抛物线上的一点M到焦点的距离为1
高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案
抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程探究点一抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题1画出的曲线是什么形状？问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3点D在移动过程中，满足什么条件？问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？例1方程[]22)1()3(2-++yx＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线探究点二抛物线的标准方程问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()A．⎝⎛⎭⎫716，0B．⎝⎛⎭⎫－74，0C．⎝⎛⎭⎫－716，0D．⎝⎛⎭⎫0，－74（2）抛物线y＝－14x2的准线方程是()A．x＝116B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8yC．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为【课后作业】一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．29．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝2直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.【问题探究】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．⎝⎛⎭⎫14，±24B．⎝⎛⎭⎫18，±24C．⎝⎛⎭⎫14，24D．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．422．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF •=-，则点A 的坐标为（ ）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。
高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!
高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1）（考试时间：120分钟，共150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．2 210．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．412．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝ ( )A.45B.23C.47D.12第Ⅰ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．(2009·福建高考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B 点，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA ·OB 的值； (2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．20．[文](本小题满分12分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )． (1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．高二数学圆锥曲线章节测试题（选修1-1&2-1）答案与解析：1、解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2、解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3、解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4、解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5、解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3， ∴e ＝23＝233.答案：C6、解析：如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x＞3)． 答案：C7、解析：由已知b a ＝55e ，∴b a ＝55×ca ，∴c ＝5b ，又a 2＋b 2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝5b 2，∴a ＝2b . 答案：C8、解析：准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C9、解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA ·OB ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x ⇒x ＝ 2.答案：A10、解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案：A11、解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2， 点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C12、解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|， 由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A 13、解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 2 解析：由焦点弦|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2psin 245°， ∴2p ＝|AB |×12，∴p ＝2.答案：214、解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝|PF 1|＋|PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使|PF 1|＋|PF 2|最小，利用对称性可解． 答案：x 25＋y 24＝115、解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故|AF |＝|AC |＝2|FD |＝2p ， |AB |＝2|AF |＝2|AC |＝4p ， ∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA ·BC ＝4p ·23p ·cos30°＝48， 解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x16、解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 17、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM|22(2)(4)x y -+- |AB 22(2)(2)x y +, ∴2222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程． 法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO |=|MP |，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y -2=-12(x -1)， 即x +2y -5=0即为所求．18、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .19、解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)，则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1， 故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ， 因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20、解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.21、解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点， 又因为坐标原点O 为线段AB 的中点，所以OE 是△ABD 的中位线， 所以|OE |＝12|AD |＝1， 所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上，又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上，所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切，所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33， 所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)， 将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1， 整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3). 又线段MN 的中点到y 轴的距离为45， 即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2. 故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )， 则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点， 设直线PM 方程为x ＝my ＋4， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)
