不等式的推广和应用毕业论文

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不等式证明毕业论文

不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。

一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。

常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。

二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。

1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。

这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。

例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。

接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。

2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。

高中数学论文：一道不等式例题的推广及应用

一道不等式例题的推广及应用高中数学必修第二册（上）第12页例3：2233,,ab b a b a b a b a +>+≠则有都是正数，且若（1）文[1]对（1）式进行指数推广，笔者认为可以进一步推广为: 引理则有且同号都是正数，若,,,R l k b a ∈ k l l k l k l k b a b a b a +≥+++ 当且仅当b a =时取到等号。

证明：因为 0))((≥--=--+++l l kk k l l k l k l k b a b a b a b a b a 所以 k l l k l k l k b a b a b a +≥+++ 证毕。

下面我们考虑对其项数推广。

注意到引理的结构，两边同时加上lk lk ba +++，则可得k l l k l k l kb a b a b a +≥+++)(2+l k l k b a +++即，))(()(2l l k k l k l k b a b a b a ++≥+++，所以有：定理 :,,1,则有且同号、且若R l k N i n i R a i ∈∈≤<∈+)(1111∑∑∑===+≥n i l i n i k i ni lk i a a n a 时取等号当且仅当n a a a === 21证明：因为∑∑=+=+=nj l k j n i lk i a a 11所以∑∑∑∑∑∑=+=+====+++++=+=+nj l k j n i lk i n j n i n j n i lk j lk i lk j lk i a n a n na a a a 111111)()(∑=+=ni l k i a n 12 （2）由引理及∑∑∑∑======nj l j ni l i n i n j k j k i a a a a 1111,所以∑∑∑∑∑∑∑=======+++=+≥+ni l i kj n j n i ki lj nj n i kj li lj ki n j n i lk j lk i a a a a a a a a a a 1111111)()()(∑∑∑∑∑∑=======+=ni l i n i ki n i li n j kj n i ki n j lj a a a a a a 1111112 （3）时等号取到即当且仅当n j i a a a a a ==== 21结合（2）（3）可得定理成立。

不等式在中学数学中的应用 -毕业论文

【标题】不等式在中学数学中的应用【作者】李益财【关键词】应用分析归纳不等式【指导老师】杨世显【专业】数学与应用数学【正文】1. 引言在我们的一般生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识，所以不等式在解决最优优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具，所以研究不等式不只是一个数学问题，还给生活和生产带来很多方便。

在中学数学中初看起来不等式的内容涉及并不多,常见的是包括方程等在内的代数和几何不等式也就几种，但事实上只有不等关系才是绝对的，所以不等式的内容是中学数学必不可少的.不等式在中学数学算是一个比较难的知识，但近年来的高考对不等式颇为重视，所以不等式在中学数学中算是一个很重要的内容了。

但在传统的中学数学教材中，对有的不等式的讨论不是很多，对均值不等式、三角不等式、贝努利不等式、椭圆不等式这几个重要的特殊不等式更是少之又少了，但它们在中学数学中却是不可小视的一部分内容，学好这些不等式给我们解决很多实际问题带来很多方便。

所以我认为写这篇论文，研究一下中学不等式是有必要的。

均值不等式（1）（2）是中学数学中最常见的，应用最为普遍的特殊不等式，在不等式的证明和求解有关最值等问题中有着极为广泛的应用。

三角不等式（主要以（、b不全为零）为例）也是中学数学中常见的特殊不等式，它的应用也很广泛。

这两种不等式在中学数学中虽然很常见，但对它们的分析不是很彻底。

贝努利不等式和椭圆不等式（若，则有不等式），在中学数学中出现的很少，课本对它们几乎不作介绍，但它们在中学数学中的作用很大，是不能缺少的两个特殊不等式，所以很有讨论的必要。

本文主要以中学教材中出现的均值不等式、三角不等式、贝努利不等式、椭圆不等式为根据,采取了分析、归纳、总结的方法，对它们很好的分析它们的性质、总结和归纳它们的用法。

本文在此基础上,以有关理论为依据,以具体问题为例,对以上几种不等式分别作以讨论。

柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文

柯西不等式在高中数学中的应用及推广［摘要］本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用。

同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.[关键词]柯西(Cauchy ）不等式；应用函数最值；三角函数证明;不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子。

在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重。

而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用。

2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指()n i b a b a ni i n i i n i i i →=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===2,1121221 (1）当且仅当122n ina a ab bb===时，等号成立。

2。

1 构造二次函数证明首先当120n a aa ====或120n b b b ====时，不等式显然成立.令22111,,nnni i i i i i i A B C a a b b ======∑∑∑当1,2,na aa中至少有一个不为零时，可知0>A ,构造二次函数()222,f x Ax Bx C =++展开得()()()22221120nnii i iiii i f x a x a b x ba xb ===++=+≥∑∑故()f x 的判别式2440B AC ∆=-≤，移项得2AC B ≥，得证。

2.2 向量法证明令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b αβ==则对向量αβ，有()1,cos ≤=⋅⋅⋅βαβαβαβα 2222112211,,nnn n i i i i a b a b a b a b αβαβ==⋅=++==∑∑得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 121221当且仅当()cos ,1αβ=，即,αβ平行式等号成立。

毕业论文《不等式在中学数学的应用》

摘要：在我们的一般生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是比较量大小有关的问题，都要用到不等式的知识，在中学数学中初看起来不等式的内容涉及并不多，但事实上只有不等式关系才使绝对的。

不等式在中学数学算是一个比较难的知识，但近年高考对不等式颇为重视，所以不等式在中学数学中算是一个很重要的内容。

所以不等式的内容是中学数学必不可少的。

本文通过理解掌握均值不等式、绝对值不等式来说明不等式在中学数学中的重要性，研究均值不等式、绝对值不等式所得相关结果，用于解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的实际问题，具有极为重要的意义。

关键词：不等式；均值不等式；绝对值不等式Inequality in middle school mathematics applicationUndergraduate: yu hongSupervisor: Wang Yuan LunAbstract: In our normal life and production .quantity is equal relations, also has the relation of inequality, normally have a size related problems, must use the inequality of knowledge. In the middle school mathematics at first seems inequality involves not much,but in fact only the inequality relationship that absolute. Inequality in middle school mathematics is a difficult knowledge,but in recent years the college entrance examination for inequality is quite seriously.So the inequality in middle school mathematics is a very important content. So the content of middle school mathematics inequality is essential. This article through the understanding of mean value inequality and absolute value inequality to illustrate the importance of inequality in middle school mathematics ,study of mean inequality, absolute value inequality of income related results, For solving the most value problem, proof of inequality and the actual life of the practical problems have very important significance.Key words:an inequality; the mean inequality; absolute value inequality目录绪论 (1)1 不等式 (1)1.1 不等式的由来 (1)1.2 不等式的定义 (1)1.3 不等式的基本性质 (1)1.4不等式解法 (4)2 .均值不等式和绝对值不等式 (6)2.1 均值不等式 (6)2.1.1 利用均值不等式证明不等式 (6)2.1.2 抓条件“一正、二定、三等”求最值 (8)2.1.3 抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化.92.1.4 利用均值不等式解应用题 (10)2.2 绝对值不等式 (13)2.2.1 几何意义 (13)2.2.2 应用举例 (13)总结 (18)参考文献 (19)致谢 (20)绪论均值不等式是高中数学中的重要知识点之一，应用均值不等式求最值是历年高考考查的重要知识点之一。

