2018高考数学易错类型专题突破及易错题分项集训 专题5 数列

专题五 数列易错盘点1.理解数列的概念，注意数列中的项、项数、第n 项之间的关系．2.通项代表数列中的一项，并非所有的数列都有通项公式；对于一个确定的戮列，其通项公式并不唯一3.利用公式1n n n a S S -=-解题时，若不注意n ≥2这一条件，误把1a 并到n a a 中去就会错解．4.求通项公式的方法有：观察法、待定系数法、逐差法、累加法、累成法、构造法等，我们要根据题的特点选择合适的方法．5.理解等差、等比数列的概念，注意概念中“从第二项起”和“同一个常数”这两个条件．6.能够运用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决有关问题，注意等比数列求和时，忽视q -1的情况导致的公式应用错误．7.运用等差、等比数列的性质解决一些问题．8.直接用公式求和时，要注意公式应用的范围和公式的推导过程．9.观察数列的特点和规律，利用分组求和法、错位相减法、倒序相加法、裂项法求和，求和时注意弄错项数导致误解．10.数列的综合应用始终是教材的重点其主要有平均增长率、利率、以及等值增减等实际问题．11.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，我们要认真审题，抓住数量关系，联想数列知识，将实际问题抽象为数学问题． 点击典型、易错试题【典例1】已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ， 且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5错解由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121121121121112122112122n n n nn n a a n a a a b b b n b b ----+-+==+-+ ()()212172145213n n n A B n ---+==-+ 1438719221n n n n ++==++()n N *∈ 故1,2,3,n =时，n nab 为整数.故应选B.错因分析上述解法中忽视了对所有的自然数n 的一一列举,对分母的代入讨论过程中数据较大的自然数的代入出现了“困难”而采取了舍弃的态度是不可取的.正解由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121121121121112122112122n n n nn n a a n a a a b b b n b b ----+-+==+-+ ()()212172145213n n n AB n ---+==-+14387191272211n n n n n ++===++++()n N *∈， 故1,2,3,5,11n =时，nna b 为整数.故应选D. 跟踪训练已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）Ａ．0 Ｂ．1Ｃ．2 Ｄ．4答案 D跟踪训练已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ．答案 7【典例2】若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．错解数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，数列为等差数列，数列的通项公式为1n n n a S S -=-=211n -，数列{}n na 的通项公式为2211n na n n =-，其中数值最小的项应是最靠近对称轴114n =的项，即n=3，第3项是15-.错因分析错解中对于概率最小的项及第几项的概念没有分析清楚,而给出了错误的答案. 正解数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，数列为等差数列，数列的通项公式为1n n n a S S -=-=211n -，数列{}n na 的通项公式为2211n na n n =-，其中数值最小的项应是最靠近对称轴114n =的项，即n=3，第3项是数列{}n na 中数值最小的项.跟踪训练等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______.答案13q =【典例3】已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++= 的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤． 错因分析不能归纳或探索出数列的通项公式,对数列和的归纳与分析是解本题的最大障碍,不等式放缩的上界与下界的确定也是问题得证的关键.正解（I ）方程2(32)320kkx k x k -++= 的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，，所以12a =；当2k =时，16x =，24x =，所以34a =； 当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时； 当4k =时，112x =，216x =，所以712a =． （II ）2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++ ，所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥ 1116626n =+> ， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515249224n =-< ． 综上，当n ∈N *时，15624n T ≤≤． 跟踪训练已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+答案（1）a n ＝3n -2 （2）略【典例4】若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S错因分析考生在后续的答题过程中得分率明显偏低,要注意数列解题中实际的合理性,以及实际问题与数列中的对应项的对应关系,项数的合理转化和有机的结合.正解（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）21121k k S c c c --=+++121k k k c c c +-++++k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，，；④ 1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm．跟踪训练已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1； （Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式； （Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3. 答案（Ⅰ）122n n nx x x +=+ （Ⅱ）11222(31)31n n n x --+=- （Ⅲ）略易错题分项集训卷3.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 ( ) A. 122n +- B. 3nC. 2nD. 31n-4.（ ）A ．3B ．2C ．1D ．8.数列123{},,n n na a n++++=中11n n n b n a a +=的前项和为 ． 9.正奇数集合{1，3，5，…}，现在由小到大按第n 组有（2n －1）个奇数进行分组： {1} , {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，… （第一组） （第二组） （第三组） 则2005位于第 组中.13.已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥． （1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *∈恒成立，求m 的取值范围．14.