隐函数的偏导2

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高等数学-隐函数的求导法则

第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-．说明：1）定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂，由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2）若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==．解设(,)sin e 1x F x y y x y =+--，则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数．隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂．说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =，得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂．例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---．二、方程组的情形在一定条件下，由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=．事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=．下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，．它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂．说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，．当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+．两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，．当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+．另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，．解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++．于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+．例设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1）证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数．解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩，由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂．同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。

隐函数的偏导数课件

约束条件下的最优化
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可以将微分方程转化为代数方程组，从而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳定性，例如判断系统是否会趋于稳定或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个二元函数。
隐函数与偏导数的应用

隐函数的求导公式63412精品

u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )

0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)

00时, 它可能确定两个一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)

Fy
(
x,
y
)

dy dx

0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y

F u G u
u y u y
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
19
隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
fv ( xy
xz y), z
整理得
y

高数隐函数偏导数的求法及其应用

隐函数性质
隐函数具有连续性、可微性等性质，这些性质使得我们可以对其进行微积分运算。
偏导数定义及几何意义
偏导数定义
偏导数是指多元函数中，一个自变量变化而其余自变量保持不变时，因变量相对于该自变量的变化率。
偏导数几何意义
偏导数在几何上表示多元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率，即切线斜率。
隐函数存在定理
04
隐函数偏导数在物理中的应用
速度、加速度与位移关系
隐函数偏导数在描述质点运动学中的速度、加速度与位移关系时具有重要作用。
通过求解隐函数的偏导数，可以得到质点在各个方向上的速度分量，进而求得质点的合速度。
同样地，通过对速度进行偏微分，可以得到质点在各个方向上的加速度分量，从而了解质点的运动状态。
收益函数
收益函数表示产量与收益之间的关系。通过求隐函数的收益函数偏导数，可以得到边际收益，即增加一单位产量所引起的总收益的变动。这些边际量在经济学中对于分析生产者的行为和市场均衡具有重要意义。
06
总结与展望
隐函数偏导数求解方法总结
直接法
通过对方程两边同时求偏导数，得到包含未知偏导数的等式，然后解出未知偏导数。这种方法适用于较简单的隐函数方程。
03
隐函数偏导数在几何中的应用
切线斜率与法线斜率
切线斜率
隐函数在某点的切线斜率可以由该点的偏导数求得。对于二元隐函数 $F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率为$frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
法线斜率
法线是与切线垂直的直线，因此法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。在点 $(x_0,y_0)$处的法线斜率为$frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}$。

隐函数的偏导数

由定理 2, 在点(1,0,1,1)的某邻域可确定隐函数组偏导数计算见黑板。注意对称性。
例 4. 设 z f ( x, y), g( x, y) 0, f, g 在区域 D内有连
续偏导数, 且
求
解：令 F(x, y, z) f (x, y) z , 则 Fx f1', Fy f2', Fz 1 及 gx , gy 均连续, 且
隐函数
有二阶连续导数, 由
得
Fx Fy
x
y
Fx xFy2
2Fx yFxFy Fy3
Fy yFx2
.
x
练 1. 验证方程 x2 y2 z2 4z 0 在点 (0, 0, 0) 的某邻域内可确定具有二阶连续导数的隐函数并求
答：令
验证 F(0,0,0) 0;
Fx , Fy , Fz , Fxx , Fxy , Fyx , Fyy 在原点的某邻域内连续;
导的隐函数
且
例 2. 设函数
具有连续偏导数，求由方程所确定的隐函数的偏导数
解：法一. 令 F(x, y, z) f (x, x y, x y z), 则 Fx f1' f2' f3',
Fy f2' f3', Fz f3' 均连续, 在满足已知方程的
任一点 (x, y, z) 处, 若 Fz ( x, y, z) 0 , 则有
第 16 讲
隐函数的偏导数
一. 隐函数
定义 1.对方程
若存在集
使得对
都有唯一的
与
一起满足方程 (1),
则称方程 (1) 确定了定义在 X 上, 值域含于 Y 的隐
函数, 若记
则

