导数在研究函数性态中的作用
利用导数研究函数性质
利用导数研究函数性质导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过研究函数的导数，我们可以了解函数的性质，包括函数的增减性、极值点、凹凸性等。
本文将介绍如何利用导数来研究函数的性质。
一、函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的变化趋势。
通过导数可以判断函数在某一点的增减性。
1. 若函数在某一点的导数大于0，则函数在该点上是增函数；2. 若函数在某一点的导数小于0，则函数在该点上是减函数；3. 若函数在某一点的导数等于0，则函数在该点上可能是极值点。
通过求解函数的导数，我们可以得到函数的增减区间，从而了解函数的整体变化趋势。
二、函数的极值点函数的极值点是函数在定义域内的局部最大值或最小值点。
通过导数可以判断函数的极值点。
1. 若函数在某一点的导数为0，并且导数在该点的左侧由负变正，右侧由正变负，则该点为函数的极大值点；2. 若函数在某一点的导数为0，并且导数在该点的左侧由正变负，右侧由负变正，则该点为函数的极小值点。
通过求解函数的导数，并分析导数的变化情况，我们可以确定函数的极值点。
三、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
1. 若函数在某一点的二阶导数大于0，则函数在该点上是凹函数；2. 若函数在某一点的二阶导数小于0，则函数在该点上是凸函数；3. 若函数在某一点的二阶导数等于0，则函数在该点上可能是拐点。
通过求解函数的二阶导数，我们可以得到函数的凹凸区间，从而了解函数曲线的弯曲情况。
四、函数的拐点函数的拐点是函数曲线由凹变凸或由凸变凹的点。
通过导数的二阶导数可以判断函数的拐点。
1. 若函数在某一点的二阶导数为0，并且二阶导数在该点的左侧由负变正，右侧由正变负，则该点为函数的拐点。
通过求解函数的二阶导数，并分析二阶导数的变化情况，我们可以确定函数的拐点。
综上所述，利用导数可以研究函数的增减性、极值点、凹凸性和拐点等性质。
通过求解函数的导数和二阶导数，并分析其变化情况，我们可以全面了解函数的性质，从而更好地理解和应用函数。
13《导数在研究函数中的应用》选修
13《导数在研究函数中的应用》选修导数是微积分中非常重要的概念，它被广泛应用在研究函数的各种性质中。
导数可以告诉我们函数在其中一点的变化速率，这对于理解函数的形态和性质非常有帮助。
在本文中，我们将介绍导数在研究函数中的应用，并探讨导数在不同领域中的重要性。
首先，导数在函数的极值问题中扮演着非常重要的角色。
通过求解函数的导数并找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
这些极值点可以告诉我们函数的最大值和最小值，帮助我们优化函数的性能。
在实际生活中，比如经济学中的成本函数和收益函数，通过求解导数我们可以找到最大利润的生产量或者最小成本的生产方式。
其次，导数在函数的连续性和光滑性的研究中也扮演着重要的角色。
通过求解函数的导数，我们可以判断函数在其中一点是否连续，或者函数是否具有一阶或者二阶导数。
这些信息对于理解函数的性态和特性非常有帮助。
在物理学中，速度和加速度分别是位移函数和速度函数的导数，通过求解导数我们可以得到精确的运动轨迹和加速度曲线。
另外，导数在函数的图像和曲线的绘制中也发挥着至关重要的作用。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的拐点和弯曲点，这些点对于绘制函数的准确曲线非常重要。
在工程学中，比如控制系统和信号处理中，求解导数可以帮助我们设计稳定和高效的系统。
最后，导数在函数的微分方程中也被广泛应用。
微分方程描述了函数和导数之间的关系，通过求解微分方程我们可以找到函数的解析解。
这对于预测和模拟函数的行为非常重要。
在生物学和医学中，通过建立生物系统的微分方程，我们可以模拟疾病的发展过程和治疗效果。
总之，导数在研究函数中的应用是非常广泛和重要的。
通过求解导数，我们可以研究函数的极值问题，连续性和光滑性，图像和曲线的绘制，以及微分方程的建模和求解。
导数不仅是微积分中的基本概念，也是现代科学和工程中不可或缺的工具。
希望本文可以帮助读者更好地理解导数在函数中的应用和重要性。
导数在研究函数性质中的应用
导数在研究函数性质中的应用大峪中学韩玮2012年《北京卷考试说明》（理科）要求：导数在研究函数中的应用主要有：利用导数研究函数的单调性；函数的极值、最值；利用导数解决某些实际问题，（其中涉及到的多项式函数不超过三次）。
下面举例说明导数在研究以上三方面函数性质中的具体应用。
1、利用导数研究函数的单调性：（1）函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数在区间内可导，①如果恒有，那么函数在区间内单调递增；②如果恒有，那么函数在区间内单调递减.值得注意的是，若函数在区间内有（或），但其中只有有限个点使得，则函数在区间内仍是增函数（或减函数）.（2）一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快.这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就比较“平缓”.例1、讨论函数的单调性.解：的定义域为，求导数得.令，得.①当，即时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.