2010江门调研高三数学(理)

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江门市2010年高考模拟考试数学(理科含答案)

江门市2010年高考模拟考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知ABCD 是复平面内一个平行四边形，对应的复数为i +1，对应的复数为i 23-，其中 i 为虚数单位．则对应的复数为A.i 32-B.i 32+-C.i -4D.i +-4 ⒉已知集合{}是菱形或矩形x x A |=，{}是矩形x x B |=，则=B C AA.{}是菱形x x |B.{}形是内角都不是直角的菱x x |C.{}是正方形x x |D.{}是邻边都不相等的矩形x x |⒊已知)sin(ϕω+=x A y 的最大值为1，在区间32, 6[ππ上，函数值从1减小到1-，函数图象（如图1）与y 轴的交点P 坐标是A.)21 , 0(B.)22, 0( C.23, 0( D.⒋经过25)2()1(22=++-y x 的圆心，且与向量)4 , 3(-=a 垂直的直线的方程是A.01143=--y xB.01143=+-y xC.0134=-+y xD.0234=++y x ⒌已知0>a ，0>b ，12=+b a ，则ba 11+的取值范围是 A.)6 , (-∞ B.) , 4[∞+ C.) , 6[∞+ D.) , 223[∞++ ⒍从一个三棱柱111C B A ABC -的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是A.51 B.52 C.53 D.54 ⒎若)()21(2010201022102010R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则=++++20102010221002222a a a a A.1- B.0 C.1 D.2010A CD EO 图2B ⒏用{}c b a , , max 表示a 、b 、c 三个数中的最大值，则{}243 , 12 , 3max )(x x x f x -+=在区间]2 , 0[上的最大值M 和最小值m 分别是A ．9=M ，13-=mB ．5=M ，13-=mC ．9=M ，2=mD ．5=M ，1=m二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．㈠必做题（9～13题）⒐某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为1200、1200、1100，现要从中抽取140名学生参加周末公益活动，若用分层抽样的方法，则高三年级应抽取人． ⒑下列命题中，真命题是（将真命题前面的编号填写在横线上）． ①已知平面α、β和直线a 、b ，若a =βα ，α⊂b 且b a ⊥，则βα⊥．②已知平面α、β和两异面直线a 、b ，若α⊂a ，β⊂b 且β//a ，α//b ，则βα//． ③已知平面α、β、γ和直线l ，若γα⊥，γβ⊥且l =βα ，则γ⊥l ． ④已知平面α、β和直线a ，若βα⊥且β⊥a ，则α⊂a 或α//a ． ⒒由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ． ⒓函数)1(log 1|2|)(2---=x x x f 的定义域为．⒔产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数1X 、2X 的分布列分别如下：两台机床中，较好的是，这台机床较好的理由是．㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做两题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==my x θθsin cos （m 是常数，] , (ππθ-∈是参数），若曲线C 与x 轴相切，则=m ． ⒖（几何证明选讲选选做题）如图2，ABC Rt ∆中，090=C ，30=A ，圆O 经过B 、C 且与AB 、AC 相交于D 、E ．若32==EC AE ，则=AD ，圆O 的半径=r ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

江门市2010年初中毕业生学业水平调研测试数学试题及答案

1江门市2010年初中毕业生学业水平调研测试数学说明：⒈ 全卷共8页，22题，考试时间为100分钟，满分120分．⒉ 答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在密封线左边的空格内． ⒊ 答题可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔． ⒋ 考试结束时，将试卷交回．一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内。

1．下列各数中，负整数是（）A ．1-B ．π-C ．0D ．3-2．某省在“扩内需促增长”中计划总投资2.37万亿元，推进新十项工程建设，以新十项工程的大投入带动全省新一轮大发展。

用科学计数法表示这个总投资是（）A ．101037. 2⨯元 B ．111037. 2⨯元 C ．121037. 2⨯元 D ．131037. 2⨯元 3．图1是某个几何体的平面展开图，这个几何体是（） A ．长方体 B ．三棱柱 C ．三棱锥 D ．圆柱4．下列多项式中，完全平方式是（） A ．22--x x B ．22+-x xC ．122--x x D ．122+-x x5．学校教职工一般由管理人员、后勤人员和专任教师三部分组成，图2所示的扇形统计图表示某校教职工人数的分布情况。

已知该校有14位后勤人员，则该校教职工总人数是（） A ．49人 B ．70人 C ．140人 D ．280人2二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将各题答案填写在相应的横线上。

6．国家实施惠农政策后，某镇农民2009年人均收入达到 a 万元，预计2010年人均收入将在2009年基础上提高20%，则该镇农民2010年人均收入为． 7．函数321++=x x y 中，自变量 x 的取值范围是． 8．)3 , 2(-P 是反比例函数xky =的图象上一点，则=k ． 9．在一个不透明的布袋中有编号依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10个小球，它们除编号不同外其他都相同。

广东江门市2025届高三上学期10月调研测试数学试题(解析版)

