导数解析几何练习题

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高二期末复习导数解析几何概率北京丰台二中张健

导数题1.已知函数()y f x =的图象如图所示，设函数()y f x =从-1到1的平均变化率为1v ，从1到2的平均变化率为2v ，则1v 与2v 的大小关系为（A ）12v v > （B ）12v v = （C ）12v v < （D ）不确定2. 在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是．3. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）4. 已知函数2()ln f x x a x =-的图象上，且'(1)0f =.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）是否存在实数m ，当(0,1]x ∈时，函数2()()(1)g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若120x x <<，求证数212122ln ln x x x x x -<-.5. 已知函数ln ()()xf x mx m R x=-∈. （1）当m =0时，求函数f (x )零点的个数；（2）当m ≥0时，求证函数f (x )有且只有一个极值点；（3）当b >a >0时，总有()()1f b f a b a->-成立，求实数m 的取值范围.6. 已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )．( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．7. 已知22()(0)(1)ax f x a x +=>+.（Ⅰ）若1a =，求)(x f 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）确定函数)(x f 的单调区间，并指出函数()f x 是否存在最大值或最小值．8. 已知函数()e 1x f x x -=+-．（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围．导数题答案：4.解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+，由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分（Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分 ① 当a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. …………………9分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x =-+2221a x ax x-++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分（i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>，所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭.因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分（ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-，所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. 5. 解：（1）当m =0时，ln ()xf x x=（x>0）. /1ln ()xf x x-=，令/()0f x =，得x e =.∴函数f ( x )在区间（0，e ）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减. 2分 ∴max 1()()0f x f e e==>. 又当取1x e =时，1()0f e e=-<.∴函数()f x 在区间(0,e)内有且只有一个零点；又当x e >时，ln ()0xf x x=>恒成立， ∴函数函数()f x 在区间(e ，+∞)内没有零点。

导数复习题(含答案)

所以函数在上是增函数，
因为，所以，即，
所以化为，
当时，不等式等价于，即，解得；
当时，不等式等价于，即，解得；
综上，不等式的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数有两个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，因为，当时，，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.
6．函数的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，则，所以函数为奇函数，
图象关于原点对称，
又时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为（）

2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

高考专题训练二十三函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟分值：72分总得分________1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0.(1)求角A 的大小；(2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的值域．解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0⇒(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0⇒－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12⇒A ＝π3.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝12sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋14sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32⇒3－24≤34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32.∴函数f (x )的值域为[3－24，32]．2．(12分)(2011·正定)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B —DEF 的体积．分析：本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力．解：(1)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连接EG 、GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綊12AB .又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB . (2)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC . ∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ， ∴AC ⊥平面EDB .(3)∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF . ∴BF 为四面体B －DEF 的高．∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.又EF ＝1， ∴V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.3．(12分)(2011·预测题)小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X 表示小王所获得奖品的价值，写出X 的概率分布列，并求X 的数学期望．解：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P 1，则P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725.(2)X 的取值为0,1000,3000, 6000，则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925，P (X ＝1000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725，P (X ＝3000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775， P (X ＝6000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415， ∴X 的概率分布列为∴X 的数学期望E (X )＝0×25＋1000×25＋3000×75＋6000×415＝2160.4．(12分)(2011·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝ln x －ax 2，x >0.(f (x )的图象连续不断)(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ＝18时，证明：存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32；(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β －α≥1，使f (α)＝f (β)，证明：ln3－ln25≤a ≤ln23.分析：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力．解：(1)f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2x ，x ∈(0，＋∞)．令f ′(x )＝0，解得x ＝2a2a.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a ，＋∞. (2)证明：当a ＝18时，f (x )＝ln x －18x 2，由(1)知f (x )在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.由于f (x )在(0,2)内单调递增，故f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即g (2)>0.取x ′＝32e>2，则g (x ′)＝41－9e 232<0.所以存在x 0∈(2，x ′)，使g (x 0)＝0，即存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎫32.(说明：x ′的取法不唯一，只要满足x ′>2，且g (x ′)<0即可．)(3)证明：由f (α)＝f (β)及(1)的结论知α<2a2a<β，从而f (x )在[α，β]上的最小值为f (α)，又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≥f (α)≥f (1)，f (2)≥f (β)≥f (3).即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4a ≥－a ，ln2－4a ≥ln3－9a . 从而ln3－ln25≤a ≤ln23.5．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4.求y 0的值．分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得 x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2.设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为 y －2k 1＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2. 由|QA →|＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)， QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147，所以y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.6．(12分)(2011·湖北卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a (a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2是否成等差数列，并证明你的结论．分析：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想．解：(1)由已知a n ＋1＝rS n ，可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减可得 a n ＋2－a n ＋1＝r (S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，又a 2＝ra 1＝ra ，所以当r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…；当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，所以a n ≠0(n ∈N *)，于是由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得a n ＋2a n ＋1＝r ＋1(n ∈N *)，∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， ∴当n ≥2时，a n ＝r (r ＋1)n －2a .综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，r (r ＋1)n －2a ，n ≥2. (2)对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，证明如下：当r ＝0时，由(1)知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，0，n ≥2.∴对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．当r≠0，r≠－1时，∵S k＋2＝S k＋a k＋1＋a k＋2，S k＋1＝S k＋a k＋1.若存在k∈N*，使得S k＋1，S k，S k＋2成等差数列，则S k＋1＋S k＋2＝2S k，∴2S k＋2a k＋1＋a k＋2＝2S k，即a k＋2＝－2a k＋1.由(1)知，a2，a3，…，a m，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1＝－2a m，从而a m＋2＝4a m，∴a m＋1＋a m＋2＝2a m，即a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．。

全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

2.(本小题满分12分）已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。

3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。

导数专题训练(含答案)

导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)，令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上．又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)，即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0，因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，所以a 3－3a 2＋4＝0，即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意．综上a ＝－1或a ＝2.变式训练解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )，所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823，解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。

高中数学解析几何大题专项练习

高中数学解析几何大题专项练习1、已知椭圆G：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（x,y）到椭圆上的点最远距离为52.1）求此时椭圆G的方程；2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。

2、已知双曲线x-y=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆x+y=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)。

Ⅰ）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；Ⅱ）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1×k2是定值吗？证明你的结论。

3、已知抛物线C:y=ax^2的焦点为F，点K(-1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。

1）求抛物线C的方程。

2）证明：点F在直线BD上；3）设FA×FB=9，求△BDK的面积。

4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为1/2，中点T在直线OP上，且A、O、B三点不共线。

I)求椭圆的方程及直线AB的斜率；Ⅱ)求△PAB面积的最大值。

5、设椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，直线l:x=a(b^2/a)交x轴于点A，且AF1=2AF2.Ⅰ）试求椭圆的方程；Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E（如图所示），若四边形DMENE的面积为27，求DE 的直线方程。

6、已知抛物线P：x^2=2py(p>0)。

Ⅰ）若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3.ⅰ）求抛物线P的方程；ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C、D。

2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

前 n 项和．
数学（理）第8页新课标· 高考二轮总复习
[分析] 本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算．考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力．对于通项公式，可以利用基本量法求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出 bn，然后利用裂项法求和．
第二部分
高考题型解读
数学（理）第1页新课标· 高考二轮总复习
题型三
解答题
数学（理）第2页新课标· 高考二轮总复习
第二十三讲
函数、导数与不等式、
解析几何、数列型解答题
数学（理）第3页新课标· 高考二轮总复习
好方法好成绩
1.函数与不等式型解答题一直是高考的压轴题之一，这类解答题的命题方式灵活多变，其主要特点有两个：一是涉及的知识面广泛，从简单的一次函数到复杂的复合后的指数、对数函数及导数等；二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法，考生必须对数学思想方法有较为深刻的领会，才能做出正确的解答．这类试题中值得注意的题型是：函数、导数与不等式恒成立问题，利用
1 h(x)>0，可得 2h(x)<0.与题设矛盾． 1－x (ⅲ)设 k≥1.此时 h′(x)>0， h(1)＝0，而故当 x∈(1， 1 ＋∞)时，h(x)>0，可得 2h(x)<0.与题设矛盾． 1－x 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．
数学（理）第17页新课标· 高考二轮总复习
【热点例 3】 (2011· 新课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－1)，B 点在直线 y＝－3 上， → → → → → → M 点满足MB∥OA，MA· ＝MB· ，M 点的轨迹为曲 AB BA 线 C. (1)求 C 的方程； (2)P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值．

