1.3.2等比数列的应用 课件(北师大版必修5)
北师大版必修5高中数学等比数列2
等比数列教学目的：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.深刻理解等比中项概念.3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点：等比中项的理解与应用教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0）2.等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n3．｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．二、讲解新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab,则G b a G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a 则k p n m a a a a =3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;三、例题讲解例1 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号， 求证：3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列证明：由题设：b2=ac 得： 22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列例2 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n nn n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列. 例3 (1) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +(2) a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列，22,1,c a 成等比数列，求22c a ca ++解：(1) ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a ≠c 矛盾，∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴ 3122=++ca c a . 例4 已知无穷数列 ,10,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：5101+=n n a a （3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51n 521010q p ，（第1-+q p 项）四、练习：1．求2323-+与2323＋－的等差中项； 解：21(2323-+＋2323＋－)＝5;2．求a 4＋a 2b 2与b 4＋a 2b 2的等比中项解：±))((224224b a b b a a ++＝±ab(a 2＋b 2). 五、小结 本节课学习了以下内容：1．若a ，G ，b 成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等经中项. 2．若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法六、课后作业：1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a解：∵109181a a a a =，∴205100110918===∴a a a a2、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b = ∵53627124b b b b b b b === ， ∴前七项之积()2187333732==⨯3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，解：145825454255358-=-⨯=⋅==a a a q a a另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴)2(5482-⨯=a ∴14588-=a七、板书设计（略）八、课后记：。
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
北师大版高中数学必修5：等比数列_课件2(2)
◎已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn(a≠0，q≠1， q为非零常数)，则数列{an}是否为等比数列？
【错解】 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn ＝aqn＋1－aqn＝aqn(q－1)， an＝Sn－Sn－1＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)， 又∵aan＋n 1＝q为常数，∴数列{an}为等比数列．
【错因】 忽略了an＝Sn－Sn－1中n≥2的条件． 【正解】 当n＝1时，a1＝S1＝aq， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1(q－1)， an＋1＝Sn＋1－Sn＝aqn(q－1)，
数n不列分{a大n}小为)等．比数列，公比为q，则an＝amqn－m(m，
1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (的2)公a1比,2(a．1＋a2)，3(a1＋a2＋a3)成等差数列，求{an}
解析： (1)方法一：因为aa47＝＝aa11qq36 ，所以aa11qq36＝＝28
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
[解题过程] (1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)， ∴a1＝－12. 又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)， 得aan－n 1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．
1．对等比数列的概念的理解
(1)每一项与它前一项的比是同一个常数，具 备任意性；
(2)每一项与它前一项的比是同一个常数，强 调的是同一个；
(3)每一项与它前一项的比是同一个常数，是 有序的，也正是这种有序才决定q的确定性；
1.3.1.2等比数列的性质 课件(北师大版必修五)
2.理解等比数列的单调性与a1、q的关系.(难点)
如何理解等比数列与指数函数的关系？ 提示：等比数列{an}的通项公式 a n a1q
n 1
q≠1时，y=qx是一个指数函数.设 c
a1 , 则an=c·qn，等比 q
a1 n 当 q＞ 0且 q， q
又a3+a7=20,
所以a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
所以a3=4,a7=16或a3=16,a7=4. 当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20， 所以1+q4=5,所以q4=4. 当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20， 所以 1 q 4 5 , 所以 q 4 .
Байду номын сангаас
【例2】已知b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：
a b c ab bc ca 3 , , abc 也成等比数列. 3 3
【审题指导】根据等比数列的中项公式，可以找到b2=ac,然 后代入转化为待证的三项关系中，即可证明.
【规范解答】由题设，得 b 2 ac. a b c 3 abc a b c 3 b3
【审题指导】本题有2种方法：根据前3个数成等比数列，可
以设这3个数分别为
a ,a,aq; 根据后3个数成等差数列，且它 q
们的和为12，可以设这3个数分别为4-d,4,4+d.
【规范解答】方法一：设前3个数分别为 a ， a,aq，则
a a aq 216, ∴a3=216.∴a=6.∴前3个数为 6 , 6,6q.∵后3个 q q
a a , , aq,aq3,否则，直接设为a,aq,aq2,aq3. 3 q q
高中数学课件-1-3-1-2等比数列的性质及应用 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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(5)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为 lgq 的等差数列．
(6)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an， ap成 等比 数列．
(7)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0.