江门市2025届普通高中高三调研测试数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}{}2090,1,2,3A x x =∈≤≤=N∣， {}{}0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x =∈≤≤=N ∣，所以{}0,1,2,3A B ∩=. 故选：D .2. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断. 【详解】由()331m n +=⇒1m n +=⇒122m n +=，又122m m +<，所以22m n <，故“33(1)m n +=”是“22m n <”的充分条件；又若22m n <，如0m =，2n =，此时33(1)m n +=不成立，所以“33(1)m n +=”是“22m n <”的不必要条件. 综上：“33(1)m n +=”是“22m n <”充分不必要条件. 故选：A3. 下列命题为真命题的是（） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b cb bc b b c +−+−+−==+++，因0a b c >>>，所以()0,0a b b b c −>+>，所以()()0c a b a a c b b c b b c −+−=>++，即a a cb b c+>+，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，所以11a b<，又0c <，所以c ca b>，故B 错误；对于C ，当0c =时，220ac bc ==，故C 错误；对于D ，若a b >，则2,2a a b a b b >++>，的为所以2a ba b +>>，故D 正确. 故选：D.4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（）A.83B.103C.72827D.73027【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得答案. 【详解】因为21ln e ln 3ln e 2=<<=所以3ln27ln 33ln 33==>，又因为()e e ,2,23x x x f x x f x − +≤ =>，所以()()1ln ln3ln33ln273ln3110ln27ln3e e 3e 33333f f f f − ====+=+=+=. 故选：B.5. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x = D. cos y x =【答案】D 【解析】【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．【详解】对于A ：由sin 1s 1π3π2in 2−−==−，，可知π不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；对于B ：()cos ,0cos ,0coscos cos ,0cos ,0x x x x yx x x x x x ≥≥ === −<< ，其最小正周期为2π，故错误；对于C ：tan y x =满足()tan tan x x π+=，以π为周期，当π,π2x∈时，tan tan y x x ==−，由正切函数的单调性可知tan tan y x x ==−在区间π,π2 上单调递减，故错误；对于D ，cos y x =满足()cos πcos x x +=，以π为周期，当π,π2x∈时，cos cos y x x ==−，由余弦函数的单调性可知，cos y x =−在区间π,π2 上单调递增，故正确；故选:D6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（）A.B.15C.D.110【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 棱长为2，因为,2AE EB FC BF ==，则()0,1E ，()0,2A ，()2,2D ，2,03F，所以2,23AF=−，()2,1DE =−−，所以cos cos ,EMFAF DE ∠== 故选：C的7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（）1.41≈） A. 1.5 B. 1.8C. 2.0D. 2.1【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出a 的值，再根据两个等式相除可求得结果.【详解】由题可得()()ln 10.4ln 30.8m a m a +=+=，两式相除可得()()ln 32ln 1a a +=+，则()()ln 32ln 1a a +=+，()231a a +=+，∵0a >，解得1a =，设t 天后金针菇失去的新鲜度为60%，则()ln 10.6m t +=，又()110.4mln +=， ∴()ln 13ln 22t +=，()2ln 13ln 2t +=，()23128t +==，12 1.41 2.82t +==×=，则 2.821 1.82 1.8t =−=≈，故选：B.8. 已知各项都为正数数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a < D. 201204a <【答案】B 【解析】【分析】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N 得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，由题意，12n n n a a a −−>+，根据递推公式可验证B ，通过对3a 赋值，可验证ACD.【详解】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，的得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，因为数列{aa nn }各项都为正数，所以10n n a a −>+，故()120n n n a a a −−−+>，即12n n n a a a −−>+，所以321213a a a >+=+=，对于A ，设34a =，则432426a a a >+=+=，设47a =，则5437411a a a >+=+=，设512a =，则65412719a a a >+=+=，设620a =，则765201232a a a >+=+=，设733a =，则876332053a a a >+=+=，则8a 可以为54124<，故A 错误；对于B ，432325a a a >+>+>，543538a a a >+>+>，6548513a a a >+>+>，76513821a a a >+>+>， 876211334a a a >+>+>， 987342155a a a >+>+>， 1098553489a a a >+>+>，111098955144a a a >+>+>， 12111014489233a a a >+>+>，131211233144377a a a >+>+>， 141312377233610a a a >+>+>，151413610377987a a a >+>+>， 1615149876101597a a a >+>+>，17161515979872584a a a >+>+>， 181716258415974181a a a >+>+>，191817418125846765a a a >+>+>，20191867654184109461024a a a >+>+>>，故B 正确；对于C ，若3124a =，由于12n n n a a a −−>+，则8124a >，故C 错误；对于D ，若31024a =，由于12n n n a a a −−>+，则201024a >，故D 错误；故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0−C. 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由题可得()10f ′=，据此得c 的可能值，验证后可判断选项正误；B 选项，由A 分析，可得()1xf x +表达式，解相应不等式可判断选项正误；C 选项，由A 分析结合cos x ，2cos x 大小关系可判断选项正误；D 选项，由A 分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A 选项，由题()3222f x x cx c x =−+，则()2234f x x cx c =−+′，因在1x =处取得极大值，则()214301f c c c +′=−=⇒=或3c =.当1c =时，()2341f x x x ′=−+，令()()10,1,3f x x ∞∞ >⇒∈−∪+ ′；()10,13f x x <⇒∈′.则()f x 在()1,1,3∞∞−+ ，上单调递增，在1,13上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；当3c =时，()23129f x x x =−+′，令()()()0,13,f x x ∞∞>⇒∈−∪+′；()()01,3f x x <⇒∈′.则()f x 在()(),13,∞∞−+，上单调递增，在()1,3上单调递减，则()f x 在1x =处取得极大值，满足题意；则3c =，故A 错误；B 选项，由A 可知，()()23f x x x =−，则()()()()()21120101,0xf x x x x x x x +=+−<⇒+<⇒∈−.故B 正确； C 选项，当π02x <<，则，则2cos cos x x <，由A 分析，()f x 在(0,1)上单调递增，则()()2cos cos f x f x >，故C 正确；D 选项，令22x m x n +=−=，，由A 可知，()3269f x x x x =−+.则()()()()22f x f x f m f n ++−=+()()()()32322222696969m m m n n n m n m mn n m n m n =−++−+=+−+−+++，又4m n+=，则()()()()22242363624f m f n mn m n m n +=−−++=−+=，故D 正确. 故选：BCD10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =【答案】ACD 【解析】【分析】根据余弦定理可得π3A ∠=，进而可得面积判断A ，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC ，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，由余弦定理可知222116131cos 22142AB AC BC BAC AB AC +−+−∠===⋅××，而BAC ∠为三角形内角，故π3BAC ∠=，sin BAC ∠，所以ABC面积11sin 1422S AB AC BAC =⋅⋅∠=××=A 选项正确； 1cos 1422BA CA AB AC AB AC BAC ⋅=⋅=⋅⋅∠=××= ，B 选项错误；由点E 为AC 中点，则12BE AE AB AC AB =−=−，所以222211412324BE AC AB AC AB AB AC =−=+−⋅=+−=，则BE = ，C 选项正确；由AD 为BAC ∠的角平分线，则π6BAD CAD ∠=∠=，所以1sin sin 2S AB AD BAD AC AD CAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠，111151422224AD AD AD =××+××=，则AD =D 选项正确；故选：ACD.11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 【答案】ACD 【解析】【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC 选项的正误；利用导数法可判断D 选项的正误.