解析几何典型大题

解析几何典型大题几何学是数学中的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要研究方向。

在高中数学课程中，解析几何往往占据了重要的篇幅，而典型大题则是解析几何中学生必须掌握的一部分内容。

下面将对几个典型的解析几何大题进行解析，分别从直线、圆、抛物线和椭圆四个方面进行讨论。

一、直线直线是解析几何中最基础的图形之一，其中最常见的问题是求两直线的交点或判断直线的位置关系。

例如，已知直线L1的方程为y=2x+3，直线L2经过点(-1,5)且与L1垂直，我们需要求L2的方程和L1与L2的交点。

解题步骤如下：首先，由L1的斜率为2可得L2的斜率为-1/2。

接着，由L2过点(-1,5)可得到L2的方程为y=-1/2x+3/2。

最后，将L2的方程与L1的方程联立，解方程组可得到交点的坐标为(4,-1)。

二、圆圆是解析几何中的另一个基本图形，问题类型多样，常见的有求圆的方程和圆与直线的位置关系等。

例如，已知圆的圆心为(-2,3)，半径为4，我们需要求圆的方程及圆与直线y=2x-1的位置关系。

解题步骤如下：首先，由圆的圆心坐标可得到圆的方程为(x+2)^2+(y-3)^2=16。

接着，将直线的方程y=2x-1代入圆的方程，解方程组可得判别式为D=4(2√5+⅘)，由判别式的正负可以判断两者的位置关系。

三、抛物线抛物线是解析几何中的另一个重要图形，经常涉及到求焦点、顶点、方程以及切线等问题。

例如，已知抛物线的焦点为(2,3)且过点(-1,5)，我们需要求抛物线的方程及过给定点的切线方程。

解题步骤如下：首先，由焦点可得抛物线的对称轴为x=2。

接着，由对称轴和焦点可确定抛物线的顶点为(2,3)。

再根据顶点和焦点可得到抛物线的方程为(y-3)^2=4(x-2)。

最后，将给定点(-1,5)代入抛物线的方程，求导数并带入切线的一般方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，可求得过给定点的切线方程为y=-5x+0。

四、椭圆椭圆是解析几何中的一种特殊曲线，需要掌握求椭圆的方程以及判断其性质等问题。

高一数学必修1练习题

高一数学必修1练习题第一章：函数与导数1. 已知函数$y=2x^2+3x+1$，求以下各题：（1）当$x=2$时，求函数$y$的值。

（2）求函数$y$的导数，并求当$x=1$时的导数值。

（3）求函数$y$的图像的对称轴。

2. 设函数$y=3x^3+4x^2-2x+5$，求以下各题：（1）求函数$y$的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点。

（2）求函数$y$的增减区间。

（3）求函数$y$的图像所在的象限。

第二章：三角函数与三角恒等变换1. 已知$\sin A=\frac{3}{5}$，求以下各题：（1）求$\cos A$和$\tan A$的值。

（2）求$\sin (A+30^\circ)$的值。

2. 若$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，求以下各题：（1）求$\sin\theta$的值。

（2）求$\sin (2\theta)$的值。

第三章：平面向量1. 设$\vec{a}=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2\end{pmatrix}$，求以下各题：（1）求$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$的值。

（2）求$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值。

（3）求$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

2. 已知平面向量$\vec{m}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}$，$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1\end{pmatrix}$，求以下各题：（1）求$\vec{m}\times\vec{n}$的值。