第一章 数列
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等比数列与指数函数的关系．
提示：(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1，可以整理为
100
lg ∴x＝
8 －lg lg1208＝lg
2－3lg 2 7＋lg 2－1
＝0.8425－13＋×00.3.3001100－1＝01.1.049671≈7.51(年)．
故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数
将超过1 000万人．
第一章 数列
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提高篇 03
第一章 数列
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(已知lg 2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg7＝0.845 1) 【答案】 2012
第一章 数列
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【解析】 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1
000万人，则80·(1＋40%)x＝1 000，
即75x＝1 80000，∴lg75x＝lg1 80000，
请 做：巩固篇04
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2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
北师大版高中数学必修5课件1.3等比数列的前n项和课件(北师大版)
第一方面 :探求公式其它推导方法 由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比 数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相消法. 那么 与 是否可以起到同样的化简效果？体现思维
的批判性，择优选取，揭示化简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要 作用。
(1)–(2)
效果如何？
(1) –(3)
通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成
功与快乐，感悟数学美 通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养学生思维的严谨性
通过发散思维的教学，培养学生思维的批判性、灵活性
重点和难点
重点：等比数列前n项和公式、推导及应用
难点：等比数列前n项和公式推导思路的获得
二. 教学方法
启发引导探究发现法： 教师 展 示 数 学 游 戏 启发引导 提 出 问 题 发现公式 类比猜想 激 励 深 化 示范 实 现 目 标 演练
证明猜想 分析寻找 学生
发现错位相消法 反 思
(独立思考、合作交流)
回 顾: 1. 什么是等比数列？ 2. 公比对等比数列有何影响？ 3. 项与项之间的关系如何？
数学游戏问题： 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而 乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还 的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？
(1) –(4)
第二方面:公式的灵活应用: 1、注意q=1与q≠1两种情形
a1 (1 q n ) a1 a n q 2、q≠1时，S n 1 q 1 q
3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。
例一：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故 大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格，传说在很 久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如 此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨班•达依尔，让他随意
2021-2022年北师大版必修五 1.3.2等比数列的前n项和课件
年
班
学校公开 教育教学样
讲课人：教育者
1
3.2 等比数列的前n项和
【课标要求】 1．理解并掌握等比数列前n项决等比数列有关问题．
【核心扫描】 1．等比数列前n项和公式及运用．(重点) 2．错位相减法求数列的和．(重点、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 等比数列前n项和有关的性质应用
(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不 为0)，这一性质可直接应用． (2)等比数列的项数是偶数时，SS偶 奇＝q；项数是奇数时，S奇S－偶 a1＝q.
又由 an＝a1·qn－1，即 64＝2·2n－1，得 n＝6.
综上知 n＝6，q＝12或 2.
课前探究学习
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题型二 等比数列前n项和性质的应用
【例2】 在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30. [思路探索] 本题解题的基本方法是用方程思想列式求
解，还可用等比数列前n项和的性质求解． 解 法一 设公比为q，∵S10＝10，S20＝30≠20，
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练2】已知数列{an}是等比数列， (1)若Sn＝49，S2n＝112，求S3n； (2)若S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20. 解 (1)由性质1可得Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2， ∴49(S3n－112)＝632，解得S3n＝193. (2)∵S4，S8－S4，S12－S8，…构成等比数列，
②÷①得 1＋q3＝9，∴q＝2.将 q＝2 代入①中得 a1＝12，
2018年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课 北师大版必修5
(2)令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n（n2＋1）＋1211－－1212n＝n（n2＋1）＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
(2)由第一问知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n（1＋22n－1）＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
如果一个数列的通项公式可写成 cn＝an±bn 的形式，而数列{an}， {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么 可采用分组转化法求和．
3.已知 an＝3nn，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：Sn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， 13Sn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1， 两式相减得 23Sn＝13＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1
＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1， 所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意知，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当 n＝1 时，a1＝S1＝11，
【解】 (1)设{an}的公比为 q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.
高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
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1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
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2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
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已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
北师大版高中数学必修5等比数列 第1课时
等比数列（第一课时）教学目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式教学重点：等比数列的定义及通项公式教学过程一、1.折纸问题的例子2.数列： ,625,125,25,5 ,81,41,21,1-- 观察、归纳其共同特点：1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )2︒任一项00≠≠q a n 且3︒ q = 1时，{a n }为常数二、通项公式：1.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … …)0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n2．等比数列的通项公式2:)0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.图像是经过压缩或拉伸的指数函数图像上的若干孤立点三、补充例子：例1求下列各等比数列的通项公式：1．1a =-2, 3a =-8解：24213±=⇒=⇒=q q q a an n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或2．1a =5, 且21+n a =-3n a 解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又： 例2培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？ 解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{}n a其中101551105.2120120,120,120⨯≈⨯=∴==-a q a答：到第5代大约可以得到种子2.51010⨯粒.小结：本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n 等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。
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等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=6,S4=30,则 S6= 126 .