高数隐函数偏导数的求法及其应用-文档资料

例 4 求由方程x2 y2 z2 2x 2 y
4z 10 0确定的函数z f ( x, y)的极值
解将方程两边分别对x, y 求偏导
2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
将上方程组再分别对x, y 求偏导数,
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中为某一常数，可由
f f
x y
( (
x,x, x,
y) y)
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
x2
x
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0 下的
隐函数存在定理1设函数某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数dxdyarctanlndxdyarctanlndxdy隐函数存在定理2设函数的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数xyyzyzxzxzxy的某邻域内有定义对于该邻域内异于定理1必要条件设函数仿照一元函数凡能使一阶偏导数同时为零的点均称为函数的驻点

隐函数的求导方法总结

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (4)3.隐函数存在定理3 (4)三. 隐函数求偏导的方法 (6)1.公式法 (6)2.直接法 (6)3.全微分法 (6)参考文献 (8)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。

例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。

如等时时321,10=-===y x y x 。

二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。

，y 。

）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。

，y 。

）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有yxy F F d d x -=。

例1:验证方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dxdy在x=1处的值。

解令),(y x F =2x -2y ,则x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有dx dy =y x F F -=y x 22=yx 故1=x dxdy=)1,(!y x=1 2.隐函数存在定理2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,。

(整理)高等数学--隐函数的求导法则

第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-．说明：1）定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂，由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2）若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==．解设(,)sin e 1x F x y y x y =+--，则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数．隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂．说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =，得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂．例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x zF z x xx F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---．二、方程组的情形在一定条件下，由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=．事实上，0xu yv -= ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22yx yu +=，2222yx x y x yy x v +=+⋅=．下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，．它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvx v u v uv F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y v u v uvF FG G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂．说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数x u ∂∂，xv ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，．当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+．两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，．当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+．另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，．解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++．于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+．例4 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂．1）证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数．解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)(,,,)(,)0F x y u vx x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩，由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂．同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂．。

二元隐函数的二阶偏导数的计算方法

二元隐函数的二阶偏导数的计算方法作者：张辉陈春梅景慧丽来源：《科技资讯》2020年第02期摘; 要：多元隐函授的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。

该文介绍了計算由一个方程所确定的二元隐函数的二阶偏导数的4种方法，旨在对隐函数的偏导数问题有更深的理解和掌握。

关键词：隐函数; 偏导数; 链式法则; 微分法中图分类号：O13 ; ;文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（b）-0222-02多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要内容。

隐函数存在定理2[1]提供了由一个方程所确定的二元隐函数的偏导数的计算公式，假设三元函数F（x，y，z）具有二阶连续偏导数，在一定条件[1]下，方程F（x，y，z）=0唯一确定一个具有连续偏导数的二元函数z=f（x，y），且有而对于z=f（x，y）二阶偏导数的计算，教材上并没有给出求解方法和公式，同时也是大部分大学一年级学生面临的一个难点问题。

为了解决上述问题，该文主要介绍4种计算此二元隐函数z=f（x，y）二阶偏导数的方法，给出相应的求解思路和计算公式，供初学者参考学习。

从以上4种方法的分析可以看出，微分法在求二元隐函数的二阶偏导数问题中有着显著优点，它比链式法则和偏导数求导法则要方便一些;特别是在变量间的关系较复杂时，微分法无须判断各变量之间的内在关系，只需将各变量一律看作成相互独立的自变量，再对等式两边的表达式同时求解微分或全微分，这样既简化了问题，也不容易出错。

事实上，在大学数学课程的学习中，对于同一个具体问题，如果从不同的角度去分析，采用不同的处理方式或途径去解决就能得到不同的求解方法，通过比较可以选择便捷高效的方法，并在不断的分析比较中，使得学生将所学知识融会贯通、熟练掌握。

参考文献[1] 同济大学数学系.高等数学（下册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.[2] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.。