第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．抛物线的□2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1，∴y ＝1516. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2＝±42x .故选D.(3)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－132解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.题型 一 抛物线的定义及应用(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为( )A.33B.32C. 3 D．3答案 C解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：则|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，|AF |＝3|BF |，|AN |＝2|BF |，|AB |＝4|BF |，cos ∠NAB ＝12，∠NAB ＝60°，则直线l 的斜率为 3. 2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝14＋4＝172.故选A. 题型 二 抛物线的标准方程和几何性质1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y答案 D解析 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．答案 x 2＝4y解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y .1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋32＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169 答案 B解析 令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.故选B. 题型 三 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题1．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 由已知，直线l ：x ＝1，又因为l 被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a ×1，解得a ＝1.故抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 24， 所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt ，y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24，所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |. 角度2 与抛物线弦中点有关的问题3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.1．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43. 所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即y ＝43(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝43x －1消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 所以线段AB 的中点的横坐标为178. 所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258. 2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14.所以a ×a 4＝14，则a 2＝1， 由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1 ＝y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋2y 1＋y 2＋m ＋22 ＝－m －3－m ＋1m 2－m －3＋m m ＋2m ＋m ＋22＝－12， 为定值．。
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．例1已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3 x的距离为3，则p等于()A．2B．4C．23D．43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________________．例4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，－22)，则它的标准方程为________．例5已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．例6已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．例7 过抛物线y 2＝2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ，OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程； (2)求证：直线AB 过定点．一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(12，0) B ．(14，0) C ．(0，18)D ．(0，14)2．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．03．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．－18B ．18C ．8D ．－84．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A ．5B ．10C ．20D.155．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．486．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2,2)7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －18．设抛物线C ：y 2＝16x ，斜率为m 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则直线l 恒过定点( ) A ．(8,0) B ．(4,0) C ．(16,0) D ．(6,0)二、填空题9．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是__________．10．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 11．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 三、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图，由抛物线定义知|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|P A|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值．又A(0,2)，F(12，0)，∴(|P A|＋|PF|)min＝|AF|＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]例2B由抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(p2，0)．F到直线y＝3x的距离为3，可得|3p2|(3)2＋(－1)2＝3，解得p＝4，故选B.]例32x＝－1例4y2＝2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．若方程为y 2＝2px (p >0)，则8＝2p ×4，得p ＝1，故方程为y 2＝2x ；若方程为y 2＝－2px (p >0)，则8＝－2p ×4，得p ＝－1，不符合条件，故不成立． 所以抛物线的标准方程为y 2＝2x . 例5 x 2＝－12y解析 设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，根据题意可得⎩⎨⎧y <2，r ＝|y －2|，x 2＋(y ＋3)2＝1＋r ，解得x 2＝－12y .例6 解 方法一 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ， 则|AB |＝2p <52p ，∴直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)． 方法二如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ， ∴直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例7 (1)解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知，点A 的坐标为(2k 2，2k )， 联立直线OB 与抛物线的方程知，点B 的坐标为(2k 2，－2k )，则AB 的中点M 的坐标为(1k 2＋k 2，1k －k )，故点M 的轨迹方程为x ＝y 2＋2.(2)证明 由(1)可知k AB ＝－k －1kk 2－1k 2＝－1k －1k＝－k k 2－1，则直线AB 的方程为y －(1k －k ) ＝－k k 2－1x －(1k 2＋k 2)]，整理，得y ＝－kk 2－1(x －2)．所以直线经过定点(2,0)． 考点专项训练1．C 抛物线y ＝2x 2的标准形式为x 2＝12y ， ∴p ＝14，则p 2＝18， ∴焦点坐标是(0，18)．]2．B 抛物线y ＝4x 2的标准形式为x 2＝14y ， ∴其准线方程为y ＝－116， 设点M 的纵坐标是y 0，由抛物线的定义，得y 0＋116＝1， ∴y 0＝1516.] 3．A4．