不等式的运用范文

不等式的运用范文不等式是数学中一个重要的概念，广泛应用于实际生活和各个学科领域。

不等式的运用可以帮助我们解决各种实际问题，提升数学运算和问题解决的能力。

本文将从代数、几何、经济学、物理学和概率统计等方面介绍不等式的运用。

1.代数中的不等式运用：a)代数中的方程和不等式是解决实际问题的关键。

例如，在代数方程和不等式中，可以确定变量的值范围，从而解决实际问题。

例如，求解一个线性方程组，可以通过方程组中的不等式限制确定变量的值范围，从而找到满足条件的解。

b)利用代数中的不等式可以优化问题。

例如，在优化问题中，常常需要确定变量的最大或最小值。

通过代数不等式，可以建立数学模型，并通过求解最值问题来确定最优解。

2.几何中的不等式运用：a)在几何中，我们经常使用不等式来证明几何定理。

例如，通过利用三角不等式来证明三角形的性质，或者利用柯西不等式和二次平均不等式等来比较几何中的数量关系。

b)利用几何中的不等式可以求解优化问题。

例如，给定一定长度的线段，如何使得线段围成的面积最大？通过应用不等式，可以建立数学模型，并求解最优解。

3.经济学中的不等式运用：a)在经济学中，不等式可以用来描述资源分配和经济增长等问题。

例如，通过不等式来描述生产要素的比例关系，从而确定最优的生产方案。

b)利用不等式可以进行经济分析和政策制定。

例如，通过建立经济模型，可以利用不等式来分析市场供求关系，预测市场变化，并制定相应的政策。

4.物理学中的不等式运用：a)在物理学中，不等式常常用来描述物理过程和条件。

例如，通过不等式来描述物体的运动速度和加速度之间的关系，从而确定物体的运动情况。

b)利用不等式可以优化物理系统。

例如，在热力学中，通过不等式可以确定热机的效率，并优化热能转化过程。

5.概率统计中的不等式运用：a)在概率统计中，不等式可以用来描述随机变量的分布和性质。

例如，通过切比雪夫不等式可以估计随机变量的变异程度和可信区间。

b)利用不等式可以进行推断和决策。

不等式毕业论文

不等式毕业论文不等式毕业论文引言：在数学中，不等式是一种重要的数学关系，它描述了变量之间的大小关系。

不等式在数学的各个领域中都有广泛的应用，例如代数、几何、概率统计等。

本篇论文将探讨不等式的基本概念、性质以及应用，以期帮助读者深入理解不等式的重要性和实用性。

一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它使用不等号（<、≤、>、≥）来表示变量之间的大小关系。

不等式可以是线性的，也可以是非线性的。

线性不等式是指不等式中的变量的最高次数为1的情况，而非线性不等式则是指变量的最高次数大于1的情况。

二、不等式的性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。

这是不等式的基本性质，也是我们在日常生活中常常使用的逻辑推理。

2. 加法性：如果a>b，则a+c>b+c。

不等式的加法性质使得我们可以在不改变不等式的基本关系的情况下，对不等式两边同时加上（或减去）同一个数。

3. 乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc。

不等式的乘法性质使得我们可以在不改变不等式的基本关系的情况下，对不等式两边同时乘以一个正数。

三、不等式的应用1. 经济学中的应用：不等式在经济学中有着重要的应用，例如在供需分析中，我们可以利用不等式来描述市场的平衡状态。

2. 几何学中的应用：不等式在几何学中也有着广泛的应用，例如在三角形的边长关系中，我们可以利用不等式来判断三角形的类型。

3. 概率统计学中的应用：不等式在概率统计学中也有着重要的应用，例如在概率分布的推导过程中，我们可以利用不等式来估计概率的上下界。

四、常见的不等式1. 柯西-施瓦茨不等式：柯西-施瓦茨不等式是数学中的一条重要不等式，它描述了内积空间中两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。

柯西-施瓦茨不等式在线性代数、概率统计等领域中有着广泛的应用。

2. 马尔可夫不等式：马尔可夫不等式是概率论中的一条基本不等式，它描述了一个非负随机变量的上界估计。

一些不等式的证明及推广【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）不等式是数学的基本内容之一, 它是研究许多数学分支的重要工具, 在数学中有着重要的地位。

数学家们给我们留下了一些经典的不等式, 这些不等式在学习中经常遇见。

本课题的主要任务是: 在查阅文献的基础上, 总结一些重要不等式( 如柯西不等式、赫尔德不等式等)的证明方法以及它们的推广形式。

首先，我们介绍这些重要的不等式。

柯西不等式[1]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，则222111n n ni i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

赫尔德不等式[2]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，111 qp ，则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

当2p 时，赫尔德不等式即为柯西不等式。

反向赫尔德不等式[3]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，111 qp ，则11111nn n pqp q i i i i i i i a b a b。

闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，则111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

反向闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，则111111n n n pppp p p i i i i i i i a b a b。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

一些不等式的证明及推广【文献综述】

数学家们给我们留下了一些经典的不等式, 这些不等式在学习中经常遇见。

本课题的主要任务是: 在查阅文献的基础上, 总结一些重要不等式( 如柯西不等式、赫尔德不等式等)的证明方法以及它们的推广形式。

首先，我们介绍这些重要的不等式。

柯西不等式[1]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，则222111n n ni i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

赫尔德不等式[2]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，111 qp ，则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

当2p 时，赫尔德不等式即为柯西不等式。

反向赫尔德不等式[3]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，111 qp ，则11111nn n pqp q i i i i i i i a b a b。

闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，则111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

反向闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，则111111n n n pppp p p i i i i i i i a b a b。

不等式的推广和应用毕业论文

不等式的推广和应用摘要：文章以不等式为研究对象，穿插了中学数学里许多方面的重要内容，归纳总结出了不等式的建立方法、推广方向和各种应用中的解题思想和方法。

中学生在了解不等式的相关知识之后，也会对相应方面的数学知识有更加深入的认知，特别是中学数学里涉及到不等式的解题方法。

关键词：中学数学 ;不等式; 建立 ;推广 ;应用前言：不等式在中学数学中占有极重要的的低位，从最开始学习的均值不等式，到后来的柯西不等式，从最开始的利用放缩法来解决比较问题，到后来的求极值或者是最值问题，甚至是线性规划中的运用，都离不开不等式的妙用。

而且，据经验来看，掌握一些基本不等式的用法，在很多情形中就可以简化计算量。

因此，此次研究不等式的推广和简单应用，对中学生来说借鉴作用的。

在本文中，我们主要分为三个部分，在第一部分，我们主要是利用中学的知识，简介一些建立不等式的方法，也会提一些中学中没有的但是又比较著名而且基本的一些不等式，可以拓展一下中学生的眼界，增加对不等式的了解；在第二部分里，归纳总结出了出了中学中常用的一些不等式的推广方法，并且对每种方法都详加阐述，用有形的文字来传达无形但深刻的思想方法；在第三部分里，我们将介绍一些不等式的应用，主要是中学里应用到不等式的一些题型，进一步的来了解不等式的作用。

