高三数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量及其运算课件理
2019届高三数学一轮复习目录(理科)
2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。
空间向量及应用课件-2024届高三数学一轮复习
2
构成基底，排除D；C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a
＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a
＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C.
3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x
＝________．
－4
解析：∵a∥b，
−4
2
x
∴ ＝ ＝ ，
2
−1 2
∴x＝－4.
4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若
a，b，c三向量共面，则λ＝(
)
A．9
B．－9
C．－3
D．3
答案：B
解析：∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
u1∥u2⇔∃λ∈R，使得
(a1________________
，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
u1⊥u2⇔u1·u2＝
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔________________
u⊥n⇔u·n＝
直线l的方向向量为u＝ l∥α(l⊄α)
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔__________________
方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为
平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
6．空间位置关系的向量表示
位置关系
l1∥l2
直 线 l1 ， l2 的 方 向 向 量
分别为u1＝(a1，b1，c1)，
u2＝(a2，b2，c2)
老高考适用2023高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算课件北师大版
2
B 中向量共面;
对于C选项,a+b,a-b,c不共面;
对于D选项,a+b+c=(a+b)+c,则D中向量共面.故选C.
)
3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB
与CD的位置关系是(
)
A.垂直
B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?
提示 正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平移,空间任意两个向量
都可以平移到同一个平面内,成为共面向量.
2.空间向量中的有关定理
定理
语言描述
共线向 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使
类型
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1y1+x2y2+x3y3
共线
a=λb(b≠0,λ∈R)
垂直
a·b=0(a≠0,b≠0)
(λx1,λx2,λx3)
x1y1+x2y2+x3y3=0
模
|a|
夹角
<a,b>(a≠0,b≠0)
12 + 22 + 32
cos<a,b>=
1 1 + 2 2 + 3 3
1 1
D. a- b+c
2 2
答案 A
解析 = 1 + 1 =
1
1 + (
2
1
1
1
− )=c+ (b-a)=- a+ b+c.故选
高考数学一轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用应用篇课件新人教A版
设直线MN与平面PAB所成角为θ, DN =λ DC(λ∈[0,1]),
则 MN
= MA
+ AD
+ DN
=(λ+1,2λ-1,-1),
又平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0),
| λ 1|
则sin θ=|cos< MN ,n>|=
( λ 1)2 (2 λ 1) 2 1
( λ 1) 2
=
,
2
5λ 2 λ 3
1
( λ 1)2
t2
5
令λ+1=t(t∈[1,2]),则 2
= 2
=
≤ ,
2
7
5 λ 2 λ 3 5t 12t 10 10 1 12 1 5
5
∴sin θ≤ 35 ,当t= ,即λ= 2 时,等号成立,
7
3
系有关的存在性问题;(2)与空间角有关的存在性问题.解决方案有两种:①
根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后
加以证明,得出结论;②假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条
件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在
这样的点或线,否则不存在.向量法是解决此类问题的常用方法,它可以将
(2)因为DE⊥平面ABCD,
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,
即∠EBD=60°,所以 ED = 3 .
BD
由AD=3,四边形ABCD是正方形,得BD=3 2 ,
则DE=3 6 ,所以AF= 6 .
如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算理
第八章立体几何8.6空间向量及其运算理基础知识自主学习ET知识梳理-----------------------------i. 空间向量的有关概念2. 空间向量中的有关定理(1) 共线向量定理空间两个向量a与b(b^0)共线的充要条件是存在实数入，使得a=入b.(2) 共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p= xa+ yb，其中x, y€ R, a, b为不共线向量.(3) 空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x, y, z｝，使得p=xa+ yb+ zc, ｛a, b, c｝叫做空间的一个基底.3 •空间向量的数量积及运算律(1) 数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a, b,在空间任取一点0,作6*a, OB= b,则/ A0B叫做向量a, b的夹角，记作〈a, b〉,其范围是0w〈a, b〉w n，若〈a, b〉= 专，则称a与b互相垂直，记作a丄b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a, b,则I a ll b lcos 〈a, b〉叫做向量a, b的数量积，记作a • b,即a • b= I a ll b lcos 〈 a, b〉.2424(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律： (入 a ) - b =入(a • b ); ②交换律： a - b = b - a ； ③分配律： a •( b + c ) = a - b + a - c . 