表示函数关系的三种方法
关于函数数学知识点归纳
关于函数数学知识点归纳1、变量与常量在其中一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在其中一变化过程中有两个变量某与y，如果对于某的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说某是自变量，y是某的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
(2)列表法把自变量某的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
(3)某某某像法用某某某像表示函数关系的方法叫做某某某像法。
4、由函数解析式画其某某某像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
（一）、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。
2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。
（2）掌握三种表示法，列表法、解析法、某某某象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（某），那么y=f[g（某）]叫做f和g的复合函数，其中g（某）为内函数，f（u）为外函数3、求函数y=f（某）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y=f（某）的解析式求出某=f—1（y）；（3）将某，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（某），并注明定义域注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起②熟悉的应用，求f—1（某0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算（二）、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。
函数的表示法知识点总结
（B）2 或 5 2
（D）2 或 2 或 5 2
习题 3.
已知
f
(
x)
2x(x x 1(x
0) 0)
,若
f (a)
f (1) 0 ,则实数 a 的值等于________.
3.求分段函数自变量的取值范围
在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函
1 1
,
若
f 1 a f 1 a , 则 a 的 值 为
_________. 解:当1 a 1,即 a 0 时,1 a 1
∴ f 1 a 21 a a 2 a , f 1 a 1 a 2a 1 3a
几种常见的分段函数
1.取整函数 y x（ x表示不大于 x 的最大整数）.
其图象如图（1）所示.
y
3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1 2 3x
–2
–3
值 值 1值 值 值 值 值 值 值 值
y
fx = x + 2
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1
12x
值 值 2值 值 值 值 值 值 值 值 值
数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
例 3.
已知函数
f
(
x)
3x 2 2x 2
2x(x 1) 3(x 1)
,求使
f (x) 2 成立的 x 的取值范围.
解:由题意可得:
x 1
x 1
3x 2
2x
或 2
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
表示函数图像的三种方法
1表示函数图像的三种方法在本章中，我们将学习三种表示函数的方法． 一、列表法通过表格的形式来表示两个变量的函数关系，称为列表法．用表格表示函数就是把自变量的一组值和其对应的函数值列成一个表格．这样表示函数的好处是非常直观，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接从表格中找到与它对应的函数值，使用较方便．但列表法表示函数具有一定的局限性，列出的数值是有限的，而且从表格中也不容易看到自变量和与其函数值之间的对应关系．例1m的不同取值范围内的对应的y 值．二、解析式法两个变量之间的函数关系，一般情况下可以用含有这两个变量的等式表示．即解析式法，也叫关系式法．用解析法表示函数关系能准确地表示出自变量与其函数之间的数量关系，能很准确的得到所有自变量与其对应的函数值．但利用解析式表示的函数关系，在求函数值时，有时计算比较复杂，而且有的函数关系不一定能用解析式表示出来．如，函数解析式21y x =-能很好的表示y 与x 的对应关系，y 是x 的函数．三、图象法将自变量与其对应的函数值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即可得到函数的图象，用图象表示函数关系的方法，就叫图象法．用图象法表示函数形象直观，通过图象，可形象地把函数的变化趋势表示出来，根据函数的图象还能较好地研究函数的性质．画函数的图象时，要根据不同函数类型的图象特征，选用适当的方法．需要注意的是从函数图象上一般只能得到近似的数量关系．例2 如图表示的是某市6月份一天气温随时间变化的情况，请观察此图，并说说可以得到哪些结论？解：从图象上观察到这一天的最高气温是36℃; 这天共有9个小时的气温在31℃以上; 这天在3～15（点） 内温度在上升;通过计算可以得出次日凌晨1点的气温大约在23～26（℃）之间．。
第3讲函数的表示方法
问题研究
求函数解析式通常有哪些方法？
典型例题1
例1 分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：
⑴已知 f ( x 1) x 2 x ；
⑵已知 f ( x)是一次函数，且f f x 9x 8； ⑶已知 3 f x 2 f x 2x 5； ⑷已知 f 0 0,且对任意x，y R，有
例2
已知函数
f
( x)满足：f
x
1 x
x2
1， x2
求函数 f ( x)的解析式.
解
配方，得f
x
1 x
x
1 x
2
-2，
f ( x) x2 -2.