为了使读者便于理解，在每一部分，都列举了一些例子，来进行具体的解说。

总而言之，这篇论文主要是利用中学的思想解决中学里的不等式的建立、推广和应用问题,当然，笔者所述的目的是希望借此让中学生对不等式的建立、推广、应用有种意识，这样碰到类似的问题的时候，潜意识里会更容易想到这些方法的。

一、建立不等式的基本方法【1】建立不等式的方法主要有基本不等式、数学归纳法、抽屉原理法、几何法、图论法、向量法、复数法、判别式发、凸性函数法、单调方法、中值定理法、极值法、确界法和収缩法、方法、恒等式法等等，这些方法，读者基本上可以从名字就可以有个了解，所以就不再一一赘述。

关于不等式的推广与加强

关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强参赛队员：徐子卿指导老师：戴中元参赛学校：华东师范大学第二附属中学省份:上海市目录摘要： (1)一、原不等式 (3)二、不等式的推广（未知数） (3)三、不等式的推广（次数） (9)四、不等式的推广（形式） (13)五、不等式的推广（参数） (16)六、不等式的猜想 (16)七、参考文献 (16)关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强摘要：本文借助计算机软件Free GraCalc，对∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）不等式在不同次数、不同元数的情况下进行了一系列的推广与加强，并引入了一系列参数；同时对其次数、元数进行了一般化的处理，得到了一些结论，这些结论在高次不等式证明、函数求极值的问题上会有一定的应用。

创新之处：对于∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）不等式进行了推广，将该不等式的形式推广到多元高次的情况下，并得到了该不等式在一般形式下的成立范围。

通过对该不等式的观察，笔者提出与其形式相似的不等式。

闪光之处：笔者推广后的结论可以应用在证明高次不等式以及求值域上。

The Enhancement,Extension and Analogueof The Inequality∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）This paper presents the generalization,enhancement and analogy ofthe inequality ∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）based on an computer softwarecalled Free GraCalc.It draws conclusions on different conditions of exponent and number of elements.We also introduce parameters to the inequality and generalize the exponential properties of the inequality.The conclusions can be applied to problems involving higher-order inequalities and functions or finding extreme values of functions.Keywords:Inequality,generalization,analogy,derivation,mathematics software关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强一、原不等式已知0,,2>=+b a b a ，则222211b a b a +≤+.证：原不等式为222211ba b a +≤+,两边同时乘22b a 得：1112222≤⇔+≤+ab b a b a ，再加上：2=+b a ，显然成立.二、不等式的推广（未知数）原不等式的已知条件是n 个数的和为n ，下面证明该命题额加强形式：已知条件为n 个数的和小于等于n .1.1已知0,,,3>≤++c b a c b a ，则222222111c b a c b a ++≤++.证：不妨设c b a ≥≥，则2≤+c b ,令222222111),,(c b a cb ac b a f ---++=,首先，对于两个正实数c b ,，当c b +为定值且小于等于2时：01114)(222≥-∴=+≤cb c b bc ,()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+∴116211111222222222c b c b c b c b c b c b ,当且仅当c b =时等号取到.22222223232312311),,(⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥∴a a a a a a c b a f ,下面证明：023*********)(2222≥⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=a a a a a a a g ,()33233316)'(a a a a g --+-=,()33486)(44''--+=a a a g ,先证明当30<<a 时，0)(''≥a g ,显然()44348,6a a -均大于0,且31<≤a 时()3)13(4834844≥-≥-a ，10<<a 时，664≥a ,∴结论成立.由上述结论可知')(a g 单调递增0)(0)1('≥∴=a g g ,0)(0)1()(min ≥∴==∴a g g a g ,综上所述：得证2.已知4≤+++d c b a ，则222222221111d c b a dc b a +++≥+++.证：不妨设d c b a ≥≥≥,421122≥++ab ba,∴只需证明4)(4211222222222-+++=-++++≥+d c b a ab d c b a d c ,记12≤∴+=A dc A ,记4)24(11),(22222+----+=d c A dc d c f ,42)24(2),(222+---=∴A A AA A f ,)2(211),(),(222222A d c Ad c A A f d c f -+--+=-∴化简得：[]()0)2()(2)()(822)(2)(),(),(2222222222222222≥-++-≥+-+++-=-d c d c d c d c d c d c d c cd d c d c d c d c A A f d c f ,又0)13()1(42)24(2),(),(23222≥+--=+---=≥A A A A A A A A f d c f ,∴可以证明得：222222221111d c b a dc b a +++≥+++,3.已知5≤++++ed c b a ，则222222222211111e d c b a ed c b a ++++≥++++,证：不妨设e d c b a ≥≥≥≥，则有4≤+++e d c b ,设e d c b a k ++++=,令222222222211111),,,,(e d c b a ed c b ae d c b af -----++++=,由2的证明不难看出，当e d c b +++为定值且小于等于4时,222222221111e d c b ed c b ----+++的最小值当且仅当e d c b ===时取到,令2222441),(b a b a b a g --+=,),(),,,,(b a g e d c b a f ≥∴,又4a kb -≤4)()(641)4,(),(2222a k a a k a a k a g b a g ----+=-≥∴,令4)()(641)(2222a k a a k a a h ----+=,当5=k 时，()20322910)5(4)1(54)5()5(641)(2342222222--+----=----+=a a a a a a a a a a a a h ,令20322910)(234--+-=a a a a a m ,3258304)(23'-+-=a a a a m ,0)('=a m 时，解得44113,44113,1321+=-==x x x ,⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴44113,1a 时，)(a f 单调递增,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈44113,44113a 时，)(a f 单调递减,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈5,44113a 时，)(a f 单调递增,而032)1(,016.944113(>-=<-≈-m m ,故)(a m 在51<≤a 时小于0，0)(≥∴a h ，等号当且仅当1=a 时取到,当5≠k 时，令kex k d x k c x k b x k a x 5,5,5,5,554321=====,则554321=++++x x x x x ,()2524232221225242322212222222222225111112511111x x x x x k x x x x x k e d c b a e d c b a ++++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⇔++++≥++++∴162554>∴<kk ,()(),111115625,11111625,1111111111625,111116252543214425242322214425242322212524232221252423222144252423222125242322214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-≥++++-+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∴x x x x x k k x x x x x k k x x x x x x x x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x k 设xx m 1)(=，则043)(5.2''>=-x x m ,由Jensen 不等式：⎪⎭⎫⎝⎛++++≥++++55)()()()()(5432154321x x x x x m x m x m x m x m x m ,4425432144625111115625kkxxxxxkk-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-∴,5<∴k上式显然成立，且等号条件为54321xxxxx====即edcba====.n=6,7,8时，证明过程与n=5相同，在此不详细说明.由上述说明可以发现当nxxn=+...1时不等式成立，则nxxn<+...1时，不等式也肯定成立.下面附上n=6,7,8时，h(a)的函数图像.n=6，5)6()6(1251)(2222aaaaah----+=,且0)1(=h,n=7,6)7()7(2161)(2222aaaaah----+=,且0)1(=h,n=8,7)8()8(3431)(2222a a a a a h ----+=,且0)1(=h ,4.已知9=++++++++i h g f e d c b a 则：222222222222222222111111111ih g f e d c b a i h g f e d c b a ++++++++≤++++++++,()()8995121)(2222----+=a a a a a h ,[])721288918()1(9)9(81)(234222--+----=a a a a a a a a h ,即考虑721288918)(234--+-=a a a a a f 在91<≤a 的正负性,411325,10)64252)(1(2)(2'±=⇒=+--=a a a a a f ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴411325,1a 时，)(a f 单调递增,⎦⎤⎢⎣⎡+-∈411325,411325a 时，)(a f 单调递减,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈9,411325a 时，)(a f 单调递增,而0576)9(,02.51)411325(<-=<-≈-f f ,故)(a f 在91<≤a 时小于0，0)(≥∴a h ，等号当且仅当1=a 时取到,综上所述：得证.4.下面说明：若10=+++++++++j i h g f e d c b a 则222222222222222222221111111111j i h g f e d c b a j i h g f e d c b a +++++++++≤+++++++++不成立,()()910107291)(2222---+-=a a a a a h ,()9209202101458)(33'+---=a a a a h ,下图为')(a h 的图像,当a=5,b=3其余全等于0.25时取到反例,下面说明当元数大于10时，该类型不等式均不成立,取1...,25.0...,2,51211104321=========n x x x x x x x x ，则n x i =∑,而∑∑≥221i ix x ，∴得证.三、不等式的推广（次数）该部分证明方法和2.3相同，所以不详细叙述。

