2015-2016学年 2.2.1《椭圆及其标准方程》课时1 课件

2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程（1）
天宫一号与神八将实现两次成 功对接。北京航天飞行控制中心最 新消息：从对接机构接触开始，经
过捕获、缓冲、拉近、锁紧4个步骤，
“神舟八号”飞船与“天宫一号” 目标飞器3日凌晨实现刚性连接，形 成组合体，中国载人航天首次空间 交会对接试验获得成功。
通过视频我们看到天宫一号与神 八的运行轨迹是什么？
7
5
3 2 答案
退出
D
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上,
x
2
6
y
2
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5.
25 x
2
16
1
退出
答案
一个定义
椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数2a (大于│ F1F2│,)的点的轨迹，叫做椭圆.
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2－c2=52－42=9
o
F2
x
求椭圆标准方程的解题步骤： （1）一定焦点位置
（2）二设椭圆方程；
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 1 （3）三求a、b的值.(待定系数法) 25 9 （4）写出椭圆的标准方程.
闯关竞技场
★题：
y y F1
O
y
y
y F2
O
M
M
O
O O F2
xx x
F1
x
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距 2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数 2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0) . y
它表示：
2
2
F1
0
F2
x
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样 的呢
焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示: ① 椭圆的焦点在y轴 ② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
移项，再平方
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 即： a 2 cx a
两边再平方，得
( x c) 2 y 2
笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察,
你画出的是一个什么样的图形呢?
怎样画椭圆呢？
M
F
1
F
2
椭圆的产生
/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=53ce637c5aa856df9155b223
绘图纸上的三个问题:
2
2
y F2 M O F1 x
根据所学知识完成下表:
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹 系数为正加相连
y P F2
椭圆方程有特点
y
分母较大焦点定
F2 P 右边数“1”记心间
不 同 点
图
形
F1
O
x
O
x
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
椭圆的定义
椭圆定义：
的轨迹叫做椭圆。
/edu/ppt/ppt_playVideo.acti on?mediaVo.resId=55d6bf4daf508f0099b1c734
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两个方程
椭圆标准方程： (1). 椭圆焦点在x轴上 (2). 椭圆焦点在y轴上
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0). 2 a b
两种方法
待定系数法、数形结合思想方法
课后练习
课后习题
THANKS!
x2 y2 1 ，各个小组仿照例题或习题 对椭圆 25 16
的形式自己设计一个题目，两个小别是（－4，0）（4，0），椭 圆上一点M 到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 y 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
M F1
x2 y2 (a b 0) ∴设它的标准方程为: 2 2 1 a b
2
设 a 2 c 2 b 2 ( b 0 ),
则上式变为 b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
椭圆的标准方程
两 边 同 除 以 a b 得 ：
2
2
x2 y2 2 1 ( a b 0 ). 2 a b
焦点在x轴上的椭圆的标准方程：
y M
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）。
M
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方 （1） 必须在平面内; （2）两个定点---两点间距离确定; （3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定；
F1 F2
(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2|.
求椭圆的方程 复习:求曲线方程的方法步骤是什么？
1.视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距
离之和符合什么条件，其轨迹是椭圆？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的 图形还是椭圆吗？
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为 10,则M点的轨迹是什么? 椭圆
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为 6,则M点的轨迹是什么? 线段AB 思考：椭圆是满足什么条件的点的 轨迹呢？
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得： ( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2 a 2 c , 即 a c , a
2
c 0,
(3)已知 A(-3,0),B(3,0),M 点到A,B两点的距 阅读教材第 38页. 离和为5,则M点的轨迹是什么? 不存在
结论： (1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.
(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
典例展示
例1、判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
1 2 2
★★题：
3 3
1、若动点 P 到两定点 F1 (－4,0)， F2 (4,0)的距离之和为 8， 则动点 P 的轨迹为（ D ）
A B C D 退出
不存在
椭圆 答案
x2 y2 2、已知椭圆 25 16 1 上一点P到椭圆的
一个焦点的距离为3，则P到另一个焦
点的距离为
A B C
（A ）
M
由椭圆的定义得： | MF 1 | | MF2
代入坐标
| 2a
F1
0
F2
x
| MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
建系： 建立适当的直角坐标系；
设点：
设M（x,y）是曲线上任意一点；
列式： 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0； 化简： 化简方程f(x,y)=0. 证明： 说明曲线上的点都符合条件，（纯粹性）；符合 条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
2.如何求椭圆的方程？ ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
x2 y2 (1) 1 25 16
答：在x轴。（-3，0）和（3，0） 答：在y轴。（0，-5）和（0，5）
x2 y2 ( 2) 1 144 169
2 2
x y (3) 2 2 1 答：在y轴。（0，-1）和（0，1） m m 1
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上
“天宫一号”与“神八”将实现两次对接
/edu/ppt/ppt_playVideo.actio n?mediaVo.resId=55d6c0edaf508f0099b1c744
压扁
椭圆的定义
自己动手试试看 : 取出课前准备好的一条定长为 6cm 的
细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