4 .空间向量的坐标表示及其应用 设 a = (a i , a 2, a 3), b = (b i ,b 2, b 3).向量表示坐标表小数量积 a •bab 1+ a 2b 2 + a 3b 3共线 a =入 b (b ^0,入 € R)a 1=入 bi , a 2=入b 2, a 3=入 b 3垂直 a - b = 0(a *0,0)a 1b + a 2b 2 + a 3b 3= 0模|a |寸 a 1+ a ；+ a 2 夹角〈a , b > (a *0, b *0) cos 〈 a , b > =ab + a 2b 2 + a 3b 3 寸 a 1 + a 2 + a 3 •寸 b + b 2 + b【知识拓展】 1. 向量三点共线定理：在平面中A B C 三点共线的充要条件是：0A= x O B^ y &C 其中x +y=1) , 0为平面内任意一点. 2.向量四点共面定理： 在空间中P 、A 、B C 四点共面的充要条件是： O P= xOAb y O B^ zOC 其中x + y + z = 1), O 为空间中任意一点. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“ x”) (1)空间中任意两非零向量 a , b 共面.( V )⑵ 在向量的数量积运算中(a • b ) • c = a •( b • c ) . ( x ) ⑶对于非零向量b ,由a • b = b • c ，则a = c .( x )(4) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(X )⑸若A 、B C D 是空间任意四点，则有 鯨詁DA= 0.( V )考点自测1.已知正四面体ABCD勺棱长为a,点E, F分别是BC AD的中点，贝U Afe- AF勺值为(A. a2B.新C. 4a2D.答案C24解析如图，设AB= a, A C= b, AD= c,则| a| = | b| = | c| = a,且a, b, c三向量两两夹角为60°. AE= 2(a+ b) , AF= j c,—A —A 1 11 1 2 2 1 2••• AE- AF= 2(a + b) • j c= &(a • c + b • c) = 4( a cos 60 ° + a cos 60 ° ) = -a .2 . (2016 •大连模拟)向量a= ( —2, - 3,1) , b= (2,0,4) , c = ( —4,—6,2)，下列结论正确的是()A. a〃b, a H cB. a〃b, a丄cC. a// c, a丄bD.以上都不对答案C解析因为c = ( —4,—6,2) = 2( —2, —3,1) = 2a,所以a/ c.又a • b= ( —2) x 2+ ( —3) x o+ 1X 4= 0,所以a丄b.故选C.3 .与向量(一3,—4,5)共线的单位向量是 ____________________________ .答案嚅,罕-弓和-器,-警鳥解析因为与向量a共线的单位向量是土吕，又因为向量(一3 , —4,5)的模为| a|P - 3 2+——4 2+ 52= 5迄，所以与向量(一3,—4,5)共线的单位向量是土立(—3,—4, 5)= ± 10(—3,— 4,5).4.如图，在四面体O—ABC中, OA= a, OB= b, A(= c, D为BC的中点，E为AD的中点，贝U S E = _________ .(用a, b, c表示)1 1 1答案尹+ ：b+4c解析A E= 1陥扌张中酣4-O B^4A C1 1 1 =2a + 4b +4c .5.(教材改编)正四面体ABCD 勺棱长为2, E , F 分别为BC AD 中点，贝U EF 的长为 ___________ 答案 、2解析 |EF 2= E F = (E C +D F 2=EC +CD + 評+ 2( EC-亦 E C- DK 2D- DF2 2 2=1 + 2 + 1 + 2(1 X 2X cos 120 ° + 0 + 2X 1X cos 120 ° ) =2,•••|曲=2,A EF 的长为，2.题型分类深度剖析题型一 空间向量的线性运算用AB AD AA 表示OC,则OC =答案2画2*+ AA解析 O C = 2A C = 2(A B + AD ,• OC = S C + CC = 2(A B + AD + AA=1AB + 2AD + AA .⑵ 三棱锥O-ABC 中 , M N 分别是OA BC 的中点，6是厶ABC 勺重心，用基向量 OA O B O C表示M G O G2 2 2 1 2 2 2 解 MG= M/+ A G= ；O/+ 3AN23例1 (1)如图所示，在长方体ABC D ABGD 中，O 为AC 的中点.=2OA + 3（A N - O A=2oA + 訥囱 AC - OA1 A 1 A 1 A=-占。
立体几何-空间向量及其坐标运算复习
向量混合积与向量外积的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
向量的混合积和外积在解决实际问题中 具有广泛的应用。
VS
详细描述
向量的混合积和外积在解决实际问题中具 有广泛的应用。例如，在物理学中，混合 积可以用来计算力矩和磁场的强度，而外 积可以用来计算速度和加速度的方向。此 外，在工程学和计算机图形学中，混合积 和外积也常被用于解决各种实际问题，如 机械设计、流体动力学和计算机动画等。
overset{longrightarrow}{a} cdot (overset{longrightarrow}{b} times
空间向量的模与向量的外积之间的关系
总结词
空间向量的模等于其外积的绝对值。
详细描述
根据向量模的定义和外积的几何意义，我们 知道向量$overset{longrightarrow}{a}$的 模等于其外积$overset{longrightarrow}{a} times overset{longrightarrow}{b}$的绝 对值，即$|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{a} times overset{longrightarrow}{b}|$。
向量的向量积
两个向量的向量积是一个向量，其模等于两个给定向量 构成的平行四边形的面积除以两向量的夹角的正弦值， 例如$overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的模为 $|overset{longrightarrow}{AB}| times |overset{longrightarrow}{BC}| times sin(120^circ) = 14 times 3 times frac{sqrt{3}}{2} = 63sqrt{3}$。
高考数学一轮复习第八篇立体几何第6讲空间向量及其运算课件理
第6讲 空间向量及其运算
【2013年高考会这样考】 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】 空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证， 重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的 应用．
面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面 ，那么对 空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 p＝xa＋yb＋zc .