错！
思考1 解题是否就此结束？
定义域！
思考2 函数定义域是｛x∈R︱x≠0｝，对吗？
求解过程
x 0且x 1.
1
－1 O 1
x
回顾反思
（1）求解步骤：
①确定函数的定义域；
y
②化简函数的解析式；
③作出函数的图象. （2）思维误区：
1
－1 O 1
x
①不会化简，无从下手；
②范围有误，图象失真；
③忽视细节，作图粗糙.
思路分析
例3 画出下列函数的图象：(2) y x 1 x 2 .
①×3－ ②×2，解得 f(x)＝2x＋1.
回顾反思
（1）基本策略：解方程组，实施消元. （2）数学思想：函数与方程思想. （3）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻.
思路分析
例1 ⑷已知f(0) ＝1，且对任意x，y∈R，有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x). 赋值法！
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
人教八下数学第2课时 函数的三种表示方法
状元成才路
解析：用表格列出s与t的对应关系，如下表
t
0
2
4
6
s
200 150 100
50
观察上表可得出t与s的关系式为：
s=200-25t(0≤t≤8) 所以小船与码头的距离s是时间t的函数.
状元成才路
画函数图象
t
0
2
4
6
s
200 150 100
50
s(m)
由图象可知，在
200
第8min时，小船与码
时刻 t(时)
0
4
8 12 16 20 24
温度 T(℃)
16 18.1 19.9 22
21
19 17.2
状元成才路
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
9时10分至9时15分： 在家 ； 9时30分至9时50分：在书店买书 .
状元成才路
3.用描点法画出函数y=x+2的图象. 解：列表 、描点、连线后得到的图象如图所示.
x -2 -1 0 1 2 y01234
状元成才路
4.用描点法画出函数y=-6x的图象. 解：列表 并描点、连线后得到的图象如图所示.
y
2
y=x+0.5
1
-2 -1 O 1 2 x -1 -2
状元成才路
(2) y 6 (x>0) x
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 12 6 4 3 2.4
从函数图象可以看
出，曲线从左向右下降，
即当x由小变大时，
y 6 x
(x>0)
随之减小.
2
细说函数的三种表示方法
1、细说函数的三种表示方法2、一次函数漏（错）解例析3、求函数最值问题请注意取值范围4、画好实际问题中的一次函数图象5、运用一次函数图象解题6、一次函数与不等式（组）结合来解题1、细说函数的三种表示方法本章的学习，我们将遇到函数的三种表示方法，即解析式法、列表法、图象法。
下面与大家细说这三种方法的优缺点：一、解析式法用数学式子表示函数关系的方法叫解析式法．如：y＝2x＋4，s＝－5t＋600等．例1、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现要将水箱注满，已知每分钟注入水10L．请你写出水箱内水量Q（L）与时间t（分）的函数关系式，并注明取值范围．【分析】本题是求实际问题的函数解析式，要求我们会用函数解析式表示变量之间的关系．解：所列函数关系式为：Q＝200＋10t（0≤t≤30）．解析式法的优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算；但有些函数，不一定能用解析式法表示或表示出来非常繁琐。
二、列表法列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法。
优点：直观，即对于表中自变量的每一个值，不通过计算，就可从表中找到与它对应的函数值。
缺点：有局限性，即在表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中也不易看不出变量间的对应规律。
如下表，就是邮局信件的一种邮资表：信件的质量m(克) 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 邮费y（元）0.8 1.2 1.6 2.4从表中可以直观地看出y与m的对应关系。
三、图象法在平面直角坐标系中，以自变量的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数的方法称为图象法。
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念图形化。
函数的表示方法课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
数值，而且有时误差较大
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
示例 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
姓名
1
2
3
4
5
6
小伟
98
87
91
92
88
95
小城
90
76
88
75
86
80
小磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
高中数学
必修第一册
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例6 某镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色镇”.经调
研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
配套江苏版教材
3.分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次
画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点.
示例 已知函数f（x）＝1+
−
（-2<x≤2）.
2
（1）用分段函数的形式表示f（x）；（2）画出f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域.
