函数的性态
函数的简单性态
函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
函数的性态分析
高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。
思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。
例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。
函数性态的研究(凹凸性和渐近线)
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C
函数的性态知识点总结
函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。
2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。
5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。
三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。
2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。
四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。
3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。
4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。
五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。
2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。
3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。
4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。
六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。
2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。
3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。
七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。
函数的性态研究(林威)
专题1 函数的性态研究（3课时）苍南龙港高中林威【考点透视】1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值）、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。
在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。
函数是一种思想，它重在渗透。
函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。
函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。
函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法解决问题。
近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。
对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。
解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。
解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。
3、合理预测单调性、性质会在解答题中出现。
分值会在10—15分左右。
一、 2004高考题汇总【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。
（一）选择题1 (2004. 某某卷)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =( A ) (A)42 (B)22 (C)41 (D)21 2. （2004.某某）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( B )(A)3 (B)32 (C)43 (D)653．(2004.全国理)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ B ）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b1 4．(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是 （ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)5、（2004.某某理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( A )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x. 6、（2004. 某某卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=(A )(A)10x -1. (B) 1-10x . (C) 1-10-x . (D) 10-x -1.7．（2004.某某理）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ C ）A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 8．（2004. 某某理）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是 （ B ）9．（2004. 某某理）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ D ）A ．f (sin 6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)10．（2004. 某某理）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （C ） A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 11．（2004. 某某卷）对于10<<a ，给出下列四个不等式D①)11(log )1(log a a a a +<+②)11(log )1(log a a a a +>+③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是 A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④12．（2004.某某理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则 )(b a f +的值为 （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 213．（2004.某某理）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004.某某理）设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ D ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞（二）填空题15．（04. 某某春季高考）方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.216．（04. 某某春季高考）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.1xx 11-+ (x ≠0)， 17．（2004. 某某理）设函数f(x)= a (x =0). 在x =0处连续，则实数a 的值为 1/2 . 18．（2004. 某某理）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为2/3 时，其容积最大. 19、（2004.某某理）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值X 围是a>0且b≤0 .20、（2004. 人教版理科）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值X 围为（ ）A 、(][]10,02, -∞-B 、(][]1,02, -∞-C 、(][]10,12, -∞-D 、[)[]10,10,2 -二、错解分析 1．已知函数2221()log log (1)log (),(1)()1x f x x p x f x x +=+-+--求的定义域;(2)求f(x)的值域。
函数性态的描述、刻画与应用分析研究
函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。
函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。
函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。
本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。
一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。
对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。
函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。
1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。
连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。
这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。
二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。
常见的刻画工具有极限、导数、积分等。
通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。
比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。
这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。
2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。
通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。
比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。
图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。
三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。
4-3 函数的性态(二)
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0)为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在(0, )为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那么 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
d2 y 由 2 0, 得t1 1, t2 1 dx
d2 y 当 t < – 1 时, 0, 即x < –4, y = f (x)是凸的. 2 dx d2 y 当–1< t <1时, 2 0, 即–4< x <4时, y = f (x)是凹的. dx
当 t > 1时,
d2 y 0, 即x >4时, y = f (x)是凸的. 2 dx
两侧邻域同号，那么它就不是曲线y=f(x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
函数性态的研究(精)
10
f ( x2 ) f ( x1 ) 或 f ( x2 ) ( x1 x2 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 从而当 x2 x1 , f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
这表明 f ( x )在 I 上单调增 , 于是
(3) 得证.