一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．
基础梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向 量． (2)相等向量：方向 相同 且模相等 的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互 相 平行或重合 的向量． (4)共面向量：平行于 同一个平面 的向量．
2．空间向量的线性运算及运算律
→ AD
、
→ AA1
两两的夹角均为60°，且|
→ AB
|＝1，|
→ AD
|＝2，|
→ AA1
|＝
3，则|A→C1|等于( )．
A．5 B．6 C．4 D．8
解析 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则A→C1＝a＋b＋c， A→C12＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，
因此|A→C1|＝5. 答案 A
5．在四面体O-ABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D为BC的中 点，E为AD的中点，则O→E＝________(用a，b，c表示)． 解析 如图，O→E＝12O→A＋12O→D＝12O→A＋14O→B＋14O→C＝12a＋14b＋ 1 4c. 答案 12a＋14b＋14c
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 空间向量及其运算课件 理
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式:p= xa+yb ,其中x,y∈R,a,b为不共线
向量,推论的表达式为
MP
=x
MA+yMB
或对空间任意一点O,有OP
=
OM+x MA+yMB
或 OP=uOM
+vOA
+wOB
,其中u+v+w=
1.
(3)空间向量基本定理
如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任意一向量,那么存
.
4.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为 -13 .
答案 -13 解析 (a+b)·(a-b)=a2-b2=42+(-2)2+(-4)2-[62+(-3)2+22]=-13.
5.下列命题:
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有
AB
+
BC
+
CD
+
DA
∴
AP
=
AA1
+
A1D1
+
D1P
=a+
AD
+
1 2
D1C1
=a+c+
1
AB
=a+c+
1
b.
2
2
(2)∵N是BC的中点,
∴ A1N = A1A+ AB + BN
=-a+b+
1 2
BC
=-a+b+
1
AD
2
1
=-a+b+ 2 c.
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第五节空间向量的运算及其坐标表示
3．空间向量有关运算
(1)坐标运算：设a＝x1，y1，z1 ，b＝x2，y2，z2 ， 则a＋b＝ (x1 x2,y1 y2,z1 z2 ) ； a－b＝ (x1 x2,y1 y2,z1 z2 ) ； λa＝ (x1, y1,z1) ．
(2)数量积运算：a·b＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝ |a||b|cos〈a，b〉．
B．共面 C．共线 D．不共线
②对空间中四点 A，B，C，P，若A→P ＝81 A→B ＋18 A→C ，则 P，A，B，C 四点( )
A．不共面
B．共面 C．共线 D．不共线
பைடு நூலகம்
③对空间中四点 A，B，C，P，若空间任意一点 O 都有O→P ＝43 O→A ＋81 O→B ＋
1 8
O→ C
，则 P，A，B，C 四点(
(2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共
面，则实数λ等于(
A．672
B．673
) C．674
D．675
【解析】选D.由a，b，c三向量共面，设a＝mb＋nc，
则(2，－1，3)＝m(－1，4，－2)＋n(7，5，λ)，
2＝－m＋7n
即 －1＝4m＋5n ，解得λ＝675 . 3＝－2m＋nλ
＝12
O→ A
＋23
1 (2
O→ B
＋12
O→ C
－21
O→ A
)＝61
O→ A
＋13
O→ B
＋13
O→ C
，
所以x＝16 ，y＝13 ，z＝13 .
