【教师版】惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数) 参考答案：数学（理科）一、选择题：1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.A8.C9.B10.A11.C12.C1.【解析】设M={x|x>1}，N={x|-2≤x≤2}，则M∩N=(1,2]，故选C。
2.【解析】(1+i)z=1-i，z=(1+i)/(1-i)2=-i，z的共轭复数为z=i，故选B。
3.【解析】n≥2时，Sn-1=1-a^(n-1)，Sn=1-a^n，两式相减，整理得Sn-Sn-1=an-1-1，即an-1=2a，a=1/3，故选D。
4.【解析】代数法：cos=|b·c|/(|b||c|)，几何法：cos=b·c/|b||c|=b(a-b)/(a-b)^2=b/(a-b)，故选A。
5.【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确，故选B。
6.【解析】cos(5π/32)=sin(π/2-5π/32)=-sin(3π/32)，故选D。
7.【解析】由集合的包含关系可知选A。
8.【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中31/2=15.5，故选C。
9.【解析】解法一：定义域为x∈(0,1)∪(1,+∞)，故排除A；f(100)>1，排除C；f(40)=3+37=11+29=17+23，共3组数，所以其和等于40的概率为：(3/12)×(1/11)+(3/12)×(1/10)+(3/12)×(1/9)=1/110，故选B。
解法二：设g(x)=x-lnx-1，g(1)=0，g'(x)=1-1/x，当x∈(1,+∞)，g(x)>0，g(x)单调增，当x∈(0,1)，g(x)<0，g(x)单调减，则g(x)≥g(1)=0.注意：文章中的公式和符号均已修正。
广东省惠州市高三第二次调研考试数学理试题Word版含解析
惠州市高三第二次调研考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）若21z i i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限（2）已知集合{}A x x a =<，{}2320B x x x =-+<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）(A)1a < (B) 1a ≤ (C)2a > (D)2a ≥（3）设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若α⊥l ，则l 与α相交； ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ；③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ； ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n . (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 （4）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） (A)41>m (B)10<<m (C)0>m (D)1>m （5）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）(A)7 (B)6 (C)5 (D)4（6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）(A)18 (B) 17 (C) 16 (D) 15（7）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =， 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） (A)1112 (B)1011 (C)910 (D)89（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）(A)24 (B)18 (C)16 (D)10（9）已知A ，B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在双曲线E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120，则双曲线E 的离心率为（ ）(B)2（10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 最大值为( )(A)32(B) (C)64(D)（11）函数()sin(2)f x A x θ=+,02A πθ⎛⎫≤> ⎪⎝⎭部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）(A))(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 (B))(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 (C))(x f 在)65,3(ππ上是减函数 (D))(x f 在)65,3(ππ上是增函数 （12）函数)(x f 是定义在R 上的奇函数, 当0>x 时,()()|1|2102()12(2)2x x f x x f x -⎧-<≤⎪=⎨>-⎪⎩，则函数1)()(-=x xf x g 在),6[+∞-上的所有零点之和为（ ）(A)8 (B) 32 (C)18(D)0 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省惠州市2019-2020学年度高2020届高三第二次调研考试理科数学试题(含解析)
惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则MN = （ ）A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]答案：C解析：{|1},{|22}M x x N x x =>=-≤≤，所以(1,2]M N =．2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i答案：B解析：21i (1i)2ii,i 1i (1i)(1i)2z z ---====-∴=++-． 3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ）A ．3116B ．312C ．132D ．3132答案：D解析：当1n =时，1111S a a ==-，解得112a =， 当2n ≥时，1n n S a =-，111n n S a --=-，两式相减，整理得：11(2)2n n a a n -=≥， 所以数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴==-．4．已知,a b 为互相垂直的单位向量，若c a b =-，则cos ,b c =（ ）A ．22-B ．22C ．33-D ．33答案：A解析：方法一：()2222222c a ba ab bc =-=-⋅+=∴=，，()21b c b a b b a b ⋅=⋅-=⋅-=-，所以12cos ,212b c b c b c⋅-===-⨯⋅．方法二：几何法：作图可知，向量b 与向量c 的夹角为34π，所以32cos ,cos 42b c π==-． OA Babc方法三：坐标法：不妨设(1,0),(0,1)a b ==，则(1,1)c a b =-=-， 所以12cos ,212b c b c b c⋅-===-⨯⋅．5．下列说法正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学． ③在回归分析模型中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程ˆ0.110y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：B解析：①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确．故选B ． 6．若31cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且22ππα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A ．429-B ．229-C ．229D ．429答案：A 解析：31122cos sin ,sin ,,cos 233223πππααααα⎛⎫-=-=∴=--∴=⎪⎝⎭≤≤， 12242sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫∴==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭．7．设p ：实数,x y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数,x y 满足111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则p 是q 的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要答案：A解析：如图，由集合的包含关系可知p 是q 的必要不充分条件．Oxy8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ）A ．115B ．117C ．122D ．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．】 答案：C解析：不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C =． 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）答案：B解析：定义域为(0,1)(1,)+∞，排除A ，C ，当0x →时，ln 1,()0x x f x --→+∞→；当x →+∞时，ln 1,()0x x f x --→+∞→．故选B ．10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．233D ．2答案：A解析：解法一：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，在12PF F △中，由余弦定理得：222222222121212121212222222121212122()42()4()(2)1cos cos6022()2()2a a c a a a a a a a a x y c F PF xy a a a a a a a a +-+---+-∠=︒======---+123a a ∴=， 2212223,3c a a a c a ∴===，所以双曲线的离心率223ce a ==． 解法二：由焦半径三角形的面积公式：设12F PF θ∠=， 在椭圆中，有122221113tantan 3023F PF S b b b θ==︒=△， 在双曲线中，有122222223tan 30tan2F PF b b S b θ===︒△，所以2212333b b =，所以2212123,3b b b b ==，由221212121,c e e c a a a a ==∴=， 42222222222422412122222()()(3)()230c a a b c c b b c c b c b c b ∴==+-=+-=+-=，2222222222222221323,,,3333c c b a c b c c c a c e a ∴==-=-=∴===．PF 2F 1O解法三：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则22124x y a a -=， 即2221212PF PF F F -=，所以12F PF △是直角三角形，又1260F PF ∠=︒，所以双曲线的离心率1222212233221F F c c e a a PF PF =====--． 11．已知矩形ABCD ，1AB =，3BC =，将ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论：①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13；②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②③C ．②④D ．③④答案：C 解析：如图，ACBD O =，DE AC ⊥于E ，则32,2AC BD DE ===，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此时体积最大值为1131133224D ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，①错误；在翻折过程中，始终有1OA OB OC OC ====，所以O 为外接球的球心，球的半径1R =，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；由①可知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是90︒，③错误；当点D 的射影落在BC 上时，直线AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．EODCABABCDO E12．设函数()3sinxf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞答案：C 解析：当()2xk k mπππ=+∈Z ，即212k x m +=时，()f x 取得极值3±． 存在极值点0x 使22200[()]x f x m +<成立，亦即存在k 使2(21)(23)120k k m -++<成立，因此，只需(21)(23)k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以23120m -+<，即24m >， 所以(,2)(2,)m ∈-∞-+∞．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ． 答案：13解析：211()3,(1)312,3f x ax f a a x ''=+∴=+=∴=． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据12100,,,x x x 的方差为8，则数据1210021,21,,21x x x ---的方差为 ．答案：32解析：公式：2()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=， 因为()8,(21)4()32D X D X D X =∴-==．15．设x y 、为正数，若12yx +=，则12x y +的最小值是 ，此时x = ．答案：4（3分）12（2分） 解析：1212222224222y y x y x x x y x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当22y x x y =，即12,2y x x ==时等号成立． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是12,F F ，且1F AB △的面积为232-，点P 为椭圆上任意一点，则1211PF PF +的取值范围是 ． 答案：[1,4]解析：由已知得22,1b b =∴=，1123(),2322F AB S a c b a c -=-=∴-=-△， 又222()()1a c a c a c b -=+-==，可得23a c +=+，解得2,3a c==，所以1224PF PF a +==，设1PF x =，则24P Fx =-，且2323x -+≤≤，所以2121111444PF PF x x x x+=+=--+， 224(2)4[1,4]x x x -+=--+∈，所以1211[1,4]PF PF +∈． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，5b =，2B A =．（1）求cos A ； （2）求c 边的值． 17．解析：（1）由正弦定理sin sin a bA B=……………………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 得25sin sin 2A A=……………………………………………………………………………………2分 即25sin 2sin cos A A A=………………………………………………………………………………3分 因为sin 0A ≠，可解得5cos 4A =．………………………………………………………………4分（2）解法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得22252(5)254c c =+-⋅⋅，整理得：22520c c -+=………………………………6分 解得2c =或12c =………………………………………………………………………………8分 当2c a ==时，得A C =，又因为2B A =，故,42A CB ππ===，……………………9分所以2b a =，与已知矛盾，所以2c =不满足要求．………………………………………10分当12c =时，经检验符合要求．…………………………………………………………………11分 综上可知：12c =．……………………………………………………………………………12分【注】无检验过程最多只能得8分． 解法二：由（1）知5cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 所以11sin 4A =………………………………………………………………………………………………6分又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-……………………9分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得22352228c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得22320c c --=………………………………10分即(21)(2)0c c -+=，又因为0c >…………………………11分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 得12c =， 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分解法三：由（1）知5cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 所以11sin 4A =………………………………………………………………………………………………6分又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分 51155sin sin 22sin cos 2448B A A A ===⨯⨯=……………………………………………………9分因为A B C π++=，所以11355511sin sin()sin cos cos sin 484816C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯-+⨯=⎪⎝⎭………………10分由正弦定理：sin sin a c A C =，得21111416c =，解得12c =………………………………………………11分 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中N n *∈，λ为常数．（1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式． 18．解析：（1）将1n =代入1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2122a a λ=+………………………………2分由11a =，283a =，得3λ=．……………………………………………………………………………4分（2）由11113n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得1113n n n a a n n +-=+…………………………………………………5分即113n n n b b +-=．…………………………………………………………………………………………6分当1n =时，1111a b ==，..........................................................................................7分 当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ (8)分121111113131133322313nn n n ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++==-⨯-…………………………………………………11分因为11b =也符合上式，所以131()223n n b n *-=-∈⨯N ．