而不是充分条件.准确熟练应用基本求导公式.正确认识导数四则运算法则，并领悟它在求导中所起的作用.会熟练运用复合函数求导法则领会反函数求导法则，并熟练掌握几个反三角函数的求导公式.熟练运用基本初等函数的求导公式和各种求导法，迅速而准确的求出初等函数的导数.了解隐函数的概念和求导方法，会利用对数求导法求导数.正确认识高阶导数的定义，会求较简单的函数的高阶导数.牢记几个常用的高阶导数的公式.2．微分，要求达到“综合应用”层次.正确认知微分的定义――函数增量的线性主部.知道函数的微分与导数的联系与区别.记住几个常用的近似等式.牢记微分的基本公式与运算法则.正确认知一阶微分形式不变性的含义.会用一阶微分形式不变性求微分或导数.第四章导数的应用(一)教学内容1.微分中值定理─罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.2.罗比塔法则.3.函数增减性的判定.4.函数的极值及其求法.5.函数的最大、最小值及其应用问题.6.曲线的凹向及其判定法.7.拐点及其求法.8.导数在经济中的应用(二)教学目的与要求深刻理解微分中值定理；熟练掌握罗比塔法则；掌握函数增减性的判定，理解函数极值的概念，并掌握其求法：理解函数最大值、最小值的意义，掌握其求法，并能解决简单的最大、最小值应用问题；了解曲线的凹向和拐点的含义，并能掌握其求法.（三）重点、难点：重点是：微分中值定理；罗比塔法则；函数的极值及其求法；函数的最大、最小值及其应用问题.；难点是：函数的最大、最小值及其应用问题.（四）考核知识点与考核要求1.微分中值定理，要求达到“领会”层次.罗必塔法则，要求达到“综合应用”层次..正确叙述罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理..正确认知这三条定理的结论成立的条件（证明不作要求）.知道这三条定理的几何背景..领悟这些定理在函数性态研究中所起的作用.知道什么是未定式和未定式的各种类型.正确熟练地运用罗必塔法则求未定式的极限.能识其它类型的未定式，并会用罗必塔法则求它们的极限.2.函数增减性的判定，要求达到“简单应用”的层次..知道函数单调增与单调减在函数图形上的反映..正确认知并能叙述函数增减性的判定定理..会求函数的单调区间.3.函数的极值及其求法，要求达到“综合应用”层次..正确叙述函数极大值和极小值的定义..知道函数的驻点与临界点的定义和函数取得极值的必要条件..知道函数取得极值的充分条件（利用一阶导数或二阶导数来判定的方法）.会求函数的极值.弄清函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的联系和区别.会求给定函数在区间上的最大值、最小值.会解决较简单的最大值、最小值的应用问题.4.曲线的凹向及其判定法，拐点及其求法，要求达到“简单应用”层次.会叙述曲线上凹、下凹的定义.会用二阶导数来判定曲线的凹向，找出曲线的凹向区间.要求达到“简单应用”层次.会叙述拐点的定义.知道拐点横坐标应满足的条件.会用二阶导数来判定一点是不是曲线的拐点.5．导数在经济中的应用，要求达到“领会”层次.导数的概念在经济中的应用，掌握边际成本、边际收入、边际利润的概念以及和总成本、总收入、总利润的关系.极值在经济中的应用，会利用极值计算最小平均成本和最大利润以及最优批量.第五章不定积分(一) 教学内容1.原函数的定义.2.不定积分的定义.3..原函数与不定积分的几何意义.4.不定积分的基本性质.5.基本积分公式.6.不定积分的分项积分法则.7.换元积分法则.8.分部积分法则.9.简单有理函数和可化为简单有理函数的积分法.（二）教学目的与要求深刻理解原函数与不定积分的定义，理解不定积分的基本性质；牢固掌握基本积分公式;熟练掌握并能灵活运用分项积分法则、换元积分法则与分部积分法则；掌握简单有理函数和可化为简单有理函数的积分法.（三）重点、难点：重点是：原函数与不定积分的概念；基本积分公式；换元积分法则与分部积分法则；难点是：换元积分法则.（四）考核知识点与考核要求1.原函数的定义, 不定积分的定义，要求达到“领会”层次.熟知并会叙述原函数的定义.知道原函数存在定理：在区间内连续的函数必在该区间内存在原函数.知道原函数结构定理：如果已知某函数有一原函数存在，那末该函数就有无穷多个原函数存在，其中任意两个原函数之差为一常数.熟知不定积分的定义.知道函数的不定积分代表该函数的任何一个原函数，因此不定积分必须加积分常数.知道函数的一个原函数的几何意义是表示平面内的一条积分曲线.不定积分的几何意义是表示平面内的一族积分曲线.2.不定积分的基本性质，要求达到“实记”层次.记住不定积分的几条重要性质.知道求导运算与求不定积分运算相继作用于某一函数，其结果因两个运算施加的先后顺序不同而相差一个常数，如果不计常数，那么它们的作用互相抵消.3.基本积分公式，要求达到“简单应用”层次.牢记基本积分公式以及教材中例７至例１０所得到的公式（解题时也可作为基本积分公式使用）.会运用这些基本积分公式并借助基本积分法则来求不定积分.4.换元积分法则，要求达到“综合应用”层次.牢固把握并会灵活熟练的使用换元积分法则一，即凑微分法.该方法技巧性强，关键是将被积函数的一部分凑成微分，因此要非常熟悉微分公式.牢固把握换元积分法则二，并要知道它主要用于求被积函数含有根式的积分，5.分部积分法，牢固把握分部积分公式.知道一般选项原则，并记住几种被积函数具有特殊形式的选取法.6．经济上的应用举例，要求达到“简单应用”层次.会计算较常见的变化率问题.第六章定积分(一)教学内容1.定积分及其存在定理.2.