线性代数PPT课件第三章 线性方程组

x1 d 1 c1r1t1 c1ntn r
x2
d2
c 2 r 1t1
c2ntnr
xr
dr
c rr 1t1
c rn t n r
x r 1
t1
x
n
tnr
(t1,,tnr 为任意常数)
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14
定理 (1 )ra (A ) n rka (A ~ ) n k 方程组 (3.1) 无解; (2 )ra (A )n rk a (A ~ )n n k方程组 (3.1) 有惟一解; (3 )ra (A )n rk a (A ~ )n n k方程组 (3.1) 有无穷多解.
同解方程组为
x1 d1 c1r1xr1 c1nxn
x2
d2
c2r x 1 r1 c2nxn
xr dr cr x r1 r1 crnxn
(r n)
或
x1 d1
x2
d2
(r n)
x n d n
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13
于是当 ran(Ak)n时有惟一解.
当 ran(Ak)n 时, 有 nr个自由未知量 xr1,,xn, 分别取为 t1,,tnr, 得通解
1 1 a a2
a
1
1
1
r2r1 1 1
a
r 3 a1r0 a1 1a
0 1a 1a2
a2 aa2
1a3
1 1 r 3 r2 0 a1
a 1a
a2
aa2
0 0 (1a)2 (a) (1a)1(a)2
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16
( 1 )a 1 且 a 2 ,r( a A ) r n ( a A ~ ) k 3 n k
5 3
1 5
10
2 0
0 1
4 1
3 6 10 2
0 0 0 0
同解方程组 x 2 y 4
z 1
0 0
x 4 2t
令 yt, t取任意常数, 所求解为
yt
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z 1 8
x 2y 5z 1
3.
2x
4y
3z
5
3x 6y 10z 3
A~
1 2
2 4
(增广矩阵)
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3
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
a11 A ~(A|B)a 21
a12
a22
a1n a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
方程组与增广矩阵一一对应.
0 0 1 crr1 crn dr
0
0
0
0
0
d
r
1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
(r n)
整理ppt
11
或
1 0
0 1
0 0
d 1 d2
0 0 1 dn
0
0
0
d
n
Байду номын сангаас
1
0
0
0
0
(r n)
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12
(1). 当 dr1 0 时无解, ra(n A ) kra(n A ~)k ; (2). 当 dr1 0 时, ra(n A ) kra(n A ~)k ,
5 3
1 5
10
2 0
0 1
4 1
3 6 10 3
0 0 0 1
同解方程组
x 2y 4
z 1
0 1
原方程组无解.
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9
上述三例说明方程组可能有惟一解, 无穷多解, 无解三种情况.
对一般情形:
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn
1
0
2
0 0 1 1
0 0 1 1
2 r 1 r2 0
0 1
0 0
22 1 2r1 1 0
0 1
0 0
1 2
0 0 1 1
0 0 1 1
同解方程组
x1 x2
1 2
x 3 1
为所求解.
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7
x 2y 5z 1
2.
2x
4y
3z
5
3x 6y 10z 2
A~
1 2
2 4
第三章 线性方程组
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1
克莱姆法则的两个缺陷: 1.系数行列式为零; 2. 方程的个数与未知数个数不相同. 为克服这两个缺陷, 推动了矩阵及秩的产生.
第一节 基本概念
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
原方程组 有惟一解;
(2) a1时,
A~
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0 0 0
ra (A )n rk a (A ~ )n 1 k 3 原方程组有无穷多解;
(3) a2时 ,
A~
1 0
1 3
2 3
4 6
0 0 0 3
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17
(3.1)
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2
解集合 同解 相容方程组
(3.1) 可用矩阵表示 AXB
a11 Aa21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
(系数矩阵)
x 1
X
x2
x n
a11 A ~(A|B)a 21
a12
a22
a1n a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
推论 当 mn时, 方程组 (3.1) 有惟一解 deAt) (0.
例: 当 a为何值时, 方程组
ax y z 1
x
ay
z
a
x y az a 2
(1) 有惟一解; (2) 有无穷多解; (3) 无解.
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15
解1:
~ a 1 1 1
1 1 a a2
A 1 a 1 a r 1r31 a 1 a
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4
A X B (A |B )A ~ 增广矩阵的一行对应一个方程. 增广矩阵的行初等变换对应方程组的初等变换. 初等变换不改变方程组的解.
消元法:
例: 求解方程组
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5
2x1 x2 x3 1 1. 2x1 2x2 x3 7
4x1 x2 2
2 1 1 1
2 1 1 1
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
(3.1)
设 ran (A)kr,
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10
a1 1 A~a 21
a1 2
a2 2
a1n a2n
b1
b2
am1 am2 am n bm
1 0
0 1
0 0
c1r 1 c2r 1
c1n c2n
d1 d2
A ~2 2 1 7 rr 3 2 2 r1r1 0 3
2
8
4 1 0 2
0 1 2 4
2 r 2 3r3 0
1 0
1 4
14 r 1 43r2 0 2
1 0
1 1
1 1
0 1 2 4
0 1 2 4
整理ppt
6
2 1 1 1
2 1 0 0
r 2 r3 0
1
2
4 rr 12 r23r3 0