……………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AB PD ⊥；（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．ABCDP19．解析：（1）依题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥……………………………………1分 AB ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，…………………2分【注】此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分AB ∴⊥平面PAD …………………3分，又PD ⊂平面PAD ……………4分，AB PD ∴⊥…………5分（2）在PAD △中，取AD 中点O ，连接PO ，,,PA AD PO AD PO =∴⊥∴⊥平面ABCD ……6分以O 为坐标原点，分别以OA 为x 轴，过点A 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．………………………………………………………………………………7分 设2PA =，90APD ∠=︒，22AD ∴=．22(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0),(2,0,0),,1,22P B C A Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，22(2,2,2),(22,0,0),,1,22PB BC AQ ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………8分 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则2220220n PB x y z n BC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(0,1,2)n = ………………………………………………………………………………9分设直线AQ 与平面PBC 所成角为θ，则6s i n c o s ,3A Q n A Q n A Q nθ⋅===⋅……………………10分 因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，23cos 1sin 3θθ∴=-=…………………………………………………………11分所以直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值为33．……………………………………………………12分A BC D Pxyz O Q20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，且与x 轴交于点(,0)P a ．（1）若直线l 的斜率32k =，且32FP =，求AF BF +的值； （2）若0a >，x 轴上是否存在点M ，总有OMA OMB ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．解析：（1）解法一：依题意，设3:()2l y x a =-，………………………………………………1分将其代入2:2C y x =，整理得：229(188)90x a x a -++= ①………………………………2分由0∆>，得29a >- ……………………………………………………………………………………3分又1,02FP a ⎛⎫=-⎪⎝⎭且32FP =，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为2944360x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12449x x +=……………………5分1244531199AF BF x x ∴+=++=+=．……………………………………………………………6分 解法二：依题意，设3:()2l y x a =-，………………………………………………1分将其代入2:2C y x=，整理得：23460y y a --=①…………………………………………2分16720a ∴∆=+>，即29a >- ……………………………………………………………………………3分又1,02FP a ⎛⎫=-⎪⎝⎭且32FP =，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为234120y y -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,43y y y y +==-…………5分22212121212()253111229y y y y y y AF BF x x ++-∴+=++=+=+= (6)分（2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性知，存在点M 满足OMA OMB ∠=∠………………7分 若直线l 存在斜率，设为(0)k k ≠，则:()l y k x a =-，联立2:2C y x =， 整理得：2220ky y ka --=，212122480,,2k a y y y y a k∆=+>∴+==-………………8分 设(,0)M m ，由OMA OMB ∠=∠易知MA MB k k =-，即12120y y x m x m+=--…………………9分122112()0y x y x m y y ∴+-+=，即22211212()22y y y y m y y ⋅+⋅=+……………………………10分12121212122()(),0,222y y y y ay y m y y y y m a -∴+=++≠∴===-，所以(,0)M a -……11分 综上所述，当0a >时，x 轴上存在点(,0)M a -，总有OMA OMB ∠=∠……………………12分PBAF O M PBAO21．（本小题满分12分）已知函数122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x x x <．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：122(1ln )x x a +<+．21．解析：（1）由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分由题意(0,2)x ∈，则320x x->，设11()(0),()x x h x e ax x h x e a --'=->=-． 由题意，知12,x x 是()y h x =在(0,2)上的两个零点．当0a ≤时，()0h x '>，则()h x 在(0,2)上递增，()h x 至多有一个零点，不合题意；……2分 当0a >时，由()0h x '=，得1ln x a =+，(1ln )ln h a a a +=-……………………………3分 （i ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =->，即02ea <<时，()h x 在(0,1ln )a +上递减，(1ln ,2)a +递增；若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-≥，即0a e <≤时，()h x 至多有一个零点，不合题意，舍去； 若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-<，即12e a <<时，又1(2)0,(0)0h h e>=>， 从而，()h x 在(0,1ln )a +和(1ln ,2)a +上各有一个零点．所以12ea <<时，()y h x =在(0,2)上存在两个零点．………………………………………………4分（ii ）若1l n 2a +>，即a e >时，()h x 在(0,2)上单调递减，()h x 至多有一个零点，舍去…………5分（iii ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =-≤，即2ea e <≤时，()h x 在(0,1ln )a +上有一个零点，在(1ln ,2)a +上没有零点，舍去．综上可得，实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分（1）解法二：由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分 由题意(0,2)x ∈，则320x x->，由题意知12,x x 是1,0x y e ax x -=->在(0,2)上的两个零点． 由10x y e ax -=-=，得1x e a x-=， (2)分从而只需直线y a =与函数1()x e g x x -=的图象在(0,2)有两个交点．…………………………3分由2(1)()x x e g x x -'=得1()x e g x x-=在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,2)内单调递增， 所以min ()(1)1,(2)2eg x g g ===．……………………………………………………………………4分 且0x →时，()g x →+∞．……………………………………………………………………………5分所以实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分 （2）解法一：令()()(22ln ),01ln H x h x h a x x a =-+-<<+…………………………7分则211()()(22ln )2220x x a H x h x h a x ea a a e--'''=++-=+--=≥， 所以()H x 在(0,1ln )a +上递增，……………………………………………………………………8分111()()(22ln )(1ln )0H x h x h a x H a ∴=-+-<+=……………………………………………………10分而12()()h x h x =，且()h x 在(1ln ,2)a +递增；21()(22ln )h x h a x ∴<+- (11)分211222ln ,2(1ln )x a x x x a ⇒<+-∴+<+，命题得证．………………………………………12分解法二：由（1）有12111112121222ln ln 12ln ln()2ln ln 1x x ax e a x x a x x x x a x x ax e--⎧=+=-⎧⎪⇒⇒+=+-⎨⎨+=-=⎪⎩⎩…………7分则证明1212122112(1ln )ln()001x x a x x x x x x +<+⇔<⇔<<⇔< ①………………………8分下证①式成立，由10x eax --=，得1x e a x-=，令1()x e g x x -=，则1122(1)()(),()x e x g x g x g x x--'==………………………………………………9分 易知1201x x <<<，从而①式221111111()()x g x g g x g x x x ⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………10分 又令1()(),01G x g x g x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，即证()0G x <对01x <<成立．11121()x x x G x e xe x --⎛⎫-'=⋅- ⎪⎝⎭．设111()x xh x e xe --=-，则1111()0x xx h x eex ---⎛⎫'=+⋅> ⎪⎝⎭，…………………………………………11分从而()(1)0,()0,()(1)0h x h G x G x G '<=>∴<=．即01x <<，1()g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭，即111()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭从而①式成立．122(1ln )x x a ∴+<+，命题得证．……………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．22．解析：（1）由cos cos 1sin 1sin x x y y αααα==⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩……………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分平方相加，得：22(1)1x y +-=，所以圆C 的普通方程为：22(1)1x y +-=…………………………2分又cos ,sin x y ρθρθ==……………………………………3分【注】无写出此步骤，本得分点不给分22(cos )(sin 1)1ρθρθ∴+-= (4)分化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．……………………………………………………………5分（2）解法一：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin16P πρ== (7)分 把6πθ=代入直线l 的极坐标方程可得：sin 2,263Q ππρρ⎛⎫+=∴=⎪⎝⎭……………………………9分 所以线段PQ 的长1P Q PQ ρρ=-=………………………………………………………………10分（2）解法二：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin16P πρ== (7)分直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为34y x =-+，射线:6OM πθ=的直角坐标方程为3(0)3y x x =≥ …………………………………………8分记直线l 与x 轴交点为A ，则OAQ △为直角三角形，其中30QOA ∠=︒，根据勾股定理可得2OQ = …………………………………………………………………………9分 所以线段PQ 的长1PQ OQ OP =-=…………………………………………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x -≤，其中0m >． （1）求m 的值；（2）若正数a b c 、、满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥． 23．（1）解法一：由题意知20x m x m x >⎧⎨-+⎩≤或20x m m x x ⎧⎨-+⎩≤≤………………………………1分化简得：3x mm x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或x m x m ⎧⎨-⎩≤≤ ……………………………………………………………………2分 0m >，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤…………………………………………………………4分 2m ∴-=-，解得：2m =……………………………………………………………………………5分解法二：由题意知：22x x m x --≤≤，…………………………………………………………………1分所以3x m m x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤ (2)分0m >，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤..................................................................4分 2m ∴-=-，解得：2m =.......................................................................................5分 （2）解法一：基本不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++= (6)分由基本不等式，有2222,2,2b c a a b b c c a a b c+++≥≥≥……………………………………………8分三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++++≥………………………………………………9分222b c a a b c a b c ∴++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分解法二：柯西不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++=…………………………6分由柯西不等式2222222()()b c a b c a a b c a b c b c a a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++++⋅+⋅+⋅=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以222b c a a b c a b c ++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分。
广东省惠州市2020届高三模拟考试 理科数学试题含解析
广东省惠州市2020届高三模拟考试 理科数学 2020.6全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设集合{}|0A x x =>，集合{|B x y ==，则A B =U （ ）A ．{}|0x x >B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|1x x ≥2．已知i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．(1)i i +B ．2(1)i i -C ．22(1)i i +D ．234i i i i +++ 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5950a a +=，413a =，则10S =（ ） A ．170 B. 180 C. 189 D. 1904．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，其始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝（ ）A ．1225-B ．2425-C ．85D ．65- 5．函数||xx y xπ=的图象大致形状是（ ）6．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如右图所示：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学成绩60 65 70 75 80 85 90 95物理成绩72 77 80 84 88 90 93 95①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在空间中， m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m//α，n//α，则m//n B．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n C．若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βD．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β8．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台。
惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学试题及答案解析
x100 的方差为 8 ，则数据 2x1 −1， 2x2 −1 ， ， 2x100 −1的方差为_________．
15．设 x 、 y 为正数，若 x + y = 1，则 1 + 2 的最小值是
2
xy
，此时 x =
．
16．已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ，左、右
D． 31 32
4．已知 a,b 为互相垂直的单位向量，若 c = a − b ，则 cos b, c （ ）.
A． 2 2
B． 2 2
C． 3 3
D． 3 3
5．下列说法正确的是（ ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指
标检测，这样的抽样是分层抽样．
②某地气象局预报：5 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预
2
，则 sin 2
的值为（
）.
A． − 4 2 9
B． − 2 2 9
C． 2 2 9
D． 4 2 9
y x −1,
7．设
p
:
实数
x,
y
满足
(
x
−1)2
+
(
y
−1)2
2
，
q
: 实数
x,
y
满足
y
1−
x
，
y 1
则 p 是 q 的（ ）条件.