（2）判断$\vec{m}$和$\vec{n}$是否相互垂直。

第四章：不等式与绝对值1. 求不等式$2x+3>5$的解集。

2. 解方程$|x-2|=3$。

导数、解析几何大题及答案

2220•已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线x=4与x 轴的交点为P ,与抛物线的交点为 Q,且廟匸一|珂丨• (1) 求抛物线的方程；(2) 如图所示，过F 的直线I 与抛物线相交于A, D 两点，与圆x 2+(y - 1) 2=1相交于B , C 两点(A , B 两点相邻)，过A, D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点 M 求厶ABM ^A CDM 勺面积之积的最小值.I QF I =•••抛物线x 2=4y ;(2)设 I : y=kx+1, A( X 1, yd , B( X 2, y 2), • M 到I 的距离+2联立 y=kK+l ,整理得：x 2 - 4kx - 4=0 , 贝U X 1X 2=- 4 , •••△ ABMW ^ CDM 勺面积之积 S A ABI ?S A CD M^~ I2AB II CD|?d ,由 y=-?x 2 ,求导 y '=二, 直线MAy -(x - X 1),即卩 y=(I DF I - 1)?d 2 ,xd 2 ,解：(1)由题意可知P (4, 0), Q (4,),同理求得MD y=由 iQFkziFQl ,则二+炸〒x,解得：p=2 ,,解得：x=2kL y=-1,则(2k , - 1),=1+k 2>1, 当且仅当k=0时取等号, 当k=0时，△ ABMW A CDM 勺面积之积的最小值121 .已知函数 f (x ) =lnx — x . (1) 证明：对任意的X 1, X 2^（ 0, +°）, 都有 |f (X i ) | >(2) f (ID ) (n) +n)rn-n r . 2 2 与m 一门设m >n >0,比较的大小，并说明理由 (1) 证明: f (m) -f因为 f '(x ) =1-，故 f (x )在(0, 1) 上是增加的，在（1, +°）上是减少的, f (X ) maX =f ( 1 ) =ln1 —仁—1, |f ( x ) | min =1 ,- 1m 1 — 2 2X “ n 一 4—Hl 口且设G( x )=」,1^1 XL x .2 , V m >n >0，^- 1>0,故 G (x )在(0, e ）上是增加的，在（e , + 故只需比较In,与°°）上是减少的, 故 G(x ) max =G(e )=丄v 1,的大小,■t -lG ( X ) max V|f (X )I min ,所以 |f (X 1) | Ins 2K 2 对任意的X 1, X z € (0,设 G (t ) =lnt=lnt+x ）恒成立; (2)解:t 2+zt-i 十说i因为t > 1,所以G (t )> 0,所以函数G (t )在(1, +x )上是增加的，故 G( t )> G (1) =0,所以 G( t )> 0 对任意t > 1恒成立，即In从而有到右准线I 的距离为.(I)求a 、b 的值;(U)设M N 是右准线I 上两动点，满足丽.丽=0・当|MN|取最小值时，求证：M N 两点关于x 轴对称.I2解：(1)因为亡*, F2到I 的距离d~-^, o CHl所以由题设得T -皿解得，k 二施a=2. 由 >--存一:=1 (a > b > 0)的左、右焦点分别是 F 1 和 F 2,f (m)(n)如)19. (13分)设椭圆(U)证明：由卜八打，a=2得卩(-叼0)，匚(问0)则I的方程为• 故可设爪(2近，皿，N〈皿y2)-卩訓=(^2^2, y1),兀孑=(2应-'、〔二，屮),由」■一j=0 知，3 X +yy=O,得y i y2=- 6,所以yy工0,,I "Fly i —y2|=|y 1+ |=|y i|+ ,Yj I7iI当且仅当y^±.；i时，上式取等号，此时yi=-y2.即M N两点关于x轴对称.__ 3 2 、”,20. (14分)已知函数f (x) =x+ax+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值. (I)求实数a 的取值范围；f 2a+3 2(U)若方程f (x)=- 恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；(川)对于(2)中的函数f (X ),若对于任意实数a 和B 恒有不等式|f (2sin a) B) | < m 成立，求m 的最小值.-f (2sin 解: (I) f (0)=0? c=0, f (x )=3x 2+2ax+b, f ( 1) =0? b=- 2a — 3,…2 分••• f 2(x) =3x+2ax -( 2a+3) = (x - 1) (3x+2a+3),因为当x=1时取得极大值，所以所以a 的取值范围是：(-X,- 3);…4分(U)由下表:x=1递增极大值-a - 2 递减极小值丄递增依题意得：4,z Iy解得：a= - 9,所以函数f (x )的解析式是：f (x ) =x 3 - 9x 2+15x ;…9分(x ) =0? x=1 或寸二-画出f (x )的简图:又"，■ 1,贝U( 1 - X 1,- y 1) = X (X 2 — 1, y 2),即 y 1=—入 y,，①且(川)对任意的实数a,B 都有- 2< 2sin a< 2,- 2< 2sin 2, 依题意有：函数f (x )在区间上的最大值与最小值的差不大于 m …10分在区间上有：f (- 2) =-8 -36 - 30=- 74f (1) =7, f (2) =8 - 36+30=2f (x )的最大值是 f (1) =7,f (x )的最小值是 f (- 2) =-8-36 - 30=- 74,…13 分所以81即m 的最小值是81.…14分.2 220.已知抛物线C: y 2=2px(p >0)的焦点F 与椭圆C': •: =1的一个焦点重合, 2)在抛物线上，过焦点F 的直线I 交抛物线于M 、N 两点. (1)求抛物线C 的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ,若?,' ■ .1 J , | BM| 2+| BN| 2=40,求实数2 2解:(“ 依题意，椭圆•「「中，a2=6, b2=5,故 c2=a2- b2=1,故二「点 A(X 0,入的值.可得抛物线C 的方程为f=4x .将 A (X 0, 2)代入 y 2=4x ，解得 x 0=1，故.(2)依题意，F (1, 0),设 l : x=my+1，设 M (X 1, y 1)、N (x 2, y 2),联立方程K=rny+1 '消去 x ,得 y 2- 4my - 4=0.所以r2 —一 __入旳二T °1代入①得- ，消去y2得4『二入什-2,(1一乙)乃二4加兀易得 B (- 1, 0),则明二(切+1「y】)’ BN= (K2+L y J ,则|丽I S|尿| 2二独『1■丽'二(巧T )戈十”丁十(勺十打外咒冬戈十2 &i+七)吃十yj十匕上H n. o ? *9 9 ?.=〔琢y[+1) + (口Fz+1)+2(m活]+m尸d+2)+2+y] +y2=(m +l)(F]+/2 )+4m(y]+y?)+£=(m2+1) (16m2+8) +4m?4m+8=16m4+40m2+16,当16m4+40m2+16=40,解得『斗，故入二2 士换.21 •已知函数f (x) =axeX-( a- 1) (x+1) 2(a€ R, e 为自然对数的底数，e=2.7181281 …).(1)当a=- 1时，求f (x)的单调区间；(2)若f (x)仅有一个极值点，求a的取值范围.解：(1)由题知，f (x) =-xe x+2 (x+1) 2,f (x) =- e x- xe x+4 (x+1) = (x+1) (4- e x),由f (x) =0 得到x=- 1 或x=ln4,而当x v In4 时，(4 - e x)> 0, x>In4 时，(4 - e x)v 0,列表得:x (-X,—1) -1 (-1, l n4)In4(I n4, +^)f (x) - 0+ 0—f (x) \ 极大值/ 极小值所以，此时f (X)的减区间为(-X,-1), (In4, +^), 增区间为(-1 , In4);(2) f (x) =ae x+axe x- 2 (a- 1) (x+1) = (x+1) (ae x- 2a+2),由f (x) =0 得到x= - 1 或ae x- 2a+2=0 (*)由于f (x)仅有一个极值点，关于x的方程(* )必无解，①当a=0时，(*)无解，符合题意，②当a^0时，由(* )得e x二^，故由二0得O v a< 1，a a由于这两种情况都有，当x v- 1时，f (x)v 0,于是f (X)为减函数, 当x>- 1时，f (x)> 0,于是f (x)为增函数，•••仅x=- 1为f (X)的极值点, 综上可得a的取值范围是[0, 1].。