若干重要不等式的推广及应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学若干重要不等式的推广及应用一、前言部分众所周知，不等式作为数学本身的一个组成部分以及一种重要的推理工具，被广泛地应用到数学的各个领域，尤其在分析学中，如偏微分方程、Sobolev 空间等学科进行估值时，不等式的作用更是不可替代。

不等式存在于数理科学的方方面面，无处不在。

而其中一些不等式如Hadmard 不等式、Abel 不等式、Janous 不等式更在数学的理论基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。

通过大量文献，我们可以归纳以下几个重要不等式。

1．著名的Hadamard 不等式可表述为[]1：R b a f →],[:是连续凸函数，则 ()()()≥+b f a f 21 ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-b ab a f dx x f a b 21。

2． Abel 不等式[]2：设,,......2,1,0,0n i b a i i =>>∑∑==>->-ni i i n i i i b b aa 222222,0,0则 ,))((22222222∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--n i n i n i i i i i i i i i b a b a b b a a等号当且仅当nn b a b a b a ===...2211时成立。

3．Janous 不等式[]3：设ABC ∆的边BC ，CA ，AB ，与面积分别为a,b,c,∆,记任意一点P 到顶点A ，B ，C 的距离PA ,32,R R 分别为321,,R R R ,则()()()∆≥+++++8321R b a R a c R c b等号仅当ABC ∆为正三角形且P 为其中心时成立。

从大量文献中我们可以发现这些重要不等式几乎渗透到数学的各个领域而且处处扮演着精彩的角色，原因在于他们不仅能深刻地描述许多数学量之间的内在本质关系，得到所需要的结论，还能把许多已有的从不同方法得来的不等式用一种统一的方法简便地推导出来，它们也是推广已有的不等式，发现新的不等式的一种强有力的工具，在其他各种应用性较强的学科或领域中的应用，更加显示了它迷人的魅力。