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
+ 1 2 , ≤ −1,
例5 已知函数f（x）＝ 2 + 2, −1 < < 1, 若f（a）>1，则实数a的取值范围是（
C ）
1
, ≥ 1,
1
函数的三种表示方法
1．在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量 称为常量． 2．常量和变量是两个对立而又统一的量．它们是对“某一过程”而言 的，是相对的，“某一过程”的条件不同，常量和变量就可能不同． 3．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．其中x是自 变量．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 4．一般地，对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义 的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义． 5．可以用图表和式子表示函数关系．
由表可看出，三角形内角和为180°，边数每 增加1条，• 内角和度数就增加180°．故此m、 n函数关系可表示为： m= 180° （n-2）（n≥3的自然数）．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a 的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所 以周长L与边长a的函数关系可表示为： L=3a （a>0） 我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象． 列表： a … 1 2 3 4 … L … 3 6 9 12 … 描点、连线：
LOGO
函数的表示方法
LOGO
1.自学归纳
1。函数的三种表示方法：列表法、图象 法和解析法。 2。三种表示方法的转化
3。列表、描点、连线，作函数的图象。
归纳 表示函数关系的方法：
1、解析法：准确地反映了函数与 自变量之间的数量关系。 2、列表法：具体地反映了函数与 自变量的数值对应关系。
三种表示法的比较：
优点 缺点
不够形 象直观，而 且并不是所 有的函数关 系式都可以 用数学式子 表示
部编版八年级上册数学教学课件-函数的表示法——列表法和解析法
知1－讲
例1 一个小球在一个斜坡上由静止开始向下运动，
通过仪器观察 得到小球滚动的距离s(米)与时间
t(秒)的数据如下表：
t
1 234…
s
2 8 18 32 …
请写出s与t的函数表达式．
知1－讲
解：因为t＝1时，s＝2；t＝2时，s＝8＝2×4＝2×22； t＝3时，s＝18＝2×9＝2×32； t＝4时，s＝32＝2×16＝2×42， 所以s与t的函数表达式为s＝2t2.
(4)零指数幂、负整数指数幂中，底数不为0； (5)实际问题中，自变量除了满足解析式有意义外，
还要考虑使实际问题有意义． 3.自变量的值与函数值.
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
本题以表格的形式给出了时间与距离之间的 关系，我们应观察分析各数值之间的关系，从而列 出函数表达式．
（来自《点拨》）
1 一列火车以80 km/h的速度匀速行驶.
知1－练
(1) 写出它行驶的路程s km与时间t h之间的 函数表达式;
(2)当t =10时，s是多少？
解：（1）s＝80t. （2）s＝80×10＝800.
第12章 一次函数
第1节 函数
第2课时 函数的表示法——列表法和解析法
1 课堂讲解 列表法 解析法
2 课时流程 自变量的取值范围
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
表示函数关系主要有下列三种方法：列表法、解 析法、图象法.
知识点 1 列表法
知1－讲
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表
（来自《点拨》）
知3－练
1 (中考·黔南州)函数 y 3 x 1 的自变量x
函数的表示法
类比二次函数y＝ 类比二次函数 ＝x2 及二次函数y＝（ － 及二次函数 ＝（x－2 ）2＋1你 ＝（ 你 有何感想？ 有何感想？
问题探究
2x+3, x＜－ ＜－1, ＜－ x2, －1≤x＜1, ＜ 4. 已知函数 (x)= 已知函数f x－1, － x≥1 .
(1)求f{f[f(－2)]} ;（复合函数） 求 － （复合函数） (2) 当f (x)=－7时,求x ; － 时求
欲改造营口开发区世纪广场中 心的圆形喷水池， 心的圆形喷水池，已知原喷水池直径为 20m， 20m，喷水池的周边靠近水面的位置安装 一圈喷水头，喷出的水柱在离池中心4m 一圈喷水头，喷出的水柱在离池中心4m 处达到最高，高度为6m 6m， 处达到最高，高度为6m，现设想在喷水 池的中心设计一个装饰物， 池的中心设计一个装饰物，使各方面喷 来的水柱在此处汇合， 来的水柱在此处汇合，这个装饰物的高 度应当如何设计？ 度应当如何设计？
函数的表示法
函数表示法有几种？
函数表示法 解析法 图像法 列表法
一、函数的三种表示方法： 函数的三种表示方法：
定义：是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示， 定义：是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示， １、解析法 简称解析式。 简称解析式。 优点：函数关系清楚， 优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应 的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。 的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。 ２、列表法 定义：是列出表格来表示两个变量的函数关系。 定义：是列出表格来表示两个变量的函数关系。 优点： 优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函 数的对应值。 数的对应值。 ３、图象法 定义：是用函数图象来表示两个变量的函数关系。 定义：是用函数图象来表示两个变量的函数关系。 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
函数有哪几种表示法？你能谈谈它们的优点和不足吗？
函数有哪几种表示法？你能谈谈它们的优点和不足吗？
答：表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法．结合其意义、优点与不足，分别说明如下．
(1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法．用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确．已学利用函数的解析式，求自变量x＝a时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等)，探求函数的应用等．不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂．
(2)通过列表给出y与x的对应数值、表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.