八种题型导数三角函数向量数列立体与解析几何计数原理与统概率高考数学考前迅速提分复习方案

高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题2.5转化与化归思想中的八种题型（导数、三角函数、向量、数列、立体与解析几何、计数原理与统概率）题型一：导数及其应用一、单选题1．（2020·甘肃白银·模拟预测（文））函数()tan xf x x x e =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2020·辽宁·模拟预测（文））已知直线y a =分别与函数2x y e +=和1y x =-A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是（）A ．7ln 22- B ．5ln 22- C ．7ln 22+ D ．5ln 22+ 3．（2020·四川绵阳·模拟预测（文））方程32291210x x x -++=的实根个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·模拟预测（文））给定下列4个独立编号的命题： ①设x ，y ∈R ，且210x y +=，则二元函数22x y ω=+的最小值为20②已知0a >，函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数，则a 的最大值为3③在ABC 中，D 为BC 中点，1AD =，P 在线段AD 上，则()PA PB PC ⋅+的最小值为1- ④若02πα<<，02πβ-<<，则1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26βα⎛⎫= ⎪⎝⎭+请你根据逻辑推理相关知识，那么上述所有命题中不成立的编号是（） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．（2020·贵州·遵义市南白中学模拟预测（文））已知函数()1ln b af x x x=--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（） A ．21e + B ．221e e e +++C ．1e +D ．22e +6．（2020·辽宁·模拟预测（理））若不等式2ln mx x mxe ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．e ⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题7．（2022·全国·模拟预测）若函数()f x 的图象上存在两个不同的点A 、B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数()f x 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（） A ．x y e x =-B ．42y x x =-C ．3y x =D ．sin y x x =+三、填空题8．（2020·安徽合肥·三模（理））若函数f （x ）＝ex ﹣lnx ﹣mx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围为_____．9．（2020·江苏南京·三模）若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax b x +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为_______．四、解答题10．（2020·江苏·模拟预测）已知函数21()ln (1)2f x a x x =+-，a R ∈.（1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ，求实数a 的取值范围；（3）设211()l n 22a g x x x x =+++，若0[1,]x e ∃∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围.11．（2020·浙江·模拟预测）设a ，b ∈R ，函数()2ln f x a x x bx b =+++．（1）若2a b +=-，求()y f x =的单调区间；（2）若()y f x =的极大值恒小于0，求a b +的最大值．12．（2020·四川眉山·模拟预测（理））已知函数1ln ()xf x x+=（1）若函数()f x 区间1,(0)3a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）当1≥x 时，不等式()1kf x x ≥+，恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：2221[(1)!](1)n n n n e-+++>+（*n N ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828e =……）．13．（2020·江西·模拟预测（理））已知函数()ln x mf x e x x -=-，()f x 的导函数为()'f x .（1）当1m =时，证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若()()'1g x f x m =-+，讨论函数()g x 零点的个数.题型二：三角函数与解三角形一、单选题1．（2022·河南新乡·二模（文））已知α，β是锐角，()1ln tan tan tan tan αβαβ>-，则（） A ．sin sin αβ> B ．cos cos αβ> C ．cos sin αβ>D ．sin cos βα>2．（2021·全国·模拟预测）若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．14-B 15C ．78D ．24-3．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．1cos()3βα-=- B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=4．（2020·江西·模拟预测（理））函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的导函数为()f x '，集合()()()000,0,M x f x f x ='⎧=⎨⎩0ππ,42x ⎫⎛⎫∈⎬ ⎪⎝⎭⎭，中有且仅有１个元素，则ω的取值范围是（） A ．31115,7,222ω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦D ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦5．（2020·全国·模拟预测（理））函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（） A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．83m ≤D ．4m ≤二、填空题6．（2022·重庆市求精中学校一模）在ABC 中，D 为边BC 上一点，2CD =，π6BAD ∠=，若2355=+AD AB AC ，且π6B =，则AC =________．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ∶BC ＝3∶2，则BD ∶AD 的值为______．8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()212,032()3,3x x x f x f x x ⎧-+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩，若方程()f x a =在[]3,4上有两个不相等的实数根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是___________.9．（2019·湖北·黄冈中学一模（理））已知锐角ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为a ，b ，c ，且满足226a bc +=，则ABC ∆面积的最大值为______.三、解答题10．（2021·全国·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，3AC =，点D ，E 在边AB 上，且AD DE EB ==.（1）求CD 的长；（2）求sin DCE ∠的值.11．（2019·江苏·一模）如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD都是学校道路，其中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？四、双空题12．（2021·全国·模拟预测）已知函数()sin 34f x A x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0A >，2πϕ<）满足()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意的R x ∈，23f x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，且存在0x ，使得023f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()f x =______；若,6x t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域是2A ⎡-⎣，则实数t 的取值范围是______．13．（2020·浙江省富阳中学三模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c =，6cos b aC a b+=，则22a b +=____________，ABC 的面积的取值范围是___________.题型三：平面向量一、单选题1．（2020·浙江·二模）空间向量1OB ，2OB ，3OB 两两垂直，123||||||1AB AB AB ===，123OP OB OB OB =++，1||2AP ≤，则||OA ∈（） A ．22[6 B ．17[6C ．22[36] D ．21[352．（2019·福建漳州·模拟预测（文））已知ABC 中，2,,3AB A BC π==边上的中线3AD =AC =（）A ．2B ．4C ．6D ．83．（2020·陕西榆林·三模（理））已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（）A ．712B ．512C ．16D ．344．（2020·江西宜春·模拟预测（理））如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ==，E 是BC 边上一点且3BC EC =，F 是AE 的中点，则下列关系式不正确的是（）A ．12BC AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1233BF AB AD =-+D ．1263CF AB AD =--5．（2021·山西大附中模拟预测（理））在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（） A 723+B 732+C 726+D 743+6．（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知C ，D 是半径为1的圆O 上的动点，线段AB 是圆O 的直径，则AC BD ⋅的取值范围是（）A ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,0-C ．14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,0-二、双空题7．（2021·广东茂名·二模）已知区域D 表示不在直线()212223m x my m -+=+(m ∈R )上的点构成的集合，则区域D 的面积为___________，若在区域D 内任取一点(),P x y ，则22x y +的取值范围为___________.三、填空题8．（2020·江苏南通·三模）已知ABC 中，2CA CB AB ⋅==，且3BAC π∠=，则AB AC ⋅的值为_______.9．（2019·浙江金华·一模）已知平面向量a ，b ，c 满足74a b ⋅=，||3a b -=，()()2a c b c --=-，则c 的取值范围是___________．10．（2020·浙江嘉兴·三模）已知平面向量a 、b 、c 满足21b a ==、2c =，()()440c a c b -⋅-=，则2a b -的取值范围是______.11．（2019·浙江绍兴·二模）如图，已知等腰直角三角形ABC 中，90︒∠=C ，2AC =，两顶点,A C 分别在,x y 正半轴（含原点O ）上运动，,P Q 分别是,AC AB 的中点，则||OP OQOQ ⋅的取值范围是______．题型四：数列一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．92．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且100S =，36218S S =+，则1a =（） A ．1 B ．9- C ．10 D ．10-3．（2021·全国·模拟预测）我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为1221c 的频率正好是中音c 的2倍.已知#d 的频率为1f ，1a 的频率为2f ，则21:f f =（）A ．7122B ．7122-C 2D 2二、双空题4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间)()*,2mm m ⎡∈⎣N 内项的个数，则6b=___________，不等式12022m m b b +->成立的m 的最小值为___________.三、解答题5．（2022·山东泰安·一模）已知各项均为正数的等差数列{}n a ，25a =，12a ，3a ，52a +成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()311n bn a -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，n *∈N ，求证：131log n n a T a +<.6．（2021·全国·模拟预测）已知数列{}2nn a -是公差为2的等差数列，数列{}21n a n -+是公比为2的等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()()111232n n n b n a ++=+-，且n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：16n T <．7．（2020·北京·模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Ω扩展”．已知数列0A ：1，2，3，该数列经过n 次“Ω扩展”后得到数列n A ：1，1x ，2x ，…，m x ，3，数列n A 的所有项之和为n S ．（1）写出数列1A ，2A ；（2）求1S ，2S 的值；（3）求数列n S 的前n 项和公式．8．（2021·天津和平·三模）已知{}n a 是各项都为整数的等比数列，{}n b 是等差数列，111a b ==，23522a a =+，22a b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1n k k a =∏表示数列{}n a 的前n 项乘积，即1231nk n k a a a a a ==⋅⋅⋅∏，*n ∈N .（ⅰ）求1nk k a =∏；（ⅱ）若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且1nn k k c b n ==∏，求证：111n n cS n +-=+.9．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和n S 满足82343n n n nS a S a =--．(1)求实数λ的值，使得{}2n S λ+是等比数列；(2)设13n n n n b S S +=，求数列{}2n b 的前n 项和．.10．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．11．（2020·浙江金华·模拟预测）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n A ，n B ，11a =，且12,n n n A a a +=1n n b B +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令1122n n n T a b a b a b =+++，若对任意的*n N ∈.不等式()223n n n n nT b A n b λλ+<+恒成立，试求实数λ的取值范围.12．（2022·江苏苏州·模拟预测）知数列{}n a 满足：13a =，21224n n n a a a +=-+.（1）求证：1n n a a +>；（2）求证：()*12321111113nnn N a a a a ⎛⎫-≤++++<∈ ⎪⎝⎭13．（2021·北京八十中模拟预测）对于无穷数列{}n a 、{}n b ，*n N ∈，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-，*k N ∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中{}12max ,,,k a a a 、{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大项和最小项．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列31n a n =-的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（Ⅲ）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ．题型五:空间向量与立体几何一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =22AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π2．（2021·四川·成都七中一模（文））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（）A ．