B 设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线准线方程为x ＝－1， ∴x 0＝5－1＝4，∴|y 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积为12×5×4＝10.]5．C 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F (p2，0)， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6， 又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.]6．D 由题意得F (12，0)，准线方程为x ＝－12. 设点M 在准线x ＝－12上的射影为P ， 则M 到准线的距离为d ＝|PM |，则由抛物线的定义得|MA |＋|MF |＝|MA |＋|PM |，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值为|AP |＝3－(－12)＝72. 把y ＝2代入抛物线y 2＝2x ，得x ＝2，故点M 的坐标是(2,2)．] 7．A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1， ∴－p2＝－1，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3.]8．C 设直线l ：x ＝my ＋b (b ≠0)，代入抛物线y 2＝16x ，可得y 2－16my －16b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16b ， ∴x 1x 2＝(my 1＋b )(my 2＋b )＝b 2， ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 可得b 2－16b ＝0，∵b ≠0，∴b ＝16，∴直线l ：x ＝my ＋16， ∴直线l 过定点(16,0)．] 9．y 2＝16x解析 点P 到点F 的距离与到x ＝－4的距离相等，由抛物线定义，知点P 轨迹为抛物线，设y 2＝2px ，由p2＝4，知p ＝8.10．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 11．(18，±24)解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18， ∴此点坐标为(18，±24)． 12．8 解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8.13．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
2020届高考理科数学一轮复习第9章 第7节 抛物线含答案
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点[熟记常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ，当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 答案：1516考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．[解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4. [答案] (1)B (2)4 [变式发散]1．(变条件)若将本例(2)中“B (3,2)”改为B (3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.答案：2 52．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.答案： 5[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________.解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.答案： 2考点二抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关][典例精析](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0设点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[过关训练]1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选B 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝6，|AC |＝6＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＋3a ＝12，从而得a ＝2，|FC |＝3a ＝6，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝3，因此抛物线方程为y 2＝6x .2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关][典例精析]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ). 由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.[解题技法]1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案
第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。
专题27抛物线
2021年髙考数学二轮复习专项微扌题核心考点突破专题27抛物线1专题综述本专题主要内容包括抛物线的怎义、标准方程及简单的几何性质.纵观近几年的高考试题可知，抛物线的考题有客观题（一般5分），也有解答题（10分或12分或14分或15分），难度中等偏上.其中，客观题中突出考査抛物线的定义、标准方程及英基本性质的应用，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、导数的几何意义等.髙考数学试题（含文科卷和理科卷，其中江苏卷、浙江卷和上海文理合卷）中，与抛物线有关的试题共有11 道，基本上是直线与抛物线的位置的综合问题，或抛物线与其他知识（如椭圆、双曲线等）的交汇问题；考题以抛物线为载体考查了数学抽象、逻借推理、直观想象和数学运算等数学素养，考査了数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力.2范例赏析2.1抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质抛物线的立义是解决抛物线问题的基础•它将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化•因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的圧义转化为点到准线的距离，以简化运算.解决圆锥曲线问题的主要方法是坐标法，即建立平而直角坐标系，解决几何问题•通过建立坐标系，根据抛物线的左义，可得抛物线的标准方程•求抛物线的标准方程时要“先左位，后泄量二所谓“立位"就是确左抛物线焦点所在的坐标轴是X轴还是y轴、是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式：所谓“立量" 就是根据题目的条件求岀方程中参数P的值，从而得到抛物线的标准方程.有了抛物线的方程，则可以利用代数的方法研究抛物线的几何性质（如范用、对称性、顶点、焦半径公式等）. 例1已知F是抛物线C:/=8x的焦点N是C上一点,的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则用VI二2.2直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位宜关系问题是解析几何的核心内容之一，是高考考查的热点•由于此类问题不仅涉及几何知识，也涉及代数知识，综合性强，对学生能力要求较髙.从几何角度来看，直线与抛物线的公共点个数有三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点•从代数角度看，联立直线和抛物线的方程构成的方程组的解的个数分別为0个、1个和2个•因此直线与抛物线的位置关系的研究方法可通过代数法（即解方程组）来研究，因为方程组解的个数和交点个数是一致的•但需要注意的是，与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线有且只有一个公共点，但并不是相切，而是相交.直线与抛物线的位置关系的综合问题主要有以下几类:①直线与抛物线的公共点个数问题，应注意数形结合: ②弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决：③垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算：④抛物线的切线问题，应结合导数的几何意义或联立方程消元后利用判别式处理.例2设A, B为曲线C：y = Y上两点，A与B的横坐标之和为4.（/）求直线的斜率；（II ）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM丄BM,求直线AB的方程.2.3抛物线的焦点弦问题任抛物线的所有相交弦中，有一类比较特殊，那就是过焦点的弦，我们称之为抛物线的焦点弦.一般地，若AB是抛物线）鼻2“如＞0）的焦点弦，设人厲必）,3（乞莎），则可以证明以下的结论:①y诜=-卩让民二号, ②|曲| =心+心+ p = 磊&为直线AB的倾斜角）：賂十盘为泄值誇以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；⑤以AF或BF 为直径的圆与y轴相切.例3已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线h，h，直线h与C交于A, B两点，直线b 与C交于D E两点，贝IJL4BI+DEI的最小值为（）A.16B.14C.12 D102.4与抛物线有关的最值或范围问题解决与抛物线有关的范弗I或最值问题主要有两种方法:一是建立关于目标的函数式，进而转化为函数的值域或最值问题处理，再利用求函数最值的方法（如导数、基本不等式等）解决，其关键在于合理引入变元（如斜率、点的坐标），难点在于选择合适的方法求范囤或最值；二是建立关于目标的不等式，通过解不等式获得变量的范围或最值.