(3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法．用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质．图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确．
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象．。
高一数学人教A版选择性必修第一册3.1.2函数的表示法 课件【共17张PPT】
=34320
将t的值代入③，得 y=0.03×34320=1029.6
所以, 小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。
同学们，函数的表示方法有哪几种？你能谈谈 它们的优缺点吗？
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对 应关系. 如3.1.1的问题3.
这三种方法是常用的函数表示法 .
例4 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要 y 元 . 试用函数的三种 表示法表示函数y=f(x).
解：这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y
4 3 2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
例6 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R，
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x) , g(x)的图象； 解: (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x) , g(x)
的图象，如图。
例6 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R， (2)任意x∈R，用M(x)表示 f(x) , g(x) 中的较大者，
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又 简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究 . 但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函 数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然， 查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的 所有值与其对应的函数值都列在表中．
图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情 况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而 且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能 得到它的完整图像．
函数的表示法(1)
（3）若想直观地看出面积如何随着边长的变化而变 化，用什么方法表示这个函娄比较好？
图象法
小结：
函数关系的三种表示方法：图象法、列表法、公式法
图象法：明显表示变化趋势
列表法：直接给出部分函数值 公式法：明显表示对应规律
使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
像第三个例子那样，用式子表示函数关系的方 法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
3. 某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元， 则使用x m3天然气应交纳的费用为y（元）. 怎样用含x的式了表示y呢？ 使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
3
3
Y=2.88x
动脑筋
本节第一个例子中，是怎样表示气温T随时 间t而变化的函数关系的？
用直角坐标系中 的一个图形来表示.
图2-1
结论
像第一个例子那样，建立平面直角坐标系，以 自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因 变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有 这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称为图象法.
小提示
Y=2.88x
用式子表示函数关系的方法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
小提示
用图象法表示函数关系的好处是，可以直观地 看出因变量如何随着自变量而变化，一目了然. 用列表法表示函数关系的好处是，自变量取的 值与因变量的对应值看得很清楚. 用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
函数的图象(3)三种表示方法【精品课件】
用平面直角坐标系中的 一个图象来表示的．
（1）指出其中的两个变量是 时间t ， 气温T . （2）其中自变量 时,间t 是气温T 的时间函t数.
函数的三种表示法：图象法、列表法、解析式法．
y=2x+2
m/kg l/cm
01
2
3 3.5
…
10 10.5 11 11.5 11.75 …
思考：这三种表示函数的方法各有什么优缺点？
2.列表法
定义：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
思考
用列表法表示函数有 什么优缺点？
列表法一目了然，使用起来比较方便，但列 出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之 间的对应规律.
3.图象法
定义：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法.
思考
用图象法表示函数有 什么优缺点？
图象法形象直观，但只能近似的表达两个变 量之间的函数关系.
解：由于水位在最近5小时内持续 上涨，对于时间t的每一个确定的值， 水位高度y 都有 唯一 的值与其对应， 所以，y 是 t 的函数. 函数解析式为： y=3+0.3t . 自变量的取值范围是： 0≤ t ≤5. 它表示在这 5 小时内，水位 匀速上升的速度为 0.3m/h ，这个函数可以近似地表示水位的 变化规律.