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
④异面直线 AB 与 CD 所成角的最大值为 90 ．
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)
惠州市2020届高三第二次调研考试数学（理科）数学（理科）参考答案一、选择题：1．【解析】1,|22M x x N x x =>=-≤≤，所以12MN =，，故选C ．2．【解析】(1)z 1i i +=-，21(1)2z 1(1)(1)2i i ii i i i ---====-++-，z 的共轭复数为z i =，故选B ． 3．【解析】11121n n n n S a n S a --=-⎧≥⎨=-⎩时，，两式相减，整理得111,,2a =∴ 所以{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴==-，故选D ．4．【解析】代数法：222cos ,22(2a a a 鬃-?-<>=====-×--?b c b c b cb b,故选A. 几何法：5．【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，6.,π2α-≤≤ 2sin 2339∴⎝⎭，故选A. 7．【解析】如图：，由集合的包含关系可知选A ．8．【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C =．故选C ． 9．【解析】解法一：定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，故排除A ；(100)0f >，排除C ；1()0100f >，排除D ；故选B ．解法二：设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，'1()1g x x=-，当(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 单调增，当(0,1)x ∈，'()0g x <，()g x 单调减，则()(1)0g x g ≥=．故1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，且()f x 在(0,1)x ∈上单调增，(1,)x ∈+∞上单调减，()0f x >，故选B ．解法三：1()ln 1f x x x =--定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞，故排除A ；当0x →时，()1ln 1,0ln 1x x x x --→+∞∴>--，排除D ； 当x →+∞时，1ln 10,0ln 1x x x x -->∴>--，排除C ；故选B ． 10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为1212,c ce e a a ==，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线定义得1122122,2x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，在12PF F ∆中，由余弦定理得 ()()()222222120121222122421cos cos 60,,3.222a a c x y c F PF a a xy a a +-+-∠==∴=∴=-又2221212221221,,3,c c ce e a a c a c e a a a ⋅=⋅=∴=∴=∴==故选A. 11. 【解析】①13D ABC ABC V S h -∆=⋅，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此时体积最大值为1111324D ABC V -=⨯⨯=，①错误；②设AC 的中点为O ，则由,Rt ABC Rt ADC ∆∆知，OA OB OC OD ===，所以O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，其半径为112AC =，所以外接球体积为43π，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；③由①的解析过程知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是090，③错误；④当ADC ∆沿对角线AC 进行翻折到使点D 与点B 的，即BD =在BCD ∆中，222BC BD CD =+，所以CD BD ⊥，又C D A D ⊥，翻折后此垂直关系没有变，所以CD ⊥平面ABD ，所以CD AB ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为090，④正确. 故选C ．12．【解析】当()2x k k Z m πππ=+∈，即212k x m +=时，()f x取得极值存在0x 使[]22020)(m x f x <+成立，亦即存在k 使()()22123120k k m -++<成立，因此，只需()()2123k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以23120m -+<，即24m >，所以()(),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故选C ．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。
广东省惠州市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析
广东省惠州市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e +B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -【答案】A 【解析】 【分析】若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得. 【详解】解：()(1)(2)0xf e e x m x x =--->-， ∴(1)(2)x m x x e e ->-+， 设()(2)xy g x x e e ==-+， ∴()(1)x g x x e '=-，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →， 函数(1)y m x =-恒过点()1,0，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示，，若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e >∴32e ee m +<≤，故实数m 的最大值为32e e+，故选：A 【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.2．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使|| || MAMF最大，则MAF∠应最大，此时AM与抛物线C相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M作MP与准线垂直，垂足为P，11cos cosMA MAMF MP AMP MAF===∠∠，则当||||MAMF取得最大值时，MAF∠最大，此时AM与抛物线C相切，易知此时直线AM的斜率存在，设切线方程为(1)y k x=+，则2(1)4y k xy x=+⎧⎨=⎩.则221616011k k k∆=-===±，，，则直线AM的方程为(1)y x=?.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.3．若实数x，y满足条件2502401x yx yxy+-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y=-，则z 的最大值为()A．52B．1 C．2 D．0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件2502401x yx yxy+-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y=-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.4．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．5．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，2=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】 由题得5ce a== ① 又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为25，所以2225b c a b ==-+ ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力. 7．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤【答案】B 【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121，故①中应填n≤1． 故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.9．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A BC ．2D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，所以b a =，由离心率公式e =即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以b a =2e ∴==故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 10．在复平面内，复数2iiz -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i iz i i i i i--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．11．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性； 当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A . 【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.12．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
惠州市2020届高三第二次调研考试(含参考答案)(1)
文档下载后可编辑修改打印高三12月月考前自检卷（二）第I卷第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
ANeed a fall fix? Try one from these great places.1.Mackinac Island, MichiganThe only way to reach this famed car-free island is by boat and ferry, and once visitors arrive, they are attracted by the history, scenery and fall colors.“It’s a throwback to years past, a little town, and there’s a big state park as well,”Blackwell says. “ You’re allowed to have boats all around the island.”2.Tellico Lake, TennesseeWith nearly 400 miles of shoreline, this waterway flowing ou of he Great Smoky Mountains is largely unexploited, well-protected in its natural state. Fall visitors find a range of colors reflecting in the clean waters, says Blackwell, who vacationed in the area with his family as a child. “The thick forest there just allows you to see more greenery and wildlife."3.Dillon Reservoir, ColoradoWith an hour from Denver, this lake is home to what claims to be the nation's highest sailing club, at an altitude of more than 9,000 feet. Marinas in the towns of Dillon and Frisco make it easy to get out on he water and to see the bright yellows and golds of fall leaves. “ People are surprised that there's boating in Colorado, and you can see the mountains just before the snowball," Blackwell says.4. Lake Monroe, IndianaThe state’s largest lake is surrounded by more than 13,000 acres of protected forest and three recreation areas, making it an ideal place to see fall colors, particularly from oaks and the tulip poplar, the state tree. “ It’s a gem (宝石) in southern Indiana," says Blackwell, who grew up in the area. “There are lots of different activities: canoeing, kayaking and fishing.”21.What is special about Mackinac Island?A.It’s like a modern city.B. Visitors can’t take a boat around it.B.Visitors can see various wildlife there. D. Visitors can’t go there by cars.22.Which is suitable for someone looking for an undeveloped place for vacation?A.Mackinac Island, MichiganB. Tellico Lake, TennesseeC.Dillon Reservoir, ColoradoD. Lake Monroe, Indiana23. What do the four places have in common?A. Blackwell once travelled there.B. They are all famous tourist destinations.C. They are surrounded by thick forests.D. Visitors can enjoy fall colors there.BWhen HarmonyOs, the Chinese self-developed operating system for Huawei mobile devices, was released on Aug 9, it quickly became a hot topic on social media. Many believe it not only represents the rise of the country as a tech power, but also shows respect to classical Chinese culture by naming the system "Hongmcng " in Chinese."Hongmeng" is a classical word from Zhuangzi. In the ancient times of Chinese legend and myths (神话),“Hongmeng" was used to describe the original state of the universe before matter existed. For HarmonyOS, "Hongmeng" indicates the developers’ aim to make an innovative operating system, unlike any other.Besides "Hongmeng'", Hunwei has also registered many of its products under the names of legendary creatures from Chinese myths. For example, the company's Kirin mobile chip got its name after a lucky monster called "Qilin". And its server chip is calked "Kunpeng”, a creature that changed from a fish into a giant bird.Many Chinese Internet users and media have praised Huawei's use of these names," as they stand for Chinese wisdom and ancient people’s imagination and spirit of exploration”, Global Times noted.In fact, Huawei is not alone in using traditional culture for modern ventures. Ne Zha, the new film, also portrays traditional culture in a modern context. The movie is loosely based on the well-known work of classical Chinese myth The Investiture of the Gods. Earlier this month it became the biggest animated movie in China and was called “ the glory of domestic anime (国产动漫)”.Indeed, the long history and splendid classic works have given China a profound culture. Myths and legends are the creative works of tremendous imagination. As Global Times put it, today by revisiting a modern context, “ ancient myths has the power to inspire imagination in young people”. After all, imagination is the beginning of creation.24.What do we know about HamonyOS?A.Its release raised a storm of objections.B.It is named after creature in myth.C.It combines high technology and culture.D.It's the best operating system.25.Which of the following best explains "innovative” underlined in Paragraph 2?A.creativeB. modernC. popularD. intelligent26. How do the public think of Huawei's use of the names?A. Confused.B. Unexpected.C. Approving.D. Doubtful.27. What can be inferred from the last two paragraphs?A. The film Ne Zha is not adapted from myths.B. The film Ne Zha is a big hit.C. More businesses follow Huawei's lead.D. Ancient myths is a good choice for entertainment.CPeople who sleep fewer than six hours a night are more likely to die early, researchers in University of Warwick have found in a recent study. They discovered that people who slept for less than six hours each night were 12% more likely to die before the age of 65 than those who slept the recommended six to eight hours a night.The researchers pointed out that previous studies had shown that the lack of sleep was associated with problems like heart disease and high blood pressure. However, the researchers also found that sleeping too much was linked to an early death. Those who slept for more than nine hours a night were 30% more likely to die early, as an article in the latest Sleep suggested. That directly contradicts another passage in the same journal last month suggesting that people who slept for ten hours or longer a night were more likely to live to 100. This was thought to be because people who lived into extreme old age were healthier and therefore slept better.However, the authors of the latest research contradicted this and suggested that long sleep was a sign of underlying illnesses such as depression and low levels of physical activity. Professor Francesco Cappuccio at the University of Warwick said: “ While short sleep may represent a cause of ill-health, long sleep is believed to represent more an indicator of ill-health.”He also mentioned: “ Modern society has seen a gradual reduction in the average amount of sleep people take, and this pattern is more common among full-time workers, suggesting that it may be due to social pressuresfor longer working hours. On the other hand, the worsening of our health is often accompanied by an extension of our sleeping time.”