定积分的基本性质─对区间的可加性、线性性质、估值不等式.3.定积分的中值定理(包括积分均值).4.微积分学基本定理.5.牛顿-莱布尼兹公式.6.定积分的换元积分法则.7.定积分的分部积分法则.6..两种广义积分─无界函数的广义积分级积分区间为无穷区间的广义积分.定积分的应用─几何应用和物理应用.（二）教学目的与要求深刻理解定积分的定义及其存在定理；理解定积分的基本性质和定积分的中值定理；深刻理解并熟练掌握微积分学基本定理；理解并掌握牛顿-莱布尼兹公式；熟练掌握定积分的换元积分法则和分部积分法则；理解两种广义积分的概念并掌握他们的求法;掌握定积分在几何和物理方面的应用.（三）重点、难点：重点是：定积分的概念；定积分的中值定理；微积分学基本定理；牛顿-莱布尼兹公式；.难点是:定积分的应用.（四）考核知识点与考核要求：1.定积分的定义及其存在定理.熟知并会叙述定积分的定义.弄清定积分的值只与积分区间有关与积分变量无关.知道定积分的存在定理.2. 定积分的基本性质,要求达到“领会”层次.知道其规定的两个性质.正确认识和表达定积分与积分区间的可知性.正确认识和表达定积分的线性性质.正确认识和表达定积分的估值性质.正确认识与表达中值定理.知道连续函数在区间上的平均值就是积分均值.3. 微积分学基本定理，要求达到“综合应用”层次.知道变上限的定积分是变上限函数.熟知微积分学的基本定理，即变上限积分对变上限的求导定理.并会熟练应用.熟悉并牢记牛顿—莱钸尼兹公式.借助被积函数的原函数，会用牛顿—莱布尼兹公式准确、迅速的求出定积分的值.4. 定积分得换元积分法，要求达到“简单应用”层次.正确应用换元法则一.记住有换元积分法提出的两个常用结果.牢记分部积分公式.记住由分部积分公式推出得且在定积分计算中常用的公式.会用分部积分公式计算定积分.5. 两种广义积分要求达到“简单应用”的层次.正确认识无界函数的广义积分.正确认识积分区间为无穷区间的广义积分.能明辨一个积分是否为广义积分.6. 定积分的应用.要求达到“综合应用”层次.几何应用.经济上应用.第七章空间解析几何(一)教学内容1.空间直角坐标系、两点之间的距离公式.2.方向余弦与方向数.3.平面方程.4.空间直线方程.5.平面直线间的平行垂直关系.6.曲面与空间曲线的方程.7.空间曲线在坐标平面上的投影.8.二次曲面简介.（二）教学目的与要求理解空间直角坐标系；掌握两点之间的距离公式、方向余弦与方向数、平面与空间直线的方程和它们之间的平行垂直关系；掌握曲面与空间曲线的方程;了解空间曲线在坐标面上的投影；掌握常用的几个二次去面的标准方程和它们的图形.（三）重点、难点：重点是：平面的点法式方程；直线的对称式方程；球面方程，平行于坐标轴的柱面方程.难点是：母线平行于坐标轴的柱面方程的概念和空间曲线在坐标平面上的投影曲线的概念.（四）考核知识点与考核要求：1.空间直角坐标系、两点之间的距离公式，要求达到“识记”层次.知道三条互相垂直且交于一点的数轴构成一空间直角坐标系（教材中采用的是右手系）.三条数轴称为坐标轴，它们两两确定的三个平面，称为坐标面，交点称为坐标原点，坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为卦限.知道在坐标系中，空间的点与其横纵竖坐标的一一对应关系.会确定每一卦限中的点的坐标符号.牢记两点之间的距离公式.2.方向余弦与方向数，要求达到“简单应用”层次.弄清有向线段与有向直线的概念，知道它们的方向角、方向余弦的定义.知道并牢记连续两点的有向线段的方向余弦的计算公式.熟知并牢记方向余弦的一个基本恒等式.知道空间直线的方向数的概念，并弄清它与方向余弦和联系与区别.牢记由方向数A、B、C确定的方向余弦的公式.并会运用这些公式.知道空间任意两点的相应坐标之差是通过这两点的直线的一组方向数.牢记分别具有方向余弦的两条直线（或有向线段）的夹角之间的关系.会求两直线的夹角.知道两直线平行垂直的条件.并会利用它们来判定两直线是否平行或垂直.3.平面方程，要求达到“综合应用”层次.会写出平面的点法式方程.知道平面和一般方程.正确判定给定方程所表示的平面在坐标系中所处的位置.会求通过原点、平行坐标轴、通过坐标轴、垂直坐标轴的平面方程.会求通过不在一直线上三点的平面方程.4.空间直线方程，要求达到“综合应用”层次.会写出直线的对称式方程.会写出直线的一般方程5.平面、直线间平行或垂直关系，要求达到“简单应用”层次.认知两平面平行或垂直的问题就是两平面的法线平行或垂直的问题，平面与直线平行或垂直的问题就是平面的法线与直线垂直或平行的问题，因此必须牢固把握关于两直线平行、垂直的条件.在求平面或直线方程以及解决有关平面与直线之间的各种问题时，会灵活运用关于两直线平行、垂直的条件.6.曲面与空间曲线，要求达到“识记”层次.弄清曲面方程的概念――如果当且仅当点Ｐ在曲面Ｓ上时，它的坐标x、y、z才能满足方程F （x,y,z）=0，那么这个方程称为曲面Ｓ的方程.知道球面方程，并根据方程会求半径.认识空间曲线可看作是两个相交曲面的交线.熟知柱面方程，了解其特点.7.空间曲线在坐标面上的投影,要求达到识记的层次.弄清空间曲线在坐标面上投影的概念.会写出在坐标平面上投影曲线的方程.8.二次曲面简介,要求达到识记的层次.会写出椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面的标准方程，并会画出它们的草图.第八章多元函数微分学(一)教学内容1. 多元函数的概念.2. 二元函数的极限与连续.3 .偏导数的概念及二元函数偏导数的几何意义.4 .高阶偏导数的概念及高阶混合偏导数与求导次序的无关性.5. 多元复合函数的求导法则.6 .