例4如图，已知抛物线宀y,点4（-^ 0,日（弭），抛物线上的点P（x, y）（—g＜戈＜》•过点B作直线AP 的垂线，垂足为0(/)求直线AP斜率的取值范用；(II)求円|・『Q|的最大值.3复习建议复习不是简单的重复，研究复习课教什么、怎么教以及为什么这样教，对于高三复习有着至关重要的作用. 如何在有限的时间内取得较好的成效，笔者给出如下的复习建议.3.1回归教材，夯实基础，适当变式教材中的习题大多蕴含着丰富的背景.事实上，很多髙考试题来源于教材，因此以教材为素材组织髙考复习是提高学生成绩的有效途径.高三复习阶段要以教材为主，充分发挥其导向作用，既让学生跳出题海，又利于学生巩固基础知识，掌握基本方法，深化数学的本质，激发学生的问题意识，培养学生的核心素养•教师应在深入研究教材的基础上充分理解教材的编写意图，在教学中创设问题链情境，通过对问题进行变式探究，探索问题的引申、推广和拓展，开展髙考复习中的数学研究性学习，培养学生举一反三的能力.3.2突出通法，优化解法，规范解题对于高查的抛物线的热点问题，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固立，教师要以教材例题为模板，以教材习题为模型，淡化解题技巧教学，强调通性通法，规范学生解题步骤，能做出合理的算法途径设il•，培养学生严谨推理的数学思维：训练学生基本问题运算过关，突破“想得出，算不出、算不对“ 的瓶颈•解析几何中的运算是教学的重点和难点，教学应重视训练学生的数学运算能力，注重解题优化的意识.3.3渗透思想，培养素养，提升能力抛物线与其相关问题的解决，往往蕴含着丰富的思想方法，如数形结合、转化与化归(几何条件与代数运算的转化、一般与特殊的转化、函数与方程的相互转化等)函数与方程等数学思想•思想方法的理解是知识运用的翅膀，是知识转化为能力的桥梁•在抛物线的复习教学中，通过几何与代数的转化(数与形的转化)培养学生直观想象素养，通过与抛物线有关的证明问题培养学生逻辑推理素养，通过解析几何中的运算训练培养学生数学运算素养•在复习教学过程中，要注重对思想方法内涵、操作程序的渗透和强化，提升学生运用知识解决问题的能力.1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了 "勾股泄理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2p x的焦点，1是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线1于点C, 若Rt^ABC 的“勾” |AB| = 3、“股” |C3| = 3JJ,则抛物线方程为（）.A. y~ = 2xB. y2 = 3xC. y1 =4xD. y2 = 6x2.过抛物线y2=2/zv（/?>0）的焦点F且斜率大于0的直线/交抛物线于点A,B（点A位于第一象限），交其准线于点C,若\BC\ = 3\BF\,且鬥=3,则直线A3的方程为（）A. 2>/2x-y-2y/2=0B.屈-），-2迈=0C. 2屈-y-V? = OD. y/2x-y->/2=03.如图所示点F是抛物线y2 = 8x的焦点，点A、3分别在抛物线y2 = 8x及圆（x-2）2 + r = 16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则03的周长的取值范囤是（）A. (6,10)B. (8,12)C. [6,8]D. [6,12]4.已知抛物线C:y2 = 16x,焦点为F,直线/:x = -l,点A*线段AF与抛物线C的交点为瓦若\FA\=5\FB\t贝iJIE4l=()B. 35 D. 40A. 6>j2A. 1 D.物线的准线的RI的取值范围为5.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,经过点F的直线交E于A, B两点，交/于C点，若\AF\ c \CB\------- =3 ,则------- =( )\FB\I BF I3 4A. 2 B・ 3 C. 一 D. 一2 36.抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线为I,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A, AK丄/,垂足为K,则AAKF的而积是()A. 4B. 3羽C. 4血D. 87.如图圆锥P0,轴截而用B是边长为2的等边三角形，过底而圆心0作平行于母线用的平面，与圆锥侧面的交线是以£为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为()&如图,在底而半径和髙均为血的圆锥中，AB.CD是底而圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点.已知过CD与E的平而与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于()9.已知抛物线』2"(“>0)的焦点为化抛物线上的两个动点A.B始终满足ZAFB=60Q9过弦AB的中点H作抛2 4A. (0.週］3 B.出、+8)3A.充分不必要条件B.必要不充分条件OSJ是“抛物线y"的焦点与与双曲线「宀的焦点重合”的（）2 211.已知双曲线■一孝=1@>0">0）与抛物线y2 = 4x有一个公共的焦点八且两曲线的一个交点为p・cr若|PF| = |,则双曲线的渐近线方程为（）A.『=±丄兀B. y = ±2x c. y = ±y/3x212.抛物线y2 =4x的焦点为F,点P（x, y）为该抛物线上的动点，又点A（-l,0）,则駕的最小值是（）13.已知抛物线C： y2=2/zr（/7>0）的焦点F,点Mg,6荷* >彳]是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x = g交于A、B两点（A在B的上方），若sinZM" 弓，则抛物线C的方程为（）A. y2 = 4.vB. y1 = 8xC. y2 =12xD. y2 = 16x14.已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，准线与％轴的交点为K，P为抛物线C上一点，且P在第一象\PF\限，当厢取得最小值时，点P的坐标为（）A. [-,5/2]B. （1,2）C.（2,25/2）D. （4,4）12 ）15.设抛物线y2 = 2x的焦点为F ,过点的直线与抛物线相交于A , B两点，与抛物线的S准线相交于点c , \BF\ = 2 ,则"CF与的而积之比严•等于（）U\CF3线相交于点N,若嬲,则”的值等于____________17.已知抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线与*轴的交点为K，点P是抛物线上一点，则\PF\\PK\的最小值16.已知点A（0,2）,抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为射线E4与抛物线C相交于点M，与其准为__________ ・218.__________________________________________________________ 若抛物线/ = 2px的焦点与椭圆y+y2 = 1的右焦点重合，则" _____________________________________________19.已知P是抛物线y2 = 4x上的动点，点P在轴上的射影是M,点A的坐标为（2,3）,则的最小值是__________ .20.已知抛物线C的顶点在平而直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（l,3）,则其焦点到准线的距离为________ •21.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于AB两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4>/2f\DE\ = 2y/5.则C的焦点到准线的距离为________ .22.抛物线x2 = y ±一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为 _____________ •23.设抛物线y2 = 4x的焦点为F，过F的直线/交抛物线于A,B两点，过A3的中点M作）'轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF| = |,则直线/的方程为_________________ •24.抛物线C的顶点为原点O,焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为壬的直线/交抛物线于点A,B,4若力3中点的横坐标为3,则抛物线C的方程为_______________25.已知抛物线b = 2px（p > 0）上一点M（1"）到其焦点F的距离为5,该抛物线的顶点到直线MF的距离为d,则d的值为_______ .26.已知直线x = 2p与抛物线C：y2= 2px（p>0）交于尸，0两点，且APOQ的而积为16 （O为坐标原点）. （1）求C的方程；（2）直线/经过C的焦点F且/不与x轴垂直，与C交于A，3两点，若线段A3的垂直平分线与*轴交于点D，证明：溜为定值.\DF\27.已知抛物线C :y1 2 = 2px（p〉0）的焦点为F,点P为抛物线C上一点，I PF 1= 4, 0为坐标原点,ZOFP = 120°・（1）求抛物线C的方程；（2）设0为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于两点记, 2AB1 1的而积分别为S|, S一求丁-w的取值范围.d2 d i28.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A, B, \AB\ 的最小值为4.（1）求抛物线C的方程；（2）已知P,。
高考数学解析几何部分测试习题