②当，即时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.③当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减.通过本例，明确讨论函数的单调性的一般步骤：①确定的定义域（这一步必不可少，单调区间是定义域的子集）；②计算导数；③求出方程的根；④列表考察的符号，进而确定的性（单调区间）（必要时要进行分类讨论）.2、利用导数研究函数的极值：（1）设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，是极大值点；如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，是极小值点.（2）需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点.如在处的导数值为零，但不是函数的极值点.也就是说可导函数在处的导数是该函数在处取得极值的必要但不充分条件.（3）函数在区间上的最值：在区间上的最大值（或最小值）是在区间内的极大值（或极小值）及中的最大者（或最小者）.（4）应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质.例2、求函数的极值.解：，令，解得.列表分析如下：极大值所以当时，有极大值；当时，有极小值.通过本例，明确求函数的极值的一般步骤：①计算导数；②求出方程的根；③列表考察的根左右值的符号：如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.例3、已知函数．若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．解：．易研究函数的单调性：递减区间为，；递增区间为（-1，3）．因为，，所以．因为原函数在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值．于是有，解得．故，因此，即函数在区间上的最小值为．通过本例，明确求函数在指定闭区间上最值的基本方法：①计算导数；②求出方程的根；③比较函数值及的大小，其中的最大（小）者就是在闭区间上最大（小）值．3、利用导数解决某些实际问题，例4、用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解决策略：解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．简解：设容器底面长方形宽为，则长为，依题意，容器的高为．显然，即的取值范围是．记容器的容积为，则．对此函数求导得：．令，解得；令，解得．所以，当时，取得最大值 1.8，这时容器的长为．答：容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为．以上结合自己的教学实践从研究函数的单调性；函数的极值、最值；解决某些实际问题，三个方面浅谈了导数在研究函数性质中的具体应用。
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思
用导 数研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 不超 过 三 次 的 多
项式 函数 的单 调 区间． （ ２ ） 通 过 实例 ， 借 助 几 何 直 观探 索并 了解 函 数 的单调 性与 导数 的关 系 ； 通 过初 等 方 法 与 导数 方法 在研究 函数 性 质 过程 中 的 比较 ， 体 会 导数 在 研究 函数性 质 中的一般 性 和有效 性．
若 在 区间 Ｄ上 ｆ （ ｚ） ＜０ ， 则－ 厂 （ ） 在 区间 Ｄ
一
０
—
上 是减 函数．
．
ｒ ｜一
／
１
师： 很好， 你 能 用 函 数单 调 性 的 定 义 给 出证
明吗 ？
图 ２
图 １
老 师先 让 学生 在 草稿 纸 上试 证 ， 然 后 在学 生
的关 系．
对 于 函数 ， （ ｚ） ＝ ＝ ＝ ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ， Ｖ ｚ∈ （ ０ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） ，
， （ ｚ）一 一 ＜ ０ ・
３ 教 学过 程
３ ． １ 问 题 导 入
问题 １ 作 出下 列 函数 的图象 ：
（ １ ） ｆ （ ｘ） 一ｚ 。 ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） 一ｌ ｏ ｇ ￣ Ｘ ．
生： 图 １中的切线 斜率 为正 ， 图 ２中的切线斜
率为 负． 师： 回顾 导数 的几何 意义 ， 说 明了什 么？
生： 函数 ， （ ） 一ｚ 在 区 间（ 一。 。 ， ＋。 。 ） 上 的 导数 为正 ； 函数 ｆ （ ｘ） －ｌ ｏ ｇ ￣ ｚ在 区间 （ ０ ， ＋ｃ × 。 ） 上
１
（ １ ） ｆ（ ｘ）一ｚ＋ ； （ ２ ） ｆ（ ｘ）一 － ｚ 。 ｅ ．
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在函数中的作用
导数在函数中的作用导数是微积分中的重要概念，广泛应用于函数、曲线和图形的研究中。
它是描述函数在其中一点上的变化率的工具，具有很多实际应用。