2B 3C ．13D ．433．（2020·浙江金华·模拟预测）已知四面体ABCD 中，棱AD ，BC 所在直线所成角为60︒，且1AD =， 2BC =，60ACD ∠=︒，面BAD 和面ACD 所成的锐二面角为α，面BAC 和面ACD 所成的锐二面角为β，当四面体ABCD 的体积取得最大值时（）. A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定4．（2020·浙江浙江·一模）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面PCD ，PA PD =，点E 为线段PD 的动点．记BE 与AP 所成角的最小值为α，当E 为线段PD中点时，二面角P BC E --的大小为β，二面角E BC D --的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．αβγ>=D ．γαβ>>二、填空题5．（2022·重庆·二模）无穷符号∞在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距1225O O =，则该标志的体积为___________.附：一个半径为R 的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为H ），球缺的体积公式为2π3H V H R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.6．（2021·四川攀枝花·二模（文））三棱柱111ABC A B C -中，侧面与底面垂直，底面是边长为2的正三角形，AC 的中点为D ，若直线1AB 与1C D 所成的角为30，则棱柱的高为__________.7．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测（文））在已知长方体1111ABCD A B C D -中，11CC BC ==，6AB =E 为棱11D C 上一点且11EC =，点P 为线段1B C 上的动点，则1A P PE +的最小值为________.8．（2020·湖北武汉·模拟预测（理））已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为326PA =，E 为侧棱PB 上一点且12PE EB =，在PAC △内（包括边界）任意取一点F ，则BF EF +的取值范围为__________.三、解答题9．（2022·四川泸州·二模（文））已知空间几何体ABCDE 中，ABC ，ECD 是全等的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD .(1)若222BD BC ==BC ED ⊥；(2)探索A ，B ，D ，E 四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.题型六：解析几何一、单选题1．（2022·河南洛阳·一模（文））已知双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上且120AF AF ⋅=，若12AF F △的内切圆的半径为（）A 32B 32C 31D 312．（2021·四川成都·一模（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（）A 5B 3C ．2D ．33．（2020·陕西西安·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为(4,0)F ，P 为双曲线左支上的动点，设点(0,3)Q -且PQF △的周长最小值为16，则双曲线的渐近线方程为（） A ．7y = B ．7y x = C ．7y x = D ．7y = 4．（2021·宁夏大学附属中学一模（文））已知抛物线C :()220x py p =>的焦点为F ，P为抛物线C 上的一点，过PF 的中点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，且30FPN ∠=︒，2FN =，则p 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·河南·一模（文））已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12,F F 为双曲线E 的左､右焦点，12F PF △的面积为20，则下列说法正确的是（） ①点P 的横坐标为203②12F PF △的周长为803③12F PF △的内切圆半径为1 ④12F PF △的内切圆圆心横坐标为4 A ．②③④B ．①②④C ．①②③D ．①②二、多选题6．（2022·重庆实验外国语学校一模）已知抛物线1C ：28y x =的焦点F 与双曲线2C ：2212x y t-=的右焦点重合，且1C 与2C 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（） A ．双曲线的离心率2e =B 2 C ．632AF =+D ．在抛物线上存在点P 使得PAB △为直角三角形三、双空题7．（2021·贵州·模拟预测（理））Cassini 卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点1S ，2S 的距离的乘积等于常数2b .b 是正常数，设1S ，2S 的距离为2a ，如果a b <，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a b =，就得到一个双纽线；如果a b >，就得到两个卵形线.若()11,0S -，()21,0S .动点P 满足121PS PS ⋅=.则动点P 的轨迹C 的方程为___________；若'A 和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则'APA △面积的最大值为___________.四、填空题8．（2021·黑龙江·大庆教师发展学院二模（文））已知抛物线22(0)y px p =>，圆22()12px y -+=与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若4AB CD =，则k 的值为___________.9．（2021·江西·三模（理））已知圆C 的方程为()2211x y -+=，P 是椭圆22143x y +=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则PA PB ⋅的最小值是___________10．（2021·河南开封·三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.11．（2020·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知1F ，2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左右焦点，点A 为双曲线C 上一点，12F AF ∠的平分线AM 交x 轴于点()2,0M ，则AM =___________．五、解答题12．（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左、右顶点分别为M 、N ，点G 是椭圆上异于左、右顶点的动点，直线GM 、GN 的斜率分别为GM k 和GN k ，且1·2GM GN k k =-．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线1:(2)y k x =与椭圆相交于A ，B 两点，点(,0)P m ，若x 轴是APB ∠的角平分线，求P 点坐标．13．（2020·山西·三模（理））已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线1:22l y x =-，过点()1,2P 作直线与C 交于A ，B 两点，当//AB l 时，P 为AB 中点.（1）求C 的方程；（2）作AA l '⊥，BB l '⊥，垂足分别为A '，B '两点，若BA '与AB '交于Q ，求证：////PQ AA BB ''.14．（2020·福建·模拟预测（理））已知定点()0,1F ，P 为x 轴上方的动点，线段PF 的中点为M ，点,P M 在x 轴上的射影分别为,A B ，PB 是APF ∠的平分线，动点P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）设E 上点Q 满足PQ PB ⊥，Q 在x 轴上的射影为C ，求AC 的最小值.15．（2020·新疆·三模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为()2,0F ，P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的一点，且PAB △面积的最大值为35. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AP 与直线x a =交于点Q ，线段BQ 的中点为M ，证明直线FM 平分PFB ∠.16．（2020·陕西·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点E 2，1），其左、右顶点分别为A 、B ，且离心率2e = 求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设M （x 0，y 0）为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，直线l ：x 0x +2y 0y ﹣4＝0．证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．17．（2022·甘肃·二模（文））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭国经过点31,M ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆E 的方程； (2)不经过点M 的直线()30y m m +≠与椭圆E 相交于A ，B 两点，A 关于原点的对称点R ，直线MR ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，求证：MP MO =.18．（2021·河南·正阳县高级中学模拟预测（理））已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为322．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．19．（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）已知双曲线22221x y a b -=（其中0a >，0b >），点(),0A a ，()0,B b -23AB 3（1）求双曲线的方程；（2）已知直线()50y kx k =+≠交双曲线于C 、D 两点，且C 、D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.20．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>3圆1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．21．（2020·浙江·模拟预测）如图，点()1,2A .B 是抛物线24y x =上一点，且在A 点的右上方.在x 轴上取一点C ，使得245ACO BAC ∠=∠+︒.射线AC 交抛物线于D 点，抛物线在两点B ，D 处切线交于点P .（1）若AB AC ⊥，求B 点的坐标；（2）记PAD △面积为1S ，PAB △面积为2S ，求12S S -的最大值.22．（2020·浙江·衢州二中模拟预测）已知抛物线2:4y x Γ=，焦点为F ，过Γ外一点Q （不在x 轴上），作Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，直线QA ，QB 分别交y 轴于C ，D 两点，记QAB 的外心为M ，FCD 的外心为T ．（1）若5AF =，求线段CF 的长度；（2）当点Q 在曲线()221042y x x +=<上运动时，求TF TM ⋅的最大值．题型七：计数原理一、单选题1．（2020·黑龙江·哈尔滨市第六中学校三模（理））在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为 A ．10B ．25C ．35D ．662．（2018·浙江·杭州高级中学模拟预测）若52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =（）．A ．32-B ．32C ．80-D ．80二、双空题3．（2020·浙江·镇海中学模拟预测）281(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为__________;常数项为__________．4．（2020·浙江·衢州二中模拟预测）已知()72801281241tx x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭，则t =__________；812028222a a a a ++++=__________．三、填空题5．（2019·云南曲靖·二模（理））若二项式(1)n ax +的展开式中，3x 的二项式系数为10，该项系数为－80，则4x 的系数为______.6．（2019·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））在6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___________________四、解答题7．（2020·江苏江苏·模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式. （1）根据恒等式()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N 两边p x 的系数相同直接写出一个恒等式，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）设*,,,,m n p p m p n ∈∈≤≤N N ，利用上述恒等式证明：()1112C CC C 1C C pp i p i p pnm n n m m n m i i --+-+=--=-∑.题型八：统计与概率一、填空题1．（2019·海南·三模（理））公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合{}1,6,24,28,36中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.二、解答题2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x12 3 4 5 6 7 8 运营里程(y 万公里) 1.3 1.61.92.22.52.93.53.9根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线y =bx +a 来拟合，并算得相关系数r 1=0.97，乙同学用曲线y =cedx 来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r 2=0.99，试问哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()()ˆˆ,()niii nii x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑；参考数据：882112.48,()()15.50,()42.00,i i i i i y x x y y x x ===--=-=∑∑令()()()8820.1411ln ,0.84, 6.50, 1.01, 1.15.i i i i i w y w x x w w w w e ====--=-==∑∑3．（2020·河北正中实验中学模拟预测（理））某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：x 1 23 4 5 67y 6 11 21 34 66 101 196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次 10 60 30已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入. 参考数据：yv71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.14 1.54 2535 50.12 3.47其中11lg ,7ni i i i v y v v ===∑.参考公式：对于一组数据()()()122,,,,,,i n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i u u v v u v nu vv u u u unu βαβ====---⋅===---∑∑∑∑.4．（2019·内蒙古包头·二模（理））一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关.现收集了7组观测数据如下表: 温度/t C ︒21 23 25 27 29 3235产卵数y /个 7 11 21 24 66 115 325 为了预报一只红玲虫在40︒时的产卵数，根据表中的数据建立了y 与t 的两个回归模型.模型①:先建立y 与t 的指数回归方程(1)0.272 3.849t y e -=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程:(1)0.272 3.849u t =-；模型②:先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543y t =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程:(2)0.367202.543yx =-.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40︒时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.0311131e =，71096e =，82981e =；ln7 1.946=，ln11 2.398=，ln 21 3.045=，ln 24 3.178=，ln66 4.190=，ln115 4.745=，ln325 5.784=）。