高考数学解析几何部分测试习题10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+5．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23C ．38 D ．32 6、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615C ．87D ．011、点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．21(12)设直线l:2x+y+2=0,关于原点对称的直线为l ’，若l ’与椭圆x 2+41y 2=1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△APB 面积为21的点P 的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(5)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(A)2±(B)34±(C)21±(D)43±(6)从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 901．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )(A)21 (B) 32(C)（4）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π13．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅＝ .(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（14）设双曲线21a x 2－21by 2＝1(a>0,b>0)的右交点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，若△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率e=____________________。
2005年江苏省高考数学试卷(含答案)
2005年高考数学江苏卷试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,12.函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ） A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A1的距离为（ ） A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是 （ ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ）A ．97-B ．31-C ．31D ．9711.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22D ．2112.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若b a >，则122->ba ”的否命题为__________14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________16.若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立2005年高考数学江苏卷试题及答案参考答案(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B（13）若b a >，则122->ba （14）014=--y x（15）]1,43()0,41[ -（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），由已知PN 2PM =，得222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4)32(81答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为8165； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则278)321()32()(242242=-=-C A P ，6427)431()43()(143342=-=-C B P ，由于甲、乙设计相互独立，故86427278)()()(2222=⋅==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×41）=102445，答：乙恰好射击51024（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46， ∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA BA=A ，∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282arccos-π（22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2-=x x x f当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ；当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+ (Ⅱ)设此最小值为①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=，因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=)32(332)('2x a x x ax x f -=-=若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以1)1(-==a f m 若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或)2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37172)2(421011a a a a a a a m（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．【答案】4【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线方程为,所以即．【考点】抛物线的定义及性质．2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得．故所求抛物线的方程是, 准线方程是．（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：．设，由韦达定理得：，即：．将换成，得，从而得：，直线的斜率．【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．4.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，，则由得，则有，，所以得，，又，，因为所以有，即，即，所以，选D【考点】抛物线的概念、向量的运算5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.6.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。
抛物线(一轮复习)辅导教案
思维升华(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y2＝2px(p>0)上的点常设为(y22p，y)，便于简化计算．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．四、课堂小测1．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－22．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－123．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－24．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于()A．－4 B．4 C．p2D．－p25.如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为() A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.7．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝______.8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．。
高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 课后作业(含答案)
2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y2=4x的焦点坐标为( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.答案:B2.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m时,水面宽10 m,则抛物线的方程可能是( )A.x2=-yB.x2=-yC.x2=-yD.x2=-y答案:A3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是( )A. B. C.1 D.解析:由准线方程为y=-,可知M到准线的距离为1,∴点M到x轴的距离等于1-.答案:D4.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x解析:由题意知,3+6a=5,∴a=,∴抛物线方程为y2=8x.答案:A5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列解析:由定义,知|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2,即2x2=x1+x3.故选A.答案:A6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2,令x=0得y=-,故点A的坐标为.由题意可得=4,∴a2=64,∴a=±8.答案:B7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.解析:设点A的坐标为(x,y).因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,所以x=1.所以A(1,±2).又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.答案:28.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:OA的垂直平分线交x轴于点,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-.答案:x=-9.若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是.解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得+1=|x+2|,∴=|x+2|-1=x+1.