高数学学期空间平面与平面的位置关系

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高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系

①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆王新敞奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ）（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。新疆
王新敞奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面内，
则 l// 。（）
（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。（）

高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系图形语言符号语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线．『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)，设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。

高中数学必修二立体几何笔记整理

高中数学必修二立体几何笔记整理一、空间几何体。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 特殊的四棱柱：- 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。

- 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体。

- 长方体：底面是矩形的直平行六面体。

- 正方体：棱长都相等的长方体。

- 性质：- 侧棱都平行且相等。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

- 性质：- 圆柱的轴截面是全等的矩形。

- 圆柱的侧面展开图是矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。

- 性质：- 圆台的轴截面是等腰梯形。

- 圆台的侧面展开图是扇环。

7. 球。

- 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。

高考数学(理)之立体几何与空间向量专题03 空间点、线、面的位置关系(解析版)

立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ．【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ，所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===，所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35．方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB，所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =，所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。

高三数学空间点线面之间的位置关系

课堂互动讲练
【名师点评】题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确定3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角. 10分

高中数学高考第3节空间点、直线、平面之间的位置关系课件

主
回顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限时
集
课堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点确．
探
究
返首页
41
课
前
自
主回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返首页
5
课
前自
(4)公理2的三个推论
主
回顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平课后
面．
限时
集
课堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返首页
后限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时集
课
训
堂考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探也在该直线上．
究
返首页
25
课前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返首页
43
1.下列结论中正确的是 ( )

人教高中数学必修2 平面与平面之间的位置关系

o
相交
a
b
平行
回顾:直线与平面有几种位置关系？这些位置关系的基本特征是什么 ?
（1）直线在平面内---有无数个公共（2）直线与平面相交---有且只有一个（3）直线与平面平行---没有公共点.
点；公共点；
回顾:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号语言描述这三种位置关系？
a α
a
.P α
a α
β α
//
l
l
思考5:已知平面α，β和直线a，b，且α∥β, 系如何？
,则直线a与平面 β的位置关系如何？直线a与直线b的位置关
a,b
a 异面直线
α
b β
例2 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M、N、P分别是线段AD、BB′、A′B′的中点（1）找出与线段AB互为异面直线的线段（2）找出与平面ABCD平行的平面。（3）找出与平面PMN相交的平面。
a a P a //
那么空间中的平面会有怎样的位置关系呢？
探究平面与平面之间的位置关系思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？
思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
平面ABCD平行于平面A′B′C′D′ 平面ABCD与平面ABA′B′相交
人教高中数学必修2 平面与平面之间的位置关系
回顾:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？
共面直线异面直线:
相交直线:
同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线:
同一平面内，没有公共点；
不同在任何一个平面内，没有公共点
回顾:用图表示直线与直线间的关系。 a

高中数学教学课例《平面与平面之间的位置关系》课程思政核心素养教学设计及总结反思

教学过程
问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有
一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，
交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图 3，用符号语言表示为：P∈α 且 P∈βα∩β=l,且 P∈l.
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提
高学生的学习兴趣.
学生学习能
学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在
力分析学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
本节主要通过让学生活动、学生讨论、之后教师讲
解与补充使得学生学习平面与平面的位置关系，平面与
教学策略选平面的位置关系有两种：
择与设计
①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交
——有一条公共直线.通过活动、讨论来培养学生的空
间想象能力
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点
拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生
提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断
空间中平面与平面之间的位置关系。
1．知识与技能
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系
教学目标的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学，学生将能够：1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题；3.进一步培养学生的数学思维，提高学生的空间想象能力和综合运用能力。

二、教学重点和难点教学重点：1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征；2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系；3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。

教学难点：1.掌握点、直线、平面的共面关系；2.学会在空间中画出图形；3.掌握平面间的位置关系。

三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引导学生通过生活实际情境，复习几何学中的点、线、面的概念，并对此进行概括，展现本课内容的片面性和局限性，进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。

同时，激发学生空间想象的能力。

2. 正式教学环节（40分钟）1）点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系，并用图形进行示范。

然后，让学生自己分析和总结，归纳出点与直线的位置关系的有关性质。

例如：•点在直线上；•点在直线上的外部；•点在线的两侧；•点与直线相离。

2）点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系，老师同样先给出范例进行示范，帮助学生加深理解。