答案：16 ，31 ，13
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． ①化简 A1O －12 A→B －21 A→D ＝________． ②用A→B ，A→D ， AA1 表示 OC1 ，则 OC1 ＝________．
人教版高三数学一轮复习精品课件5：8.6 空间向量及其运算
【解答】(1)因为 AC1 AB BC CC1,
又 AB, BC,C1C 不共面，
所以x=1,2y=1,3z=-1,
所以x=1,y= 1 ,z=- 1 ，
2
3
所以x+y+z=1+
1 2
-
1 3
=
7. 6
答案：7
6
(2)①因为P是C1D1的中点,
所以
AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋
④空间向量加法、数乘运算满足的运算律: (ⅰ)交换律:a+b=_b_+_a_. (ⅱ)结合律:(a+b)+c=__a_+_(_b_+_c_) . λ(μa)=__(_λ_μ_)_a__(λ∈R,μ∈R). (ⅲ)分配律:λ(a+b)=__λ_a_+_λ_b__(λ∈R).
(3)共线向量定理与共面向量定理: ①共线向量定理:空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ, 使得__a_=_λ_b_. ②共面向量定理:如果两个向量a,b_不__共__线__,那么向量p与向量a,b共面 的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使_p_=_x_a_+__y_b.
长度为_0_的向量
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
高三数学一轮复习精品课件4：8.5 空间向量及其运算
2．共线(共面)向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得_a_＝__λ_b___． 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满 足等式O→P＝O→A＋ta，其中向量 a 叫做直线 l 的_方__向__向__量___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y)， 使 p＝_x_a_＋__y_b__.
命题方向1 空间向量的线性运算
例 1 如图，在四棱锥 M－ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB、AD 的夹角 都是 60°，N 是 CM 的中点，设 a＝A→B， b＝A→D，c＝A→M，试以 a、b、c 为基向量 表示出向量B→N，并求 BN 的长．
(2)因为E→H＝A→H－A→E ＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)
＝12B→D，所以 EH∥BD．
又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
第八章 立体几何
8.5 空间向量及其运算
考纲要求
• 1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示．
• 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． • 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数
量积判断向量的共线与垂直．
高三理数一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算
解析 答案
-11-
知识梳理 双基自测
12345
3.(教材习题改编P92T3)如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个 点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线
段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为
.
关闭
设������������ =a,������������ =c,������������ =d,由已知条件知
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
关闭
答案
-10-
知识梳理 双基自测
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2.若 x,y∈R,有下列命题:
①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面;
②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb;
③若������������=x������������+y������������,则 P,M,A,B 共面;
高三理数一轮课件
第八章 立体几何
8.6 空间向量及其运算
-4-
知识梳理 双基自测
12345
1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有 大小 和 方向 的量叫做空间 向量,其大小叫做向量的 长度 或 模 . (2)相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量.
(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线 平行 或 重合 ,则这些向量叫做 共线向量 或 平行向量 ,a平行于b记作a∥b.
④若 P,M,A,B 共面,则������������=x������������+y������������.
其中真命题的个数是( )
关闭
①正A确.1,②中若 a,Bb.共2 线,p 与 a 不C.共3 线,则 p=Dx.a4+yb 就不成立.③正
高中数学一轮复习空间向量及其运算PPT课件
考 示． 纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O， 再作一条数轴z，使垂之直 与x轴、y轴都 ，这样，它们中的任意两条都互相垂 直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正 方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转 能 与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空 间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所 以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无 关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的 长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确． 答案：D
且模 的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ， 使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线， 则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算课件
→→ → →→ → → → → 解析 BA＋BC＋DD1＝CD＋BC＋DD1＝BD＋DD1＝BD1.故选 D.
4．若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－
4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂ α
D．l 与 α 相交但不垂直
答案 B
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
→→ PA＝λPB且同过点 P
→→→ MP＝xMA＋yMB
→→ →
→→ → →
对空间任一点 O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点 O，OP＝OM＋xMA＋yMB
→→
→→→
对空间任一点 O，OP＝xOA＋(1 对空间任一点 O，OP＝xOM＋yOA＋(1
角度
基向量法
例 4 已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的 正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段 AC1 的长；
→ 解 (1) 如图所示，设AB＝a，
→
→
AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，
a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数 组{x，y，z}，使得 □03 p＝xa＋yb＋zc .其中，{a，b，c}叫做空间的一
个 □04 基底
．
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯 一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝□05 xO→A＋yO→B＋zO→C .
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第8章 立体几何 第6节 空间向量及其运算
-1
,则 2
∴m=0,n=0,∴m+n=0.
=
1
-2
=
-2-3
,
6
(2)解:①由已知 + + =3,
所以 − =( − )+( − ),即 = + =- − ,
所以, , 共面.
②由①知, , 共面且过同一点 M.
④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ),则 P,M,A,B 四点共面.