“Consistently sleeping six to eight hours per night may be good for health. However, whether to achieve the goal depends on various factors such as the environment as well as measures of public health aimed at favourable changes of the working environments,” Professor Francesco Cappuccio added.28.What did researchers in University of WarwickA.People who sleep fewer than 6 hours each night die before 65.B.Sleeping for more than 9 hours a night does good to one's health.C.Six to eight hours’ sleep can be appropriate for people.D.People at an old age are healthier because they sleep longer.29.What is Professor Francesco Cappuccio most likely to agree with?A.Long sleep is what causes our health problems.B.Modern people sleep less because they work longer.C.Our health becomes worse because we sleep less.D.How long we sleep depends on our education.30.What did the researcher think may help people have proper sleep?A.Social pressure.B. Longer working hours.C.Extension of sleeping time.D. Changes of working environments.31. What can be the best title for this passage?A. How Long Should We SleepB. Longer Sleep Makes Better HealthC. Time to Sleep EarlyD. The Importance of SleepDImagine a school where self-awareness is celebrated, students are encouraged to solve maths problems by writing on the walls and applying learned lessons to real life is more important than homework. These are a few of the concepts that makes Space of Mind School unique.Located in a home built in 1896 in Florida, US, the program serves students in grades 2 through 12 and will accept kindergarten students next year. It also offers an after-school program for students who attend traditional schools, as well as evening programs for adults and educators and weekend events for families.There is a different atmosphere from that of a traditional school building. Tables and brightly colored walls are white boards. In the science room, students are studying climate changes at a weather station, while in the music room, a student is solving an equation (等式) with his academic coach while he connects music theory and maths.The daily schedule at the school also stands out. “ We don’t assign boring or exhausting homework.” said Space of Mind founder and CEO Ali Kaufman. “ Instead of homework, we ask that they go home and take a video of themselves applying a lesson they learned or cooking a meal for their family that they learned how to make at school.”For lunch, instead of traditional cafeteria dishes such as pizza, the school offers organic meals made out of products from local gardens and farms. “ Our students also run a business at the Delray Beach Green Market on Saturdays so they can understand sustainable living practices and how to run a business,” Kafman said.“ We are also the first school program in Florida to start and end each day with 15 minutes of meditation (冥想),” Kaufman said. “ The positive results we have been seeing in the students from meditation are amazing. We are really about infusing social, emotional and creative skills with academic and life skills.”32.Space of Mind School_________.A.assigns no homework.B. urges students to use what they learnC.teaches students to earn money in classD. focuses on knowledge learning33. What can be inferred from the last paragraph?A. Yoga enjoys great popularity in US.B. The practice of meditation is amazing.C. The meditation session lasts 15 minutes daily.D.The students benefit from meditation.34. The underlined word “infusing" in the last paragraph probably means______.A. emphasizingB. checkingC. developingD. helping35. What is the text mainly about?A. What makes Space of Mind School outstanding.B. Why Space of Mind School is popular in US.C. How the after-class programs of space of Mind School are organized.D. How Space of Mind School cultivates students' life skills.第二节（共5小题，每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
惠州市2020届高三模拟考试 理科数学参考答案与评分细则
惠州市2020届高三模拟考试理科数学参考答案与评分细则一、选择题1.【解析】集合B=1x x ≥，则A B ⋃=}0x x >，故选A ．2.【解析】对于A ：(1)1i i i +=-，不是纯虚数；对于B ：22(1)22i i i +==-是实数对于C ：22(1)2i i i +=-为纯虚数；对于D ：234110i i i i i i +++=--+=不是纯虚数．故选C ． 3.【解析】因为5950a a +=，所以759250a a a =+=，即725a =，则1104738a a a a +=+=，故1101010()538190.2a a S +==⨯=故选D.4.【解析】由定义知si nα=45，3cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==-，故选B.5.【解析】,0,0xxx y x ππ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ ，故选B ．另解：(1)1f π=>，可排除CD ，1(1)1f π-=->-，可排除A ，故选B ．6.【解析】由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以①正确。
利用概率知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以④正确，故选B 。
7.【解析】选项 A 错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直；选项D 正确，由,//,n m m α⊥得,α⊥n 又，βαβ⊥∴⊂,n 故选D 。
8.【解析】从4个视频中选2个有24C 种方法，2篇文章全选22C 种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列为33A 种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列22A ，故满足题意的学法有2232423272C C A A =，选C 。
9.【解析】F ，设左焦点为0(F ，由题意可知APF ∆的周长l 为||||PA PF +||AF +，而000||2||,||||2||||||2PF a PF l PA PF a AF AF AF a =+∴=+++≥++=41)=，当且仅当0,,A F P 三点共线时取“=”，故选A 。
【试卷】惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学
惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则M N = （ ）A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3116B ．312C ．132D ．31324．已知,a b 为互相垂直的单位向量，若c a b =-，则cos ,b c =（ ）A．2-B．2C．3-D．35．下列说法正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学． ③在回归分析模型中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位． A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④6．若31cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且22ππα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A． B． CD7．设p ：实数,x y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数,x y 满足111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则p 是q 的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ）A ．115B ．117C ．122D ．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．】 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）ABC ．3D ．211．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论： ①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13； ②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒． 其中正确的是（ ） A ．①②④B ．②③C ．②④D ．③④12．设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ） A ．(,6)(6,)-∞-+∞ B ．(,4)(4,)-∞-+∞ C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据12100,,,x x x 的方差为8，则数据1210021,21,,21x x x ---的方差为 ．15．设x y 、为正数，若12yx +=，则12x y +的最小值是 ，此时x = ．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是12,F F ，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上任意一点，则1211PF PF +的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，b =2B A =．（1）求cos A ； （2）求c 边的值． 18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中N n *∈，λ为常数．（1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式． 19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AB PD ⊥；（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．ABCDP20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，且与x 轴交于点(,0)P a ．（1）若直线l 的斜率32k =，且32FP =，求AF BF +的值； （2）若0a >，x 轴上是否存在点M ，总有OMA OMB ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x x x <．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：122(1ln )x x a +<+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程； （2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x -≤，其中0m >． （1）求m 的值；（2）若正数a b c 、、满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥．。
广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题含答案解析
广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题一、单选题(共24 分)1已知集合A={x|1≤x≤3}B={x|y=ln(2−x)}则A∩B=（）A[1,2)B(1,2)C(1,3)D(1,3]【答案】A【分析】先求集合B中的x的取值范围再根据交集运算求解即可【详解】∵B={x|y=ln(2−x)}∴B={x|x<2}则A∩B=[1,2)故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算属于基础题2复数z满足iz=2+i其中i为虚数单位则|z|=（）A1B√3C2D√5【答案】D【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得z=2+ii=1−2i|z|=√1+4=√5故选：D3已知向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)．若a⃗∥b⃗⃗则m=（）A6B−6C−32D2 3【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解【详解】由向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)且a⃗∥b⃗⃗则−3×2−m=0解得m=−6．故选：B4已知a=ln12,b=(12)−3,c=tan15°1−tan215°则abc的大小关系是（）A a>b>cB c>b>aC b>c>aD a>c>b 【答案】C【分析】分别化简a,b,c即可明显比较出三者大小关系【详解】因为a=ln12=−ln2<0b=(12)−3=8c=tan15°1−tan215°=12tan30°=√36<1所以b>c>a故选：C5在一次篮球比赛中某支球队共进行了8场比赛得分分别为：2930382537404232那么这组数据的第75百分位数为（）A375B38C39D40【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52而8×75%=6故第75百分位数为38+402=39故选：C6金针菇采摘后会很快失去新鲜度甚至腐烂所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mln(t+a)(a>0)．若采摘后1天金针菇失去的新鲜度为40%采摘后3天金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知√2≈1.414结果取一位小数）（）A40天B43天C47天D51天【答案】C【分析】由已知条件两式相除求出a设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知{mln(1+a)=0.4mln(3+a)=0.8相除得ln(3+a)ln(1+a)=2ln(3+a)=2ln(1+a)(1+a)2=3+a因为a>0故解得a=1设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1又mln(1+1)=0.4所以ln(t+1)ln2=10.42ln(t+1)=5ln2=ln32(t+1)2=32t+1=√32=4√2=4×1.414=5.656t=4.656≈4.7．故选：C．7已知F1F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点点P在椭圆上且在第一象限过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线垂足为AO为坐标原点若|OA|=√3b则该椭圆的离心率为（）A2√23B√63C√33D√23【答案】B【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系再由离心率的概念求解．