本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用

本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级学号指导教师答辩日期成绩及简单应用不等式的几种证明方法摘要我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式Method and application of several simple proof of inequalityAbstractWe are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequalities目录一、常用方法 (1)（一）比较法 (1)（二）分析法 (2)（三）综合法 (3)（四）反证法 (3)（五）迭合法 (4)（六）放缩法 (4)（七）数学归纳法 (5)（八）换元法 (5)（九）增量代换法 (6)（十）三角代换法 (6)（十一）判别式法 (7)（十二）等式法 (7)（十三）分解法 (8)（十四）构造函数法 (8)（十五）构造向量法 (8)（十六）构造几何不等式 (9)（十七）构造方程法 (9)（十八）“1”的代换型 (10)（十九）排序不等式 (10)二、利用函数证明不等式 (11)（一）函数极值法 (11)（二）单调函数法 (11)（三）泰勒公式法 (12)（四）优函数法 (13)（五）拉格朗日中值定理法 (14)三、利用著名不等式证明 (15)（一）利用均值不等式 (15)（二）利用柯西不等式 (15)（三）琴生（Jensen）不等式 (16)（四）切比雪夫不等式 (17)（五）赫尔德（Holder）不等式 (18)（六）伯努利不等式 (19)（七）三角形不等式 (20)小结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)及简单应用不等式的几种证明方法:学生姓名指导老师：引言不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识，故论述几种简单的证明方法. 在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应的理论，真正进入数学理论部分.从不等式的探究过程可以发现，在生活中有重要的作用，例如：不等式性质、证明方法、解法.在本文中，介绍部分证明不等式常用方法、函数证明不等式和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.一、常用方法（一）比较法]1[1.作差法两个实数a 和b 的大小，可由b a -的正负比较判断.,0>-b a 如果,那么b a >；,0<-b a 如果,那么b a <;,0=-b a 如果,那么b a =.例题1：若两个角0<α<2π，0<β<2π，求证： sin （α+β）<sin α+sin β.证：sin （α+β）-(sin α+sin β)=sin α·cos β+cos αsin β-sin α-sin β=sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1).因为α、β都是正锐角，所以sin α>0且sin β>0，cos β-1<0,且cos α-1<0 于是sin α（cos β-1）<0，sin β（cos α-1）<0.所以sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1)<0即sin （α+β）-(sin α+sin β)<0所以sin （α+β）<sin α+sin β.2.作商法作商法证明不等式时，一般0>a ，0>b ，如果1<ba 时，则a<b ；如果b a >1时；则a>b ；如果b a =1时，则a=b. 例题2 设a ， b ，c+R ，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)( 证：作商：2222)()(b a a b b a a b ba ba b a b a ab ---+== 当a = b 时，1)(2=-b a b a当a > b > 0时，1)(,02,12>>->-b a ba b a b a 当b > a > 0时，1)(,02,102><-<<-b a b a b a b a故得1)(2≥-a b b a b a ab即a b b a b a ab ≥+2)( （剩余同理可证）（二）分析法]1[ 在证不等式题的过程中分析法是从结论入手，一步步的向上推导，探索下去，进而证明已知的题设条件，在证明的过程中，推导的每一步都要可逆.例题3：已知：a 、b 、c 为互不相等的实数.求证：ca bc ab c b a ++>++222.证明：要证ca bc ab c b a ++>++222成立，即证明0222>---++ca bc ab c b a 成立，需要证022*******>---++ca bc ab c b a 成立，即0)()()(222>-+-+-a c c b b a 成立,c b a ≠≠因为()0a 2>-b 所以， ()0b 2>-c ，()0c 2>-a由此逆推，即可证明ca bc ab c b a ++>++222 （三）综合法]1[综合法，就是由命题的条件证明题设条件.例题4：设1a ，2a ，……，n a 都是正数，并且它们的乘积1a 2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1=n a . 求证：n n a a a 2)1()1)(1(21≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++.证明：因为111121a a a =⋅≥+，所以11a +12a ≥. 同理可知 11a +12a ≥ 21a +22a ≥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11a +12a ≥.因为1a ，2a ，……，n a 都是正数，根据性质把不等式的两边相乘，得 n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++.因为在1=i a 的时候，i i a a 21≥+取等号，所以原式只在121==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==n a a a 的时候取等号.（四）反证法]2[反正法就是要证明与命题相对立的结论，可以先假设一个错误的结论，应用所学的知识证明出假设错误.例题5：已知a ，b ，c 为实数，0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>abc ，求证： 0>a ，0>b ，0>c .证明：假设a ，b ，c 不全是正数，即其中至少有一个不是正数.可以假设0≤a .分为0=a 和0<a 证明.（1）如果0=a ，则0=abc ，与0>abc 矛盾.所以0=a 不可能.（2）如果0<a ，那么由0>abc 可得0<bc .由因为0>++c b a ，所以0>->+a c b .这和已知0>++ca bc ab 相矛盾.因此，也不可能.综上所述，0>a .同理可证0>b ，0>c .所原命题成立.（五）迭合法通过简单命题的成立，利用不等式性质，将简单不等式合成复杂不等式而证明结论的过程就是迭合法.例题6：已知：n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，求证： n b a b a b a n n ≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2211.证明：因为n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221 所以n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，由柯西不等式≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n b a b a b a 2211 22221n a a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n n b b b n =⨯=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⨯22221所以原不等式获证.（六）放缩法]3[放缩法是依据不等式式的性质而衍生得到的一种方法，利用一些著名的不等式寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要的部分，得到所要著证明的结论命题.例题7 求证：n n 2131211<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++. 证明：当1>i 时，i i i 21<-+，从而有)1(21--<i i i故 <+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n131211)1(2)23(2)12(21--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+n n n n 212≤-=所以原不等式获证.（七）数学归纳法]1[数学归纳法是在证明含)(N n n ∈的不等式，能否在)(N n k n ∈=成立的条件下，证明1+=k n 时成立.（n 取第一个值时不等式命题成立）证明8：求证： 12)1(1)122()32)(12(⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n n n .（n 是正整数）证明：左边和右边都有n 个因数，当1≥n 的时候， 112≥-n ， 2132≥-n ， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nn n 1122≥--. 上述n 个不等式相互累乘， 12)1(1)122()32)(12(⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n n n . 故原不等式成立（八）换元法]4[在部分不等式证题过程中，通过变量代换，可以使不等式证明过程更加简单，选择适当的辅助未知数，代替原方程的部分式子，而证明命题.例题9 ：已知a ，b ，c 是小于1的正数，求证：2<-++abc c b a证明：设p a +=11，qb +=11，rc +=11，由假设可知，0>p ，0>q ，0>rabc c b a -++ r q p +++++=111111)1)(1)(1(1r q p +++- 通分后以)1)(1)(1(r p q +++为分母时，则，分子1)1)(1()1)(1()1)(1(-++++++++=q p p r r q =)()(22pq rp qr r q p ++++++又)1)(1)(1(2r p q +++)(2)(22pq rp qr r q p ++++++=pqr 2+因为是的优函数，所以将、除以正数)1)(1)(1(r p q +++得r q p +++++1111112)1)(1)(1(1<+++-r q p 即，2<-++abc c b a . （九）增量代换法]5[增量代换法就是在证明不等式时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法．例题10 ：已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．证明：因为a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b =21－t ， (t ∈R)则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2=2t 2＋225≥225．所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．（十）三角代换法]1[例题11 ：解不等式15+--x x ＞21 解：因为22)1()5(++-x x =6，故可令 x -5 =6 sin θ，1+x ＝6 cos θ，θ∈［0，2π］则原不等式化为 6 sin θ－6 cos θ ＞21所以6 sin θ ＞21+6cos θ 由θ∈［0，2π］知21+6 cos θ＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos 2θ+46 cos θ－23＜0解得0≤cos θ＜246282-所以x ＝62cos θ－1＜124724-，且x ≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x ＜124724-} . （十一）判别式法]6[学习一元二次方程时，可以用判别式来判断有无实根，而有些特殊题目中，可以通过判别式证明所要证明的命题.