在本文中，我将详细介绍导数在函数中的作用及其应用。
首先，导数可以用于研究函数的单调性。
函数的导数可以告诉我们函数在其中一点上是增加还是减少。
如果导数大于零，那么函数在该点上是递增的；如果导数小于零，那么函数在该点上是递减的。
当导数等于零时，表示函数在该点上取得极值，对于凸函数来说，如果导数从正数递减到0，然后再从0递增到正数，那么该点就是极小值点；如果导数从负数递增到0，然后再从0递减到负数，那么该点就是极大值点。
通过导数，我们可以更好地理解函数的增减趋势，并画出函数的增减图，这对于很多实际问题的研究和解决都非常有帮助。
其次，导数可以用于研究函数的凸性和拐点。
函数的导数在其中一点上的变化可以告诉我们函数曲线的凸凹性。
如果导数在其中一点的左侧小于右侧，则说明函数曲线在该点上凹下去；如果导数在其中一点的左侧大于右侧，则说明函数曲线在该点上凸出来。
当导数发生变化的点称为函数的拐点，拐点是函数曲线转折的地方。
通过研究函数的凸性和拐点，我们可以更好地理解函数的形状和性质，从而解决实际问题。
第三，导数可以用于研究函数的极限。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
通过导数，我们可以计算函数在其中一点的导数值，并通过计算导数的极限得到函数在该点的极限值。
这对于研究函数的连续性和光滑性非常重要，也是微积分中一些重要定理（如极值定理和洛必达法则）的基础。
第四，导数可以用于求解函数的最值问题。
最值问题是求函数取值的极大值或极小值的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在其中一区间的最值点。
当导数从正数递减到零再递增到负数时，函数在此处取得极大值；当导数从负数递增到零再递减到正数时，函数在此处取得极小值。
利用导数求解最值问题，我们可以优化一些实际问题，如最大利润、最短路径等。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用在数学中，单调性是由函数的变化来衡量的，根据函数的变化特征可以判断函数的单调性特点。
若函数在某一区间上单调递增或单调递减，则称该函数为单调函数。
这种函数的单调性有着十分重要的意义，它可以帮助我们更好地理解数学问题，因此，单调性研究是数学中一个重要的课题。
在研究函数单调性时，导数可以发挥重要作用。
导数表示函数在某一点变化率，如果函数在某一区间上单调递增或单调递减，那么该函数在该区间上的导数都应该是正数或负数，而不能是零。
因此，导数可以用来判断函数的单调性特点。
另外，导数也可以用来求解函数的极值问题，极值是指函数在某一区间上的最大值或最小值，如果函数在某一点处的导数为零，这就表明该点处可能是函数的极值点，也就是说，该函数在该点可能是最大值或最小值。
同时，导数还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值，如果函数在某一点处的导数为正，表明该点处可能是函数的最大值，反之，函数在某一点处的导数为负，表明该点处可能是函数的最小值。
总之，导数在研究函数单调性中发挥着重要的作用，它可以用来判断函数的单调性特点，也可以用来求解函数的极值问题，同时还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值。
因此，导数在研究函数单调性中有着十分重要的作用，是必不可少的数学工具。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。
本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。
首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。
对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。
具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。
通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。
其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。
如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。
通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。
同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。
如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。
再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。
如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。
通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。
另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。
最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。