两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,∴x2-2x+1+y2=x2+2x+1,∴y2=4x,∴点P的轨迹方程为y2=4x.(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,∴点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.答案:y2=4x10.如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最近距离. 解:设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B'(如图).由抛物线的定义,得|AF|=|AA'|=y1+=y1+,|BF|=|BB'|=y3+=y3+,∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.又M是线段AB的中点,∴y2=(y1+y3)=.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为.11.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;(2)焦点是(-2,0);(3)准线是y=-;(4)焦点到准线的距离是2;(5)焦点到直线x=-5的距离是8.解:(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,∴方程为y2=16x;焦点为(0,3)时,=3,∴p=6,∴方程为x2=12y.故所求方程为y2=16x或x2=12y.(2)焦点为(-2,0),∴=2,∴p=4,∴方程为y2=-8x.(3)准线为y=-,∴,∴p=3,开口向上,∴方程为x2=6y.(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.∴方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),∴|x0+5|=8,∴x0=3或x0=-13,∴焦点为(3,0)或(-13,0),∴=3或-13,∴p=6或-26.∴方程为y2=12x或y2=-52x.12.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线上(设AA'为水面宽,且AA'=8 m),所以16=-2p×(-5),2p=,所以抛物线方程为x2=-y(-4≤x≤4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B'(B'与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由22=-y,得y=-,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+=2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.备选习题1.抛物线y2=8x的准线方程是( )A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4解析:由2p=8,得p=4,故准线方程为x=-2,故选A.答案:A2.设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程是.解析:当m>0时,由2p=m,得.这时抛物线的准线方程是x=-.∵抛物线的准线与直线x=1的距离为3,∴1-=3,解得m=8.这时抛物线的方程是y2=8x.同理,当m<0时,抛物线的方程是y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|的值最小.解:如图所示,设抛物线上的点P到准线的距离为|PQ|.由抛物线的定义,知|PF|=|PQ|,∴|PF|+|PM|=|PQ|+|PM|.∴当P,Q,M三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由M(-2,4),可设P(-2,y0),代入y=x2,得y0=,故P点的坐标为.4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线,交抛物线于P1,P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明:设线段P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,如图所示.根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,∴|P0Q0|=(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆的半径,且P0Q0⊥l,因此,该圆与准线相切.5.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解:将l和C的方程联立,得消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)。
2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线教案理(含解析)苏教版(2021-2022学年)
第七节 抛物线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (１）在平面内;（２）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； （3)定点不在定直线上.２.抛物线的标准方程和几何性质[1．抛物线２x ２＋y ＝０的准线方程为_______＿.解析：∵抛物线的标准方程为x 2=－错误!y ，∴２p =错误!未定义书签。
, ∴ p2=错误!，故准线方程为ｙ=错误!．ﻬ答案:y =错误!未定义书签。
２.若抛物线y ＝4ｘ2上的一点M 到焦点的距离为１，则点M 的纵坐标是＿__＿____． 解析:M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y=-错误!,设M(x，y)，则y＋错误!未定义书签。
＝1,所以y=错误!未定义书签。
答案:错误!未定义书签。
3.若抛物线y２＝２px上一点P(2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为＿_＿_＿_＿_．解析：由题意知，抛物线的准线为x=－p２.因为点P（2，y0)到其准线的距离为4,所以错误!=４，所以p=４。
所以抛物线的标准方程为y2=8ｘ。
答案：ｙ2＝８ｘ１．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视,只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义．［小题纠偏］1．平面内到点(１,1)与到直线x+２y-3=０的距离相等的点的轨迹是＿＿＿__＿__．答案:一条直线２．抛物线8ｘ2+y＝0的焦点坐标为__＿_＿___．解析：由８x2＋y=0，得x2＝-＼ｆ(１，8）ｙ.所以２p＝错误!,ｐ=错误!未定义书签。
,所以焦点为错误!未定义书签。
答案：错误!错误!未定义书签。
错误
§9.3 抛物线1、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）(A)．1617 (B)．1615 (C)．87(D)．02、设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为 ( )(A)（a ，0） (B)（0，a ） (C)（0，a161） (D)随a 符号而定 3、焦点坐标为(2,0)-的抛物线的标准方程为( )(A)24y x = (B) 28y x = (C) 24y x =- (D) 28y x =-4、（2008年海南卷）已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）5、抛物线224(0)y ax a =>上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离为5，则抛物线的方程为( )(A)28y x = (B) 212y x = (C) 220y x = (D) 216y x =6、已知P 为抛物线24y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点(4,5)A ，则||PA d +的最小值为( )(A)4117、已知圆2270x y mx ++-=与抛物线24(3)x y =+的准线相切，则___________.m =8、（2007年山东卷）设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px （p>0）的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°，则为 .9、设P 是抛物线24y x =上的一动点，(1)求点P 到点(1,1)A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；(2)若(3,2)B ，求||||PB PF +的最小值.10、已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设,A B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，但||||8AF BF +=，线段AB 的垂直平分恒经过定点(6,0)Q ，求抛物线的方程。
抛物线-高考数学复习课件
解得
m ＝ ±1 ， 所 以
l
的方程为
x
＝
±y
＋
2
，
S
△
MON
＝
1 2
|OF|·|y1
－
y2|
＝
1 2
×2×
y1＋y22－4y1y2＝ 82＋64＝8 2．
研题型·通法悟道 举题说法
3．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)设 O 为坐标原点，直线 y＝－ 3(x－1)过抛物线 C：y2
＝2px(p＞0)的焦点，且与 C 交于 M，N 两点，l 为 C 的准线，则
MN 的中点到 y 轴的距离是 6，所以 x1＋x2＝12，所以 p＝4，所以抛物线的方程为 y2
＝8x．设直线 l 的方程为 x＝my＋2，联立xy＝ 2＝m8yx＋，2，消去 x 得 y2－8my－16＝0，则
Δ＝64m2＋64＞0，y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以 x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4＝12，