【详解】()2442222221()sin cos cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+−=−11cos 43cos 41224x x −+=−×=，所以()f x 的最小正周期为2ππ=42T =，故A 正确；令π4π2xk =+，可得ππ,Z 84k x k =+∈,所以()2f x 的图象关于点()ππ3,Z 484k k+∈对称，故B 错误；对于C ： ()()()()()2222sin cos sin cos nnnnf x x x x x πππ −=−+−=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，C 对；对于D: ，因为()()2222sin cos cos sin 222nnnnf x x x x x πππ+=+++=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以，函数()f x 为周期函数，且π2是函数()f x 的一个周期，只需求出函数()f x 在0,2π上的值域，即为函数()f x 在R 上的值域，()22sin cos n n f x x x =+ ，则()()212122222sin cos 2cos sin 2sin cos sin cos n n n n f x n x x n x x n x x x x −−−−−′−=，当,42x ππ ∈ 时，0cos sin 1x x <<<<，因为2n ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−>，此时ff ′(xx )>0，所以，函数()f x 在ππ,42上单调递增，当0,4x π∈时，0sin cos 1x x <<<<，因为2k ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−<，此时ff ′(xx )<0，所以，函数()f x 在0,4π上单调递减，所以，当π0,2 ∈ x 时，()1min π112422n n f x f − ==×=，又因为()π012f f ==，则()max 1f x =，因此，函数()f x 的值域为11,12n −，D 对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______．【答案】10,e##(10,e − 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调递减区间.【详解】函数的定义域为()0,∞+，∵()ln 1f x x ′=+，令ln 10x +≤得10ex <≤， ∴函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间是10,e．故答案为：10,e13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.【答案】()sin 1cos x x −+ 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，所以当0x <时，则0x −>，所以()()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x −=−+−=−+ ，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()sin 1cos f x f x x x =−=−+. 故答案为：()sin 1cos x x −+.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________.【答案】2+. 【解析】【分析】先将所求式子化简4848b b a b a b b ++=++，再根据基本不等式得到48a b+的最小值，则可判断当0b <，求得最小值.【详解】根据题意：4848b b a b a b b++=++，若0b >，则1||b b =，若0b >，则1||=−b b ，因为0,0a b >≠，则||0b >，481482()()34b a a b a b a b a b +=++=++33≥++当且仅当2b aab=即1),4(2a b ==时取等号;则当0b <时，48481b a b a b++=+−的最小值是312+=+，当且仅当1),2)a b ==时取等号.故答案为：2+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 【答案】（1）2425−（2）3365或6365− 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；（2）利用角的变换()cos cos βαβα=+− ，再结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由题意可知，()4,3P −，则=5r ，则3sin 5α=−，4cos 5α=， 24sin 22sin cos 25ααα==−；【小问2详解】()5sin 13αβ+=，所以()12cos 13αβ+=±，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，当()12cos 13αβ+=，所以1245333cos 13513565β =×+×−= ，当()12cos 13αβ+=−，所以1245363cos 13513565β=−×+×−=−，综上可知，cos β的值为3365或6365− 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列；（2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 【答案】（1）证明见解析（2）99 【解析】【分析】（1）利用退一相减法可得n a 及2log n a ，即可得证；（2）根据等差数列求和公式可得()1n T n n =+，则()111111n T n n n n ==−++，利用裂项相消法可得1231111111n T T T T n ++++=−+ ，解不等式即可. 【小问1详解】由已知1344n n S +=−，当1n =时，211334412a S ==−=，即14a =；当2n ≥时，1344nn S −=−，则11333444434n n n n n n a S S +−=−=−−+=⋅，即4n n a =，又1n =时，14a =满足4nn a =，所以242n nna ==，设222log log 22nn n b a n ===，()12122n n b b n n +−=+−=，即数列{bb nn }为等差数列，即数列{}2log n a 为以2为首项2为公差的等差数列；【小问2详解】由等差数列可知()()()122122n nb b n n nT n n ++===+，则()111111n T n n n n ==−++，所以1231111n T T T T ++++ 1111112231n n =−+−++−+ 11n 1=−+，即110011101n −<+，N n +∈，解得100n <，即满足条件的最大整数99n =.17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =；（3）求rR 取值范围：【答案】（1（2）证明见解析（3）3,24【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos A ，进而求得sin A . （2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3）用b 表示rR ，然后利用导数求得rR 的取值范围. 【小问1详解】 ∵4a =,b =,c =由余弦定理，得2221cos 23b c a A bc +−== ，∵0πA <<,sin A ∴.【小问2详解】∵ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ，的∴()11112222S a r b r c r a b c r =×+×+×=++, 又∵1()2pa b c =++,∴S pr =，∴S r p =.【小问3详解】由正弦定理得2sin aR A=,得2sin 2sin 42sin R A A a A ===, 因为4a =,3c b =，由（2）得1(43)(22)2S pr r b b b r ==++=+，又因为213sin sin 22b S bc A A ==×，所以23sin 4(1)b A r b =+, 所以2321b Rr b=×+, 由3443b b b b +>+>,解得12b <<,令23()(12)2(1)b f b b b =<<+，()()()232021b b f b b +=>+′，则()f b 在(1,2)上单调递增, 所以()243f b <<, 故rR 的取值范围为3,24. 18. 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，【答案】（1）10x y −−=（2）证明见解析（3）(0,1)(1,)∪+∞ 【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（3）利用构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围. 【小问1详解】 1()f x x′=，则(1)1,(1)0k f f ===′.()f x ∴在1x =处的切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 【小问2详解】令1()()()ln 1,(0,)h x f x g x x x x∞=−=+−∈+ 22111()x h x x x x −′=−=.令21()0x h x x ′−==，解得1x =. 01,()0x h x ′∴<<<；1,()0x h x ′>>.()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.()(1)0h x h ≥=，即()()f x g x ≥.【小问3详解】令1()()()ln 1,(0,)m x f x g x a x x x∞=−=+−∈+，问题转化为()m x 在(0,)+∞上有两个零点.2211()a ax m x x x x−=−=′.①当0a ≤时，()0m x ′<，()m x 在(0,)+∞递减，()m x 至多只有一个零点，不符合要求.②当0a >时，令()0m x ′=，解得1x a= 当10x a<<时，()0m x ′<，()m x 递减；当1x a>时，()0m x ′>，()m x 递增. 所以11()ln 1ln 1m x m a a a a a a a ≥=+−=−−.当1a =时，1(1)0m ma==，()m x 只有一个零点，不合题意. 令()ln 1,()ln a a a a a a ϕϕ′=−−=−，当01a <<时，()ln 0ϕ′=−>a a ，所以()a φ在(0,1)递增，()(1)0a ϕϕ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ ==< ，111111(e )ln e 10e e a aa am a =+−=>， 111,e ax a ∴∃∈，使得1()0m x =，故01a <<满足条件.当1a >时，()ln 0a a ϕ′=−<，所以()a φ在(1,)+∞递减，()(1)0a φφ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ==< ，21(e )ln e 1e 10ea a a a m a a −−−+−−−> 21e ,a x a −∴∃∈，使得2()0m x =，故1a >满足条件.综上所述：实数a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()0ff x x=，证明：()00f x x =.【答案】（1）()00f = （2）是，理由见解析. （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值. （2）根据给出的条件，逐一验证即可.（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明. 【小问1详解】由条件（1）可知：()00f ≥；结合条件（3），令120x x ==，则()()020f f ≥⇒()00f ≤. 所以：()00f =. 【小问2详解】函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是“友谊函数”.理由如下：对条件（1）：因为()00g =，()3ln 31xgx ′=−，当[]0,1x ∈时，()0g x ′>，所以()g x 在[0,1]上单调递增，所以()0g x ≥，[]0,1x ∈. 对条件（2）：()13111g =−−=.对条件（3）：设120,0x x ≥≥，且121x x +≤，则：()()()1212g x x g x g x +−+ ()()()12121212313131x x x x x x x x + −+−−−−−−−12123331x x x x +=−−+()()123131x x =−−0≥.所以：()()()1212g x x g x g x +≥+.综上可知：函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是“友谊函数”.【小问3详解】设1201x x ≤<≤且121x x +≤，则210x x −>，所以()()()()211211f x f x f x x x f x −=+−− ()()()1211f x f x x f x ≥+−−()21f x x −0≥所以函数()f x 在[0,1]上单调递增. 下面用反证法证明：()00f x x =.假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <.若()00f x x >，则()()000f x f f x x <= ，这与()00f x x >矛盾；若()00f x x <，则()()000f x f f x x >=，这与()00f x x <矛盾. 故假设不成立，所以()00f x x =.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破口.。