通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。
临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。
拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。
通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。
综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。
它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。
在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。
因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它是有关函数特性的一种数学工具。
本文将介绍这一概念在研究函数单调性中的应用。
首先，我们需要了解什么是函数单调性。
函数单调性是指函数在给定的区间内是严格单调递增或者严格单调递减的性质。
因此，这一性质被广泛用于数学上的研究以及实际应用中。
而对于如何判断函数的单调性，导数就起着重要的作用。
一般来说，函数在一个给定区间内，若函数在此区间内的导数恒大于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递增的；反之，若函数在此区间内的导数恒小于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递减的。
此外，当函数在给定区间内的导数恒等于零时，则可以断定该函数在此区间内的单调性不确定。
除此之外，导数还可以作为函数的一种视角，来分析函数的极值问题。
实际上，当函数的导数恒等于零时，就有可能函数拥有极值点；当函数的导数在给定区间内都大于零，则可以断定该函数在此区间内无极值；反之，若函数的导数在给定区间内小于零，则该函数在此区间内有且只有一个极值点。
另外，导数也可以用来衡量函数的变化，包括函数的变化率、函数的变化速度等。
例如，若函数的导数等于零，则函数没有变化，也就是函数没有变化率；若函数的导数大于零，则函数在此区间内是增长函数，函数增长越快，导数越大，即函数变化率越大；反之，若函数的导数小于零，则函数在此区间内是减少函数，函数减小越快，导
数越小，即函数变化率越小。
总之，导数作为函数单调性研究的重要工具，可以帮助我们分析函数性质，衡量函数的变化。
因此，正确理解和掌握导数知识，对分析函数研究以及应用具有重要意义。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数在研究函数性质中的一些应用
多性质 ． 如 单调性 、 极值、 最值的研 究， 仅仅依 靠定义等 工具 ， 显 得十分复杂． 甚至可望而不可及 。导数进入 高中数 学教材后 ， 给
．
ｂ Ｘ ２ ， 不妨设 Ｘ ｌ ＜ Ｘ ２ ， 于是， ｆ （ ｘ ） ＝ ｅ （ ｘ － ｘ Ｏ （ ｘ － 函数 性 质 的研 究 ． 开辟 了一条 新 的 途 径 ， 特 别是 应 用导 数 这 一新 方程有两个不 同的实根 Ｘ Ｙ － 具． 为分 析 和 解 决 问题 提供 了新 的视 角 ， 新 的 方 法 。与 传 统 方 ｘ 从 而 有 下表 ： 法相 比 ． 简捷 明 快 ， 具 有 明 显优 势 。 下 面 以 实例 谈 谈 导 数 在研 究
课程教育 研究
Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
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教学 ． 信 息
导数在研 究 函数性质 中的一些应 用
冯有 涛
ｆ 西安市西光中学 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ４ ３ ）
ｆ 摘要】 导数是高 中数学课程 中的重要 内容 ， 是解 决实际问题 的有 力工具 ， 运用导数研 究函数 的单调性 、 极值 和最值是 高中导
【 ｉ 关 中 键 图 词 分 号 】 导 数 】 单 调 性 极 值最 值 Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码】 Ａ
函数 是 高 中数 学 的核 心 内容 ． 其 贯 穿 高 中数 学 的始 终 ， 函数 的 性 状 的研 究 自然 就成 为 高 中数 学 的重 要 内容 ， 然而， 函数 的许
数教学 Ｌ － ， 的主要 内 容 本文主要从三方面阐述了导数在研究函数性质中的一些应用， 即导数在判断函数单调性、 求解函数极值以及
同济大学高等数学2.5导数在研究函数性态上的应用
进一步，如果在实际问题中根据问题的性质可 以判定可导函数 f (x) 确有最值，且一定在定义区间 内部取得，则唯一的驻点 x0 必是 f (x)的最值点。
怎样选择它的直径与高，使得所用的材料最省？
解 设圆柱体的底面直径为 d，高为h，表面积为S，则有：
S
d
h
d2
V d 2h 4
S 4V d 2，
d 0
4
d4
令S 0，解得唯一驻点 d 23 V 。
又由问题的实际意义可 知最小表面积 S一定存在，
所以唯一驻点d 23 V 就是最小点，
此时 h 4V 3 V
()
(2) f (x) 0 f (x) 在区间 I 上严格单调增加
()
（减少）.