然后，再让学生自己探究和总结，归纳点与平面的位置关系的有关性质。

例如：•点在平面上；•点在平面上的内部；•点在平面上的外部。

3）直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系，为学生提供相关的图形，并进行实操。

教师同样应给学生提供足够多的机会，让学生自行探究总结，得出有关性质。

例如：•直线在平面上；•直线与平面交于一点；•直线与平面平行；•直线与平面垂直。

4）平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后，适当引入平面与平面的位置关系。

老师还是要以图形为依据，实践出多重案例，使学生理解平面与平面的位置关系的本质。

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系

■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β，即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与

高中数学必修2《空间点、直线与平面之间的位置关系》教案

⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案课题名称《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》科　⽬⾼中数学教学时间 1课时学习者分析通过第⼀章《空间⼏何体》的学习，学⽣对于⽴体⼏何已经有了初步的认识，能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，并理解它们的⼏何特征。

但是这种理解还只是建⽴在观察、感知的基础上的，对于原理学⽣是不明确的，所以学⽣此时有很强的求知欲，急于想搞清楚为什么;同时学⽣经过⾼中⼀年的学习，已经具备了⼀定的逻辑推理能⼒，只是缺乏训练，不够严密，不够清晰;有⼀定的⾃主探究和合作学习的能⼒，但有待提⾼，并愿意动⼿并参与分组讨论。

教学⽬标⼀、知识与技能 1.　理解空间点、直线、平⾯的概念，知道空间点、直线、平⾯之间存在什么样的关系; 2.　记忆三公理三推论，能够⽤简单的语⾔概括三公理三推论，会⽤图形表⽰三公理三推论，并将其转化成数学符号语⾔; 3. 明确三公理三推论的功能，掌握使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题的⽅法。

⼆、过程与⽅法 1.　通过⾃⼰动⼿制作模型，直观地感知空间点、直线与平⾯之间的位置关系，以及三公理三推论; 2. 通过思考、讨论，发现三公理三推论的条件和结论; 3.　通过例题的训练，进⼀步理解三公理三推论，明确三公理三推论的功能。

三、情感态度与价值观 1.　通过操作、观察、讨论培养对⽴体⼏何的兴趣，建⽴合作的意识; 2.　感受⽴体⼏何逻辑体系的严密性，培养学⽣细⼼的学习品质。

教学重点、难点 1.　理解三公理三推论的概念及其内涵; 2.　使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题。

教学资源 (1)每位同学准备两张硬纸板，其中⼀张中间⽤⼩⼑划条缝，铅笔三根; (2)教师⾃制的多媒体课件。

《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教学过程的描述教学活动1 ⼀、导⼊新课 1. 回忆构成平⾯图形的基本元素：点、直线。

人教A版必修二第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

判断直线与平面的位置关系
例 1：两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内， ) 且平面α与β相交，则 a 和 b( A．一定与平面β都相交 B．至少一条与平面β相交 C．至多一条与平面β相交 D．可能与平面β都不相交思维突破：设α∩β＝c，∵若 a、b 都不与β相交，则 a∥c， b∥c，∴a∥b，这与 a、b 相交矛盾，故 a、b 中至少一条与β相交．答案：B
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解：(1)(2)是真命题，(3)(4)是假命题．
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况，所以
这两个平面还可能相交． (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况，如正方体中共顶点的三个面．要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例；而要想说明一个命题是真命题，则需理论上的证明．
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1－1.下列命题：①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α；②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( A．1 个 B．2 个 A )
作AB⊥平面α于点B，BC⊥a1 于点C，BD⊥b1 于点D，记∠AOB
＝θ1，∠BOC＝θ2，(θ2＝25°或65°)，则有cosθ＝cosθ1· cosθ2，因为0°≤θ≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.
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当θ2＝25°时，由θ≤cosθ≤cos25°，得 25°≤θ≤90°. 当θ2＝65°时，由θ≤cosθ≤cos65°，得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时，直线 l 不存在；
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人教版高中数学必修二空间中直线与平面、平面与平面间位置关系附答案解析