例题 12 A 、B 、C 为ABC ∆的内角，x 、y 、z 为任意实数，求证：A yz z y x cos 2222≥++C xy B xz cos 2cos 2++.证明：构造函数，判别式法令)cos 2cos 2cos 2()(222C xy B xz A yz z y x x f ++-++= )cos 2()cos cos (2222A yz z y C y B z x x -+++⋅-=为开口向上的抛物线)cos 2(4)cos cos (4222A yz z y C y B z -+-+=∆ )cos 2cos cos 2sin sin (42222A yz C B yz C y B z ++--=)]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [42222C B C B yz C B yz C y B z -+-+-= ]sin sin 2sin sin [42222C B yz C y B z -+-= 0)cos sin (42≤--=C y B z 无论y 、z 为何值，0≤∆ 所以 R x ∈ 0)(≥x f 所以，命题真（十二）等式法由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法. 例题 13： c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：444222222222c b a c b c a b a ++>++.证明由海伦公式))()((c p b p a p p S ABC ---=∆，其中)(21c b a p ++=.两边平方，移项整理得4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=∆而0>∆ABC S ,所以 444222222222c b a c b c a b a ++>++.（十三）分解法把复杂命题转化为简单易解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等式.例题14 ： 2≥n ，且N n ∈，求证：)11(131211-+>++++n n n n. 证明：因为 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++++11131121)11(131211n n nn n n n nn n n n 1134232134232+⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯>+++++= . 所以 )11(131211-+>++++n n n n. （十四）构造函数法]4[例题15：设0≤a 、b 、c ≤2，求证：4a ＋b 2＋c 2＋a b c ≥2a b ＋2b c ＋2c a ．证明：构造一次函数f （x ）= 4a ＋b 2＋c 2＋a b c －2a b －2b c －2c a =(b c －2b －2c ＋4)a ＋(b 2＋c 2－2b c )，（a 为自变量）由0≤a ≤2，知表示一条线段．又)0(f = b 2＋c 2－2b c = (b －c )2≥0， )2(f = b 2＋c 2－4b －4c ＋8 = (b －2)2＋(c －2)2≥0，可见上述线段在横轴及其上方，所以函数≥0，即4a 2＋b 2＋c 2＋a b c ≥2a b ＋2b c ＋2c a ．（十五）构造向量法构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用→m ·→n ≤|→m |·|→n |，证明一些具有和积结构代数的不等式命题．例题16 ：设a 、b ∈R +，且a ＋b =1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．证明：构造向量→m =(a ＋2，b ＋2)，→n = (1，1)．设→m 和→n 的夹角为α，其中0≤α≤π．因为|→m | =22)2()2(+++b a ，|→n | =2，所以→m ·→n = |→m |·|→n |cos α=22)2()2(+++b a ·2·cos α；另一方面，→m ·→n = (a ＋2)·1＋(b ＋2)·1 = a ＋b ＋4 = 5，而0≤|cos α|≤1，所以22)2()2(+++b a ·2≥5，从而(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．（十六）构造几何不等式将不等式两边与图形建立联系，则可以化数为形，利用图像的性质，解决不等式的方法就是构造几何不等式．例题17：设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22．证明：所证不等式变形为：21212+++b a ≤2．这可认为是点A(12+a ，12+b )到直线0y x =+的距离．但因(12+a )2＋(12+b )2= 4，故点A 在圆x 2＋y 2= 4 (x ＞0，y ＞0)上．如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即有：21212+++b a ≤2，所以12+a ＋12+b ≤22．（十七）构造方程法例题18 ：已知实数a , b ,c ，满足a + b + c = 0和a b c = 2，求证：a , b ,c 中至少有一个不小于2证明：由题设a, b, c 其中必含有一个正数，假设a > 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a bc a c b 2 即b, c 是二次方程022=++a ax x 的两个实根所以082≥-=∆aa ⇒a ≥2（十八）“1”的代换型]6[ 例题19：.9111 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知策略：做“1”的代换. 证明：c cb a bc b a a c b a cb a ++++++++=++111922233=+++≥⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b . （十九）排序不等式如()且n i R b R a i i ≤≤∈∈1,n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121, 则n n b a b a b a +++ 2211n j n j j b a b a b a +++≥ 21211111b a b a b a n n n +++≥-n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立.例20：已知n n n a a a a a a aa a R a a a +++≥+++∈+ 211232222121,求证不妨假设n a a a 21,有次序即n a a a ≤≤≤ 21，那么na a a 11121 ≥≥ 由于+∈R a a a n 21,，所以22221n a a a ≤≤≤由排序不等式可知nnn n a a a a a a a a a a a a a a a +++=⋅++⋅+⋅≥+++ 21222212112322221111 得证.二、利用函数证明不等式（一）函数极值法]1[通过某些变换，把问题转形为求函数的极值，实现证明不等式. 例题21 ：证明，0>∀x ，有不等式,01≤-+-αααx x 10<<α证明：讨论函数1)(-+-=αααx x x f在区间),0(+∞的最大值.)1()(11-=-='--αααααx x x f令0)(='x f ,解得唯一定点1，它在区间),0(+∞分成两个区间)1,0(与),1(+∞，列表如下：1=x 时是函数)(x f 极大点，极大值0)1(=f . 由此表可得1=x 时是函数)(x f 在定义域中的最大值，故0>∀x ，使)1()(f x f ≤ 或 01≤-+-αααx x . 所以原不等式得证（二）单调函数法当x 属于定义域，有0)(≥'x f ，则（21x x ≤）)()(21x f x f ≤；若0)(≤'x f ，则)()(21x f x f ≥.若要证明)()(x g x f ≤，只须要证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'.例题22：设1<x ，且0≠x ，试证：1)1ln(11<-+x x证明：令)1ln()1ln()1ln(1)1ln(11)(x x x x x x x x x f ---+-=--+=，分子)1ln()1ln()(x x x x x g ---+=，对)(x g 求导得)1ln()(x x g --='，分两种情况来讨论：（1）当10<<x 时，0)(<'x g ，因此)(x g 单调递增. 由0)0(=g ，故0)(>x g ，分母0)1ln(<-x x ，所以0)(<x f 即原不等式成立.（2）当0<x 时，0)(<'x g ，因此)(x g 单调递减. 由0)0(=g ，0)(>x g 得，0)1ln(<-x x 分母，故知0)(<x f ，所以原不等式成立.综合（1）（2）即得结论成立. （三）泰勒公式法]1[定义若函数)(x f 在a 存在n 阶导数，则)(a U x ∈∀，有])[()()(n n a x o x T x f -+=称为函数)(x f 在a （展开）的泰勒公式.其中，n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+= 例题23 证明：若函数)(x f 在],[b a 上有n 阶导数，且1,,2,1,0)()()()(-===n i b f a f i i ，则存在),(b a c ∈，有)()()(!2)(1)(a f b f a b n c fnn n --⋅≥-证明：将函数)(x f 在点a 和点b 分别展开，即],[b a x ∈∀，有n n a x n f a x a f a f x f )(!)()(!1)()()(1)(-++-'+=ξn n b x n f b x b f b f x f )(!)()(!1)()()(2)(-++-'+=ξ由已知条件，令2ba x +=，则分别有 nn a b n f a f b a f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+2!)()(21)(ξ，21b a a +<<ξ， nn b a n f b f b a f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+2!)()(22)(ξ，b b a <<+22ξ，以上两式相减，有02!)(2!)()()(1)(2)(=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-nn n n a b n f b a n f a f b f ξξ或nn n n b a n f a b n f a f b f ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2!)(2!)()()(2)(1)(ξξ，nn nn ab n fa b n fb f a f 2!)(2!)()()(2)(1)(-+-≤-ξξ令 })(,)(max{)(2)(1)()(ξξn n n f fc f=，则有2)(!)(2)()()(nn a b n c f b f a f -⋅≤-，即)()()(!2)(1)(a f b f a b n c fnn n --⋅≥- （四）优函数法]4[当),(y x f 是),(y x g 的优函数时， ),(),(0,0b a g b a f b a ≥→≥≥例题24 ：已知a ，b ，c 是小于1的正数，求证： 2<-++abc c b a 证明：设p a +=11，qb +=11，r c +=11，由假设可知，0>p ，0>q ，0>r abc c b a -++r q p +++++=111111)1)(1)(1(1r q p +++-通分后以)1)(1)(1(r p q +++为分母时，则，分子1)1)(1()1)(1()1)(1(-++++++++=q p p r r q =)()(22pq rp qr r q p ++++++又)1)(1)(1(2r p q +++)(2)(22pq rp qr r q p ++++++=pqr 2+因为是的优函数，所以将、除以正数)1)(1)(1(r p q +++得r q p +++++1111112)1)(1)(1(1<+++-r q p 即，2<-++abc c b a （五）拉格朗日中值定理法]3[定理：函数)(x f 满足，闭区间],[b a 连续、开区间),(b a 可导. 则函数在开区间),(b a 内至少c 存在一点，使ab a f b fc f --=')()()(如果)(c f '介于两个数m 与M 之间，则有下面的不等式：证明ab a f b f --)()(形式不等式，可用拉格朗日中值定理法法.例25：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x .