【解析】在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4 成等比数列, ∵S2=6,S4-S2=24,∴S6-S4= ∴S6=S4+96=126.
242 6
=96,
导.学. 固. 思
4
已知数列{an}的通项 an=2·3n,求由其奇数项所 组成的数列的前 n 项和 Sn.
导.学. 固. 思
问题1 等比数列通项公式的性质
n-m q (1)对任意的m,n∈N+,an=am· ,q= . (2)若m+n=p+q,则 am·an=ap·aq ,特别地,若m+n=2p,则 . k (3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为 q . (4)①数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也 是等比数列,公比为 q . ②若{an}为等比数列,公比为q,则{a2n}也是等比数列,公比 为 q2 . ③若{an}为等比数列,公比为q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是 2 q 等比数列,公比为 . ④若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比 是两等比数列公比之 积 .
2 2
1
1
(2)由(1)得 dn=an+1-an=( ) ,
2
1
n
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =( ) +( ) +…+( ) +1
2 2 2 1
n-1
1
n-2
1
1
=2-( ) .
2
1
n-1
二次函数在实际中的应用
已知各项均不相等的等差数列 {an}的前四项和为 14,且 a1,a3,a7 恰为 等比数列{bn}的前三项. (1)分别求数列{an},{bn}的前 n 项和 Sn,Tn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Kn,设 cn=
【解析】由 an=2·3 得
n
a n +1 2·3n +1 an
=
2· 3n
=3,又 a1=6,
∴{an}是等比数列,其公比为 q=3,首项 a1=6, 2 ∴{an}的奇数项也成等比数列,公比为 q =9,首项为 a1=6, ∴Sn=
6( 1- 9n ) 3 1- 9 4
= (9 -1).
n
导.学. 固. 思
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列的应用
在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4.
【解析】(法一)∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列, 2 ∴(S4-7) =7×(91-S4),解得 S4=28 或-21. 2 2 2 2 ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q +a2q =S2+S2q =S2(1+q )>0,∴S4=28.
Sn Tn Kn
【解析】(1)a1=1,a2= ,∴a2-a1= -1= ,
2 2 2 3 3 1 1 1
又 an+2-an+1= an+1- an.
2 2 a n +2 -a n +1 1 1 ∴ = ,即 dn+1= dn. a n +1 -a n 2 2
导.学. 固. 思
故数列{dn}是以 为首项, 为公比的等比数列.
2 n
D. 9 (10n-1)+n
-n.
10(10n -1)
导.学. 固. 思 2
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2013=3S2012+2014,a2012=3S2011+2014,则公比 q 等于( A ). A.4 B.1 或 4 C.2 D.1 或 2
【解析】由 a2013=3S2012+2014 与 a2012=3S2011+2014 相减 得,a2013-a2012=3a2012,即 q=4,故选 A.
a 1 ( 1- q 2 )
(法二)∵S2=7,S6=91,∴q≠1.∴
1- q a 1 ( 1- q 6 ) 1- q
= 7,① = 91,②
导.学. 固. 思
② ①
得 q +q -12=0,∴q =3,∴q=± 3 .
7( 3- 1) 2 7( 3+1) 2
4
2
2
当 q= 3 时,a1=
,∴S4=
a 1 ( 1- q 4 )
当 q=- 3 时,a1=-
,∴S4=
1- q a 1 ( 1- q 4 ) 1- q
=28; =28.
等比数列的证明 3 3 1 数列{aபைடு நூலகம்}满足:a1=1,a2= ,an+2= an+1- an(n∈N+). 2 2 2
(1)记 dn=an+1-an,求证:{dn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式.
1.3.2等比数列的应用
导.学. 固. 思
1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质. 2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质
解决相关的数列问题.
导.学. 固. 思
前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和 公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今 天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式 的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要.
数列 9,99,999,9999,…的前 n 项和等于( B ). A.10 -1 C. 9 (10n-1)
n
1
n
B.
n
10(10n -1) 9 10
-n
2
10
【解析】由题意得 an=10 -1,∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(10 1)+…+(10 -1)=(10+10 +…+10 )-n=
导.学. 固. 思
问题2
等比数列的前n项和的简单性质 (1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比 为 qm (q≠1). (2)当q≠1时,Sn=Aqn+B(其中A+B= 0 ). (3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比).
导.学. 固. 思
问题4
等比数列的单调性 (1)当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递 增 数列; (2)当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递 增 数列; (3)当a1>0,0<q<1时,等比数列{an}是递 减 数列; (4)当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递 减 数列; (5)当q<0时,等比数列{an}是 摆动 数列;当q=1时,等比数列 {an}是 常 数列.