定理 2 设函数 f 在区间 I 上可导，则 f 在区间 I 上 严格单调增加（减少）充要条件是
(1) 对x I,有 f (x) 0（ 0）； (2) 在I的任一部分区间上f (x) 都不恒等于零.
例1 讨论下列函数的单调性,并指出单调区间：
当 x ( x , x ) 时， f (x) 0 ， 则 f (x) 在点 x 取得极小值； （3）若 f (x) 在点 x 的左、右邻域内保持同号， 则 f (x) 在点 x 处无极值。
例5 求函数 f (x) (x 1) 3 x2的极值.
解：f ( x) 3 x 2 2( x 1) 5x 2
几点说明： （1）极值是指函数的值，而极值点是指自变量的值，
两者不要混淆。 （2）函数极值的概念是局部性的，它不一定是函数在
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数在研究函数性质方面应用
导数在研究函数性质方面应用作者：杨付贵
来源：《科学导报·学术》2019年第29期
摘 ;要：函数的导数是高等教学中的最基本的概念之一，也是高等数学中的核心概念之一，并且函数的导数有着极其广泛的应用。
本文根据自己多年来在教学和学习过程中的经验，浅谈一下函数的导数在研究函数的性质方面，常见的一些应用。
为初学者能够较正确深入理解和掌握函数的导数的应用，提供一些思路，方法和参考。
关键词：高等数学;导数;微分;微积分
我们知道，函数的导数是高等数学中最重要核心概念之一，并且有着广泛的应用。
概括起来，我们常见的利用函数导数，在研究函数的性质方面的应用主要有以下几个方面
一、利用函数的导数，求函数曲线的切线方程与法线方程
二、利用函数的导数，判别函数的单调性，凹凸性
我们知道，函数的单调性，凹凸性对于较准确描绘函数的图形，是及其重要的。
六、利用函数的导数，证明不等式
利用函数的导数，证明不等式，主要是（1）利用微分中值定理，（2）利用单调性，（3）利用凹凸性。
利用导数，研究函数的性质，还有很多方面的应用，由于作者水平及篇幅所限，只能浅谈如此，望读者谅解。
参考文献
[1] ;《高等数学》（第七版）上、下册，同济大学数学系编，高等教育出版社
[2] ;《高等数学例题与习题》同濟大学高等数学教研室编，同济大学出版社。
导数在研究函数中的应用
摘 要
导数是研究函数性质的一个重要工具，我们可以利用导数来求函数的单调性，极值点，最值点，另外可以利用导数找函数的零点和构造简单的函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。下面，我们运用导数研究函数的性质，通过对函数的单调性与导数的关系的研究、如何利用导数来求函数的极值与函数的最大值和最小值的一般方法、导数与函数的零点以及利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题，我们可以从中体会导数在研究函数中的应用。通过对导数在研究函数中的应用的学习，为我们学习和研究函数奠定了良好的基础。
y- =f’( )(x- )
例1：曲线y=x(3 )在点（1，1）处的切线方程为：y=4x-3
解析：第一步，首先求函数y=x(3 )的导函数y’
y’=3 ,接下来把 =1代入y’,有f’ )= y’( =1)=4,从而可知在 =1处切线方程的斜率为4，最后将斜率f’ )和点（1，1）代入切线方程y- =f’( )(x- )
f’(xo)= = 。
从导数的这一定义出发，我们知道导数f’(xo)表示
函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x=xo附近的变化情况，接着可以明确导数的几何意义：
曲线y= f(x)在点(xo,f(xo))处切线的斜率。
二、导数的性质
通过对导数相关定义和几何意义出发研究导数的性质。
二、函数的单调性与导数
判断函数f(x)的单调性时，常常借助f’(x)的符号来判断
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a，b)内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内単调递増;如果f’(x)<0，那么函数y= f(X)在这个区间内单调递減.