证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为11>-x e x 的形式，或改写为100>--x e e x 的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，用拉格朗日中值定理，Mab a f b f m ≤--≤)()(令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0,x ]，00--x e e x ＝ξe ＞1所以，有不等式 1-x e ＞x .三、利用著名不等式证明（一）利用均值不等式]1[ 设na a a ,,,21 是个正n 实数，则nnn a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时取等号.例题26：求证：n x x x 221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n x n )12(+≥（x 为正数）证：由算数平均值与几何平均值不等式，得1222221121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥++⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n x x x n x x x ，又等差数列求和为 n 2321+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=2)12(2+n n =)12(+n n , 故12221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n x x x =12)12(++n n n x =n x ，所以n x x x 221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n x n )12(+≥. (二)利用柯西不等式]2[定理：设()n i R b a i i 2,1,=∈则 ()22211nn b a b a b a ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.. 例题27：证明不等式 )(21n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++)111(21nx x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2n ≥ （其中1x ，2x ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1x 均为正数）. 证明：若令121x a =，121x a =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，121x a =； 1211x b =，2221x b =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n x b 12=.根据柯西——布雅可夫斯基不等式，则有2121)(n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2121)111(n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++nn x x x x x x 1112211⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅≥ =n ，将上式两边平方后，得)(21n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++)111(21nx x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2n ≥. （三）琴生（Jensen ）不等式]1[设()()x f n i R p i ,2,1 =∈+是区间D 上的严格的凸函数，则对任意()()()n n n n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f D x x x ++++++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∈ 21221121221121,有，当且仅当时n x x x === 21，等号成立. 特别地，另(),2,11n n n p i ==则有()()()n x f x f x f n x x x f n n +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121 例题28：若+∈R x i （n i ≤≤1），∑=ni i x 1=1，求证：（111x x +）（221x x +）⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（nn x x 1+）≥n n n )1(+证明：对于，∑=ni i x 1=1，0>i x ，不妨设 )1ln()(x x x f +=，考虑证明对a ∀，)1,0(∈b 有)22ln(2)1ln()1ln(ba b a b b a a +++≥+++ 即证2)22()1)(1(ba b a b b a a +++≥++，即证2)2(1)2(122++++≥+++b a b a a b b a ab ab ，又2≥+a b b a ，2)2(b a ab +≤且y =x x 1+在（0,1）为减函数，22)2(1)2(1b a b a ab ab +++≥+综上2)2(1)2(122++++≥+++b a b a a b b a ab ab ，即 )1ln()(x x x f +=，在（0 ,1 ）内是凸函数，又Jensen 不等式得所以)1ln()ln(])1ln([1111nn x n n x x x n n i ini i n i i i +=+≥+∑∑∑===所以（111x x +）（221x x +）⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（nn x x 1+）≥n n n )1(+（四）切比雪夫不等式由于n a a a ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤21，n b b b ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤21，则⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-+===n i i n i ni in i i n i i i b a n n b n a b a n 1111111例题29 : 已知：e d c b a ≤≤≤≤，1=++++e d c b a 求证：51≤++++ea be cb dc ad证明：先看bc ad +，由于d c b a ≤≤≤，由切比雪夫不等式，4))((d c b a d c b a da cb bc ad ++++++≤+++，因此8)1(8)1(22a e ea be cb dc ad -+-≤++++ 下面只需要518)1(8)1(22≤-+-a e ，即588)1()1(22≤+-+-ac a e ，视a 为主元，记22)28(8)1()1()(2222+-+-+=+-+-=e e a e a ae a e a f ，对称轴为e 41-，由已知条件e d c b a ≤≤≤≤及1=++++e d c b a知5141≤≤-a e ，)(a f 在定义域内单调递增，因此)51()(f a f ≤.取等条件是51=a ，因此51=====e d c b a ，故58)51()(=≤f a f ，综上， 51≤++++ea be cb dc ad ，当且仅当51=====e d c b a 时取等号（五）赫尔德（Holder ）不等式]3[设()n i b a i i ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i n i i i b a b a 111. 例题30：设,2,0,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∈+πx R q p 求函数()xq x p x f cos sin +=的最小值.解：取,5,45==βα 于是 .111=+βα由Holder 不等式有：5252545252545454)(cos )(cos )(sin )(sin x x qx x pq p +=+512254)cos (sin )cos sin (x x xqx p ++≤， )(x f =xq x p cos sin +455454)(q p +≥，当且仅当x x xq x p22cos sin cos sin =， 52)(tan qpx =时，等号成立.所以)(x f 的最小值是455454)(q p +.（六）伯努利不等式]1[ 设1->x ，则（ⅰ）当10<<α时，有x x αα+≤+1)1(；（ⅱ）当1>α或0<α时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立.例题31：证明不等式1)1(321111++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++αααααααn n n .（α>0）证：因为α>0，所以α+1>1 伯努利不等式，得n n αα++>⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111， nn αα+->⎪⎭⎫⎝⎛-+11111，将上述两个不等式的俩边同乘以α+1n ，得 ()()ααααn n n ++>+++1111，()()ααααn n n +->-++1111，从这两个不等式中，令n =1，2，3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n ，则有ααα+-<<++1121111 ， αααααα+-<<+-+++1232112111， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ααααααα+-+<<+--++++1)1(1)1(1111n n n n n ，相加后，得ααααααα+-+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++11)1(321111n n n αα++<+1)1(1n ，所以1)1(321111++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++αααααααn n n .（七）三角形不等式定理对于任意实数 i a 和 ),,2,1(n i b i = ，有211221122112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===ni i i ni i ni i b a b a 当且仅当),,2,1(n i kb a i i == 时取等号.例题32 用三角不等式证明：当直角三角形的斜边为 c 时，两直角边的和小于或等于c 2证明：设两个角边为y x ,. 则222c y x =+.根据三角不等式，有222222)()(c c y x y c x c +≥++-+-，即 c y c x c )12()()(22-≥-+-c cy y c cx x c )12(222222-≥-++-+c y x c c )12()(232-≥+-222223)(23c c y x c c -≥+- c y x 2≤+小结通过学习初等与高等数学中证明不等式的几种简单的证明方法，了解到证明不等式方法的多样化，从而可以更加深刻的认识到学习不等式的用途，不等式在各种数学问题中的应用，希望读者可以受到启发，而找到不同的的证明方法使不等式证明更加完善，同时可以利用不等式解决生活中的一部分实际问题，培养读者的逻辑思维论证能力，在以后形成良好的学习思考能力. 不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识，故论述几种简单的证明方法.可以更加深刻了解数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【参考文献】[M.北京：科学普及出版社，1983.9—73[1]吴德风.不等式与线性规划初步][2]张驰.不等式[M].上海：上海教育出版社，1963.48—72[3]科罗夫琴.不等式[M].北京：中国青年出版社，1951.5—24[4]茂木勇.方程与不等式[M].北京：文化教育出版社，1984.168—180[5]蒋邕平.常见的不等式问题解题思路[J].中学教学参考.2012,(25):86-87[][]()40证明问题之巧思妙解于发智.高考中不等式J6-：377，.广东教育.2009。