第二章
§6 函数性态的研究 (2)
0.1 0.05 -1 -0.5 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25
1
0.5
1
1.5
四、函数的凹凸性(concavity)
凸函数的第一几何特征
以下凸函数为例，如图，
( x1 , f ( x1 ))
B( x2 , f ( x2 ))
x
A
x1
定义 1 (凸函数的分析定义)
若 x1 , x2 I , 及 [0， 1]，恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称f ( x )在I上是下凸函数 (或凸函数 )。
对下凸第一几何特征可简述为： 曲线在相应点间弦的下方。
4
凸函数的第二几何特征
下凸的光滑函数上任一点的切线在曲
线的下方，且 f 是单调增加的。
见下一页图示
5
6
定理 5 (凸性的判定法一, P.155.定理6.5)
设 f ( x )在I上可微, 则下列命题等价:
( 1 ) f ( x )在 I上是下凸函数 ;
(2) x1 , x2 I ,
0
Байду номын сангаас
利用: x0 x1 (1 ) x2
三次函数形态的五个要点
三次函数性态的五个要点三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a＞0,a、b、c、d∈R) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。
要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数简析：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
据此有结论：三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。
论证如下：令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。
①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，此时y=f（x）没有极值点；③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。
[试题链接]：错解剖析例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-∞,+∞)内有极值点，求c的取值范围。
解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1，∴g′（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标，将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式，得 f[（1-b）/2]=g[（1-b）/2]，化简为（b+1）2=4c∵b＞-1，c＞0，∴b=-1+2c1/2（Ⅱ）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0，令3x2+4bx+b2+c=0，Δ=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），当Δ=0时，则F′（x）=0有两个等根x；当Δ＞0时，F′（x）=0有两个不等的实根x1、x2（设x1＜x2），综上所述，当且仅当Δ≥0时，函数F（x）在(-∞,+∞)上有极值点。
三次函数性态的五个要点解读
三次函数性态的五个要点邳州市岔河高级中学解俊三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a＞0,a、b、c、d∈R) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。
要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数简析：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
据此有结论：三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。
论证如下：令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。
①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，此时y=f（x）没有极值点；③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。
[试题链接]：错解剖析例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-∞,+∞)内有极值点，求c的取值范围。
解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1，∴g′（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标，将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式，得 f[（1-b）/2]=g[（1-b）/2]，化简为（b+1）2=4c∵b＞-1，c＞0，∴b=-1+2c1/2（Ⅱ）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0，令3x2+4bx+b2+c=0，Δ=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），当Δ=0时，则F′（x）=0有两个等根x；当Δ＞0时，F′（x）=0有两个不等的实根x1、x2（设x1＜x2），综上所述，当且仅当Δ≥0时，函数F（x）在(-∞,+∞)上有极值点。
函数的整体性态
f(x)有界:给定函数f(x),xI, M>0,
xI,| f(x) | M.
f(x) 无界:给定函数f(x),xI, M>0,
xI,| f(x) |> M.
6
(二)奇偶性 设函数f的定义域 I=(–a,a)关于原点对称.若 f(– x)= – f(x),xI,则说f是奇函数; 若 f(– x)=f(x),xI,则说f是偶函数. 奇函数: xI, f(– x)= – f(x), 偶函数: xI, f(– x)=f(x). 非奇函数: x0I, f(– x0) – f(x0), 非偶函数: x0I, f(– x0) f(x0).
csch 2 x 1 coth 2 x
sinh( x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
cosh( x y) cosh x cosh y sinh x sinh y 17
(四)周期性 设f:D(f)R.若存在T1>0使 得xD必有x+T1 D,并且f(x+T1)=f(x), 则称f为周期函数,T1是它的一个周期, 最小正周期T称为它的(基本)周期.
§2 函数的整体性态 所谓函数的整体性态就是与整 个定义域有关的函数性质而且都在 其图象上体现出来.
(一)有界性
定义 给定函数f(x),xI.若存在 M>0(M,m),使得对任意xI,| f(x) | M则说f是有界函数, M 称为f(x)的一 个界.
1
定义 给定函数f(x),xI.若存在 M(m),使得对任意xI, 都有f(x) M(f(x)m),则说f是有上(下)界, M (m)称为f(x)的一个上(下)界有下 界)的函数.
15
双
曲
正
切
及
13初等函数性态的深入讨论
初 等 数 学 专 题 研 究
所以函数的对称中心是：
13.2 关于对称性 4 3 2 例3：求函数 f ( x ) x 8 x 19 x 12 x 3 的对称轴
解：
f ( x ) x 4 8 x 3 19 x 2 12 x 3 ( x 2)4 5( x 2)2 1
a-x
x
a
初 等 数 学 专 题 x研 究
x
a+x
13.2 关于对称性 二、具有对称中心的函数
因此我们有： 定理2：函数y = f (x)的图像关于点(a, b)成中心对称的充分必 要条件是：对于任意的实数x，y = f (x)在 a+x、 a－x都有定 义，并且 f (a+x) = 2b－f (a－x)。 定理2’：函数y = f (x)的图像关于点(a, b)成中心对称的充分 必要条件是：对于任意的实数x，y = f (x)在 x、 2a－x都有 定义，并且 f (x) =2b－ f (2a－x)。 显然，偶函数是这里的a = 0, 且b = 0时的特殊情况。
初 等 数 学 专 题 研 究
( a2，b2), 那么对于定义域内的任意实数x， 由于函数关于点( a1, b1)、( a2，b2),对称，所以有
f ( x ) 2b1 f ( 2a1 x ), f ( x ) 2b2 f ( 2a2 x ) f ( x 2a1 2a2 ) f [2a1 ( 2a2 x )] 2b1 f (2a2 x ) 2b1 [2b2 f ( x )]
初 等 数 学 专 题 研 究
13.2 关于对称性 三、应用举例
例2：求函数 f (x) = x3+px2+qx+r的对称中心 解：设函数的对称中心为(a, b), 那么有f (x) =2b－ f (2a－x)。
高等数学课件：习题课(09)函数性态
（6）设 n 为正整数，则 f ( x)(1 x x2 xn )ex
2!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n!