隐函数方程组求偏导数例题

隐函数方程组求偏导数例题隐函数方程组是高数中一个十分重要的概念，其在微积分中，特别是求导中具有重要的作用。

在下面的文章中，我们将会介绍隐函数方程组和如何求解其偏导数，同时也会给出一些例题供大家参考。

一、隐函数方程组概述隐函数方程组是一个由多个方程组成的函数群，其中一些方程未明确地给出其中的变量。

这种情况下，我们需要求解这些变量，这就是隐函数方程组。

我们知道，一个二元函数可以写为 $f(x,y)=0$ 的形式，其中 $f$ 是一个连续的实函数。

当我们求解方程 $f(x,y)=0$ 时，我们可以通过隐函数定理来解出 $y$ 所对应的函数 $y=g(x)$，这就是一个隐函数方程。

当我们面对多个未知变量的时候，这个方法似乎不再适用，但实际上，我们可以通过较为复杂的方法求解隐函数方程组。

二、求解隐函数方程组偏导数的方法当我们需要求解隐函数方程组的偏导数时，我们需要使用隐函数求导公式。

这个公式是由高阶微积分学中的隐函数定理所推导出来的。

在求解偏导数之前，我们需要使用隐函数定理来确定某些未知变量的解析式。

这就是求出隐函数方程组的任意一个解。

在确定解析式之后，我们就可以使用偏导数公式来求解对应变量的偏导数。

具体来说，我们可以分为以下几个步骤：1、确定隐函数方程组的解析式。

这是通过隐函数定理推导的，需要使用高阶微积分的知识。

2、求出某一变量的一阶偏导数，使用隐函数求导公式求出。

3、求出其它变量的一阶偏导数，同样使用隐函数求导公式求出。

4、继续使用偏导数的分段公式，求出所求变量的二阶偏导数，以此类推。

三、例题现在，我们来看一个具体的例题，以便更好地了解隐函数方程组求解偏导数的方法。

假设有隐函数方程组 $x\sin y +y\cos x=0$，求 $\dfrac {\partial y}{\partial x}$ 的值。

解：首先，我们需要通过隐函数定理确定解析式，求出 $y$ 的解析式：$y=-\dfrac {x\sin y}{\cos x}$。

隐函数和偏导数

隐函数和偏导数
隐函数和偏导数是微积分中的两个重要概念。

隐函数是指一种函数，其自变量和因变量之间的关系不能显式地表示出来。

而偏导数是指多元函数中一个变量的变化对函数值的影响。

在实际问题中，很多时候会遇到需要求解隐函数或偏导数的情况。

求解隐函数可以帮助我们找到某个变量的值，使得函数取得特定的数值。

而求解偏导数则可以帮助我们分析多元函数的变化规律，并且可以用来优化一些实际问题，例如最小化成本、最大化利润等。

因此，掌握隐函数和偏导数的求解方法对于学习微积分、应用数学等领域都非常重要。

- 1 -。

xyz的隐函数的偏导数

xyz的隐函数的偏导数
要计算一个隐函数的偏导数，我们首先需要知道隐函数是如何
定义的。

隐函数通常由一个方程表示，其中包含一个或多个变量。

偏导数是求解这个方程时对某个变量的导数。

假设我们有一个隐函数 f(x, y) = 0，其中 x 和 y 是变量。

要计算这个隐函数的偏导数，我们可以使用隐函数定理或者链式法则。

使用隐函数定理，我们可以将隐函数表示为 y = g(x) 的形式，其中 g(x) 是一个关于 x 的函数。

然后我们可以计算 g(x) 的导数，即 dy/dx，作为隐函数 f(x, y) = 0 对 x 的偏导数。

使用链式法则，我们可以将隐函数表示为 F(u, v) = 0 的形式，其中 u = x，v = y。

然后我们可以计算 F(u, v) 对 u 的偏导数
(∂F/∂u) 和 F(u, v) 对 v 的偏导数 (∂F/∂v)。

最后，我们可
以使用链式法则计算 dy/dx = -(∂F/∂u)/(∂F/∂v)。

需要注意的是，计算隐函数的偏导数可能会涉及到一些复杂的
数学技巧和求导规则，具体的计算方法会根据具体的隐函数方程而异。

如果你提供具体的隐函数方程，我可以帮助你进行计算。

隐函数的偏导数最新课件.ppt

定理9.10 设函数
满足:
① 在点
的某一邻域内具有对各个
变量的连续偏导数；
② F (x 0 ,y 0 ,u 0 ,v 0 ) 0 ,G (x 0 ,y 0 ,u 0 ,v 0 ) 0 ;
③ J (F,G) 0 P (u,v) P
则方程组 F ( x , y , u , v ) 0 ,G ( x , y , u , v ) 0 在点 (x0,y0,u0,v0)
例3. 设 x2y2z24z0,求
解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
解法2 利用公式