高中数学好题

高中数学好题在高中数学中，好题层出不穷，这些题目不仅考验着学生的数学基础和思维能力，同时也挑战着他们的耐心和毅力。

下面，就让我们来看看几道值得一做的高中数学好题吧！一、解析几何：题目如下：已知平面直角坐标系中，点A（1,1）和B（3,-1）, 点P(x,y) 满足PA=2AB。

求x和y的值。

解析：这是一道非常典型的解析几何的好题。

建立坐标系后，根据两点坐标公式可以求得AB的长度为2√2。

接着，使用距离公式可以求得点P的坐标为（5,3）。

二、导数与微积分：题目如下：已知函数f(x)=x³-3x²+4x-1，问函数f(x)在x=1处的切线斜率是多少？解析：这是一道常规的导数与微积分的好题。

首先求得函数f(x)的一阶导数f'(x)=3x²-6x+4，接着将x=1代入一阶导数方程得到f'(1)=1。

由此可知在x=1处，函数f(x)的切线斜率为1。

三、三角函数：题目如下：已知角A和角B是补角，其中sinB=1/2，问sinA的值是多少？解析：这是一道典型的三角函数的好题。

因为角A和角B是补角，可以得出sinA=cosB。

根据题目中已知，可以列出方程cosB=1/2，由此解出角B的大小为π/3。

接着，再将角B代入cosB=cos(π/3)的公式里，就可以得出sinA的值为√3/2。

四、平面几何：题目如下：在平面直角坐标系中，已知A(-6,1)和B(2,3)，点P(x,y) 到直线AB 的距离为4，求P点的坐标。

解析：这是一道典型的平面几何的好题。

首先，根据两点坐标公式可以求出直线AB的斜率为1/2。

然后，由于题目中已知点P到直线AB的距离为4，可以列出点P到直线AB的距离公式。

接着代入直线AB的方程组成的一元二次方程组里，可以得出两组解。

但是，由于题目中要求的点P要在直线AB的一侧，所以要通过绘制图形或逻辑判断方法，判断出正确的点P为（-1,5）。

从以上四道题目中不难看出，高中数学好题不仅能够加深学生对知识点的理解和掌握，同时还能够激发他们的思维能力和创新意识。

高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)

（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、，则内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数的值域为，若关于的不等式的解集为，求的值；
（Ⅱ）当时，为常数，且，，求的取值范围.
5．已知函数，函数．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，求证：当时， .
41．（13分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足＝，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为，点P的坐标是(0，－1)，与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，
．求四边形面积的最大值．

高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．要点三导函数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)，即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点．【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2，当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)．题型三导数几何意义的应用探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直．【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积．【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________．【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)，解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ，即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关，故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+，所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误；对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>；记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误；由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足；对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案．【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。

数学高二练习题答案

数学高二练习题答案1. 解析几何题答案题目：已知直线l1经过点A(-1,2,3)，与直线l2的方向向量为m(2,-1,1)，求直线l2的方程。

解析：直线l2的方程可以表示为：x = -1 + 2ty = 2 - tz = 3 + t2. 三角函数题答案题目：已知tan(x) = 2，求cos(x)的值。

解析：利用tan(x) = 2可以求得sin(x) = 2/√5，再利用勾股定理可得cos(x) = -1/√5。

3. 导数题答案题目：已知函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2，求f'(x)。

解析：通过对f(x)进行求导可得f'(x) = 3x^2 - 8x + 3。

4. 矩阵题答案题目：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的逆矩阵A^-1。

解析：通过计算可得矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]。

5. 高等数学题答案题目：已知函数f(x)在区间[0, 2]上连续，且f(0) = 1，f(2) = 3，求函数f(x)在区间[0, 2]上的平均值。

解析：函数f(x)在区间[0, 2]上的平均值可以表示为：Avg(f) = (1/2 - 0)/(2 - 0) * f(0) + (2 - 1/2)/(2 - 0) * f(2) = 3/2。

6. 概率论题答案题目：已知事件A的概率为1/3，事件B的概率为1/4，求事件A与事件B同时发生的概率。

解析：事件A与事件B同时发生的概率可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/3) * (1/4) = 1/12。

7. 函数图像题答案题目：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，画出函数f(x)的图像。

解析：函数f(x)的图像为一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(-1, 0)。

8. 数列题答案题目：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，求数列{an}的前10项和S10。

解答题针对训练：解析几何(解析版)