【详解】设F1P与F2A交于点Q由题意PA⊥F2APA平分∠F2PQ则|PQ|=|PF2|A是F2Q中点|QF1|=|PF1|+|PQ|=2a 而O是F1F2中点故OA是△F1F2Q的中位线|QF1|=2|OA|则2a=2√3ba=√3bc2=a2−b2=23a2e=ca=√63故选：B8已知函数f (x )=e |x|−12g (x )={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0若关于x 的方程g(f (x ))−m =0有四个不同的解则实数m 的取值集合为（ ） A (0,ln22) B (ln22,1) C {ln22} D (0,1)【答案】A 【分析】设t =f(x)根据f(x)的解析式可得f(x)的单调性、奇偶性即可作出f(x)的图象即可求得t 的最小值利用导数判断g(x)的单调性结合t 的范围作出g(t)的图象数形结合可得 m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意即可得答案 【详解】设t =f(x)则g(t)−m =0有四个不同的解 因为f(−x)=e |−x|−12=e |x|−12=f(x)所以t =f(x)为偶函数且当x >0时f(x)=e x −12为增函数 所以当x ≤0时t =f(x)为减函数 所以t min =f(0)=e 0−12=12即t ≥12当x >0时g(x)=(x −1)lnx则g ′(x)=lnx +1x(x −1)=lnx −1x+1令g ′(x)=0解得x =1所以当x ∈(0,1)时g ′(x)<0g(x)为减函数 当x ∈(1,+∞)时g ′(x)>0g(x)为增函数 又g (12)=−12ln 12=ln22作出x >0时g(x)的图象如图所示：所以当m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点且设为t 1,t 2作出t =f(x)图象如下图所示：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意 综上实数m 的取值范围为(0,ln22)故选：A 【点睛】解题的关键是根据解析式利用函数的性质作出图象将方程求根问题转化为图象求交点个数问题考查分析理解数形结合的能力属中档题 二、多选题(共 9 分)9已知数列{a n }的前n 项和为S n =11n −n 2则下列说法正确的是（ ） A {a n }是递增数列B a 2=8C数列{S n}的最大项为S5和S6D满足S n>0的最大的正整数n为10【答案】BCD【分析】由a n与S n关系求通项判断AB由二次函数性质判断CD．【详解】由S n=11n−n2得当n=1时a1=10当n≥2时a n=S n−S n−1=11n−n2−11(n−1)+(n−1)2=−2n+12n=1时也满足故a n=−2n+12a2=8A错误B正确故当n=5或n=6时S n最大故C正确由二次函数y=11x−x2的对称轴为112满足S n>0得0<n<11最大的正整数n为10故D正确故选：BCD10某班级到一工厂参加社会实践劳动加工出如图所示的圆台O1O2在轴截面ABCD中AB=AD= BC=2cm且CD=2AB则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为3√3cm2cm3C该圆台的侧面积为6πcm2D该圆台的体积为7√3π3【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项【详解】如图作BE⊥CD交CD于E易得CE=CD−AB2=1则BE=√22−12=√3则圆台的高为√3cm A错误；圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3cm2B正确；圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π故C正确；圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π⋅4π)=7√3π3cm3D正确故选：BCD11某校高二年级在一次研学活动中从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观要求所有景点全部参观且不重复记“第k站参观甲地的景点”为事件A k k=12…7则（）A P(A6)=37B P(A2∣A1)=13C P(A1+A2)=27D P(A2A3)=1249【答案】AB【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项继而根据条件概率的计算公式可判断B选项结合对立事件判断D选项【详解】由题意可得P(A6)=C31A66A77=37,A正确；P(A1)=C31A66A77=37,P(A2A1)=A32A55A77=17,P(A2∣A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13故B正确；由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57C错误；P(A2A3)=C31C41A55A77=1242=27,所以D错误故选：AB三、单选题(共3 分)12已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)则ω的可能取值为（）A127B95C67D35【答案】ABD【分析】由三角函数的性质判断周期后求解．【详解】f(x)在[−π3,π6]上单调则T2≥π6−(−π3),T≥π而f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)有以下情况①4π3−π6=7π6=kT,k∈Z而T≥π则k=1T=7π6ω=2πT=127②4π3−(−π3)=5π3=kT+T2,k∈Z而T≥π则k=1T=10π9ω=2πT=95或k=0T=10π3ω=2πT=35综上ω的可能取值为1279 5 3 5故选：ABD四、填空题(共12 分)13在(x+2x )5的展开式中x3的系数是___________【答案】10【分析】由二项式定理求解．【详解】(x+2x )5的展开通项为T r+1=C5r x5−r(2x)r=C5r⋅2r x5−2r当r=1时x3的系数为10故答案为：1014已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l与x轴平行的直线与l和C分别交于AB两点若|AF|= |BF|则|AB|=______【答案】4【分析】抛物线的定义结合题意得到△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H |AB |=2|FH |即可得出答案 【详解】由抛物线的定义可知|AF |=|BF |=|AB |△ABF 为等边三角形 设准线l 与x 轴交于点H 则|FH |=2|AB |=2|FH |=4 故答案为：415已知点A (2,−1,3)若B (1,0,0)C (1,2,2)两点在直线l 上则点A 到直线l 的距离为______ 【答案】3 【分析】先求与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量u ⃗⃗然后由公式d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2可得 【详解】依题意AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,−3)而BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2) 故与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量为u ⃗⃗=√2√2)则所求距离d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2=√11−2=3 故答案为:316已知正四面体ABCD 的棱长为2P 为AC 的中点E 为AB 中点M 是DP 的动点N 是平面ECD 内的动点则|AM|+|MN|的最小值是_____________【答案】√33+36【分析】取CE中点O先由OP⊥面CDE得N在线段DO上再把△PDO沿PD翻折到平面APD上得到|AM|+ |MN|的最小值即A到OD的距离再借助三角函数的知识求出最小值即可【详解】取CE中点O连接DO,OP由正四面体可知DE⊥AB,CE⊥AB又DE∩CE=E∴AB⊥面CDE又OP∥AB∴OP⊥面CDE当|AM|+|MN|最小时MN⊥面CDE故N在线段DO上由OP⊥面CDE可得OP⊥OD又OP=12AE=14AB=12DP=√22−12=√3OD=√3−14=√112将△PDO沿PD翻折到平面APD上如图所示：易知∠ADP=30∘sin∠ODP=OPDP =2√3cos∠ODP=ODDP=√112√3,则sin∠ODA=sin(∠ODP+30∘)=sin∠ODPcos30∘+cos∠ODPsin30∘=3+√3312故|AM|+|MN|的最小值即A到OD的距离即AD⋅sin∠ADO=2×3+√3312=3+√336故答案为：√33+36五、问答题(共6 分)已知{a n}为等差数列{b n}是公比为正数的等比数列a1=b1=2a2=2b1−1b3=2a2+217 求数列{a n}和{b n}的通项公式；18 设数列{c n}满足c n=1a n log2b n记{c n}的前n项和为S n求S2023【答案】17 a n=n+1,b n=2n18 20232024【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解（2）由裂项相消法求解．【17题详解】设{a n}的公差为d{b n}的公比为q(q>0)由题得{2+d=2×2−12q2=2(2+d)+2解得{d=1q=2则a n=n+1,b n=2n【18题详解】c n=1a n log2b n=1n(n+1)=1n−1n+1S2023=1−12+12−13+⋯+12023−12024=20232024六、解答题(共18 分)如图已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中所有棱长均为2底面ABCD是正方形侧面ADD1A1是矩形点P为D1C1的中点且PD=PC19 求证：DD 1⊥平面ABCD ；20 求平面CPB 与平面DPB 的夹角的余弦值 【答案】19 证明详见解析 20√55【分析】（1）通过证明DD 1⊥AD,DD 1⊥CD 来证得DD 1⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求得平面CPB 与平面DPB 夹角的余弦值 【19题详解】设Q 是CD 的中点连接PQ 由于P 是C 1D 1的中点所以DD 1//PQ 由于PD =PC 所以PQ ⊥CD 所以DD 1⊥CD 由于四边形ADD 1A 1是矩形所以DD 1⊥AD 由于CD ∩AD =D,CD,AD ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥平面ABCD 【20题详解】由于四边形ABCD 是正方形结合（1）的结论可知AD,CD,DD 1两两相互垂直 以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D (0,0,0),P (0,1,2),B (2,2,0),C (0,2,0)DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)设平面DPB 的法向量为m ⃗⃗⃗=(x,y,z )则{m ⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y +2z =0m ⃗⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y =0 故可设m ⃗⃗⃗=(2,−2,1)设平面CPB 的法向量为n ⃗⃗=(a,b,c ) 则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a =0n ⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b +2c =0故可设n ⃗⃗=(0,2,1) 设平面CPB 与平面DPB 的夹角为θ 则cosθ=|m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=3×√5=√55已知函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 21 求a,b ；22 若过点(1,m )存在三条直线与曲线y =f (x )相切求买数m 的取值范围 【答案】21 a =2,b =−3 22 (−14,0) 【分析】（1）根据题意可得f ′(1)=0,f (1)=0即可得解；（2）切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)根据导数的几何意义可得切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)从而可得m =−4x 03+9x 02−6x 0+1再根据过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根利用导数求出函数y =−4x 3+9x 2−6x +1的单调区间及极值即可得解【21题详解】由题意知f ′(x )=3ax 2+2bx因为函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 所以f ′(1)=3a +2b =0,f (1)=a +b +1=0解得a =2,b =−3 经检验符合题意所以a =2,b =−3； 【22题详解】由（1）可知函数f (x )=2x 3−3x 2+1所以f ′(x )=6x 2−6x设切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)所以切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)因为切线过点(1,m ) 所以m −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(1−x 0)即m =−4x 03+9x 02−6x 0+1令ℎ(x )=−4x 3+9x 2−6x +1则ℎ′(x )=−12x 2+18x −6=−6(2x −1)(x −1) 令ℎ′(x )=0解得x =12或x =1当x 变化时ℎ′(x ),ℎ(x )的变化情况如下表所示因此当x =12时ℎ(x )有极小值ℎ(12)=−14 当x =1时ℎ(x )有极大值ℎ(1)=0过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根则−14<m <0 所以实数m 的取值范围是(−14,0) 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导根据导数的方法求出函数的单调区间与极值根据函数的基本性质作出图象然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题突出导数的工具作用体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由f (x )=0分离变量得出a =g (x )将问题等价转化为直线y =a 与函数y =g (x )的图象的交点问题23ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已知asin A+C 2=bsinA ．（1）求B ；（2）若ΔABC 为锐角三角形且c =1求ΔABC 面积的取值范围． 【答案】(1) B =π3;(2)(√38,√32) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式得到关于B 的三角方程最后根据A,B,C 均为三角形内角解得B =π3 (2)根据三角形面积公式S △ABC =12ac ⋅sinB 又根据正弦定理和c =1得到S △ABC 关于C 的函数由于△ABC 是锐角三角形所以利用三个内角都小于π2来计算C 的定义域最后求解S △ABC (C)的值域 【详解】 (1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得A+C 2=π2−B2此时asinA+C 2=bsinA 就变为asin (π2− B2)=bsinA ．由诱导公式得sin (π2−B2)=cos B2所以acos B2=bsinA ． 在△ABC 中由正弦定理知a =2RsinA,b =2RsinB 此时就有sinAcos B2=sinAsinB 即cos B2=sinB再由二倍角的正弦公式得cos B2=2sin B2cos B2解得B =π3． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB 的值可得∠B 的值】 由解法1得sinA+C 2=sinB 两边平方得sin 2A+C 2=sin 2B 即1−cos(A+C)2=sin 2B ．又A +B +C =180°即cos(A +C)=−cosB 所以1+cosB =2sin 2B 进一步整理得2cos 2B +cosB −1=0 解得cosB =12因此B =π3．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C 的比例关系】根据题意asinA+C 2=bsinA 由正弦定理得sinAsinA+C 2=sinBsinA因为0<A <π故sinA >0 消去sinA 得sin A+C 2=sinB ． 0< B <π0<A+C 2<π因为故A+C 2=B 或者A+C 2+B =π而根据题意A +B +C =π故A+C 2+B =π不成立所以A+C 2=B又因为A +B +C =π代入得3B =π所以B =π3 (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围然后由面积函数求面积的取值范围】 因为△ABC 是锐角三角形又B =π3所以π6<A <π2,π6<C <π2 则S △ABC =12acsinB= 12c 2⋅ac⋅sinB =√34⋅sinA sinC=√34⋅sin(2π3−C)sinC= √34⋅sin2π3cosC−cos 2π3sinC sinC=38tanC+√38． 因为C ∈(π6,π2)所以tanC ∈(√33,+∞)则1tanC ∈(0,√3) 从而S △ABC ∈(√38,√32)故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a ． 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3 所以{cosA =b 2+1−a 22b >0,cosC =b 2+a 2−12ab >0,即{b 2+1−a 2>0，b 2+a 2−1>0. 又由余弦定理得b 2=a 2+1−a 所以{2−a >0,2a 2−a >0, 即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法三]【数形结合利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图在△ABC 中过点A 作AC 1⊥BC 垂足为C 1作AC 2⊥AB 与BC 交于点C 2． 由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3所以点C 位于在线段C 1C 2上且不含端点从而c ⋅cosB <a <ccosB 即cos π3<a <1cosπ3即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用24已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合且双曲线的离心率为√5(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆C1,C2它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上过双曲线右焦点且斜率为−1的直线l与圆C1,C2都相切求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）5x2−54y2=1；（2）(−2,2)【分析】（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=ca=√5及a2+ b2=c2即可解得ab；（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切利用点到直线的距离公式可得√2=√2经过化简可得n与t的关系再利用斜率计算公式即可得出k=2t+2nt−n把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．【详解】解：（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．又e=ca=√5a2+b2=c2解得a2=15b2=45．∴双曲线的方程为5x2−54y2=1．（2）直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切所以√2=√2得直线l与t+2t−1=n−2n−1或t+2t−1=−n+2n+1即n=−3t或n=3t−2设两圆C1C2圆心连线斜率为k则k=2t+2nt−n 当n=−3t时k=2t−6t4t=−1；当n=3t−2时k=2t+2nt−n =4t−2−t+1∵t>0n<0∴0<t<23故可得−2<k<2综上：两圆C1C2圆心连线斜率的范围为(−2,2)．七、应用题(共6 分)某企业对生产设备进行优化升级升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1）各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时设备正常运行否则设备停止运行记设备正常运行的概率为p k（例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）25 若p=23当k=2时求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望并求p2；26 已知设备升级前单位时间的产量为a件每件产品的利润为4元设备升级后在正常运行状态下单位时间的产量是原来的2倍且出现了高端产品每件产品成为高端产品的概率为14每件高端产品的利润是8元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（i）请用p k表示E（Y）；（ii）设备升级后若将该设备的控制系统增加2个相同的元件请分析是否能够提高E（Y）【答案】25 分布列见解析数学期望为2P2=202726 （i）E(Y)=10ap k；（ii）当12<p<1时E(Y)提高；当0<p≤12时E(Y)没有提高【分析】（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望从而求得p2（2）（i）求得Y的分布列从而求得E(Y)（ii）通过差比较法对p进行分类讨论来分析能否提高E(Y)【25题详解】因为k=2所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3因为每个元件的工作相互独立且正常工作的概率均为p =23所以X ∼B (3,23) 所以P (X =0)=C 30⋅(23)0⋅(13)3=127P (X =1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=29P (X =2)=C 32⋅(23)2⋅(13)1=49P (X =3)=C 33⋅(23)3⋅(13)0=827所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为：控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E (X )=3×23=2p 2=P (X =2)+P (X =3)=49+827=2027【26题详解】（i ）设备升级后在正常运行状态下单位时间内的利润为a2×8+3a 2×4=10a所以Y 的分布列为：所以E (Y )=10a ×p k +0×(1−p k )=10ap k（ii ）若控制系统增加2个元件则至少要有k +1个元件正常工作设备才能正常工作 设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作其概率为P (ξ≥k +1)=p k −C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作新增2个元件中至少有1个正常工作其概率为P (ξ=k )=C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1⋅[1−(1−p )2]=C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )；第三类：原系统中恰好有k −1个元件正常工作新增2个元件全部正常工作其概率为P (ξ=k −1)=C 2k−1k−1⋅p k−1⋅(1−p )k ⋅p 2=C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k所以p k+1=p k −C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1+C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )+C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k=p k +C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以p k+1−p k =C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以当12<p <1时p k+1−p k >0p k 单调递增即增加2个相同元件设备正常工作的概率变大； 当0<p ≤12时p k+1−p k ≤0即增加2个相同元件设备正常工作的概率没有变大 因为E (Y )=10ap k所以当12<p <1时E (Y )提高；当0<p ≤12时E (Y )没有提高。