导数在函数研究中的应用
导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。
如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。
通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。
3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。
如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。
4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。
例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。
5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。
例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。
6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。
例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。
7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。
总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
浅谈导数在研究函数性态中的作用 毕业论文
浅谈导数在研究函数性态中的作用摘要：导数在解决函数问题上提供了有力的工具，对导数在解决函数问题中的作用进行阐述：可导函数的单调性、函数的极值与最值、函数的凹凸性、函数的渐近线和描绘函数的图像．并研究函数的单调性、极值与最值、凹凸性和渐近线，并附上例题说明．关键字：导数 单调性 极值与最值 凹凸性0引言历史上数学思想的突破点是数学历史发展的重大转史的发展历程，因此在教学中，学生自然会提出的一系列问题：“导数”概念是怎样得出的？“趋近于”怎样理解?要弄清这些问题，只有翻开数学史，从哲学的角度认识导数，这样不仅能帮助我们搞清楚导数的概念，有助于建立正确的数学观念.1 主要内容(1）函数的单调性高中阶段，我们对函数单调性的定义如下：定义：已知函数)(x f y =，定义域为I ，如果I b a ⊂],[,那么],[21b a x x ∈∀、且21x x <．那么(1)当时0)()(21>-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递减函数； (2)当时0)()(21<-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递增函数． （1.1）单调性的判别方法 定理1]1[如果函数)(x f y =在],[b a 上连续，),(b a 内可导，那么（1） 若在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增； （2） 若在),(b a x ∈∀内，0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递减. 定理2 若函数)(x f y =在),(b a 内可导，则函数在),(b a 内单调． （1）在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增；（2）函数)(x f y =在),(b a 内严格递减，那么),(b a x ∈∀，有0)(≤'x f ；在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于零．推论]1[设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（严格递减）．注意：本推论只是严格单调的充分条件。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
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导数在研究函数性态中的作用
------从一道考题看解题分析
从一个高考题说起
例(2010.湖北文21改编)设函数f(x) 〔x3 a x2 bx c ,其中
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a 0，曲线y f (x)在点P(0, f (0))处的切线方程为y 1.
(I)确定b,c的值
(n)(略)
(皿)若过点(0,2)可作曲线y f(x)的三条不同切线，求a的取值范围.
问题1函数的切线方程如何求？
问题2切线方程为y 1的几何含义?
题1 ( 2009.福建)若曲线f x ax3 lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
问题3 三次函数函数图像的形态？或者说函数
y ax3 bx2 cx d(a 0)的图像与a,b,c,d的关系如何？
题2函数f (x)
问题4过点(0,2)可作曲线y f(x)的三条不同切线，是什么意思? 如何下手呢？能不能转化为我们熟悉的情境？
曲线y f (x)的三条不同切线都过点(0,2)，也就是方程
2 f(t) f (t)(0 t)有三个相异实根，也即方程2t
3 a t2 1 0有三个
3 2
相异实根•
至此，令g(t) 2t3 -t2 1，上述条件等价于gt的图像与t轴
3 2
有三个交点•注意到，三次函数只有两种形态：一是没有极值点，
一是有两个极值点.于是，这个三次函数的图像应该是：先单调上升经过t轴到达极大值，再单调下降经过t轴到达极小值，而后单调上升第三次经过t 轴.
这样问题就转化为g t 极大°, g t极小0.
a 0
g (t) 2t2at 2t(t 2
3 3
即g a 1 —，从而a的范围由1 —0，得到a 23.3.
2 24 24
数学素养的一个重要体现就是对不同数学语言之间关系
的自觉的转换，能有借助数学的符号系统进行思考，这就是所谓地
“数学地思考问题” •高考中题目难度体现之一就是数学语言的抽
象，或者考生对数学符号语言的描述不能“数学地思考问题”，不
能很好地转换视角.
拓展变式1:已知函数f x ax3bx23x a,b R在点1, f 1处的切线方
程为y 2 0.
⑴求函数f x的解析式；
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值x-i,x2都有f % f x2c，
求实数c的最小值；
⑶若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数m的取值
范围.
拓展变式2 (2007年全国卷U理22题)
已知函数f(x) x3 x .
(I)求曲线y f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；
(U)设a 0，如果过点(a,b)可作曲线y f(x)的三条切线，证明: a b f (a).。