增素能 精准突破
考点一
空间向量的线性运算
典例突破
例1.(1)(2021江西师大附中模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M
为 A1C1 与 B1D1 的交点.若=a,=b,1 =c,则下列向量中与相等的向
1
2
(2)∵向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),且a⊥b,∴a·
b=0,
∴2×2-3m+2=0,解得m=2,
∴b=(2,-2,-1),
∴|b|= 22 + (-2)2 + (-1)2 =3.
(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =
(a≠0,b≠0).
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
|AB|=| |= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
,
微思考空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗?
提示:无关.这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹角、“点点”距离都是固
量是(
)
1
1
A.-2a+2b+c
1 1
C.-2a-2b+c
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AB
或 O P=⑩ (1-t) O A+t O B .
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式:p= xa+yb ,其中x,y∈R,a,b为不共线
向量,推论的表达式为 M P=x M+ yA 或M 对B 空间任意一点O,有 =
OP
O M +x
M +A y
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示
坐标表示
数量积 a·b
共线
a=λb(b≠0,λ∈R)
垂直
a·b=0(a≠0,b≠0)
模
|a|
a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
答案 C 易求 A E= A+A 1 1 2 A+ B 1 2 A,故D x=y= .12
4.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-析 (a+b)·(a-b)=a2-b2=42+(-2)2+(-4)2-[62+(-3)2+22]=-13.
a12 a22 a32
夹角
<a,b>(a≠0,b≠0)
cos<a,b>=
a1b1a2b2 a3b3 a12a22a32 b12b22b32
5.两个重要向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所 表示的向量,一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.
∴n1与n2不垂直,∴α与β相交但不垂直.故选C.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若 A=E A+Ax1
AB
+y A ,D则x,y的值分别为 ( )
A.x=1,y=1 B.x=1,y= 1
2
C.x= 1 ,y=1 D.x1 = ,y=1
22
2
解析 (1)∵P是C1D1的中点,
∴ A P= A +A 1 +A 1 D 1
D 1P
=a+ A D+ 12 D 1 C 1
2
(ii)两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则 |a||b|cos<a,b> 叫做向量a,b的数量 积,记作 a·b ,即a·b= |a||b|cos<a,b> . (2)空间向量数量积的运算律 结合律:(λa)·b= λ(a·b) ;
交换律:a·b= b·a ; 分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 (i)两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 O A=a, O =B b,则∠AOB叫做 向量a与b的夹角,记作 <a,b> ,其范围是 0≤<a,b>≤π ,若<a,
b>= ,则称a与b 互相垂直 ,记作a⊥b.
理数
课标版
第五节 空间向量及其运算
教材研读
1.空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量 模为① 0 的向量
0
单位向量 长度(模)为② 1 的向量
相等向量 方向③ 相同 且模④ 相等 的向量
a=b
相反向量 方向⑤ 相反 且模⑥ 相等 的向量
a的相反向量为-a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相⑦ 平行或重合 的向量 a∥b
5.下列命题: ①若A、B、C、D是空间任意四点,则有 A B+ B+C +C D =0D ;A
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;
③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
④对于空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若 O P=x O + Ay +O zB
OC
共面向量 平行于同一个⑧ 平面 的向量
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ,使得⑨ b=λa . 推论 如图所示,点P在l上的充要条件是 O P= O +A ta(O为空间上任意一点). (*)
其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取 A B=a,则(*)可化为 O= P +O tA
2
μ
解1 得0 ,
2 λ 2 k ,
或
λ μ
2, 1 2
λ 3 ,
μ
1. 2
2.若平面α、β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.以上均不正确
答案 C 由题意知n1与n2不平行,又∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,
(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.
其中不正确的命题是
.
答案 ②③④
解析 ①正确;对于②,|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充分不必要条件;对于
③,a与b所在的直线可能是同一条直线;对于④,必须满足x+y+z=1,故④
错.
考点突破
考点一 空间向量的线性运算 典例1 (2017四川内江六中期末)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中,设 A A =1 a, A= Bb, =AcD,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c 表示以下各向量: (1) A P; (2) A 1 N; (3) M P+ N.C 1
MB
或 =O uP +vO M +w O ,A其中Ou B+v+w=
1
.
(3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任意一向量,那么存 在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a= λ1e1+λ2e2+λ3e3 ,其中{e1,e2,e3}叫做 这个空间的一个基底.
1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是 ( )
A.2, 1 B.1- 1 , C.-3,2 D.2,2
2
32
答案 A ∵a∥b,∴b=ka(k∈R),即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴
6 k ( λ 1 ) ,