2020惠州二模理科数学试题
惠州市2020届高三模拟考试数 学 试 题 （理科）参考公式：锥柱体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y b x =-⋅．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( ) A ．A B ⊇ B ．A B = C ．A B ⊆ D ．A B φ=2．已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =- 4．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 5．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )A ．3B ．7C ．19D ．23 6．下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”．7．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203 D ．68．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设'()f x 是函数)(x f y =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
【教师版】惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学
惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则M N =I （ ） A ．(2,0)- B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]1．答案：C解析：{|1},{|22}M x x N x x =>=-≤≤，所以(1,2]M N =I ． 2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i - B ．iC ．2i -D ．2i2．答案：B解析：21i (1i)2ii,i 1i (1i)(1i)2z z ---====-∴=++-． 3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3116B ．312C ．132D ．31323．答案：D解析：当1n =时，1111S a a ==-，解得112a =， 当2n ≥时，1n n S a =-，111n n S a --=-，两式相减，整理得：11(2)2n n a a n -=≥， 所以数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴==-．4．已知,a b rr 为互相垂直的单位向量，若c a b =-r r r ，则cos ,b c =r r （ ）A．2-B．2C．3-D．34．答案：A解析：方法一：()222222c a ba ab bc =-=-⋅+=∴=rr r r r r r r ，()21b c b a b b a b ⋅=⋅-=⋅-=-r r r r r r r r ，所以cos ,2b c b c b c ⋅===-⋅r rr r r r ．方法二：几何法：作图可知，向量b r 与向量c r的夹角为34π，所以3cos ,cos 4b c π==r r ． OA Bar brc r方法三：坐标法：不妨设(1,0),(0,1)a b ==r r ，则(1,1)c a b =-=-rr r ，所以cos ,2b c b c b c ⋅===-⋅r rr r r r ．5．下列说法正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学． ③在回归分析模型中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位． A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④5．答案：B解析：①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确．故选B ． 6．若31cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且22ππα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A．9-B．9-C．9D．96．答案：A解析：311cos sin ,sin ,,cos 233223πππααααα⎛⎫-=-=∴=--∴=⎪⎝⎭Q ≤≤，1sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫∴==⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 7．设p ：实数,x y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数,x y 满足111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤，则p 是q 的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要7．答案：A解析：如图，由集合的包含关系可知p 是q 的必要不充分条件．Oxy8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ） A ．115B ．117C ．122D ．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．】 8．答案：C解析：不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C =． 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）9．答案：B解析：定义域为(0,1)(1,)+∞U ，排除A ，C ，当0x →时，ln 1,()0x x f x --→+∞→； 当x →+∞时，ln 1,()0x x f x --→+∞→．故选B ．10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）ABC．3D ．210．答案：A解析：解法一：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，在12PF F △中，由余弦定理得：22222222212(2)cos cos602x y c F PF xy +-∠=︒==123a a ∴=， 221223,c a a a c ∴===所以双曲线的离心率22ce a == 解法二：由焦半径三角形的面积公式：设在椭圆中，有122211tantan 2F PF S b b θ==△在双曲线中，有12222222tan 30tan2F PF b b S θ===︒△，2212=，所以2212123,b b b ==，由221212121,c e e c a a a a ==∴=， 42222222222422412122222()()(3)()230c a a b c c b b c c b c b c b ∴==+-=+-=+-=，222222222222222123,,,333c c b a c b c c c a e a ∴==-=-=∴===．解法三：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则22124x y a a -=， 即2221212PF PF F F -=，所以12F PF △是直角三角形，又1260F PF ∠=︒，所以双曲线的离心率12222122221F F c c e a a PF PF =====--11．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论： ①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13； ②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒． 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．②③C ．②④D ．③④11．答案：C解析：如图，AC BD O =I ，DE AC ⊥于E，则2,AC BD DE ===ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此时体积最大值为1111324D ABC V -⎛=⨯⨯= ⎝，①错误； 在翻折过程中，始终有1OA OB OC OC ====，所以O 为外接球的球心，球的半径1R =，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；由①可知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是90︒，③错误；当点D 的射影落在BC 上时，直线AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．EODCABABCDO E12．设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞UB ．(,4)(4,)-∞-+∞UC ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U12．答案：C 解析：当()2xk k mπππ=+∈Z ，即212k x m+=时，()f x 取得极值存在极值点0x 使22200[()]x f x m +<成立，亦即存在k 使2(21)(23)120k k m -++<成立，因此，只需(21)(23)k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以23120m -+<，即24m >，所以(,2)(2,)m ∈-∞-+∞U ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ． 13．答案：13解析：211()3,(1)312,3f x ax f a a x ''=+∴=+=∴=． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据12100,,,x x x L 的方差为8，则数据1210021,21,,21x x x ---L 的方差为 ． 14．答案：32解析：公式：2()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=， 因为()8,(21)4()32D X D X D X =∴-==．15．设x y 、为正数，若12yx +=，则12x y +的最小值是 ，此时x = ．15．答案：4（3分）12（2分）解析：1212222422y y x x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当22y x x y =，即12,2y x x ==时等号成立． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是12,F F ，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上任意一点，则1211PF PF +的取值范围是 ． 16．答案：[1,4]解析：由已知得22,1b b =∴=，112(),222F AB S a c b a c =-=∴-=-△ 又222()()1a c a c a c b -=+-==，可得2a c +=+解得2,a c ==所以1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PFx =-，且22x ≤，所以2121111444PF PF x x x x+=+=--+， 224(2)4[1,4]x x x -+=--+∈，所以1211[1,4]PF PF +∈． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，b =2B A =．（1）求cos A ； （2）求c 边的值． 17．解析：（1）由正弦定理sin sin a bA B=……………………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得2sin sin 2A A=……………………………………………………………………………………2分即2sin A =………………………………………………………………………………3分 因为sin 0A ≠，可解得cos A =．………………………………………………………………4分 （2）解法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得2222c c =+-，整理得：22520c c -+=………………………………6分 解得2c =或12c =………………………………………………………………………………8分 当2c a ==时，得A C =，又因为2B A =，故,42A CB ππ===，……………………9分所以b =，与已知矛盾，所以2c =不满足要求．………………………………………10分当12c =时，经检验符合要求．…………………………………………………………………11分 综上可知：12c =．……………………………………………………………………………12分【注】无检验过程最多只能得8分． 解法二：由（1）知cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．所以sin 4A =………………………………………………………………………………………………6分 又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-……………………9分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得22352228c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得22320c c --=………………………………10分即(21)(2)0c c -+=，又因为0c >…………………………11分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 得12c =， 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分 解法三：由（1）知cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．所以sin 4A =………………………………………………………………………………………………6分 又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分sin sin 22sin cos 2B A A A ====9分 因为A B C π++=，所以3sin sin()sin cos cos sin 484816C A B A B A B ⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭………………10分 由正弦定理：sin sin a c A C =416=，解得12c =………………………………………………11分 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中N n *∈，λ为常数．（1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式．18．解析：（1）将1n =代入1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2122a a λ=+………………………………2分 由11a =，283a =，得3λ=．……………………………………………………………………………4分 （2）由11113n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得1113n n na a n n +-=+…………………………………………………5分 即113n n nb b +-=．…………………………………………………………………………………………6分 当1n =时，1111ab ==，………………………………………………………………………………7分当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L ………………………………………8分121111113131133322313nn n n ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++==-⨯-L …………………………………………………11分 因为11b =也符合上式，所以131()223n n b n *-=-∈⨯N ．……………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AB PD ⊥；（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．ABCDP19．解析：（1）依题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥……………………………………1分AB ⊂Q 平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，…………………2分【注】此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分AB ∴⊥平面PAD …………………3分，又PD ⊂平面PAD ……………4分，AB PD ∴⊥…………5分 （2）在PAD △中，取AD 中点O ，连接PO ，,,PA AD PO AD PO =∴⊥∴⊥Q 平面ABCD ……6分 以O 为坐标原点，分别以OA 为x 轴，过点A 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．………………………………………………………………………………7分 设2PA =，90APD ∠=︒Q，AD ∴=2,0),(2,0),22P B C A Q⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭，2,(1,22PB BC AQ⎛∴==-=--⎝⎭u u u r u u u r u u u r………………………………8分设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=r，则20n PB yn BC⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u rr u u u r，取1y=，得n=r………………………………………………………………………………9分设直线AQ与平面PBC所成角为θ，则sin cos,AQ nAQ nAQ nθ⋅===⋅u u u r ru u u r ru u u r r……………………10分因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cosθ∴==…………………………………………………………11分所以直线AQ与平面PBC12分20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x=的焦点为F，直线l与C交于,A B两点，且与x轴交于点(,0)P a．（1）若直线l的斜率32k=，且32FP=u u u r，求AF BF+的值；（2）若0a>，x轴上是否存在点M，总有OMA OMB∠=∠？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．解析：（1）解法一：依题意，设3:()2l y x a=-，………………………………………………1分将其代入2:2C y x=，整理得：229(188)90x a x a-++=①………………………………2分由0∆>，得29a>-……………………………………………………………………………………3分又1,02FP a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 且32FP =u u u r ，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为2944360x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12449x x +=……………………5分 1244531199AF BF x x ∴+=++=+=．