不等式证明浅谈毕业论文

不等式证明浅谈毕业论文不等式证明浅谈毕业论文毕业论文是大学生在毕业前完成的一项重要任务，也是评价学生学术能力和专业素养的重要依据之一。

在撰写毕业论文时，不等式证明是常见且重要的一种思维方式。

通过不等式证明，可以加强对问题本质的理解，提高论文的逻辑严密性和说服力。

本文将从不等式证明的定义、应用和技巧等几个方面进行深入浅出的探讨。

首先，不等式证明是指根据已知条件和相关数学知识，通过推理论证来证明某个不等式的成立或者不成立。

不等式证明在数学中有着重要的应用，可以帮助解决各种实际问题，同时也是发展数学思维和培养数学能力的有效途径之一。

其次，不等式证明在毕业论文中的应用十分广泛。

例如，在经济学、管理学等社会科学领域的研究中，经常会涉及到各种优化问题。

而不等式证明可以帮助我们确定目标函数的最值，从而优化决策和提高效率。

在工程领域的研究中，我们也常常需要证明某些约束条件下的一系列不等式的成立，以保证设计的有效性和安全性。

此外，在数学、物理、化学等理工科学科中，不等式证明也是重要的手段之一。

在进行不等式证明时，掌握一些技巧和方法是非常有帮助的。

首先，要善于利用已知条件和问题的特性来构造合适的不等式。

对于一些简单的问题，可以使用基本的不等式，如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

对于更复杂的问题，可能需要利用数学分析知识和特殊的不等式进行推导。

其次，要善于利用数学运算的性质来进行变形和简化。

例如，可以通过平方、取倒数、换元等操作，将原始的不等式转化为更容易处理的形式。

另外，要注意不等式证明中的边界条件和临界点，这些往往是证明的关键。

最后，要注意不等式证明的严谨性和逻辑性。

证明过程中要注重推导的合理性和严密性，避免出现错误和矛盾。

在撰写毕业论文时，不等式证明可以帮助加强论文的逻辑性和说服力。

通过不等式证明，可以深入分析问题的本质和内在联系，理清问题的逻辑关系和因果关系。

同时，不等式证明也可以帮助展示研究者的数学思维和分析能力，增强论文的学术价值和研究深度。

论文：基本不等式的应用及其推广

天水师范学院题目基本不等式的应用及其推广学院：数学与统计学院班级：13级数应（1）班学号：***********姓名：***论文提要在数学分析中，不等式不仅仅是一个重要并且有效的工具，也是数学分析中重要的研究对象。

在许多证明和分析的过程中充分的体现了不等式的灵活性和巧妙性，例如在解决三角函数相关问题、求函数最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比较复杂的问题迎刃而解。

也正因为不等式的这种多变性，使得不等式在证明过程中不只有一种形式，只有正确的掌握了不等式的运用方法才能使解题更简单。

本文通过几个例子来具体说明不等式在证明过程中的运用。

常用不等式的应用摘要：数学分析中的不等式是一个比较常用的解题方法，同时运用不等式也是种简便的解题方法，但运用不等式却是一种技巧，想要熟练的掌握不等式的应用就要多思考、多总结，本文列举了数分中常用的不等式，并通过几个例子对不等式的运用进行了说明。

关键词：数学分析不等式证明一、数学分析中常用不等式举例：数学分析中的不等式有较高的利用率，本文列举了八个数学分析中较常用的不等式，并对它们运用进行说明。

1、三角函数不等式：x sin <x <xtan （0<x<2π） x cos >1-22x (x 0≠)1xx +＜ln(1)x +＜x （x ＞0）常应用在解决三角函数的证明和分析中2、积分不等式：设函数()f x ，()g x 在[],a b 上可积，则有()()()()()222bb baaaf x dxg x dxf x dxg x dx ⋅≤⎰⎰⎰3、积分基本性质中得不等式：若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数且()()x g x f ≤[]b a x ,∈，()baf x dx ≤⎰()bag x dx⎰常应用于判别积分的单调性和大小等方面。

4、詹森不等式：若f 为[]b a ,上的凸函数，则对任意[]b a x i ,∈，i λ>0(),1,,2,11==∑=ni in i λ有()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f x f 11λλ。

关于几类不等式的推广-论文

关于几类不等式的推广【摘要】不等式是可以将两个解析式连接起来所成的式子，其在一个式子中是数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如x+y≥xy，-2x≤1，x>0 ，x<3，3x≠5等。

根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。

只要有一边是超越式，就称为超越不等式。

例如lg(1+x)>x是超越不等式。

不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

【关键词】柯西不等式、排序不等式1．引言：不等式的推广是代数中的一个重要内容，不等式的证明也是常见的问题，在高等数学中起到重要作用，在数学分析等中都有涉及，这就使得不等式的问题在数学中尤为重要，并且不等式也是数学高考、数学考研考试的热点之一，不等式的推广对发展我们数学思维能力，培养逻辑思维能力起着非常重要的作用，不等式的证明同大多数高难度数学问题一样，没有固定的模式，证法因题而异。

下面我们将介绍两种不等式（柯西不等式、排序不等式）的证明以及推广。

2．（1）设α，β是两个平面向量，则|α·β|≤|α||β|证明：①当α，β中有一个或两个为0时，等号显然成立②当α，β都不为0时，设α与β中的夹角为θ（0≤θ≤π）则|α·β|=||α||β|cosθ|=|α||β||cosθ|≤|α||β|等号成立的条件为|cosθ|=1下面推广到：平面中的n个向量α 1 ……αn，有|∏1≤i≤2R αi|≤|α1|……|αn|证明：①当α1……αn中至少有一个为0时，等号显然成立②当α1……αn都不为0时，则（i）若n=2k（k=1,2……）时，柯西不等式令αi与αi+1的夹角为θi（i∈N＊）∴|∏1≤i≤2R αi|=|α1|……|α2R||cosθ1|……|cosθR|而|cosθ1|，|cosθ2|，……，|cosθk|≤1∴|∏1≤i≤2R αi|≤∏1≤i≤n |αi| 当且仅当（|cosθ＞1|=……=|cosθR|=1）时等号成立；（ii）若n=2k-1，k∈N＊时，设αn=（x，y）|∏1≤i≤2k-1αi|=√（|α1|……|α2k-2||cosθ1|……|cosθk-1|·x）2+（|α1|……|α2k-2||cosθ1|……|cosθk-1|·y）2=（|α1|……|α2k-2||cosθ1|……|cosθk-1 |）·√x2+y2=|α1|……|α2k-2||cosθ1|……|cosθk-1||α2k-1|≤∏1≤i≤n |αi| 当且仅当（|cosθ1|=……=|cosθk-1|=1时等号成立<2>设x1，x2，y1，y2∈R，√x12+y12+√x22+y22≥√（x1-x2）2+（y1-y2）2证明：设A（x1，，y1） B（x2，y2），x1，x2，y1，y2∈R｜OA｜=√x12+y12｜OB｜=√x22+y22｜AB｜=√（x1-x2）2+（y1-y2）2显然若A、B两点都不为（0，0）时，｜OA｜+｜OB｜＞｜AB｜若A、B两点中至少有一个为（0，0），则｜OA｜+｜OB｜=｜AB｜∴综上所述：√x12+y12+√x22+y22≥√（x1-x2）2+（y1-y2）2下面推广到：设x i，y i∈R（i∈N＊），则有（1）√x12+y12+√x22+y22+√x32+y32≥√（x1-x2-x3）2+（y1-y2-y3）2（2）√x12+y12+√x22+y22+√x32+y32+√x42+y42≥√（x1-x2-x3-x4）2+ （y1-y2-y3-y4）2。