专题五解答题针对训练之解析几何1．已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【分析】（Ⅰ）根据可得c ＝b ＝3，由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3，由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k2k 2+1，6k 2−32k 2+1）， ∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3），∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0，解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3．2．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB |=2p sin 2θ，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l 的方程；（2）根据过A ，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的方程为：y ＝k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{y =k(x −1)y 2=4x ，整理得：k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0，则x 1+x 2=2(k 2+2)k 2，x 1x 2＝1，由|AB |＝x 1+x 2+p =2(k 2+2)k 2+2＝8，解得：k 2＝1，则k ＝1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；方法二：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB |=2psin 2θ=4sin 2θ=8，解得：sin 2θ=12， ∴θ=π4，则直线的斜率k ＝1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D （3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣（x ﹣3），即y ＝﹣x +5，设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则{y 0=−x 0+5(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16，解得：{x 0=3y 0=2或{x 0=11y 0=−6，因此，所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝16或（x ﹣11）2+（y +6）2＝144．3．已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【分析】（1）设D （t ，−12），A （x 1，y 1），则x 12=2y 1，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx 1﹣2y 1+1＝0，设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0，得到直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0，再由直线系方程求直线AB 过的定点；（2）由（1）得直线AB 的方程y ＝tx +12，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB 的中点M （t ，t 2+12），再由EM →⊥AB →，可得关于t 的方程，求得t ＝0或t ＝±1．然后分类求得|EM →|＝2及所求圆的方程．【解答】（1）证明：设D （t ，−12），A （x 1，y 1），则x 12=2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1−t=x 1，整理得：2tx 1﹣2y 1+1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0．故直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0．∴直线AB 过定点（0，12）；（2）解：由（1）得直线AB 的方程y ＝tx +12．由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0．于是x 1+x 2=2t ，y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M （t ，t 2+12），由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量（1，t ）平行，∴t +（t 2﹣2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4；当t ＝±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2．4．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合离心率求解椭圆方程即可．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，通过直线与椭圆方程联立，几何韦达定理，弦长公式求解三角形的面积．然后求解直线方程．【解答】解：（1）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 因为e =ca =12，a ﹣c ＝1 所以a ＝2，c ＝1，即椭圆C ：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴S △F 1AB =12|F 1F 2|(y 1−y 2)=12√m 2+13m 2+4，令√m 2+1=t ，可知t ≥1则m 2＝t 2﹣1， ∴S △F 1AB =12t3t 2+1+123t+1t令f(t)=3t +1t ，则f ′(t)=3−1t 2，当t ≥1时，f '（t ）＞0，即f （t ）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴f （t ）≥f （1）＝4，∴S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，△F 1AB 的面积取得最大值3，此时直线l 的方程为x ＝1．5．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法得6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）＝0，k =y 1−y 2x 1−x 2=−68m=−34m又点M （1，m ）在椭圆内，即14+m 23＜1，(m ＞0)，解得m 的取值范围，即可得k ＜−12，（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3），可得x 1+x 2＝2由FP →+FA →+FB →=0→，可得x 3﹣1＝0，由椭圆的焦半径公式得则|F A |＝a ﹣ex 1＝2−12x 1，|FB |＝2−12x 2，|FP |＝2−12x 3=32．即可证明|F A |+|FB |＝2|FP |．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵线段AB 的中点为M （1，m ）， ∴x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2m 将A ，B 代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12，两式相减可得，3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝0，即6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）＝0， ∴k =y 1−y 2x 1−x 2=−68m=−34m点M （1，m ）在椭圆内，即14+m 23＜1，(m ＞0)，解得0＜m ＜32 ∴k =−34m ＜−12．（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3），可得x 1+x 2＝2∵FP →+FA →+FB →=0→，F （1，0），∴x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1＝0， ∴x 3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A |＝a ﹣ex 1＝2−12x 1，|FB |＝2−12x 2，|FP |＝2−12x 3=32．则|F A |+|FB |＝4−12(x 1+x 2)=3，∴|F A |+|FB |＝2|FP |，6.已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →•GB →=8．P为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【分析】（1）求出AG →•GB →=a 2﹣1＝8，解出a ，求出E 的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程求出C ，D 的坐标，求出直线CD 的方程，判断即可．【解答】解：如图所示：（1）由题意A （﹣a ，0），B （a ，0），G （0，1），∴AG →=（a ，1），GB →=（a ，﹣1），AG →•GB →=a 2﹣1＝8，解得：a ＝3，故椭圆E 的方程是x 29+y 2＝1；（2）由（1）知A （﹣3，0），B （3，0），设P （6，m ），则直线P A 的方程是y =m9（x +3），联立{x 29+y 2=1y =m 9(x +3)⇒（9+m 2）x 2+6m 2x +9m 2﹣81＝0，由韦达定理﹣3x c =9m 2−819+m 2⇒x c =−3m 2+279+m 2，代入直线P A 的方程为y =m9（x +3）得： y c =6m 9+m2，即C （−3m 2+279+m 2，6m 9+m 2），直线PB 的方程是y =m3（x ﹣3），联立方程{x 29+y 2=1y =m 3(x −3)⇒（1+m 2）x 2﹣6m 2x +9m 2﹣9＝0，由韦达定理3x D =9m 2−91+m 2⇒x D =3m 2−31+m 2，代入直线PB 的方程为y =m3（x ﹣3）得y D =−2m1+m 2，即D （3m 2−31+m 2，−2m1+m 2），则①当x c ＝x D 即27−3m 29+m 2=3m 2−3m 2+1时，有m 2＝3，此时x c ＝x D =32，即CD 为直线x =32，②当x c ≠x D 时，直线CD 的斜率K CD =y C −y D x C−x D=4m3(3−m 2)，∴直线CD 的方程是y −−2m 1+m 2=4m3(3−m 2)（x −3m 2−31+m 2），整理得：y =4m3(3−m 2)（x −32），直线CD 过定点（32，0）．综合①②故直线CD 过定点（32，0）．7．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF ．【分析】（1）利用已知条件可得，c +a =b 2a=c 2−a 2a，化简得到a 和c 的关系，即可得到答案；（2）法一：设B （x 0，y 0），然后分两种情况进行证明，①当BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°；②当BF 与AF 不垂直时，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明．法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设出点B 的坐标，然后利用焦半径公式得到BF ，从而得到B '的坐标，再通过分析得到BA ＝BB '，从而证明得到答案．【解答】解：（1）当|AF |＝|BF |且BF ⊥AF 时，有c +a =b 2a=c 2−a 2a，所以a ＝c ﹣a ，则e =c a=2；（2）法一：由（1）得c ＝2a ，b =√3c ，设B （x 0，y 0），则x 0＞0，y 0＞0，且x 02a 2−y 023a 2=1，即y 02＝3x 02﹣3a 2．①当|BF |＝|AF |且BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°； ②当BF 与AF 不垂直时， tan ∠BAF =y 0x+a，tan ∠BF A =−y 0x0−c，∴tan2∠BAF =2tan∠BAF1−tan 2∠BAF =2(x 0+a)y 0(x0+a)2−y 02=2(x 0+a)y 0−2(x0+a)(x 0−2a)=−y 0x 0−c，∴tan2∠BAF ＝tan ∠BF A ，即∠BF A ＝2∠BAF ，综上∠BF A ＝2∠BAF ．法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设B （x 0，y 0），则BF ＝ex 0﹣a ＝2x 0﹣a ，所以B ′（2x 0﹣a +c ，0），又因为点A （﹣a ，0），所以x B′+x A2=2x0−2a+c2=2x0−2a+2a2=x0＝x B，所以BA＝BB'，所以∠BAF＝∠BB'F=12∠BFA，即∠BF A＝2∠BAF．8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，点A（b，0），点B、F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|⋅|BA|=2√6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据离心率可得ba =√32，再根据且|BF|⋅|BA|=2√6，可得ab=√12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）将直线l1：y＝x+2代入椭圆中，得7x2+16x+4＝0，由此利用韦达定理能求出GH 的中点M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点P，且能求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，∴e2＝1−b 2a2=14∴ba =√32∵|BF|=√b2+c2=a，|BA|=√2b，∴√2ab＝2√6，∴ab=√12，∴a＝2，b=√3，故椭圆的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设l 的方程为y ＝kx +2（k ＞0），与椭圆方程联立，消去y 可得（3+4k 2）x 2+16kx +4＝0．设G （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则x 1+x 2=−16k3+4k 2∴PG →+PH →=（x 1﹣m ，y 1）+（x 2﹣m ，y 2）＝（x 1+x 2﹣2m ，y 1+y 2）．＝（x 1+x 2﹣2m ，k （x 1+x 2）+4）又GH →=（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）＝（x 2﹣x 1，k （x 2﹣x 1））．由于菱形对角线互相垂直，则（PG →+PH →）•GH →=0，∴（x 2﹣x 1）[（x 1+x 2）﹣2m ]+k （x 2﹣x 1）[k （x 1+x 2）+4]＝0．故（x 2﹣x 1）[（x 1+x 2）﹣2m +k 2（x 1+x 2）+4k ]＝0． ∵k ＞0，所以x 2﹣x 1≠0．∴（x 1+x 2）﹣2m +k 2（x 1+x 2）+4k ＝0，即（1+k 2）（x 1+x 2）+4k ﹣2m ＝0． ∴（1+k 2）（−16k3+4k 2）+4k ﹣2m ＝0．解得m =−2k 3+4k2，即m =−23k+4k∵3k+4k ≥2√3k⋅4k =4√3，当且仅当3k=4k ，即k =√32时取等号，所以−√36≤m ＜0，故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36，0）． 9．设D 是圆O ：x 2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=√3|ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【分析】（1）由题意设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），根据2|EQ |=√3|ED |，Q 在直线m 上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k 1+k 3，并求得k 2的值，由k 1+k 3＝2k 2说明直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．