……………………………………………………………6分 解法二：依题意，设3:()2l y x a =-，………………………………………………1分 将其代入2:2C y x =，整理得：23460y y a --= ①…………………………………………2分 16720a ∴∆=+>，即29a >- ……………………………………………………………………………3分 又1,02FP a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 且32FP =u u u r ，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为234120y y -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,43y y y y +==-…………5分 22212121212()253111229y y y y y y AF BF x x ++-∴+=++=+=+=………………………………6分 （2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性知，存在点M 满足OMA OMB ∠=∠………………7分 若直线l 存在斜率，设为(0)k k ≠，则:()l y k x a =-，联立2:2C y x =，整理得：2220ky y ka --=，212122480,,2k a y y y y a k∆=+>∴+==-Q ………………8分 设(,0)M m ，由OMA OMB ∠=∠易知MA MB k k =-，即12120y y x m x m+=--…………………9分 122112()0y x y x m y y ∴+-+=，即22211212()22y y y y m y y ⋅+⋅=+……………………………10分 12121212122()(),0,222y y y y a y y m y y y y m a -∴+=++≠∴===-Q ，所以(,0)M a -……11分 综上所述，当0a >时，x 轴上存在点(,0)M a -，总有OMA OMB ∠=∠……………………12分P B A F O M PBAO21．（本小题满分12分） 已知函数122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：122(1ln )x x a +<+． 21．解析：（1）由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分 由题意(0,2)x ∈，则320x x->，设11()(0),()x x h x e ax x h x e a --'=->=-． 由题意，知12,x x 是()y h x =在(0,2)上的两个零点．当0a ≤时，()0h x '>，则()h x 在(0,2)上递增，()h x 至多有一个零点，不合题意；……2分 当0a >时，由()0h x '=，得1ln x a =+，(1ln )ln h a a a +=-……………………………3分（i ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =->，即02e a <<时，()h x 在(0,1ln )a +上递减，(1ln ,2)a +递增； 若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-≥，即0a e <≤时，()h x 至多有一个零点，不合题意，舍去； 若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-<，即12e a <<时，又1(2)0,(0)0h h e>=>Q ， 从而，()h x 在(0,1ln )a +和(1ln ,2)a +上各有一个零点． 所以12e a <<时，()y h x =在(0,2)上存在两个零点．………………………………………………4分 （ii ）若1ln 2a +>，即a e >时，()h x 在(0,2)上单调递减，()h x 至多有一个零点，舍去…………5分 （iii ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =-≤，即2e a e <≤时，()h x 在(0,1ln )a +上有一个零点，在 (1ln ,2)a +上没有零点，舍去．综上可得，实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分 （1）解法二：由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分 由题意(0,2)x ∈，则320x x->，由题意知12,x x 是1,0x y e ax x -=->在(0,2)上的两个零点． 由10x y e ax -=-=，得1x e a x-=，………………………………………………………………………2分从而只需直线y a =与函数1()x e g x x-=的图象在(0,2)有两个交点．…………………………3分 由2(1)()x x e g x x -'=得1()x e g x x-=在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,2)内单调递增， 所以min ()(1)1,(2)2e g x g g ===．……………………………………………………………………4分 且0x →时，()g x →+∞．……………………………………………………………………………5分 所以实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分 （2）解法一：令()()(22ln ),01ln H x h x h a x x a =-+-<<+…………………………7分 则211()()(22ln )2220x x a H x h x h a x e a a a e--'''=++-=+--=≥， 所以()H x 在(0,1ln )a +上递增，……………………………………………………………………8分 111()()(22ln )(1ln )0H x h x h a x H a ∴=-+-<+=……………………………………………………10分 而12()()h x h x =，且()h x 在(1ln ,2)a +递增；21()(22ln )h x h a x ∴<+-………………………………………………………………………………11分 211222ln ,2(1ln )x a x x x a ⇒<+-∴+<+，命题得证．………………………………………12分解法二：由（1）有12111112121222ln ln 12ln ln()2ln ln 1x x ax e a x x a x x x x a x x ax e--⎧=+=-⎧⎪⇒⇒+=+-⎨⎨+=-=⎪⎩⎩…………7分 则证明1212122112(1ln )ln()001x x a x x x x x x +<+⇔<⇔<<⇔< ①………………………8分 下证①式成立，由10x e ax --=，得1x e a x-=， 令1()x e g x x-=，则1122(1)()(),()x e x g x g x g x x --'==………………………………………………9分 易知1201x x <<<，从而①式221111111()()x g x g g x g x x x ⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………10分 又令1()(),01G x g x g x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，即证()0G x <对01x <<成立．11121()x x x G x e xe x --⎛⎫-'=⋅- ⎪⎝⎭．设111()x x h x e xe --=-，则1111()0x x x h x e e x ---⎛⎫'=+⋅> ⎪⎝⎭，…………………………………………11分 从而()(1)0,()0,()(1)0h x h G x G x G '<=>∴<=．即01x <<，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即111()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ 从而①式成立．122(1ln )x x a ∴+<+，命题得证．……………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 22．解析：（1）由cos cos 1sin 1sin x x y y αααα==⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩……………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分 平方相加，得：22(1)1x y +-=，所以圆C 的普通方程为：22(1)1x y +-=…………………………2分 又cos ,sin x y ρθρθ==……………………………………3分【注】无写出此步骤，本得分点不给分 22(cos )(sin 1)1ρθρθ∴+-=…………………………………………………………………………4分 化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．……………………………………………………………5分（2）解法一：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin 16P πρ==………………………………7分 把6πθ=代入直线l 的极坐标方程可得：sin 2,263Q ππρρ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭……………………………9分 所以线段PQ 的长1P Q PQ ρρ=-=………………………………………………………………10分 （2）解法二：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin16P πρ==………………………………7分 直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为4y =+， 射线:6OM πθ=的直角坐标方程为(0)y x x =≥ …………………………………………8分 记直线l 与x 轴交点为A ，则OAQ △为直角三角形，其中30QOA ∠=︒，根据勾股定理可得2OQ = …………………………………………………………………………9分 所以线段PQ 的长1PQ OQ OP =-=…………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x -≤，其中0m >．（1）求m 的值；（2）若正数a b c 、、满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥． 23．（1）解法一：由题意知20x m x m x >⎧⎨-+⎩≤或20x m m x x ⎧⎨-+⎩≤≤………………………………1分 化简得：3x m m x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或x m x m ⎧⎨-⎩≤≤ ……………………………………………………………………2分 0m >Q ，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤…………………………………………………………4分 2m ∴-=-，解得：2m =……………………………………………………………………………5分解法二：由题意知：22x x m x --≤≤，…………………………………………………………………1分 所以3x m m x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤………………………………………………………………………………………………2分 0m >Q ，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤…………………………………………………………4分 2m ∴-=-，解得：2m =……………………………………………………………………………5分（2）解法一：基本不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++=…………………………6分 由基本不等式，有2222,2,2b c a a b b c c a a b c+++≥≥≥……………………………………………8分 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++++≥………………………………………………9分 222b c a a b c a b c ∴++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分 解法二：柯西不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++=…………………………6分由柯西不等式2222()()b c a a b c b c a a b c ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭≥， 所以222b c a a b c a b c ++++≥，即2222b c a a b c ++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分。
惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则
理科数学参考答案与评分细则
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
B
DA
B
A
A
C
B
A
C
C
1．【解析】 M = x x 1, N = x | −2 x 2 ，所以 M N = (1，2 ，故选 C．
2．【解析】 (1+ i) z =1− i ， z = 1− i = (1− i)2 = −2i = −i ， z 的共轭复数为 z = i ，故选 B． 1+ i (1+ i)(1− i) 2
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）将
n
= 1代入
an+1
=
1+
1 n
an
+
n +1 ，得 n
a2
=
2a1
+
2
……………………2 分
由
a1
= 1,
a2
=
8 3
，得
=
3.
……………………………………………………………4 分
（2）由 an+1
=
1
+
1 n
an
+
得
5
=
22
+
c2
−
2
2c
−
3 8
整理得
2c 2
−
3c
−
2
=
0
……………10 分
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惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则M N = （ ）A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]1．答案：C解析：{|1},{|22}M x x N x x =>=-≤≤，所以(1,2]MN =．2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i - B ．iC ．2i -D ．2i2．答案：B解析：21i (1i)2ii,i 1i (1i)(1i)2z z ---====-∴=++-． 3．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3116B ．312C ．132D ．31323．答案：D解析：当1n =时，1111S a a ==-，解得112a =， 当2n ≥时，1n n S a =-，111n n S a --=-，两式相减，整理得：11(2)2n n a a n -=≥， 所以数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴==-．4．已知,a b 为互相垂直的单位向量，若c a b =-，则cos ,b c =（ ）A．2-B．2C．3-D．34．答案：A解析：方法一：()2222222c a b a a b b c =-=-⋅+=∴=，，()21b c b a b b a b ⋅=⋅-=⋅-=-，所以cos ,212b c b c b c⋅===-⨯⋅．方法二：几何法：作图可知，向量b 与向量c 的夹角为34π，所以3cos ,cos 4b c π==． OA Babc方法三：坐标法：不妨设(1,0),(0,1)a b ==，则(1,1)c a b =-=-，所以cos ,212b c b c b c⋅===-⨯⋅．5．下列说法正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学． ③在回归分析模型中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位． A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④5．答案：B解析：①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确．故选B ． 6．若31cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且22ππα-≤≤，则sin 2α的值为（）A．9-B．9-C ．9D ．96．答案：A 解析：311cos sin ,sin ,,cos 233223πππααααα⎛⎫-=-=∴=--∴=⎪⎝⎭≤≤， 1sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫∴==⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 7．设p ：实数,x y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数,x y 满足111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则p 是q 的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要7．答案：A解析：如图，由集合的包含关系可知p 是q 的必要不充分条件．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ） A ．115B ．117C ．122D ．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．】 8．答案：C解析：不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C =． 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是（ ）9．答案：B 解析：定义域为(0,1)(1,)+∞，排除A ，C ，当0x →时，ln 1,()0x x f x --→+∞→；当x →+∞时，ln 1,()0x x f x --→+∞→．故选B ．10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）ABCD ．210．答案：A解析：解法一：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，在12PF F △中，由余弦定理得：22222222212(2)cos cos602x y c F PF xy +-∠=︒==123a a ∴=， 221223,c a a a c ∴===所以双曲线的离心率22ce a == 解法二：由焦半径三角形的面积公式：设在椭圆中，有122211tantan 2F PF S b b θ==△在双曲线中，有12222222tan 30tan2F PF b b S θ===︒△，2212=，所以2212123,b b b ==，由221212121,c e e c a a a a ==∴=， 42222222222422412122222()()(3)()230c a a b c c b b c c b c b c b ∴==+-=+-=+-=，222222222222222123,,,333c c b a c b c c c a e a ∴==-=-=∴===．解法三：设椭圆、双曲线的离心率分别为1212,c c e e a a ==，则221212121,c e e c a a a a ==∴=，设12,PF x PF y ==，由椭圆、双曲线的定义得11221222x y a x a a x y a y a a +==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则22124x y a a -=， 即2221212PF PF F F -=，所以12F PF △是直角三角形，又1260F PF ∠=︒，所以双曲线的离心率12222122221F F c c e a a PF PF =====--11．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论： ①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13； ②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒． 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．②③C ．②④D ．③④11．答案：C 解析：如图，ACBD O =，DE AC ⊥于E，则2,2AC BD DE ===，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，此时体积最大值为1111324D ABC V -⎛=⨯⨯= ⎝，①错误； 在翻折过程中，始终有1OA OB OC OC ====，所以O 为外接球的球心，球的半径1R =，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；由①可知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是90︒，③错误；当点D 的射影落在BC 上时，直线AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．EODCABABCDO E12．设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ） A ．(,6)(6,)-∞-+∞ B ．(,4)(4,)-∞-+∞ C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞12．答案：C 解析：当()2xk k mπππ=+∈Z ，即212k xm +=时，()f x 取得极值存在极值点0x 使22200[()]x f x m +<成立，亦即存在k 使2(21)(23)120k k m -++<成立，因此，只需(21)(23)k k -+最小即可，即0k =或1k =-时不等式成立即可，所以23120m -+<，即24m >，所以(,2)(2,)m ∈-∞-+∞．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ． 13．答案：13解析：211()3,(1)312,3f x ax f a a x ''=+∴=+=∴=． 14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据12100,,,x x x 的方差为8，则数据1210021,21,,21x x x ---的方差为 ．