（）
（A）有极小值；
（B）有极大值；
（C）既无极小值也无极大值；
（D） f ( x) 有无极值依赖于 n 的取值。
二、证明题
1．设 m, n0 ， 0 xa ，
证明：
x
m
(a
x)n
(
mmnn m n)mn
a
mn
。
2．设 f ( x) 在[a, ) 上可导，且当 xa 时， f ( x)k0 ， 其中 k 为常数。证明如果 f (a)0 ，则方程 f ( x)0 在 (a, a f(a)) 内有且仅有一个实根。 k
习题课九
一、选择题
（1）设在[0，1]上， f ( x)0 ，则下列不等式
成立的是（ A ）
（A） f (1) f (1) f (0) f (0) ； （B） f (1) f (0) f (1) f (0) ； （C） f (1) f (0) f (1) f (0) ； （D） f (1) f (0) f (1) f (0) 。
三、解答题 1．设 x0 ，求满足不等式 lnx A x 的最小正数 A。
2．讨论曲线 y4ln x k 与 y4xln4 x 的交点个数。
3．若火车每小时所耗燃料费用与火车速度立方成正比， 已知速度为20km h 时，每小时的燃料费用为 40 元， 其他费用每小时 200 元，求最经济的行驶速度。
图形如图所示，则 f (x) 有（ ） （A）一个极小值点和两个极大值点；
y y f ( x)
（B）两个极小值点和一个极大值点；
x
o
（C）两个极小值点和两个极大值点；
第三章第四讲函数的性态08
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时， x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
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例. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 , 证: 令 f ( x ) x
且
x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
上页
o
1 2
x
下页
返回
例3 确定函数 f ( x ) 解
3
x 的单调区间.
2
D : ( , ).
2 3 x
3
f ( x )
,
( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
上页
下页
返回
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
( f ( x) 0) , 则
上页
下页
返回
定理 1. 设函数
在开区间 I 内可导, 若
( f ( x) 0) , 则
在 I 内单调递增 (递减) .
证 x , x (a , b), 且 x x , 应用拉氏定理,得 1 2 1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
函数的性态分析与数项级数敛散性的研究
－ ＋ 存在，级 厂 ） 则 数∑＿ ） （ 厂 与ｊ （
）敛 性 ． ｄ 散 相同 ｘ
事上 窭 ｋｆ 实， ｕ 记 ＝
ｋ ＝１ ｋ＝ ｌ Ｉ
一
一Ｉ ． Ｊ（ ｆ ＝ “） ，
。 ｛
由 联 可 ，数∑ ｕ 敛 关 一 知级 ． 收
当 ｌ ） 凹 函数 时 ， ） 增 且有 厂 为 （ ＿ 厂（ 递
在高 等 数 学课 程 中 ， 函数 性 态 的 分 析 着 重 应 用 于 对 对 函 数 的性 质 、 图像 的 研 究 ． 者 在 教 学 实 践 中 发 现 ， 一 定 作 在 条件 下 ， 有 凹 凸性 的 函 数 的 一 些 特 性 与 某 些 数 项 级 数 的 具
敛散 性 有 着 一 定 的 联 系 ， 且 对 于 数 项 级 数 的 敛 散 性 的 判 并 别有 着 比较 优 化 的 方 法 ， 文 就 ［ ， ｏ） 具 有 凹 凸 性 的 本 ａ ＋ｏ 上 函数 在 数 项 级数 中某 些 应 用 进 行 一些 探 究 ． 在 大 多 数 高 等数 学 教 材 中 ， 函数 ｌ 的 凹 凸 性 是 指 ： 厂 （ ） 设 函数 ） （ ， ） 可导 ， 曲线 Ｙ＝ （ 位 于 每 点 处 切 线 在 。ｂ 内 若 ， ） 的上 方 或 下方 ， 称 曲线 在 （ ， ） 是 凹 的 （ 则 ａｂ 内 向下 凸 ） 凸 或 的（ 向上 凸 ） 我们 也 称 ｙ＝ ） 凹 （ 凸 ） ． 是 或 函数 ． 般 情 况 一 下 ， （ ｂ 换 成无 穷 区 间也 可 以 类似 定 义 ： 当 ａ， ） 如果 将 ｂ 改换成 ＋ ａ 存在 ， 厂 ａ ） 有－ ）＝ｌ 厂 且 仍满 （ ｉ （ ｍ＿ ）
收敛 ， 中 其
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(2) 类似可证 .