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系（课时过关·能力提升）基础巩固1.下图中表示两个相交平面正确的是()2.棱柱的任意两个侧面的位置关系是()A.相交B.平行C.平行或异面D.平行或相交3.已知M,N是点,l是直线,α是平面,M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能4.若直线a∥平面α,则下列说法比较准确的是()A.直线a与平面α内的一条直线不相交B.直线a与平面α内的两条相交直线不相交C.直线a与平面α内的无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交5.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面()A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.一定重合6.已知平面α,β平行,a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面的位置关系是.8.若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.9.指出如图所示的图形的画法是否正确,若不正确,请你画出正确的图形.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.能力提升1.如图,三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在的直线与平面BCC'B'的位置关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内2.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能★3.若直线l与平面α不平行,则下列结论正确的是()A.α内的所有直线都与直线l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内的直线与l都相交D.直线l与平面α有公共点4.过平面α外一点M,作直线l∥α,则这样的直线l有条.5.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是.6.已知直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a与β的位置关系是.7.下列命题正确的有.(只填序号)①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑤若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.★8.一刀切豆腐将豆腐切成2块,两刀切豆腐最多可将豆腐切成4块,问三刀切豆腐最多可将豆腐切成几块,怎么切?试作出图形.参考答案一、基础巩固,也可能没有公共点,则它们平行或相交.α内的一条直线b与直线a相交,设交点为P,则P∈b,而b⊂α,所以P∈α.又P∈a,则a∩α=P,这与a∥平面α矛盾,即假设不成立.故直线a与平面α内的所有直线不相交.ABCD-A1B1C1D1中举例说明.如图,在平面A1B1C1D1内与A1B1平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面A1B1C1D1∥平面ABCD;在平面ABB1A1内,与AB平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,所以两个平面平行或相交.中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行,有一些是异面;②正确;③中直线a 与β内的无数条直线垂直;④根据定义a与β无公共点,正确.①②③的画法均不正确.正确的画法如图所示.AM所在的直线与平面ABCD相交;CN所在的直线与平面ABCD相交;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.二、能力提升,所以三条侧棱AA',BB',CC'的延长线交于一点,记为P,则直线AA'与平面BCC'B'相交于点P,且直线AA'在平面BCC'B'外.故选A.,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,11平面AC,则有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,则有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M,N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,此时A1B1与MN异面,故选D.l与平面α不平行,则直线l与平面α相交或在平面α内.当直线l与平面α相交时,α内的直线与直线l相交或异面,所以选项A和C均不正确;当直线l在平面α内时,α内存在与l 平行的直线,所以选项B不正确.,可作该平面的无数条平行线,且这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内..如图①②所示,分别为两个平面平行、相交的情形.a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点.故a与β平行.显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以③是错误的;④中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以④是正确的;⑤中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑤是错误的.,前两刀竖切,刀口为十字形,且切口竖直,第三刀横切,将每小块一分为二,共得8块,即三刀最多将豆腐切成8块..。

高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系

5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有__0_或__1___个．
解析当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1；和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③，若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．

高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ，即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立；而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心，所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ，且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)．答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ，则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3，解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1，延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103，又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62，则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。

1.4用空间向量研究直线、平面位置关系+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

是面AB1，面A1C1的中心，求证：EF//平面ACD1?
D1
C1
·
A1
B1
D
A
F
·
E
C
B
练习2. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底
面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，PF=FG=GC . 求
证：面AEF//面BDG.
P
F
G
E
C
A
D
B
l1
l2
u1
垂直位置的判定
u2
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
①直线在平面内
l
线与面
②直线在平面外 l
直线与平面相交：有且只有一个公共点；
直线与平面平行：没有公共点；
两个平面相交：有一条公共直线，无数个公共点；
面与面
两个平面平行：没有公共点；
l l
u1
1
u2
2
平行位置的判定
(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以
1 =(0,2,1),
=(2,0,0),
=(0,2,1).
设 n 1 =(x1 ,y1 ,z 1)是平面 ADE 的法向量,
则 n 1⊥
即
,n 1⊥
1·
=2
1
,
= 0,
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
(2)法一：
FB1 =（2,2,1），
DE （2,2,1）
FB1 = DE
FB1 //DE

新高考数学空间点、直线、平面之间的位置关系精品课件

D
(2)如图7-38-4所示,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 .(填序号)
课堂考点探究
[思路点拨]根据异面直线的概念通过观察或平移判断两条直线是否异面;[解析]在题图①中,GH∥MN;在题图②中,G,H,N共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;在题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;在题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此直线GH与MN异面.故填②④.
课前基础巩固
[解析]首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
题组二常错题
索引:对异面直线的概念理解有误致误;判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误.3. α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是 .(填序号) ①垂直;②相交;③异面;④平行.
(续表)
两个点
课前基础巩固
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本事实3
如果两个不重合的平面有_____ 公共点,那么它们有且只有的公共直线
P∈α,且P∈β⇒ α∩β=l,且P∈l
①确定两平面相交的依据;②判定点在直线上的依据
(续表)
一个
课前基础巩固
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
图7-38-2
课堂考点探究
[思路点拨]设CE,D1F交于点P,再证明直线DA经过点P即可.证明：∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,延长CE,D1F,设交点为P,如图所示.由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理可得P∈平面ADD1A1.延长DA,又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.