活动二：典型例题 例题 一水库的水位在最近5 h 内持续上涨，下表记录 了这5 h 内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点， 这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变 化有什么规律？
活动四：谈谈收获 列表法：反映了函数与自变 量的数值对应关系
函数的三种表示方法-经典教学教辅文档
第2课时函数的三种表示方法教学目标一、基本目标1．总结函数三种表示方法，并总结三种表示方法的优缺点．2．会根据具体情况选择适当方法．3．积极参与活动，进步学习兴味．4．在数学活动过程中构成合作交流认识及独立考虑习气．二、重难点目标【教学重点】函数三种表示方法．【教学难点】会根据具体情况选择适当方法．教学过程环节1 自学提纲，生成成绩【5 min浏览】浏览教材P79～P81的内容，完成下方练习．【3 min反馈】1．函数的三种表示方法分别是解析式法、列表法、图象法．2．用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法．3．把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．4．用图象来表示函数关系的方法叫做图象法．5．函数的三种表示方法的优缺点有哪些？活动1 小组讨论(师生互学)【例1】有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下方表格中的一些数据回答以下成绩：(1)(2)当所挂重物为x(克)时，用h(厘米)表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量．【互动探求】(引发先生考虑)能从表格中直接读出挂重物体的质量与对应的弹簧总长度的值吗？如何根据表格写出所挂物体的质量与弹簧的总长度之间的函数关系？【解答】(1)5÷0.5×1＝10(克)，即要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．(2)h＝10＋0.5x(0≤x≤50)．(3)令10＋0.5x＝25，解得x＝30，即当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．【互动总结】(先生总结，老师点评)列表法的优点是不需求计算就可以直接看出与自变量的值绝对应的函数值，简洁明了．列表法在实践消费和生活中也有广泛运用，如成绩表、银行的利率表等．【例2】如图描述了一辆汽车在某不断路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s (千米)和行驶工夫t (小时)之间的关系，请根据图象回答以下成绩：(1)汽车一共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长工夫？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长工夫？【互动探求】(引发先生考虑)从函数图象中我们得到哪些信息？这些信息与所求成绩有何关系？【解答】(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往复共行驶的路程是120×2＝240(千米)．(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时．(3)①由纵坐标看出汽车到达B 点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B 点所用的工夫是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝1603(千米/时)； ②由纵坐标看出汽车从B 到C 没动，此时速度为0千米/时；③由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；④由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)．(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．【互动总结】(先生总结，老师点评)图象法的优点是直观抽象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有益于我们经过图象来研讨函数的性质．图象法在消费和生活中有许多运用，如企业消费图，股票指数走势图等．【例3】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在半途不加油的情况下，最远能行驶多少千米？【互动探求】(引发先生考虑)剩余油量为y(升)与行驶路程为x(千米)之间满足甚么样的等量关系？根据自变量的取值怎样求函数值？由函数值怎样求出自变量的取值？【解答】(1)由题意，得y＝－0.6x＋48.(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升．当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．(3)令y＝0，即－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在半途不加油的情况下，最远能行驶80 km.【互动总结】(先生总结，老师点评)解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以经过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．活动2 巩固练习(先生独学)1．下方说法中正确的是( C )A．两个变量间的关系只能用关系式表示B．图象不能直观的表示两个变量间的函数关系C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D．以上说法都不对2．某学习小组做了一个实验：从一幢100 m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：则以下说法错误的是( B )A．苹果每秒着落的路程越来越长B．苹果每秒着落的路程不变C．苹果着落的速度越来越快D．可以揣测，苹果落到地面的工夫不超过5秒3．如图，直角边长为2的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一程度线上，等腰直角三角形沿程度线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过工夫为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为( B )A BC D4．如图1，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6 cm，E是一个动点，由B向C挪动，其速度与工夫的变化关系如图2.(1)求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动工夫x之间的关系式；(2)当点E挪动3.5秒后中止，且速度变化趋势与前2秒分歧，求此时△ABE的面积．