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＞1，且6(1)(2),N.n n n S a a n =++∈（Ⅰ）求｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）设数列｛b n ｝满足(),112=-n n a 并记T n 为｛b n ｝的前n 项和，求证：231log (3),N.n n T a n ++∈＞16.阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券……（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．（I）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（II）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠？参考答案及错因分析专题五 数列3.C 解析:若数列{}1n a +也是等比数列,则111(1)n n n a q a a q +++=+=+, 即得1q =, ∴12n a a ==, 12n S na n ==, 故应选C.错因分析: 等比数列的各项加1后仍是等比数列,这出乎考生的意料之外,主要是忽视了常数列这一特殊的等比数列. 4.B 解析:,故选B.错因分析:本题是一道开放题,需要将各个值均求正确方可得出结论,对于两个定义式的概念不能正确理解是数列各项值求错的关键.8.22+n n 解析:∵123n n a n ++++= 12n +=, ∴11n n n b a a += 4114()(1)(2)12n n n n =-++++=, ∴n b 的前n 项和为11114(2334-+-+ 11)12n n ⋅⋅⋅+-++1124()222n n n =-=++. 错因分析: 裂项公式错误,计算结果不正确.9.32解析:令200521n =- , 可得1003n = .由分组可得前n 组共有2(121)135(21)2n n n n +-+++⋅⋅⋅+-==个数, 而2005是其中的第1003个数, 由2321024= , 231961= , 可得2005中位于第32组 .错因分析:分组规律未找全,另对于奇数组的数据特征的识记错误,将项数与组数搞混淆.13.解析: （1）由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2) ∵a 1＝5，a 2＝5.∴a 2＋2a 1＝15故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列 .（2）由（1）得a n ＋1＋2a n ＝5·3n 由待定系数法可得(a n ＋1－3n ＋1)＝－2(a n －3n )即a n －3n ＝2(－2)n －1 故a n ＝3n ＋2(－2)n －1＝3n －(－2)n .（3）由3n b n ＝n(3n －a n )＝n[3n －3n ＋(－2)n ]＝n(－2)n ，∴b n ＝n(－23)n 令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n(23)n 23S n ＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n －1)(23)n ＋n(23)n ＋1 . 得13S n ＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n －n(23)n+1＝23[1－(23)n ]1－23－n(23)n+1＝2[1－(23)n ]－n(23)n+1 ∴ S n ＝6[1－(23)n ]－3n(23)n+1＜6要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＜m 对于n ∈N ＊恒成立，只须m≥6 . 错因分析:错位相减法求和整理错误较多,恒成立中变量的分离最值求解不正确,应当注意强化数列运算题的训练.14.解析:（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2． 又由a n +1＝S n +1- S n ＝1111(1)(2)(1)(2)66n n n n a a a a ++++-++，得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去．因此a n +1- a n -3＝0．从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -1．（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得133log 11log -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a b z n z z ； 从而12n n T b b b =+++2363log 2531n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭． 因此31log (3)n z n T a +-+33632log 25313n 2z n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭． 令33632()25313n 2n f x n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭,则 3(1)323n 3·()353n 2f n n f n n +++⎛⎫= ⎪++⎝⎭ 32(33)(35)(32)n n n +=++． 因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故)()1(n f n f ＞+. 特别的12027)1()(＞=≥f n f ． 从而0)(log )3log(13＞n f a T n n =+-+，即)3(log 132++n n a T ＞． 证法二：同证法一求得b n 及T n ．由二项式定理知当c ＞0时，不等式c c 31)1(3++＞成立．由此不等式有31n T +3332111log 21112531n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+13315312312log 2n ＞ ＝225832log 2log (32)2431n n n +⋅⋅⋅⋅=+- 2log (3)n a =+．证法三：同证法一求得b n 及T n ．令A n ＝n n 33··56·23 ，B n ＝n n 313··67·43+ ，C n ＝1323··78·45++n n ． 因1323313133+++-n n n n n n ＞＞，因此2233+=n C B A A n n n n ＞． 从而3226331log 23531n n T n ⎛⎫+=⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭ 32log 2xA =＞2log 2n n n ABC 2log (32)n =+2log (3)n a =+．错因分析:第一问中数列递推关系要非常熟悉,同时数列不等式的证明要注意方法的选择.16.解析:（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，第一次使用7000元，可得奖励券2100301007000=⨯ 第二次使用2100元，可得奖励券630301002100=⨯ 第三次使用600元，可得奖励券180********=⨯（此时剩下奖励券30元） 第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元）最后一次使用70元，没有奖励券故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物………………6分 (2）设阳光商场用a 元钱最多能购回m 元钱的货物，则由（1）小题知：7.03.011)3.03.01(2a a a m =-⋅=+++< 新世纪百货用a 元钱能购回7.0a 元钱的货物，故新世纪的优惠比阳光更多． 错因分析:数列应用题解题的关键在于理解题意,能够正确找准数列的通项公式,对于数列的项数共有多少问题是出错率最高之处.。