复习推理与证明

(3)用于证明整除问题 用数学归纳法证明与正整数有关的整除问题时，关键也在于第 二步由 p(k)⇒ p(k＋1)的过渡中， 由于 p(k＋1)中根本没有 p(k)中的因 子， 因而要“凑”出归纳假设中的 p(k)， 即要“添”项、 “减”项． 同 时还应注意掌握数或式的整除性知识．另外第二步中变出 p(k)后， 还应辅助文字说明理由，即逻辑推理不可忽视． (4)用于证明三角恒等式 (或三角不等式 ) 用数学归纳法证明与正整数有关的三角恒等式或不等式时，除 了要采用前面所介绍的方法外，还常常要应用三角公式进行化简． (5)用于证明几何问题 用数学归纳法也可以证明与正整数有关的几何问题．这里除了 要严格按照数学归纳法格式和步骤进行证明外，还经常用到一些几 何图形的性质．如一些几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、 空间的个数与交点、交线间的关系等 .
(3) 数 学 归 纳 法 是 专 门 证 明 与 正 整 数 集 有 关 的 命 题的 一 种 方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题 成立的基础， 称为“归纳基础” (或称特殊性)． 第二步解决的是延续 性问题 (又称传递性 )．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几 点： ①两个步骤，缺一不可； ②第二步中，证明“当 n＝k＋ 1 时结论正确”的过程里，必须 利用“归纳假设”即必须用上“当 n＝ k 时结论正确”这一条件， 不 用归纳假设的证明是错误的． ③在第二步的证明中， “当 n＝ k 时结论正确”这一归纳假设起 着已知的作用；“当 n＝ k＋ 1 时结论正确”则是求证的目标．在这 一步中，一般首先要凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假 设，然后再去凑出当 n＝ k＋ 1 时的结论．
8． 数学归纳法对不同题型的应用 (1)用于证明代数恒等式 证明代数恒等式时，应先分析清楚等式两边的构成情况，解这类 题的关键在于第二步将式子转化成与归纳假设的等式结构相同的形 式．第二步的恒等变形过程不能省略． (2)用于证明不等式 用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，关键仍在第二步， 它与证明恒等式比较，证明不等式的难度较大，甚至有时第一步也不 容易．因而第二步用了归纳假设以后往往还要结合证明不等式的其他 方法，如比较法、放缩法、分析法、反证法等才能达到证题目的．
(2)结构 从结构上来说推理一般分为两个部分：一部分是已知的事实 (或 者假设 )，这叫做推理的前提；另一部分是由已知推出的新的判断叫 做结论，推理的一般形式为：前提 ⇒结论．例如：推理 a＞ b，b＞ c， 则 a＞ c.这里 a＞b， b＞ c 叫做推理的前提； a＞ c 是推理的结论． 注：推理也可以看作是连接词将前提和结论连结起来的一个逻 辑 连 接 ， 常 用 的 连 接 有 “ 因 为 „„ 所 以 „„” ， “ 如 果 „„ 那 么„„”，“根据„„可知„„”等等形式． (3)分类：推理一般可分为合情推理和演绎推理．
2． 合情推理 (1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再 进行归纳、 类比， 然后提出猜想的推理． 其包括归纳推理和类比推理． 合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中， 得到一个新结 论之前， 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论； 证明一个数学结 论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向． 合情推理的过程概括为： 从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想
原结论词 都是 一定是 p或q p且q 反设词 不都是 一定不是 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q
7.数学归纳法及其原理 (1)定义：数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一 种方法．即先证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝ 1)时命题成立，然后 假设当 n＝ k(k∈ N*， k≥ n0)时命题成立．并证明当 n＝ k＋1 时命题 也成立，那么就证明这个命题成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)原理：这是因为第一步首先验证了 n 取第一个值 n0，这样假 设就有了存在的基础．至少 k＝ n0 成立．由假设和合理推证，证明 出 n＝ k＋ 1 也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了 n0＝1 成立，又证明了 n＝ k＋ 1 也成立，这就一定有 n＝ 2 成立， n＝ 2 成 立，则 n＝ 3 也成立；n＝ 3 成立，则 n＝ 4 也成立．如此反复以至无 穷，对所有 n≥ n0 的整数就都成立了．
5． 分析法 (1)用分析法思考数学问题的顺序可表示为 (对于命题“若 A 则 D” )
分析法的思考顺序是执果索因顺序，是从 D 上溯寻其论据， 如 C， C1， C2 等，再寻求 C， C1， C2 的论据，如 B，B1， B2， B3， B4 等，继而寻求 B，B1，B2，B3，B4 的论据，如果其中之一 B 的论 据恰为已知条件，于是命题已经得证．
6． 反证法 要证明某一结论 A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明 A 的反面 (非 A)是错误的，从而断定 A 是正确的，即反证法就是通过 否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论 证的一种数学证明方法． (1)用反证法证明问题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论； ②作出与命题结论相矛盾的假定命题 (否定结论 )； ③从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果 (推 导矛盾 )； ④断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原 结论成立，从而间接证明了原命题为真命题．