广东省江门市届高三12月调研考试数学理试题Word版含答案

江门市2017届普通高中高三调研测试数学（理科）试题2016.12第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．错误！未找到引用源。

是虚数单位，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．1B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

3．在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

边的中点，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

4．若等差数列错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的前2016项之和错误！未找到引用源。

A ．1506B ．1508C ．1510D ．15125．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

6．在平面直角坐标系中，“直线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

平行”是“错误！未找到引用源。

”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是8．如图，空间四边形错误！未找到引用源。

中，点错误！未找到引用源。

分别错误！A B C D A B C D 1111E未找到引用源。

上，错误！未找到引用源。

高三数学一轮复习教案全套练习及详细解析(教师版)

第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1,2}，B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{x |x ∈A }知，B ＝{1,2}．答案：A ＝B 2．若∅{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，x 2≤a 有解，故a ≥0.答案：a ≥03．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y |y ≥－2}，∴BA .答案：BA4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={x|x 2+x=0}，得N ={-1,0}，则NM .答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5.答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B .B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1.答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若NM ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件 8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A . ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎨⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2. (2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0.答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意； (ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0，∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )， ∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧20003x(0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x(87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围.解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x )x ∈R ，x 2－bx ＋b <0Δ＝(－b )2－4b >0b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23)5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9.B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n－1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组 1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎨⎧0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎨⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 36．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t2－k ＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t ＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0整理得23t2－2t －k>1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：② 2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎨⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x·g (x )得f (x )g (x )＝a x，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e －x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________．解析：函数y ＝2|x |的图象如图．。

{高中试卷}广东省江门市高三调研测试数学(理)试题

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：江门市20XX年普通高中高三调研测试数学理科试题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥是锥体的底面积，体的高．如果事件、互斥，那么．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知，，则A．B．C．D．⒉已知，，则A．B．C．D．⒊已知命题：；命题：复平面内表示复数（，是虚数单位）的点位于直线上。

则命题是命题的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件⒋函数在其定义域上是A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的偶函数⒌某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格。

质检人员从中随机抽出2听，检出不合格产品的概率A．B．C．D．⒍以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是A．B．C．D．⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积A．B． C．D．⒏输入正整数（）和数据，，…，，如果执行如图2的程序框图，输出的是数据，，…，的平均数，则框图的处理框★中应填写的是A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）⒐已知等差数列的首项，前三项之和，则的通项．图⒑已知、满足约束条件，则的最大值是．⒒已知是正整数，若，则的取值范围是． ⒓与圆：关于直线：对称的圆的方程是． ⒔曲线上任意一点到直线的距离的最小值是．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心。

已知，，。

则圆的半径．⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）在中，角、、所对的边长分别为、、，已知．⑴求角的大小； ⑵若，，求的值．⒘（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，，，是平面上一点，使三角形的周长为．⑴求点的轨迹方程；图4⑵在点的轨迹上是否存在点、，使得顺次连接点、、、所得到的四边形是矩形？若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请简要说明理由．⒙（本小题满分14分）如图4，四棱锥中，底面，是直角梯形，为的中点，，，，．⑴求证：平面；⑵求与平面所成角的正弦值．⒚（本小题满分14分）如图5所示，有两个独立的转盘（A）、（B），其中三个扇形区域的圆心角分别为、、。