人教版数学高一必修2学案 -4 平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系目标定位 1.掌握直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.掌握平面与平面之间的两种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.自主预习1.直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α2.两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l 有一条公共直线1.判断题(1)若直线a在平面α外，则直线a∥α.(×)(2)若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β.(×)(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.(√)(4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.(×) 提示(1)直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交.(2)α与β可能平行，也可能相交.(4)若α∩β＝b，且a∥b，则有a∥α且a∥β，或a⊂α，或a⊂β.2.若直线l与平面α不平行，则()A.l与α相交B.l⊂αC.l与α相交或l⊂αD.以上结论都不对解析若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α.答案 C3.若两个平面互相平行，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是()A.线面平行B.线面相交C.线在面内D.无法确定解析两面平行时，两个平面没有公共点，在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点，所以它们平行.答案 A4.两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；如果两个平面不相交，则两个平面________.解析两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行或相交.答案平行类型一直线与平面的位置关系(互动探究)【例1】以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[思路探究]探究点一空间中直线与平面的位置关系有哪几种？提示空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.探究点二判断直线与平面的位置关系的策略是什么？提示判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可能情形.解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.答案 A规律方法 1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.【训练1】下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α②若直线a在平面α外，则a∥α③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线其中假命题的序号是________.解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题；对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.答案①②③类型二平面与平面的位置关系【例2】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合.A.0B.1C.3D.4解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的；对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的；对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错.规律方法(1)判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.(2)反证法也用于相关问题的证明.【训练2】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定解析如图所示，由图可知C正确.答案 C[课堂小结]1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面平行（直线与平面没有公共点）直线与平面不平行⎩⎨⎧直线与平面相交（直线与平面有唯一公共点）直线在平面内（直线与平面有无数公共点）(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线.答案 B3.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.答案①②4.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.基础过关1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行解析如图所示，选D.答案 D2.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.AB⊂α解析结合图形可知选项C正确.答案 C3.α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是()A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β解析A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α、β一定无公共点，故选D.答案 D4.若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个.解析当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个.答案 15.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条.解析以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论.答案1或36.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.解(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.7.已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.解已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：b⊂α.证明如图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a，∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，∴a与c无公共点.∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，∴b与c重合.∴b⊂α.能力提升8.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.答案 D9.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.答案 B10.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线②必相交于一点③必相交于一条直线④必相交于三条平行线解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.答案①11.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.探究创新12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？解三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.。

高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系 (17)

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③a.若直线 a⊂平面 α，a，b 异面，则 b 与 α 的关系为________． b．若直线 a⊂平面 α，a，b 相交，则 b 与 α 的关系为________．【答案】 a．平行或相交 b．相交或 b⊂α
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题型二平面与平面之间的位置关系例 2 (1)已知平面 α，β ，且 α∥β ，直线 a⊂α，直线 b ⊂β，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形． (2)已知平面 α，β，直线 a，b，且 a⊂α，b⊂β，α∩β＝ l，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形．
B．m∥α D．m 在平面 α 外
【答案】 A
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②若直线 l∩平面 α＝A，直线 b⊂α，则 l 与 b 的位置关系为________．
【答案】相交或异面
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③若直线 l∩平面 α＝A，l 与直线 b 相交或异面，则 b 与 α 的位置关系为________．
【答案】相交、平行或 b⊂α
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(3)若三个平面两两相交，则它们将空间分六、七或八个部分，如图③，④，⑤.
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探究 3 本题考查了空间想象能力，分类讨论思想，相交平面的画法．
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解立体几何题时，比如直线与几个平面之间的位置关系，你可以把手中的笔当成直线，把课桌或者课本当作平面，把教室当作长方体，这样就将抽象的东西变得具体了．平时，动手做一些立体模型，如长方体、立方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体模型，这些都是建立空间想象力的途径．
例 1 下列说法：
①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；