例4. 求函数
的极值 .
f ( x ) 6 ( x 2 导数
f ( x ) 6 x ( x 2 1) 2 ,
2) 求驻点 令 f ( x ) 0 , 得驻点x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ; 又 f ( 1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
五、曲率及其计算公式
, 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长 s 对应切线
转角为 , 定义
弧段s上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率为
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
的渐近线 .
2 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1 为垂直渐近线. x 1 x 1
2. 斜渐近线
若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
0
故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕
思考与练习
1.设在 [0 ,1] 上 f ( x ) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
x 1
tan x
因此
从而
例如
y
f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
是极大值 为极大点 , 是极小值 o 1 2 x 为极小点 , 注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 极值可能出现在导数为 0 或导数不存 在的点. y x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 凸, 3 27
四、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为曲线C 的渐近线 . y y f ( x) C M 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线
2
( 9) 4 2 12 81 96 0
2
0取最小值 x 2x 9 x 12 故函数在 00 ;在 x
2
5 1及 2
取最大值 5.
例5. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 . 说明: 2 ( x ) f ( x) 令 ( x) 由于 ( x) 与 f ( x) 最值点相同 因此也可通过 , 求最值点.( 自己练习 )
(或 x 1)
y x2
所以有铅直渐近线 x 3及 x 1
f ( x) x2 lim 2 又因 k lim x x x x 2 x 3
3
1
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
2 1
x3 不是极值点
定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时 , (1) f ( x ) “左正右负” , 则 f ( x ) 在 x0 取极大值 . (2) f ( x ) “左负右正” , 则 f ( x ) 在 x0 取极小值 ;
提示: 利用 f ( x ) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
例1. 确定函数
令 f ( x ) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x ) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
3 2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 1 5 1 2 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2 4 2 f ( x ) x ( 2 x 2 9 x 12) x1 0 , x2 1, x3 2
L
PN
y kxb
o
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
y
x
x
无渐近线 .
o
1. 水平与铅直渐近线
若
(或 x )
则曲线 则曲线
有水平渐近线 y b .
若
(或 x x0 )
有垂直渐近线 x x0 .
例9. 求曲线
1 2) 2 解: lim ( x x 1
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
(2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , ( 2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
36 x ( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2) 求拐点可疑点坐标
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 27 3 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
f ( x) f ( x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) lim x x0 x x0 x x0 x x0
由 f ( x0 ) 0 知 , 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x ) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x ) 0 , 当 x0 x x0 时， x0 x0 x0 f ( x ) 在 x0 取极大值 .
思考与练习
f ( x) f (a) 1, 则在点 a 处(B ). 2. 设lim 2 xa ( x a )
( A) f ( x) 的导数存在 且 f ( a ) 0 ； ( B ) f ( x ) 取得极大值 ; (C ) f ( x ) 取得极小值; ( D ) f ( x ) 的导数不存在.
例6. 判断曲线
3 解: y 4 x ,
的凹凸性.
y
故曲线
说明:
在
上是向上凹的.
o
x
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线 的一个拐点.
或不存在,
但 f ( x ) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( )( x1 ) ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 )( x2 f ( x2 ) f ( ) f ( ) ) 2 ! ( x2 2 2 2 2 两式相加
例7. 求曲线
的拐点.
2 3
x 解: y 1 3
x
2x , y 9
5
3
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )
凸
的拐点 .
例8. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x 3 12 x 2 ,
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
(
1 2!
x 2 x1 2 [f 2
)
(1 ) f ( 2 )]
当 f ( x ) 0时,
f
x1 x2 ( ), 2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
(自证)
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例3. 求函数
2 3
解:1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 2; 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 令 f ( x ) , 得 x2 0 3) 列表判别
x ( , 0) f ( x ) f ( x)
提示: 利用极限的保号性 .
三、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
连续曲线上凹凸分界点称为拐点 .
y y y
o o o
xx xx x x 1 x x 1 22 x 1 x 1 22 x 22