2024-2025学年广东省江门市高三上学期10月调研数学试题及答案

江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,32. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（） A 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3. 下列命题为真命题的是（） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> ..4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（）A.83B.103C.72827D.730275. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x =D. cos y x =6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（）A.B.15C.D.1107. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（）1.41≈） A. 1.5B. 1.8C. 2.0D. 2.18. 已知各项都为正数的数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a <D. 201204a <二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0− C 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=.10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______．13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 16. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列；（2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内的切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =；（3）求rR 的取值范围： 18 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()0f f x x=，证明：()00f x x =..江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}{}2090,1,2,3A x x =∈≤≤=N∣， {}{}0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x =∈≤≤=N ∣，所以{}0,1,2,3A B ∩=. 故选：D .2. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断. 【详解】由()331m n +=⇒1m n +=⇒122m n +=，又122m m +<，所以22m n <，故“33(1)m n +=”是“22m n <”的充分条件；又若22m n <，如0m =，2n =，此时33(1)m n +=不成立，所以“33(1)m n +=”是“22m n <”的不必要条件. 综上：“33(1)m n +=”是“22m n <”充分不必要条件. 故选：A3. 下列命题为真命题的是（） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b cb bc b b c +−+−+−==+++，因0a b c >>>，所以()0,0a b b b c −>+>，所以()()0c a b a a c b b c b b c −+−=>++，即a a cb b c+>+，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，所以11a b<，又0c <，所以c ca b>，故B 错误；对于C ，当0c =时，220ac bc ==，故C 错误；对于D ，若a b >，则2,2a a b a b b >++>，的为所以2a ba b +>>，故D 正确. 故选：D.4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（）A.83B.103C.72827D.73027【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得答案. 【详解】因为21ln e ln 3ln e 2=<<=所以3ln27ln 33ln 33==>，又因为()e e ,2,23x x x f x x f x − +≤ =>，所以()()1ln ln3ln33ln273ln3110ln27ln3e e 3e 33333f f f f − ====+=+=+=. 故选：B.5. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x = D. cos y x =【答案】D 【解析】【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．【详解】对于A ：由sin 1s 1π3π2in 2−−==−，，可知π不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；对于B ：()cos ,0cos ,0coscos cos ,0cos ,0x x x x yx x x x x x ≥≥ === −<< ，其最小正周期为2π，故错误；对于C ：tan y x =满足()tan tan x x π+=，以π为周期，当π,π2x∈时，tan tan y x x ==−，由正切函数的单调性可知tan tan y x x ==−在区间π,π2 上单调递减，故错误；对于D ，cos y x =满足()cos πcos x x +=，以π为周期，当π,π2x∈时，cos cos y x x ==−，由余弦函数的单调性可知，cos y x =−在区间π,π2 上单调递增，故正确；故选:D6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（）A.B.15C.D.110【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 棱长为2，因为,2AE EB FC BF == ，则()0,1E ，()0,2A ，()2,2D ，2,03F，所以2,23AF=−，()2,1DE =−−，所以cos cos ,EMFAF DE ∠== .故选：C的7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（）1.41≈） A. 1.5 B. 1.8C. 2.0D. 2.1【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出a 的值，再根据两个等式相除可求得结果.【详解】由题可得()()ln 10.4ln 30.8m a m a +=+=，两式相除可得()()ln 32ln 1a a +=+，则()()ln 32ln 1a a +=+，()231a a +=+，∵0a >，解得1a =，设t 天后金针菇失去的新鲜度为60%，则()ln 10.6m t +=，又()110.4mln +=， ∴()ln 13ln 22t +=，()2ln 13ln 2t +=，()23128t +==，12 1.41 2.82t +==×=，则 2.821 1.82 1.8t =−=≈，故选：B.8. 已知各项都为正数数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a < D. 201204a <【答案】B 【解析】【分析】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N 得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，由题意，12n n n a a a −−>+，根据递推公式可验证B ，通过对3a 赋值，可验证ACD.【详解】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，的得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，因为数列{aa nn }各项都为正数，所以10n n a a −>+，故()120n n n a a a −−−+>，即12n n n a a a −−>+，所以321213a a a >+=+=，对于A ，设34a =，则432426a a a >+=+=，设47a =，则5437411a a a >+=+=，设512a =，则65412719a a a >+=+=，设620a =，则765201232a a a >+=+=，设733a =，则876332053a a a >+=+=，则8a 可以为54124<，故A 错误；对于B ，432325a a a >+>+>，543538a a a >+>+>，6548513a a a >+>+>，76513821a a a >+>+>， 876211334a a a >+>+>， 987342155a a a >+>+>， 1098553489a a a >+>+>，111098955144a a a >+>+>， 12111014489233a a a >+>+>，131211233144377a a a >+>+>， 141312377233610a a a >+>+>，151413610377987a a a >+>+>， 1615149876101597a a a >+>+>，17161515979872584a a a >+>+>， 181716258415974181a a a >+>+>，191817418125846765a a a >+>+>，20191867654184109461024a a a >+>+>>，故B 正确；对于C ，若3124a =，由于12n n n a a a −−>+，则8124a >，故C 错误；对于D ，若31024a =，由于12n n n a a a −−>+，则201024a >，故D 错误；故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0−C. 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由题可得()10f ′=，据此得c 的可能值，验证后可判断选项正误；B 选项，由A 分析，可得()1xf x +表达式，解相应不等式可判断选项正误；C 选项，由A 分析结合cos x ，2cos x 大小关系可判断选项正误；D 选项，由A 分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A 选项，由题()3222f x x cx c x =−+，则()2234f x x cx c =−+′，因在1x =处取得极大值，则()214301f c c c +′=−=⇒=或3c =.当1c =时，()2341f x x x ′=−+，令()()10,1,3f x x ∞∞ >⇒∈−∪+ ′；()10,13f x x <⇒∈′.则()f x 在()1,1,3∞∞−+ ，上单调递增，在1,13上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；当3c =时，()23129f x x x =−+′，令()()()0,13,f x x ∞∞>⇒∈−∪+′；()()01,3f x x <⇒∈′.则()f x 在()(),13,∞∞−+，上单调递增，在()1,3上单调递减，则()f x 在1x =处取得极大值，满足题意；则3c =，故A 错误；B 选项，由A 可知，()()23f x x x =−，则()()()()()21120101,0xf x x x x x x x +=+−<⇒+<⇒∈−.故B 正确； C 选项，当π02x <<，则，则2cos cos x x <，由A 分析，()f x 在(0,1)上单调递增，则()()2cos cos f x f x >，故C 正确；D 选项，令22x m x n +=−=，，由A 可知，()3269f x x x x =−+.则()()()()22f x f x f m f n ++−=+()()()()32322222696969m m m n n n m n m mn n m n m n =−++−+=+−+−+++，又4m n+=，则()()()()22242363624f m f n mn m n m n +=−−++=−+=，故D 正确. 故选：BCD10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =【答案】ACD 【解析】【分析】根据余弦定理可得π3A ∠=，进而可得面积判断A ，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC ，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，由余弦定理可知222116131cos 22142AB AC BC BAC AB AC +−+−∠===⋅××，而BAC ∠为三角形内角，故π3BAC ∠=，sin BAC ∠，所以ABC面积11sin 1422S AB AC BAC =⋅⋅∠=××=A 选项正确； 1cos 1422BA CA AB AC AB AC BAC ⋅=⋅=⋅⋅∠=××= ，B 选项错误；由点E 为AC 中点，则12BE AE AB AC AB =−=− ，所以222211412324BE AC AB AC AB AB AC =−=+−⋅=+−=，则BE = ，C 选项正确；由AD 为BAC ∠的角平分线，则π6BAD CAD ∠=∠=，所以1sin sin 2S AB AD BAD AC AD CAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠，111151422224AD AD AD =××+××=，则AD =D 选项正确；故选：ACD.11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 【答案】ACD 【解析】【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC 选项的正误；利用导数法可判断D 选项的正误.