【解析】 由抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程 是y2＝8x．由M为FN的中点，得M的横坐标为1，所以|FN|＝2|FM|＝2(xM＋2)＝2×(1 ＋2)＝6．
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链教材·夯基固本 聚焦知识
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离__相__等____的点的轨迹叫做抛 物线．点F叫做抛物线的___焦__点___，直线l叫做抛物线的___准__线___． 提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点 的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
抛物线及其标准方程
2.4.1抛物线的标准方程沛县中学高二数学组大纲要求：1．掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程2.必做题部分抛物线的标准方程为A 级要求，附加题部分则为B 级要求1、情景设置：从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点(),M x y 满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。
那么动点(),M x y 的轨迹方程是什么？即抛物线的方程是什么呢？2、探索研究：要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？3、知识应用与解体研究例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程（2）求经过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程。
练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 2112x y =（）22250y x +=（）23160x y +=（）2(4)(0)y ax a =≠ 练习2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是()30F ，（2）准线方程是14x =-（3）焦点到准线的距离是2 （4）以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点例2：（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点和双曲线2231x y -=的一个焦点重合，求抛物线的标准方程。
（2）已知抛物线22(0)y px p =>准线恰好是圆22670x y x +--=的切线，求p 的值及抛物线方程。
例3：已知抛物线的焦点在y 轴，点M （m,-3）是抛物线上的一点，M 到焦点的距离是5，求m 的值与抛物线的标准方程、准线方程。
2112212(,),(,)2(0):A x y B x y y px p FAB x x p =>=++变式1：已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点，求证变式2：过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若125y y +=，求线段AB 的长。
课时作业11：2.3.1 抛物线及其标准方程
§2.3 抛物线2．3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案 B解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 考点 抛物线定义题点 由抛物线定义求距离 答案 B解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 5．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 C解析 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x 2＝12y .6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2,0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3D ．4考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求三角形面积 答案 C解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6. ∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.二、填空题8．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 －18解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay .∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－14a ＝2，∴a ＝－18.9．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为________．考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案6解析 由题意知，左焦点为⎝⎛⎭⎫－p 2，0，则c ＝p 2. ∵a 2＝3，b 2＝p 24， ∴3＝p 24＋p 24，得p ＝ 6.10．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标 答案1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以点M 到准线的距离也为1，所以点M 的纵坐标等于1－116＝1516.11．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－ 3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4. 三、解答题12．如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义求点的坐标解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p2.∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②由题意得F (0,1)， ∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12. 13．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若点B 的坐标为(3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5. (2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 四、探究与拓展14．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．以上都对考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的应用答案 B解析 如图，取线段MF 的中点C ，作CE 垂直于抛物线的准线l 于点E ，则|CE |＝12(|MF |＋p )＝12|MF |＋p 2， 所以|CD |＝|CE |－p 2＝12|MF |，所以MF 的中点C 到y 轴的距离等于|MF |的一半．15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等． (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|F A |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线， 且p2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|F A |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2， 即A (1,2)，同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－(－4)1－4＝－2，故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为|－4|22＋12＝455.。
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§9.3 抛物线
1、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）
(A)．
16
17 (B)．1615 (C)．87
(D)．0
2、设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2
的焦点坐标为 ( )
(A)（a ，0） (B)（0，a ） (C)（0，
a
161
） (D)随a 符号而定 3、焦点坐标为(2,0)-的抛物线的标准方程为( )
(A)24y x = (B) 28y x = (C) 24y x =- (D) 28y x =-
4、（2008年海南卷）已知点P 在抛物线y 2
= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）
A. （
41，－1） B. （4
1
，1） C. （1，2） D. （1，－2）
5、抛物线224(0)y ax a =>上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离为5，则抛物线的方程为( )
(A)28y x = (B) 212y x = (C) 220y x = (D) 216y x =
6、已知P 为抛物线2
4y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点(4,5)A ，则||PA d +的最小值为( )
(A)411
7、已知圆2270x y mx ++-=与抛物线2
4(3)x y =+的准线相切，则___________.m =
8、（2007年山东卷）设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2
=2px （p>0）的焦
点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°，则为 .