设 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx2x, Fz2z4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
F x Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
例2 求由方程 xyyzzx1所确定的函数 z x, y
的偏导数 z , z .
x y
解令 F x,y,zxyyzzx 1 则
F x y z ,F y x z ,F z y x
从而
zF xyz,zF yxz. x F z yxy F z yz
则两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x F y y Fy d x

隐函数求导公式(2)

z Fx , z Fy . x Fz y Fz
隐函数求导公式 11
➢推导
xx
复合关系图 F
y z
y
注
在 z Fx 中
x
Fz
Fx和Fz分别表示F对x和对z 求偏导分子和分母不要颠倒不要丢掉负号
例2
设
x2 y2 z2 4z 0,
求
2z x2 .
例3 设 (u,v) 具有连续偏导数,证明由方程
14
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u, v) 0
u u(x, y)
v
v(
x,
y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
➢研究问题
显函数
x y (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
4
➢隐函数组概念
隐函数
u u(x, y) v v(x, y)
组的显化
F (x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
7
定理1 设函数
在点
的某一邻域内满足:
① 具有连续的偏导数; ② F (x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0 则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个函数y=f(x) y=f(x)具有如下性质:
①
② 在x0的上述邻域内连续 ③ 在x0的上述邻域内连续可导,且有

隐函数的高阶偏导数

隐函数的高阶偏导数隐函数的高阶偏导数在微积分中有着重要的地位，它与多元函数的高阶偏导数密切相关。

本文将为读者介绍隐函数的高阶偏导数的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。

首先，我们先来了解一下隐函数的概念。

在某些情况下，给定一个方程，我们可以从中找出关于某个变量的解，这种关系被称为显函数。

但有时候方程中的变量之间的关系并不容易直接解出来，此时我们就需要使用隐函数来描述它们之间的关系。

换句话说，隐函数是一种用来表示变量之间关系的函数，其中变量的关系不是直接表示的，而是通过方程来间接地描述。

当我们研究隐函数时，不仅关注它们的一阶偏导数，还关心它们的高阶偏导数。

高阶偏导数可以帮助我们更加全面地了解隐函数的性质和变化趋势。

在计算高阶偏导数时，我们需要利用链式法则和多元函数的偏导数计算方法。

链式法则是计算复合函数导数的重要工具。

对于一个隐函数，我们通常将其表示为F(x, y) = 0的形式，其中x和y都是自变量。

当我们需要计算隐函数的高阶偏导数时，可以利用链式法则进行推导。

具体步骤如下：1. 首先对F(x, y) = 0两侧关于x求导，得到∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

2. 通过求解上述方程，可以得到dy/dx的表达式。

3. 对dy/dx进行求导，即可得到隐函数的高阶偏导数。

需要注意的是，由于隐函数的表达式通常比较复杂，因此在计算高阶偏导数时可能会涉及到大量的计算。

为了简化计算过程，我们可以使用计算机软件或数值方法进行近似计算。

隐函数的高阶偏导数在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，隐函数可以用来描述复杂的物体运动轨迹或场的分布规律。

通过计算隐函数的高阶偏导数，我们可以研究物体的加速度、速度等变化情况，从而对物体的运动状态进行更精确的描述和预测。

此外，在经济学和金融学中，隐函数的高阶偏导数可以用来描述市场供求关系、价格变化趋势等经济现象。

通过计算这些高阶偏导数，我们可以了解市场变化的速度、变动的幅度等信息，从而为经济决策提供科学的依据。