【详解】()2442222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+−=−11cos 43cos 41224x x −+=−×=，所以()f x 的最小正周期为2ππ=42T =，故A 正确；令π4π2xk =+，可得ππ,Z 84k x k =+∈,所以()2f x 的图象关于点()ππ3,Z 484k k+∈对称，故B 错误；对于C ： ()()()()()2222sin cos sin cos nnnnf x x x x x πππ −=−+−=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，C 对；对于D: ，因为()()2222sin cos cos sin 222nnnnf x x x x x πππ+=+++=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以，函数()f x 为周期函数，且π2是函数()f x 的一个周期，只需求出函数()f x 在0,2π上的值域，即为函数()f x 在R 上的值域， ()22sin cos n n f x x x =+ ，则()()212122222sin cos 2cos sin 2sin cos sin cos n n n n f x n x x n x x n x x x x −−−−−′−=，当,42x ππ∈时，0cos sin 1x x <<<<，因为2n ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−>，此时ff ′(xx )>0，所以，函数()f x 在ππ,42上单调递增，当0,4x π∈时，0sin cos 1x x <<<<，因为2k ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−<，此时ff ′(xx )<0，所以，函数()f x 在0,4π上单调递减，所以，当π0,2 ∈ x 时，()1min π112422n n f x f − ==×=，又因为()π012f f ==，则()max 1f x =，因此，函数()f x 的值域为11,12n −，D 对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______．【答案】10,e##(10,e − 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调递减区间.【详解】函数的定义域为()0,∞+，∵()ln 1f x x ′=+，令ln 10x +≤得10ex <≤， ∴函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间是10,e．故答案为：10,e13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.【答案】()sin 1cos x x −+ 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，所以当0x <时，则0x −>，所以()()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x −=−+−=−+ ，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()sin 1cos f x f x x x =−=−+. 故答案为：()sin 1cos x x −+.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________.【答案】2+. 【解析】【分析】先将所求式子化简4848b b a b a b b ++=++，再根据基本不等式得到48a b+的最小值，则可判断当0b <，求得最小值.【详解】根据题意：4848b b a b a b b++=++，若0b >，则1||b b =，若0b >，则1||=−b b ，因为0,0a b >≠，则||0b >，481482()()34b a a b a b a b a b +=++=++33≥++当且仅当2b aab=即1),4(2a b =−=−时取等号;则当0b <时，48481b a b a b++=+−的最小值是312+−=+当且仅当1),2)a b =−=−时取等号.故答案为：2+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 【答案】（1）2425−（2）3365或6365− 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；（2）利用角的变换()cos cos βαβα=+− ，再结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由题意可知，()4,3P −，则=5r ，则3sin 5α=−，4cos 5α=， 24sin 22sin cos 25ααα==−；【小问2详解】()5sin 13αβ+=，所以()12cos 13αβ+=±，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，当()12cos 13αβ+=，所以1245333cos 13513565β =×+×−= ，当()12cos 13αβ+=−，所以1245363cos 13513565β=−×+×−=−，综上可知，cos β的值为3365或6365− 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列；（2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 【答案】（1）证明见解析（2）99 【解析】【分析】（1）利用退一相减法可得n a 及2log n a ，即可得证；（2）根据等差数列求和公式可得()1n T n n =+，则()111111n T n n n n ==−++，利用裂项相消法可得1231111111n T T T T n ++++=−+ ，解不等式即可. 【小问1详解】由已知1344n n S +=−，当1n =时，211334412a S ==−=，即14a =；当2n ≥时，1344nn S −=−，则11333444434n n n n n n a S S +−=−=−−+=⋅，即4n n a =，又1n =时，14a =满足4nn a =，所以242n nna ==，设222log log 22nn n b a n ===，()12122n n b b n n +−=+−=，即数列{bb nn }为等差数列，即数列{}2log n a 为以2为首项2为公差的等差数列；【小问2详解】由等差数列可知()()()122122n nb b n n nT n n ++===+，则()111111n T n n n n ==−++，所以1231111n T T T T ++++ 1111112231n n =−+−++−+ 11n 1=−+，即110011101n −<+，N n +∈，解得100n <，即满足条件的最大整数99n =.17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =；（3）求rR 取值范围：【答案】（1（2）证明见解析（3）3,24【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos A ，进而求得sin A . （2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3）用b 表示rR ，然后利用导数求得rR 的取值范围. 【小问1详解】 ∵4a =,b =,c =,由余弦定理，得2221cos 23b c a A bc +−== ，∵0πA <<,sin A ∴.【小问2详解】∵ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ，的∴()11112222S a r b r c r a b c r =×+×+×=++, 又∵1()2pa b c =++,∴S pr =，∴S r p =.【小问3详解】由正弦定理得2sin aR A=,得2sin 2sin 42sin R A A a A ===, 因为4a =,3c b =，由（2）得1(43)(22)2S pr r b b b r ==++=+，又因为213sin sin 22b S bc A A ==×，所以23sin 4(1)b A r b =+, 所以2321b Rr b =×+, 由3443b b b b +>+>,解得12b <<, 令23()(12)2(1)b f b b b =<<+，()()()232021b b f b b +=>+′，则()f b 在(1,2)上单调递增, 所以()243f b <<, 故rR 的取值范围为3,24. 18. 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，【答案】（1）10x y −−=（2）证明见解析（3）(0,1)(1,)∪+∞ 【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（3）利用构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围. 【小问1详解】 1()f x x′=，则(1)1,(1)0k f f ===′.()f x ∴在1x =处的切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 【小问2详解】令1()()()ln 1,(0,)h x f x g x x x x∞=−=+−∈+ 22111()x h x x x x −′=−=.令21()0x h x x ′−==，解得1x =. 01,()0x h x ′∴<<<；1,()0x h x ′>>.()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.()(1)0h x h ≥=，即()()f x g x ≥.【小问3详解】令1()()()ln 1,(0,)m x f x g x a x x x∞=−=+−∈+，问题转化为()m x 在(0,)+∞上有两个零点.2211()a ax m x x x x−=−=′.①当0a ≤时，()0m x ′<，()m x 在(0,)+∞递减，()m x 至多只有一个零点，不符合要求.②当0a >时，令()0m x ′=，解得1x a= 当10x a<<时，()0m x ′<，()m x 递减；当1x a>时，()0m x ′>，()m x 递增. 所以11()ln 1ln 1m x m a a a a a a a≥=+−=−−.当1a =时，1(1)0m m a==，()m x 只有一个零点，不合题意. 令()ln 1,()ln a a a a a a ϕϕ′=−−=−，当01a <<时，()ln 0ϕ′=−>a a ，所以()a φ在(0,1)递增，()(1)0a ϕϕ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ ==< ，111111(e )ln e 10e e a a a am a =+−=>， 111,e a x a ∴∃∈，使得1()0m x =，故01a <<满足条件.当1a >时，()ln 0a a ϕ′=−<，所以()a φ在(1,)+∞递减，()(1)0a φφ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ==< ，21(e )ln e 1e 10ea a a a m a a −−−+−−−> 21e ,a x a − ∴∃∈，使得2()0m x =，故1a >满足条件.综上所述：实数a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，证明：()00f x x =.【答案】（1）()00f =（2）是，理由见解析.（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值. （2）根据给出的条件，逐一验证即可.（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明.【小问1详解】由条件（1）可知：()00f ≥；结合条件（3），令120x x ==，则()()020f f ≥⇒()00f ≤. 所以：()00f =.【小问2详解】函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是“友谊函数”.理由如下：对条件（1）：因为()00g =，()3ln 31xg x ′=−，当[]0,1x ∈时，()0g x ′>，所以()g x 在[0,1]上单调递增，所以()0g x ≥，[]0,1x ∈.对条件（2）：()13111g =−−=.对条件（3）：设120,0x x ≥≥，且121x x +≤，则： ()()()1212g x x g x g x +−+()()()12121212313131x x x x x x x x + −+−−−−−−− 12123331x x x x +=−−+()()123131x x =−−0≥. 所以：()()()1212g x x g x g x +≥+.综上可知：函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是“友谊函数”. 【小问3详解】设1201x x ≤<≤且121x x +≤，则210x x −>，所以()()()()211211f x f x f x x x f x −=+−− ()()()1211f x f x x f x ≥+−−()21f x x −0≥所以函数()f x 在[0,1]上单调递增. 下面用反证法证明：()00f x x =. 假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <.若()00f x x >，则()()000f x f f x x <=，这与()00f x x >矛盾；若()00f x x <，则()()000f x f f x x >=，这与()00f x x <矛盾. 故假设不成立，所以()00f x x =.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破口.。

