2016-2017学年湖南省株洲县高二上学期期末考试数学理试题

株洲县2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，lnx 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x ∈(0，＋∞)，lnx≠x 0－1B ．∃x ∉(0，＋∞)，lnx ＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，lnx≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，lnx ＝x －12. 在等差数列{}n a 中，若1352,10a a a =+=，则7a ＝( )A ．5B ．8C ．10D ．143. 已知△ABC 中，1a =，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( )A ．150°B ．0150或030C ．60°D ．30°4. 设a <b <0，则下列不等式中不能成立的是( )A ．11ab> B ．a b > C ．11a ba>- D ．a 2>b25．若变量x ，y 满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．在等比数列{}n a 中，201620138a a =，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．87．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 68．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9. “(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．115 D ．3716第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．二次函数2()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如表：则不等式0ax bx c ++>12．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若237,,a a a 成等比数列，且1221a a +=2，则3S ＝________ 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在 椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值为________ 14．若22m n +=,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______ 15．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形； ③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________(把你认为所有正确的都填上)三．解答题：本大题满分40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知:p 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数16()(0)f x x m x m =+>>恒成立；:q“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分8分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B +. （1）求B ；（2）若b ＝2，求a c +的取值范围．18．（本小题满分8分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且1(3)6n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(2)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++ ，求证：16n T <．19.（本题满分8分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ＝2，E 为PC 中点．（1）求证：DE ⊥平面PCB ； （2）求点C 到平面DEB 的距离； （3）求二面角E －BD －P 的余弦值．20．（本小题满分10分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆E 的离心率；（2）如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．参考答案及评分标准（理科）（解答题其它解答请相应给分）一、选择题 CBDCAACABA 二、填空题11、(－∞，－2)∪(3，＋∞) 12、－12 13、54 14、4 15、③ 三、解答题16、解：因为1[,2]2x ∈，所以1()2f x x x=+≥=，当且仅当1x x=，即1x =时取等号， 所以min ()2f x =，因为当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数16()f x x x m =+>恒成立，且0m >， 所以62m<，解得3m >；故当p 为真时，3m >；…………………………2分 当q 为真时，，解得2.55m <<，………………4分 因为“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题， 所以2.53m <≤或5m ≥.故实数m 的取值范围是0 2.535m m <≤≤<或．…………………………6分 17、解：(1)cos sin sin A B C C B =+ ①又()A B C π=-+，)cos sin A B C B C B C +.②由①②和(0,)C π∈，得sin B B .又(0,)B π∈，所以tan B =，故3B π=.…………………………4分 （2）由余弦定理得22222223()()2cos ()3()344a c a cb ac ac a c ac a c π++=+-=+-≥+-=，即2()44a c +≤，当且仅当a c =时取等号，所以4a c +≤， 又2a c b +>=，所以a c +的取值范围是(2,4]．…………………………8分 18、解：（1）当1n =时，11111(3)6S a a a ==+，解得13a =，当2n ≥时，1111[(3)(3)]6n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，整理得11()(3)0n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以130n n a a ---=，即13n n a a --=， 所以{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以33(1)3n a n n =+-=，即3n a n =.…………………………4分 （2）由（1）知，1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+，所以121111111[()()()]325583132n n T b b b n n =+++=-+-++--+ 111111()323263(32)6n n =-=-<++， 故16n T <．…………………………8分19、解析 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC.又正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD. ∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE.∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC.又∵PC∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB. …………………………2分(2)如图①所示，过点C 作CM ⊥BE 于点M ， 由(1)知平面DEB ⊥平面PCB ，∵平面DEB∩平面PCB ＝BE ，∴CM ⊥平面DEB. ∴线段CM 的长度就是点C 到平面DEB 的距离． ∵PD ＝AB ＝CD ＝2，∠PDC ＝90°， ∴PC ＝22，EC ＝2，BC ＝2.∴BE ＝ 6. ∴CM ＝CE·BC BE ＝233.…………………………5分(3)以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，DE →＝(0，1，1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得y ＝－1，x ＝1.∴平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，－1，1)．又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，AC→＝(－2，2，0)，且AC ⊥平面PDB ， ∴平面PDB 的一个法向量为n 2＝(1，－1，0)．设二面角E －BD －P 的平面角为α，则cosα＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23·2＝63.∴二面角E －BD －P 的余弦值为63.…………………………8分20、解：(1)由条件知2a b =，所以 a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.…………………………4分 (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋11＋4k 2， x 1x 2＝4 2k ＋1 2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋11＋4k2＝－4， 解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 . 由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. …………………………10分 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 . 由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.。