全微分的概念.7 .多元函数的极值及其求法.8. 多元函数的最大、最小值的简单应用问题.(二) 教学目的与要求深刻理解多元函数的概念；理解二元函数的极限与连续;理解偏导数的定义和了解二元函数偏导数的几何意义；了解高阶偏导数的定义及混合偏导数与求导次序的无关性；熟练掌握多元复合函数的求导法则；理解全微分的概念；理解多元函数的极值概念及其求法；会界多元函数的最大、最小值的简单应用问题.（三）重点、难点：重点是：偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则.难点是：全微分的概念与多元复合函数的求导法则.（四）考核知识点与考核要求1.多元函数的概念，要求达到领会层次.熟知并会叙述二元函数的定义.知道“区域”、“边界”、“边界点”、“开域”、“有界域”、“无界区域”、“邻域”等名词的含义.知道二元函数的几何图形通常是一张曲线.2.二元函数的极限与连续，要求达到领会层次.知道二重极限的意义以及它与一元函数极限的区别.认识并牢记二重极限的四则运算法则.知道二元函数在一点处连续的定义及函数在区域上连续的含义.认识连续函数的和差积商及复合函数仍为连续函数.3.偏导数的概念，要求达到简单应用的层次.正确认识并表达二元函数在点处的两个偏导数的定义.根据一元函数在一点导数的几何意义了解二元函数偏导数的几何意义.懂得偏导数的求法.4.高阶偏导数的概念及高阶混合偏导数与求导次序的无关性，要求达到识记层次.会求高阶偏导数.5.多元复合函数的求导法则，要求达到综合应用层次.牢固把握各种求导公式.6.全微分概念，要求达到简单应用的层次.知道二元函数的脸各自变量分别有增量时，函数的增量称为函数在该点出的全增量.正确认识在二元函数的偏导数连续的条件下的全增量公式.正确认识全微分的定义，函数全增量的线性主部.知道当偏导数载一点除连续时，函数在该点出的全微分一定存在.这是函数可能可微.知道三元函数的全微分的表达式.会求全微分.7.多元函数的极值及其求法，要求达到综合应用层次.会叙述函数极大值与极小值的定义.知道可导函数取得极值得必要条件和函数的驻点.知道判定函数取得极值的充分条件.会求函数的极值.8.多元函数的最大值与最小值应用问题，要求达到综合应用的层次.知道求多元函数的最大和最小值的步骤与方法.会借一些较简单的最大、最小值的应用问题.第九章多元函数积分学（一）教学内容。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (5)7、双曲函数及反双曲函数 (6)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (10)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学基础知识点大全
一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A⊆A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A∪B。
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目录一、函数与极限 (2)1、会集的看法··············································22、常量与变量..............................................3 2、函数..................................................4 3、函数的简单性态............................................4 4、反函数...................................................5 5、复合函数..................................................6 6、初等函数..................................................6 7、双曲函数及反双曲函数......................................7 8、数列的极限..............................................8 9、函数的极限..............................................9 10、函数极限的运算规则. (11)一、函数与极限1、会集的看法一般地我把研究象称元素，把一些元素成的体叫会集（称集）。
第三章第四讲函数的性态08
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时， x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
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例. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 , 证: 令 f ( x ) x
且
x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
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o
1 2
x
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返回
例3 确定函数 f ( x ) 解
3
x 的单调区间.
2
D : ( , ).
2 3 x
3
f ( x )
,
( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
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单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
( f ( x) 0) , 则
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定理 1. 设函数
在开区间 I 内可导, 若
( f ( x) 0) , 则
在 I 内单调递增 (递减) .
证 x , x (a , b), 且 x x , 应用拉氏定理,得 1 2 1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
函数性态的描述、刻画与应用分析研究
函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。
函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。
函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。
本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。
一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。
对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。
函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。
1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。
连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。
这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。
二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。
常见的刻画工具有极限、导数、积分等。
通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。
比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。
这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。
2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。
通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。
比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。
图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。
三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。
1.1函数的概念和性态
o
I
x
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第1章 函数、极限与连续
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的.
y
y f (x)
x
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)
(0,1)
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第1章 函数、极限与连续
3.对数函数 y loga x
(a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
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第1章 函数、极限与连续
函数 y f [( x )]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
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第1章 函数、极限与连续
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 ) 2.复合函数的分解可以按照计算函数值时 的逆顺序去进行,并要求分解得到的必须 是简单函数.
第1章 函数、极限与连续
2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
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函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。