广东省江门市普通高中高三数学调研测试试题理(含解析)(最新整理)

江门市2018年普通高中高三调研测试数学(理科）第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合，，则( ）A。

B。

C。

D.【答案】D【解析】【分析】分别求得集合A和B，取交集即可得到答案．【详解】依题意，A={x|-3＜x＜1｝, B=｛x|x0｝，所以A∩B=,故选:D．【点睛】本题考查集合的交集运算.2。

是虚数单位，是实数集,，若，则（ )A。

B。

C. 2 D。

-2【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程，求解即可得答案．【详解】∵=∴,即a=−,故选:B．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念.3.已知；，则是的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件 C。

充要条件 D。

既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析：由已知得条件，条件，显然充分性不成立，如当,不成立;又由，所以必要性成立.故选B。

考点:1.命题的充分条件、必要条件；2.二次不等式。

4.是自然对数的底数，若,，，，则（）A. B. C。

D.【答案】C【解析】【分析】利用指数和对数函数的单调性即可得到a，b,c的大小关系。

【详解】∵对数函数y=lnx在上单调递增，∴a=lnx〈ln1=0，∵指数函数在上单调递减,∴∵指数函数在上单调递增，∴由幂函数的性质可知即a<b<c,故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数性质的应用.5.若，,，则向量与的夹角为（ )A。

B. C。

D。

【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得，再由两个向量夹角的余弦公式，即可求出夹角的余弦，进而得解．【详解】由已知，解得，则两个向量夹角的余弦值,所以两向量夹角为。

故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的运算和利用平面向量的数量积求向量的夹角.6.若抛物线的焦点是双曲线的右焦点,则此双曲线的离心率为( )A. B. C。

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江门市2010届普通高中高三调研测试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．用最小二乘法求线性回归方程系数公式2121 xn x yx n yx b n i i ni ii --=∑∑==，x b y a-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}3 , 2 , 1 , 0--=A ，{}01|<+=x x B ，则集合B A 的元素的个数是 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个⒉已知复数Z 的共轭复数i Z -=1（其中i 是虚数单位），则=2ZA ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2-⒊已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f 2)(⋅=．则当0>x 时，=)(x fA ．xx -⋅2B ．x x 2⋅-C ．xx -⋅-2D ．x x 2log ⋅⒋数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3tanπn S n =，则=2a A ．332 B ．332- C ．32 D ．32- ⒌给定下列四个命题：①a 、b 是两异面直线，那么经过直线a 可以作无数个与直线b 平行的平面。

②α、β是任意两个平面，那么一定存在平面γ，满足γα⊥且γβ⊥。

③a 、b 是长方体互相平行的两条棱，将长方体展开，那么在展开图中，a 、b 对应的线段所在直线互相平行。

④已知任意直线a 和平面α，那么一定存在平面γ，满足γ⊂a 且γα⊥。

其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④⒍在平面直角坐标系xOy 中，点)1 , 2(A ，)1 , 3(-B ，则=∠AOB A ．060 B ．0120 C ．0135 D ．0150开1, 0==i sas s +=1+=i i是否 ① ② 输出a结输入1a 、2a 、…、a图ECBA ·O图2⒎防疫站有A 、B 、C 、D 四名内科医生和E 、F 两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控。

两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A 只能去乙地。

则不同的选派方案共有A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种⒏在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤5252y x 确定的平面区域为D ，在D 中任取一点) , (b a P ，则P 点满足102>+b a 的概率为A ．32 B ．127 C ．21 D ．125 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．㈠必做题（9—13题）⒐平面向量 a 、 b 中，)4 , 3( -=a ，)1 , 2( =b ，则向量=- 2a b ．⒑在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步。

