人教版七年级下册6.3实数教学设计

6.3实数
一、教学目标
1．知识与能力：通过“合作学习”认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。

2．过程与方法：让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
3．情感态度与价值观：培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一，矛盾转化的辨证唯物主义观点
二、教材分析
“实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展。

由2、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。

教学重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。

教学难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。

三、教学过程
（一）1）观察下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？
95 ,9011 ,119 ,847 ,53 ,3
（2）请用计算器把2和35写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？
（3）我们把哪些数统称为实数？你能把实数进行分类吗?
（二） 联系实际，创设情境 假设班主任要2米的绳子来捆扎物品，生活委员量取多少绳子比较合适？ 学生能从“合作学习”中估计出2在1与2之间
引导学生借助计算器进行探求：
1.根据“合作学习”得到 1＜2＜2，确定2=1.…
2.确定小数点后第一位数 （利用试探法） 计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52
发现1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了
很明显1.4＜2＜1.5 。

根据以上得：2=1.4…
3. 再求百分位数字 计算1.412 1.422 等，得到2=1.41…
到此为止，能解决上面问题，大约剪1.4米或1.41米就可以了。

（三）继续探索2特征，得到无理数概念
1.提问：以上得到的1.4，1.41仅是2的近似值，2究竟是多少？
2.同桌合作探求2的近似值
要求:限定1分钟的时间，利用刚才的方法，同桌合作探求2的近似值
看哪一组得到的近似值最精确
（以上学生合作探索2特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握“逐次逼近法”。

）
3.学生谈对2的感受:1)无限 2)不循环
无理数的概念：无限不循环的小数
（学生通过亲身体验得出结论）
4.学生举例说出无理数，巩固对无理数的理解
（四）叙述数史，剖析概念，扩展数集
1.讲述故事，介绍无理数的来历
1）提问：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？有生会答：“有道理的数”与“无道理的数”。

2）指出：这样命名与无理数的来历有关
约公元600年，毕达哥拉斯学派认为宇宙万物的总规律是服从整数化，认为世界上一切现象，都能归结为整数或整数之比。

正当毕氏学派津津乐道地高唱“万物皆数”时，该学派的一位成员希伯索斯利用推理的方法发现，边长为1的正方形的对角线长既不是整数，也不是整数的比（分数）所能表示的.这个发现被人们看成是“荒谬”和违反常识的事。

对于只有整数和整数比概念的他们来说，这意味着边长为1的正方形的对角线长竟然不能用任何“数”来表示！2是“无道理的数”。

这在数学史上称为第一次数学危机。

最后希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传就因为这一发现，毕达哥拉斯学派把希伯索斯投入大海中处死。

然而真理是封锁不住的，无理数最终还是闯入了数的圣地．西方最早接受无理数的代表学者是英国的哈里奥特，他认为只要能参与计算的就是数，而不必管它到底该怎样表示．1886年，施图尔茨认为每一个无理数都可以表示成无限不循环小数．这也就是我们现在通用的无理数的定义．后来又经过了19世纪的许多数学家的努力，终于为无理数打下了坚实的逻辑基础，使得无理数在数学上取得了应有的地位．
3)提问：听了故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？（学生讨论）
教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，不能从词义上理解。

它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数）。

(通过叙述数史，培养学生勇于发现真理的科学精神)
4）对无理数π的研究也经历了许多世纪，课后阅读P68的阅读材料《神奇的π》（课后数学历史的阅读有利学生进一步了解数的发展，对揭示数学知识的来源和应用，创造一种探索与研究的气氛，激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用）2.实数的概念：有理数和无理数统称为实数
无理数又分为正无理数和负无理数
3.练习讨论，反馈调整，巩固概念
（1）P66课内练习1
（2）无理数的相反数、绝对值
由前面有理数的相反数、绝对值的意义，类似得到无理数的相反数、绝对值的意义。

P67 作业题3
（2）练习：（抢答）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥实数的绝对值都是非负实数；
⑦有理数都可以表示成分数的形式。

（通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。

）
(四)数形结合，突破难点，深化概念
（前面我们从数本身的特征上探讨了数除了有理数外还有无理数，接下来我们再利用数轴来进行说明。

）
我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，那么数轴上的每一个点都表示有理数吗？（思考）
在数轴正方向上取OA的长等于“合作学习”中阴影正方形的边长2，则点A 表示，即无理数2可以在数轴上找到对应点。

可见，数轴上的点对应的数，不都是有理数。

（显示数轴）
像每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样，每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点，因此，可以说，每个实数都可以在数轴上找到一个对应点。

（想一想：为什么？）反过来，数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数，也就是说，数轴上的每一点都对应一个实数。

把这两件事合在一起，我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。

（五）类比迁移，大小比较，例题分析
例把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：-1.4，2， 3.3，π，-2，1.5
（1）让学生阅读题目，讨论比较大小的方法，培养学生的自学能力和探索精神，学会类比迁移。

比较学生的解题思路，利用数轴比较或利用法则比较的（一般无理数需取近似值），都予以鼓励，抓住一题多解，培养学生思维的发散性和流畅性，有利于学生整体素质提高。

（2）着重讲解在数轴上如何表示无理数
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1）如；2尺规可作的无理数
2）π尺规不可作的无理数，只能近似地表示
（3）利用数轴进行实数的大小比较：右边的数总比左边的数大
（六）理清关系，概括方法
1.知识方面：
正有理数（有限小数、无限循环小数）
有理数 { 零 } 可化为分数
实数{ 负有理数
正无理数（无限不循环小数）
无理数 { }
负无理数不能化为分数
实数与数轴上的点一一对应
2.思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想
3.启发学生提出新的疑问，培养学生创造性思维
从2谈起，我们还可以谈些什么？
例如：其他无理数？
由2出发，可以造出哪些无理数？
无理数与有理数的和、差、积等一定是无理数吗？
无理数与无理数的和、差、积等一定是无理数吗？
等等一系列问题，有待于我们进一步探索、研究
7 布置作业
A组必做， B、C组选做。