图1 图2解：(1)由图2知，E点的运动速度没有发生变化，是3 cm/s，∴BE的长为3x cm，∴S△ABE＝12BE·AD＝12×3x·6＝9x(cm2)，即y＝9x.(2)当x＝3.5时，y＝9×3.5＝31.5 (cm2)．活动3 拓展延伸(先生对学)【例4】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A中止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求点M、点N的坐标；(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的15，求满足条件的x的值．图1图2【互动探求】(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，阐明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，阐明CD的长为5，从而求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求，可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出点M的坐标，利用AD，BC，CD的长得出点N的坐标；(3)当点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．【解答】(1)结合图形可知，点P在BC上时，△ABP的面积y 不断增大．当4≤x≤9时，△ABP的面积不变，∴BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20.(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，即点M 的纵坐标为10，∴点M的坐标为(4,10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，∴点N的坐标为(13,0)．(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的15，则△ABP的面积为20×15＝4.①当点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝12AB·PB＝12×5x＝5x2.令5x2＝4，解得x＝1.6.②当点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝12AB·PB＝12×5×4＝10(不合题意，舍去)．③当点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度(13－x)，y＝12AB·PA＝12×5×(13－x)＝52(13－x)．令52(13－x)＝4，解得x＝11.4.综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.【互动总结】(先生总结，老师点评)函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型成绩，图象运用信息广泛．经过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实践成绩，还可以进步分析成绩、解决成绩的能力．用图象解决成绩时，要理清图象的含义．环节3 课堂小结，当堂达标(先生总结，老师点评)函数的三种表示方法⎩⎪⎨⎪⎧ 解析式法列表法图象法练习设计请完成本课时对应训练！。
函数的三种表示方法
２．用解析式与图象法表示等边三角形 周长L是边长a的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a 的3倍．所以周长L与边长a•的函数关系 可表示为：
L=3a （a>0）
我们可以用描点法来画出函数L=3a 的图象．列表：
a…1 2 L…3 6
描点、连线：
3 4… 9 12 …
3.甲车速度为20米／秒，乙车速度 为25米／秒．现甲车在乙车前面500 米，设x秒后两车之间的距离为y 米．求y随x（0≤x≤100）变化的函 数解析式，并画出函数图象．
相比较而言，列表法不如解析式法全面， 也不如图象法形象；而解析式法却不如列表 法直观，不如图象法形象；图象法也不如列 表法直观准确，不如解析式法全面．
例题解析
一水库的水位在最近5小时内持续上 涨，下表记录了这5小时的水位高度．Biblioteka t/时 012
3
4
5
…
y/米 10 10．05 10．10 10．15 10．20 10．25 …
解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是： 甲车为：20x 乙车为：25x 两车行驶路程差为：25x-20x=5x 两车之间距离为：500-5x 所以：y随x变化的函数关系式为： y=500-5x （0≤x≤100）
用描点法画图：
函数的三种表示方法
1、列表法：
X ┅ -3 -2 -1 0 1 2 3 ┅ y ┅ -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 ┅
2、解析式法：y=x+0.5
3、图象法：
函数的几种表示方法的优缺点：
列表法比较直观、准确地表示出函数 中两个变量的关系。解析式法则比较准确、 全面地表示出了函数中两个变量的关系。至 于图象法它则形象、直观地表示出函数中两 个变量的关系。
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表示函数关系的三种方法
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入和输出的关系。
表示函数关系的三种方法是：文字描述、图形表示和符号表示。
一、文字描述：文字描述是最为基本和简单的一种函数表示方法。
函数通常用一句话来描述，如：设$f(x)$为一个函数，若$x$为一个实数，则$f(x)=x^2-3x+5$。
这种描述方法的局限在于需要大量文字来描述，对于函数的性质、定义域、值域等无法直观反映，难以实现精确计算。
二、图形表示：图形表示是一种非常直观的函数表示方法，通过函数图像来表示函数的性质。
函数图像是指由函数的值随输入变化而形成的点的图形。
例如$f(x)=x^2-3x+5$这个函数的图像具有二次函数的基本特征，如开口向上或向下、对称轴、交点等。
利用图形表示可以很直观地显示函数的性态，并知道函数的一些基本性质，如函数的单调性、最值、零点等等。
三、符号表示：符号表示是精确而严谨的一种表示方法。
符号表示主要通过定义、公式等方式来标识函数，如$f(x)=x^2-3x+5$就是一种符号表示函数的方式。
它可以提供很多函数的相关信息，如定义域、值域、导数、极限等
等。
这种表示方法需要掌握丰富的数学符号和知识才能理解，可能不太直观。
综上所述，表示函数关系的三种方法各有优劣，需要根据不同情境和目标选择适合自己的方法。
有些场合需要一种直观简单的方法，如初学者学习函数的基本概念可采用图形表示法；有些场合需要精确细致的方法，如深入研究函数的性质和行为，可以使用符号表示法。
函数领域需要图形和符号表示方法相结合，这样可以更好地帮助我们理解和掌握函数的知识，使我们能更好地掌握数学，更好地应用数学。