9、设P 是抛物线2
4y x =上的一动点，
(1)求点P 到点(1,1)A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；
(2)若(3,2)B ，求||||PB PF +的最小值.
10、已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设,A B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，但||||8AF BF +=，线段AB 的垂直平分恒经过定点(6,0)Q ，求抛物线的方程。
11、设抛物线y 2
＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O .
12、 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；
（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.
答案 ：
1、B
2、C
3、Ｄ
4、Ａ
5、Ａ
6、Ｄ
7、6± 8
p 9、解：(1)由于(1,1)A -，(1,0)F ，P 为抛物线上任意一点，
则||||||AP PF AF +≥==从而知点P 到点(1,1)A -的距离与点P 到(1,0)F 的
所以点P 到点(1,1)A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的
(2)如图所示，自点B 作BQ 垂直于抛物线的准线于点Q ， 交抛物线于点1P ，此时，11
||||PQ PF =， 那么11||||||||||4PB PF PB PQ BQ +≥+==，即最小值为4. 10、解：设抛物线的方程为2
2(0)y px p =>，其准线为2
p
x =-. 设1122(,),(,)A x y B x y ，12||||8,822
p p
AF BF x x +=∴+
++= ，即128x x p +=-. (6,0)Q 在线段AB 的中垂线上，1212()(122)0x x x x p ∴-+-+=
AB 与x 轴不垂直，12x x ∴≠，
故1212281220x x p p p +-+=--+=，即4p =. 从而抛物线方程为2
8y x =.
11、解法一：设直线方程为y ＝k (x 2p -)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (2
p
-，
y 2).
∴02,2)2(222=--
⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=p k py y px y p x k y ， ∴121122
122
,,y p p y k x y k p y y OC OA =-==
-=又∵y 12
＝2px 1 ∴k OC ＝11x y ＝k OA
即k 也是直线OA 的斜率，所以AC 经过原点O .
当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可得k OA ＝k OC ，所以AC 经过原点O .
解法二：因为抛物线y 2
＝2px （p ＞0）的焦点为(
,0)2p
F ，由于直线AB 斜率不为0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2
p
x m y =+，代入抛物线方程消去x 得2220y pmy p --=.若记1122(,),(,)A x y B x y ，
则12,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-，因为//BC x 轴，且点C 在准线2p x =-
上，所以点C 的坐标2(,)2
p
y -， 故直线CO 的斜率为21
1122
y y p k p y x =
==-， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .
解法三：如图，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则：AD ∥EF ∥BC 连结AC 与EF 相交于点N ， 则
|
||
|||||,||||||||||||AB AF BC NF AB BF AC CN AD EN =
== 由抛物线的定义可知：|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |
∴|EN |＝|
||
|||||||||AB BC AF AB BF AD ⋅=
⋅＝|NF |. 即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .
12、解：（1）抛物线.2,52
4,222
=∴=+-
==p p
p x px y 于是的准线为 ∴抛物线方程为y 2
= 4x .
（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），
又∵F （1，0）， ∴,4
3
,;34-=∴⊥=
MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.4
3
2x y -=-
解方程组).54,58(54
58,432)1(3
4N y x x y x y ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=--=得 （3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.
当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离，
当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44
m x m
y --= 即为,04)4(4=---m y m x 圆心M （0，2）到直线AK 的距离2
)
4(16|
82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得
1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；
当m=1时，直线AK 与圆M 相切； 当1<m 时，直线AK 与圆M 相交.。