高三⑴班每个学生上一个月跑步的路程从大到小排列依次是1a 、2a 、3a 、…、50a （任意1=i 、2、…、49，1+>i i a a ），图1是统计该班上一个月跑步长度前10名学生平均跑步路程a 的程序框图。

则图中判断框①应填，处理框（执行框）②应填． ⒒从圆4)1()1(22=++-y x 外一点)3 , 3(P 作这个圆的切的角为θ，则线，设两条切线之间所夹=θsin ． ⒓对于具有线性相关关系的一组数据：用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=经过一点（样本中心点）是．⒔不等式5 |1||2|≥++-x x 的解集是．㈡选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在以O 为极点的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是02cos =-θρ，直线l 与极轴相交于点M ，以OM为直径的圆的极坐标方程是。

⒖（几何证明选讲选做题）如图2，ABC ∆是圆O 的内接三角形，圆O 的半径1=r ，1=AB ，2=BC ，EC 是圆O 的切线，则=∠ACE ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．x0 1 2 3 y2- 0 5 9图4图3E CBDAEDCBA⒗（本小题满分12分）已知x x x f cos 232cossin 2)(2+=ϕ（ϕ是常数，πϕ<<0），)(x f y =的图象经过点)23, 6(πP ．⑴求ϕ的值；⑵在等腰ABC ∆中，23)(=A f ，3=BC ，求AB ．⒘（本小题满分12分）某个猜答案游戏，组织者将提出相互独立的三个选择题，每题有四个选项，其中只有一个是正确的，游戏规定前两个选择题至少答对一个才有资格答第三题。

甲将回答的(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的分值分别是10、15、15，根据自己的知识经验，甲可以排除(Ⅰ)题的2个错误选项、排除(Ⅱ)题的1个错误选项，不能排除(Ⅲ)题的错误选项。

假设甲在每题剩下选项中随机选择，三题所得总分为ξ。

⑴若组织者按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题，求ξ的分布列和数学期望； ⑵若组织者不按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题，ξ的数学期望是否都相等？（第⑵问共1分，直接写出“是”或“否”即可，不必具体计算）⒙（本小题满分14分）如图3，ABC ∆是边长为a 的等边三角形，D 、E 分别是AB 、AC 边上一点，BC DE //。

将ABC ∆沿DE 折成直二面角B DE A --，连接AB 、AC ，得到四棱锥BCDE A -（如图4），其中平面ABC 与平面ADE 相交于直线l ． ⑴求证：DE l //； ⑵若2aDE =，求二面角B l D --的大小； ⑶若x DE =，求四棱锥BCDE A -的体积)(x V ．⒚（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为21的直线 l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ． ⑴求a 、b 的值；⑵若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．⒛（本小题满分14分）已知函数3)12(33)(23-+--=x a ax x x f ，a 是常数．⑴若31=a ，曲线)(x f y =上点P 处的切线与直线032=+y x 平行，求点P 的坐标； ⑵试证明，对任意常数a ，函数)(x f y =在区间)3 , 3(-存在零点．21（本小题满分14分）已知数列{}n a ，11=a ，对任意*∈N n ，n nn a a -++=221． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试证明：3>n 时，14+>n nS n ．理科数学评分参考一、选择题 BCAD DCAB二、填空题 ⒐)2 , 7(-； ⒑11<i ，10S a =； ⒒54； ⒓)3 , 5.1(； ⒔{}32|≥-≤x x x 或； ⒕θρcos 2=； ⒖015．三、解答题⒗⑴依题意23432cos 6cos 232cos 6sin2)6(22=+=+=ϕπϕππf ……2分，432cos 2=ϕ，因为πϕ<<0，220πϕ<<，所以232cos =ϕ……3分，62πϕ=，3πϕ=……4分．⑵23)(=A f ，即23)6sin(3cos 23sin 23cos 236cos sin 22=+=+=+ππA A A A A ……6分，π<<A 0，6766πππ<+<A ，所以656ππ=+A ，32π=A ……8分，ABC∆是等腰三角形，6π==C B ……9分，由正弦定理ABCC AB sin sin =……11分，得3=AB …12分．⒘⑴甲答对(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的概率分别是211=p 、312=p 、414=p ……1分， ξ的取值为0=ξ、10、15、25、30、40……2分，31)1)(1()0(21=--==p p P ξ，41)1)(1()10(321=--==p p p P ξ， 81)1()1()15(321=--==p p p P ξ，245)1()1()25(321321=-+-==p p p p p p P ξ，241)1()30(321=-==p p p P ξ，241)40(321===p p p P ξ……8分，所以ξ的分布列为……9分所以ξ的数学期望24140241302452581154110310⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE……10分，5.12=……11分⑵否……12分．⒙⑴BC DE //，ADE DE 平面⊂，ADE BC 平面⊄，所以ADE BC 平面//……2分，ξ 0101525 30 40p 31 41 81 245 241 241因为ABC BC 平面⊂，l ADE ABC =平面平面，所以l BC //……3分，所以DE l //……4分．⑵取DE 、BC 的中点F 、G ，连接AF 、FG 、AG ……5分，因为ABC ∆是边长为a 的等边三角形，2aDE =，所以FG AF =，DE AF ⊥，DE FG ⊥，从而l AF ⊥，l FG ⊥……6分，所以AFG l 平面⊥，AG l ⊥，FAG ∠二面角B l D --的平面角……8分，在FAG∆中，因为B DE A --是直二面角，DE AF ⊥，所以BCDE AF 平面⊥，FG AF ⊥……9分，又因为FG AF =，所以4π=∠FAG ，即二面角B l D --的大小为4π……10分． ⑶x AF 23=，)(23x a FG -=……11分，四棱锥BCDE A -的底面积 )(43)(23)(21222x a x a x a FG BC DE S -=-⨯+⨯=⨯+=……12分，四棱锥BCDE A -的体积)(8123)(4331313222x x a x x a Sh V -=⨯-⨯==……14分．⒚⑴依题意， l ：2xy =……1分，不妨设设) , 2(t t A 、) , 2(t t B --（0>t ）……2分，由102||=AB 得40202=t ，2=t ……3分，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+23 1282222a b a ac b a ……5分，解得4=a ，2=b ……6分．⑵由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1)( 14162222y m x y x 消去y 得01248322=++-m mx x ……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当014416)124(34)8(222<-=+⨯⨯--=∆m m m 或5||>m ……9分，解得3||<m 或5||>m ……10分。