(4)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用 的互为否定的表述形式是有必要的. 至多有 至少有 原结论词 至少有一个 至多有 n 个 一个 n个 一个也没有 至少有 至多有 反设词 至少有 n＋1 个 (不存在) 两个 n－1 个 原结论词 只有一个 反设词 对所有 x 对任意 x 成立 不成立 没有或至 存在某个 存在某个 x 少有两个 x 不成立 成立
(2)用分析法证明的步骤及书写格式 要证 Q 成立，只要证明 P1，即证 P2，只需证 P3，„，即证 P， 因为 P 成立，所以 Q 成立． (3)用分析法证题时，一定要严格按格式书写，并且保证分析过 程的每一步都是可以逆推的，否则可能会出错． (4)分析综合法 分析法的思想是逆向思维，它能增大思维的发散量，克服思维 定势的影响，有利于发展求异思维．在解题过程中，分析法和综合 法是统一的，不能把综合法和分析法孤立起来使用，更常用的是一 头分析，一头综合，从两头逐步向中间靠拢，最后接通逻辑思路， 这种方法叫分析综合法．
(2)用综合法证明的基本步骤 第一步：分析题目的条件，搜寻已知条件和要证结论之间的有 关数学公理、定理，确定解决问题的方法； 第二步：综合所得信息进行推理论证，从而证得结论． (3)用综合法解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字 语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要通过 细致地分析，把其中的隐含条件明确表示出来． (4)用综合法证明时，步骤的叙述用肯定的语气按证明思路叙述 下来即可．
(2)三段论推理的集合解释 若集合 M 中的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那 么 S 中所有元素也都具有性质 P(如图所示) 由此可见，应用三段论解决问题，首先应该明确什么是大前提 和小前提．
注意 在运用三段论推理时，对于复杂的论证，总是采用一连 串的三段论，把前一个三段论作为下一个三段论的前提．
4． 综合法 (1)一般地，对于命题“若 A 则 D”用综合法证明，思考过程可 表示为：
综合法的思考过程是由因导果的顺序， 是从 A 推演达到 D 的途 径，但由 A 推演出的中间结论未必唯一，如 B，B1，B2 等，可由 B， B1，B2 推演出的进一步的中间结论则可能更多，如 C，C1，C2，C3， C4 等，最终能有一个 (或多个 )可推演出结论 D 即可．
(2)归纳推理 ①归纳推理的特点 (ⅰ )归纳推理的前提是几个已知的特殊现象， 归纳所得的结论是 尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围． (ⅱ )由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还 需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具． (ⅲ )归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜 想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
(3)用反证法证明问题时要注意以下三点： ①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多 样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是 不完全的； ②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条 件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论 的反面出发进行推理，就不是反证法； ③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设 矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
(3)演绎推理的特点 ①演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之 中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中． ②在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．只要前提 是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而 演绎推理是数学中严格证明的工具． ③演绎推理是一种收敛性的思维方法．它较少创造性，但却具 有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
3． 演绎推理 (1)演绎推理的四种推理规则 ①假言推理：用符号表示这种推理规则就是，如果 p⇒ q，p 真， 则 q 真，假言推理的本质是通过验证结论的充分条件为真，判断结 论为真． ②三段论推理：用符号表示这种推理规则就是，如果 b⇒ c， a ⇒ b，则 a⇒ c. ③关系推理：用符号表示，如：“如果 a≥ b，b≥ c，则 a≥ c”． ④完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做 完全归纳推理．
考 点 串 讲 1．推理 (1)定义 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题： 看到天空乌云密布， 燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨 了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语： “八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”，等等，这样根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．推 理是人们思维活动的过程．