14．答案：32解析：公式：2()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=， 因为()8,(21)4()32D X D X D X =∴-==．15．设x y 、为正数，若12yx +=，则12x y +的最小值是 ，此时x = ．15．答案：4（3分）12（2分）解析：1212222422y y x x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当22y x x y =，即12,2y x x ==时等号成立． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是12,F F ，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上任意一点，则1211PF PF +的取值范围是 ． 16．答案：[1,4]解析：由已知得22,1b b =∴=，112(),222F AB S a c b a c =-=∴-=-△ 又222()()1a c a c a c b -=+-==，可得2a c +=+解得2,a c ==所以1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PFx =-，且22x ≤，所以2121111444PF PF x x x x+=+=--+， 224(2)4[1,4]x x x -+=--+∈，所以1211[1,4]PF PF +∈． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，b =2B A =．（1）求cos A ； （2）求c 边的值． 17．解析：（1）由正弦定理sin sin a bA B=……………………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得2sin sin 2A A=……………………………………………………………………………………2分即2sin 2sin cos A A A=………………………………………………………………………………3分 因为sin 0A ≠，可解得cos A =．………………………………………………………………4分 （2）解法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得2222c c =+-，整理得：22520c c -+=………………………………6分 解得2c =或12c =………………………………………………………………………………8分 当2c a ==时，得A C =，又因为2B A =，故,42A CB ππ===，……………………9分所以b =，与已知矛盾，所以2c =不满足要求．………………………………………10分当12c =时，经检验符合要求．…………………………………………………………………11分 综上可知：12c =．……………………………………………………………………………12分【注】无检验过程最多只能得8分． 解法二：由（1）知cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．所以sin A =6分 又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-……………………9分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．得22352228c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得22320c c --=………………………………10分即(21)(2)0c c -+=，又因为0c >…………………………11分【注】无写出此步骤，本得分点不给分． 得12c =， 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分 解法三：由（1）知cos 4A =，且22sin cos 1A A +=，又0A π<<…………5分【注】无写出此步骤，本得分点不给分．所以sin A =6分 又2B A =，所以225113cos cos 2cos sin 16168B A A A ==-=-=-…………………………8分sin sin 22sin cos 2B A A A ====9分 因为A B C π++=，所以3sin sin()sin cos cos sin 484816C A B A B A B ⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭………………10分 由正弦定理：sin sin a c A C =416=，解得12c =………………………………………………11分 综上可知，12c =…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中N n *∈，λ为常数．（1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式．18．解析：（1）将1n =代入1111n n n n a a n λ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2122a a λ=+………………………………2分 由11a =，283a =，得3λ=．……………………………………………………………………………4分 （2）由11113n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得1113n n na a n n +-=+…………………………………………………5分 即113n n nb b +-=．…………………………………………………………………………………………6分 当1n =时，1111ab ==，………………………………………………………………………………7分当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+………………………………………8分121111113131133322313nn n n ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++==-⨯-…………………………………………………11分 因为11b =也符合上式，所以131()223n n b n *-=-∈⨯N ．……………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AB PD ⊥；（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．ABCDP19．解析：（1）依题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥……………………………………1分AB ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，…………………2分【注】此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分AB ∴⊥平面PAD …………………3分，又PD ⊂平面PAD ……………4分，AB PD ∴⊥…………5分 （2）在PAD △中，取AD 中点O ，连接PO ，,,PA AD PO AD PO =∴⊥∴⊥平面ABCD ……6分以O 为坐标原点，分别以OA 为x 轴，过点A 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．………………………………………………………………………………7分 设2PA =，90APD ∠=︒，AD ∴=2,0),(2,0),P B C A Q∴⎝⎭，2(2,2,2),(22,0,0),,1,22PB BC AQ⎛∴=-=-=--⎝⎭………………………………8分设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=，则22020n PB x yn BC⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y=，得(0,1,2)n=………………………………………………………………………………9分设直线AQ与平面PBC所成角为θ，则6sin cos,AQ nAQ nAQ nθ⋅===⋅……………………10分因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cosθ∴==…………………………………………………………11分所以直线AQ与平面PBC12分20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x=的焦点为F，直线l与C交于,A B两点，且与x轴交于点(,0)P a．（1）若直线l的斜率32k=，且32FP=，求AF BF+的值；（2）若0a>，x轴上是否存在点M，总有OMA OMB∠=∠？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．解析：（1）解法一：依题意，设3:()2l y x a=-，………………………………………………1分将其代入2:2C y x=，整理得：229(188)90x a x a-++=①………………………………2分由0∆>，得29a>-……………………………………………………………………………………3分又1,02FP a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭且32FP =，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为2944360x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12449x x +=……………………5分 1244531199AF BF x x ∴+=++=+=．……………………………………………………………6分 解法二：依题意，设3:()2l y x a =-，………………………………………………1分 将其代入2:2C y x =，整理得：23460y y a --= ①…………………………………………2分 16720a ∴∆=+>，即29a >- ……………………………………………………………………………3分 又1,02FP a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭且32FP =，2a ∴=或1a =-（舍去）……………………………………4分 所以①式可化为234120y y -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,43y y y y +==-…………5分 22212121212()253111229y y y y y y AF BF x x ++-∴+=++=+=+=………………………………6分 （2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性知，存在点M 满足OMA OMB ∠=∠………………7分 若直线l 存在斜率，设为(0)k k ≠，则:()l y k x a =-，联立2:2C y x =，整理得：2220ky y ka --=，212122480,,2k a y y y y a k∆=+>∴+==-………………8分 设(,0)M m ，由OMA OMB ∠=∠易知MA MB k k =-，即12120y y x m x m+=--…………………9分 122112()0y x y x m y y ∴+-+=，即22211212()22y y y y m y y ⋅+⋅=+……………………………10分 12121212122()(),0,222y y y y a y y m y y y y m a -∴+=++≠∴===-，所以(,0)M a -……11分 综上所述，当0a >时，x 轴上存在点(,0)M a -，总有OMA OMB ∠=∠……………………12分P B A F O M PBAO21．（本小题满分12分） 已知函数122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（a 为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：122(1ln )x x a +<+． 21．解析：（1）由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分 由题意(0,2)x ∈，则320x x->，设11()(0),()x x h x e ax x h x e a --'=->=-． 由题意，知12,x x 是()y h x =在(0,2)上的两个零点．当0a ≤时，()0h x '>，则()h x 在(0,2)上递增，()h x 至多有一个零点，不合题意；……2分 当0a >时，由()0h x '=，得1ln x a =+，(1ln )ln h a a a +=-……………………………3分（i ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =->，即02e a <<时，()h x 在(0,1ln )a +上递减，(1ln ,2)a +递增； 若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-≥，即0a e <≤时，()h x 至多有一个零点，不合题意，舍去； 若min ()(1ln )ln 0h x h a a a =+=-<，即12e a <<时，又1(2)0,(0)0h h e>=>， 从而，()h x 在(0,1ln )a +和(1ln ,2)a +上各有一个零点． 所以12e a <<时，()y h x =在(0,2)上存在两个零点．………………………………………………4分 （ii ）若1ln 2a +>，即a e >时，()h x 在(0,2)上单调递减，()h x 至多有一个零点，舍去…………5分 （iii ）若1ln 2a +<且(2)20h e a =-≤，即2e a e <≤时，()h x 在(0,1ln )a +上有一个零点，在 (1ln ,2)a +上没有零点，舍去．综上可得，实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分 （1）解法二：由122()ln x e f x a x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得13(2)()()x x e ax f x x ---'=…………………1分 由题意(0,2)x ∈，则320x x->，由题意知12,x x 是1,0x y e ax x -=->在(0,2)上的两个零点． 由10x y e ax -=-=，得1x e a x-=，………………………………………………………………………2分从而只需直线y a =与函数1()x e g x x-=的图象在(0,2)有两个交点．…………………………3分 由2(1)()x x e g x x -'=得1()x e g x x-=在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,2)内单调递增， 所以min ()(1)1,(2)2e g x g g ===．……………………………………………………………………4分 且0x →时，()g x →+∞．……………………………………………………………………………5分 所以实数a 的取值范围是1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………6分 （2）解法一：令()()(22ln ),01ln H x h x h a x x a =-+-<<+…………………………7分 则211()()(22ln )2220x x a H x h x h a x e a a a e--'''=++-=+--=≥， 所以()H x 在(0,1ln )a +上递增，……………………………………………………………………8分 111()()(22ln )(1ln )0H x h x h a x H a ∴=-+-<+=……………………………………………………10分 而12()()h x h x =，且()h x 在(1ln ,2)a +递增；21()(22ln )h x h a x ∴<+-………………………………………………………………………………11分 211222ln ,2(1ln )x a x x x a ⇒<+-∴+<+，命题得证．………………………………………12分解法二：由（1）有12111112121222ln ln 12ln ln()2ln ln 1x x ax e a x x a x x x x a x x ax e--⎧=+=-⎧⎪⇒⇒+=+-⎨⎨+=-=⎪⎩⎩…………7分 则证明1212122112(1ln )ln()001x x a x x x x x x +<+⇔<⇔<<⇔< ①………………………8分 下证①式成立，由10x e ax --=，得1x e a x-=， 令1()x e g x x-=，则1122(1)()(),()x e x g x g x g x x --'==………………………………………………9分 易知1201x x <<<，从而①式221111111()()x g x g g x g x x x ⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………10分 又令1()(),01G x g x g x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，即证()0G x <对01x <<成立．11121()x x x G x e xe x --⎛⎫-'=⋅- ⎪⎝⎭．设111()x x h x e xe --=-，则1111()0x x x h x e e x ---⎛⎫'=+⋅> ⎪⎝⎭，…………………………………………11分 从而()(1)0,()0,()(1)0h x h G x G x G '<=>∴<=．即01x <<，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即111()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ 从而①式成立．122(1ln )x x a ∴+<+，命题得证．……………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 22．解析：（1）由cos cos 1sin 1sin x x y y αααα==⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩……………1分【注】无写出此步骤，本得分点不给分 平方相加，得：22(1)1x y +-=，所以圆C 的普通方程为：22(1)1x y +-=…………………………2分 又cos ,sin x y ρθρθ==……………………………………3分【注】无写出此步骤，本得分点不给分 22(cos )(sin 1)1ρθρθ∴+-=…………………………………………………………………………4分 化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．……………………………………………………………5分（2）解法一：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin 16P πρ==………………………………7分 把6πθ=代入直线l 的极坐标方程可得：sin 2,263Q ππρρ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭……………………………9分 所以线段PQ 的长1P Q PQ ρρ=-=………………………………………………………………10分 （2）解法二：把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2sin16P πρ==………………………………7分 直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为4y =+， 射线:6OM πθ=的直角坐标方程为(0)y x x =≥ …………………………………………8分 记直线l 与x 轴交点为A ，则OAQ △为直角三角形，其中30QOA ∠=︒，根据勾股定理可得2OQ = …………………………………………………………………………9分 所以线段PQ 的长1PQ OQ OP =-=…………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x -≤，其中0m >．（1）求m 的值；（2）若正数a b c 、、满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥． 23．（1）解法一：由题意知20x m x m x >⎧⎨-+⎩≤或20x m m x x ⎧⎨-+⎩≤≤………………………………1分 化简得：3x m m x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或x m x m ⎧⎨-⎩≤≤ ……………………………………………………………………2分 0m >，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤…………………………………………………………4分 2m ∴-=-，解得：2m =……………………………………………………………………………5分解法二：由题意知：22x x m x --≤≤，…………………………………………………………………1分 所以3x m m x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤………………………………………………………………………………………………2分 0m >，∴不等式组的解集为{|}x x m -≤…………………………………………………………4分 2m ∴-=-，解得：2m =……………………………………………………………………………5分（2）解法一：基本不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++=…………………………6分 由基本不等式，有2222,2,2b c a a b b c c a a b c+++≥≥≥……………………………………………8分 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++++≥………………………………………………9分 222b c a a b c a b c ∴++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分 解法二：柯西不等式，由（1）可知a b c 、、为正数且2a b c ++=…………………………6分由柯西不等式2222()()b c a a b c b c a a b c ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭≥， 所以222b c a a b c a b c ++++≥，即2222b c a a b c++≥（当且仅当a b c ==时等号成立）……………10分。