【解答】解：（1）设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），∵2|EQ |=√3|ED |，Q 在直线m 上， ∴x 0＝x ，|y 0||√3y |．①∵点D 在圆x 2+y 2＝16上运动， ∴x 02+y 02＝16，将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 2+43y 2＝16，即x 216+y 212=1，（2）直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48，直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有x 1+x 2=16k 23+4k 2，x 1x 2=16k 2−483+4k 2，可知M 的坐标为（8，6k ）． ∴k 1+k 3=y 1−3x 1−2+y 2−3x 2−2=k(x 1−2)−3x 1−2+k(x 2−2)−3x 2−2＝2k ﹣3•x 1+x 2−4x 1x 2+4−2(x 1+x 2)=2k ﹣3•−12−36=2k ﹣1，2k 2＝2•6k−38−2=2k ﹣1． ∴k 1+k 3＝2k 2．故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．10．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝1．（Ⅰ）F 是抛物线C 的焦点，A 是抛物线C 上的定点，AF →=（0，2），求抛物线C 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点F 的直线l 与圆E 相切，设直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，则在x 轴上是否存在点M 使∠PMO ＝∠QMO （O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将A 的坐标代入抛物线可得p ＝2，可得抛物线C 的方程；（Ⅱ）∠PMO ＝∠QMO ⇔k PM +k QM ＝0．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点为F(p2，0)，由AF →=(0，2)知A(p2，−2)，代入抛物线方程得p ＝2，故抛物线C 的方程为：y 2＝4x（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，过点F （1，0）的直线不可能与圆E 相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k ，则所求的直线方程为y ＝k （x ﹣1），所以圆心到直线l 的距离为d =√1+k 2，当直线l 与圆相切时，有d =1=√1+k 2，k =±√33所以所求的切线方程为y=√33(x−1)或y=−√33(x−1)不妨设直线l：y=√33(x−1)，交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，联立方程组{y=√33(x−1)y2=4x，得x2﹣14x+1＝0．所以x1+x2＝14，x1•x2＝1，假设存在点M（t，0）使，∠PMO＝∠QMO则k PM+k QM＝0．所以k PM+k QM=y1x1−t +y2x2−t=√33(x1−1)x1−t+√33(x2−1)x2−t=√33[(x1−1)(x2−t)+(x2−1)(x1−t)(x1−t)(x2−t)]=√33[2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t(x1−t)(x2−t)]=√33[2−(t+1)⋅14+2t(x1−t)(x2−t)]=√33(−12−12t)(x1−t)(x2−t)=0即t＝﹣1故存在点M（﹣1，0）符合条件，当直线l：y=−√33(x−1)时，由对称性易知点M（﹣1，0）也符合条件综上存在点M（﹣1，0）使∠PMO＝∠QMO．11．设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6，解得：a，c，b值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．利用点差法，可得k OM=−12k ，k ON=−12k，进而证得结论．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知，4a =4√6，a =√6．又∵e =√22，∴c =√3，b =√3，∴椭圆E 的方程为x 26+y 23=1．…………………………（5分）（Ⅱ）易知，当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）．联立方程得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1相减得x 126+y 123−(x 226+y 223)=0，∴x 12−x 226=−y 12−y 223，(x 1−x 2)(x 1+x 2)6=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)3，∴y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=−36，y 1−y 2x 1−x 2⋅y 0x 0=−36，即k ⋅k OM =−12，∴k OM =−12k．同理可得k ON =−12k ，∴k OM ＝k ON ，所以O ，M ，N 三点共线．………………（12分） 12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)离心率e =√32，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 过椭圆C 的右焦点，并与椭圆相交于E ，F 两点，截得的弦长为52，求直线l 的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问：以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝1，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k ，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．求得M ，N 的坐标，由直径式的圆的方程可得MN 为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y ＝0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b ＝1，由e =ca =√a 2−b 2a=√32，得a 2＝4，b 2＝1．∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：y =k(x −√3)，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 24+y 2=1可得(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8√3k 24k 2+1，x 1x 2=12k 2−44k 2+1，∴|EF|=√1+k 2⋅(8√3k 24k 2+1)4(12k 2−44k 2+1)=52， ∴k =±12；（2）当直线的斜率不存在时，|EF |＝1不符合．∴直线方程为x −2y −√3=0和x +2y −√3=0．（Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），且x 024+y 02=1，即x 02+4y 02=4，∵A （﹣2，0），∴直线P A 方程为：y =y 0x 0+2(x +2)，∴M(0，2y 0x0+2)，直线QA 方程为：y =−y 0−x+2(x +2)，∴N(0，2y 0x 0−2)，以MN 为直径的圆为(x −0)(x −0)+(y −2y 0x 0+2)(y −2y 0x 0−2)=0，或通过求得圆心O ′(0，2x 0y 0x 02−4)，r =|4y 0x 02−4|得到圆的方程．即x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0，∵x 02−4=−4y 02，∴x 2+y 2+x0y 0y −1=0，令y ＝0，则x 2﹣1＝0，解得x ＝±1． ∴以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．13．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且△F AB 的面积是1+√32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x ＝my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P 1（P 1与Q 不重合），则直线P 1Q 与x 轴交于点H ，若点H 为定值，则求出点H 坐标；否则，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义离心率和三角形的面积公式可得abc 的等量关系式，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x ＝my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P 1（P 1与Q不重合），即P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、P （x 1，﹣y 1），联立方程组由{x =my +1，x 24+y 2=1，化简由韦达定理表达直线P 1Q 的方程，根据题意可得直线P 1Q 与x 轴交点H （4，0）．【解答】解：（I ）由题意点A 为椭圆的右项点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，可得F （﹣c ，0），B （0，b ），A （a ，0），因为离心率为√32，即ca=√32，① △F AB 的面积是1+√32．即12b （a +c ）＝1+√32；② 又因为a 2＝b 2+c 2；③ 由①②③解得 a ＝2，b ＝1所以椭圆C ：x 24+y 2＝1；（Ⅱ）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、P （x 1，﹣y 1），由{x =my +1，x 24+y 2=1，得（m 2+4）y 2+2my ﹣3＝0，（m ≠0）显然△＞0，由韦达定理有：y 1+y 2=−2m m 2+4．y 1•y 2=−3m 2+4．直线P 1Q 的方程为：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1（x ﹣x 1），因为直线P 1Q 与x 轴交于点H ，若点H 为定值，令y ＝0，则x =x 2−x1y 2+y 1y 1+x 1=x 2y 1+x 1y 2y 1+y 2；又x 1＝my 1+1，x 2＝my 2+1；x=(my2+1)y1+(my1+1)y2y1+y2=2my1y2+(y1+y2)y1+y2=4；所以直线P1Q与x轴交点H（4，0）．14．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，点E（a，b）在抛物线N：x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB 中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．【分析】（1）根据题意求得F及中点F2，根据a与b，c的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据导数的几何意义，求得直线AB的方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得C点坐标，即可求得k1k2为定值．【解答】解：（1）由题意F恰为（0，b），所以中点F2（c，0）满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x 24+y23=1；（2）证明：设P（t，√3t 24），因为抛物线N：y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t（x﹣t）+√34t2，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入椭圆x 24+y23=1得：12（1+t2）x2﹣12t3x+3t4﹣48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t（x1+x2）−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C （t 32(1+t 2)，−√3t 24(1+t 2)），则k 1=√34t ，k 2=−√32t ，所以k 1k 2=−38（点差法等其他方法正常给分）．15．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点M （﹣2，1），且右焦点F(√3，0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N （1，0）的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t =MA →⋅MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1+t 2的值．【分析】（Ⅰ）列方程组求解出a 2，b 2即可；（Ⅱ）对k 讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t 的恒成立方程进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，{a 2−b 2=3，4a 2+1b 2=1，解之得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆Γ的标准方程为x 26+y 23=1．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x 26+y 23=1，y =k(x −1)，得x 2+2k 2（x ﹣1）2＝6，即（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣6＝0，因为（1，0）在椭圆内部，△＞0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−61+2k 2，则t =MA →⋅MB →=(x 1+2)(x 2+2)+(y 1−1)（y 2﹣1）＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+（kx 1﹣k ﹣1）（kx 1﹣k ﹣1） =(1+k 2)x 1x 2+(2−k 2−k)(x 1+x 2)+k 2+2k +5 =(1+k 2)⋅2k 2−62k 2+1+(2−k 2−k)⋅4k 22k 2+1+k 2+2k +5，=15k 2+2k−12k 2+1，所以（15﹣2t ）k 2+2k ﹣1﹣t ＝0．k ∈R ，则△＝22+4（15﹣2t ）（1+t ）≥0，∴（2t ﹣15）（t +1）﹣1≤0，即2t 2﹣13t ﹣16≤0，又t 1，t 2是2t 2﹣13t ﹣16＝0的两根，∴t 1+t 2=132，当直线AB 斜率不存在时，联立{x 26+y 23=1，x =1，得y ＝±√102，不妨设A(1，√102)，B(1，−√102)， MA →=(3，√102−1)，MB →=(3，−√102−1)，MA →⋅MB →=9−104+1=152，可知t 1＜152＜t 2．综上所述，t 1+t 2=132．16．已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与y 轴交于C 点．（1）若EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，求乘积λ1•λ2的值；（2）若E （4，0），过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，求出此定直线方程．【分析】（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ），用t ，m 表示出λ1，λ2，设直线l 斜率为k ，联立方程组，根据根与系数的关系即可得出λ1λ2的值；（2）利用导数求出抛物线在A ，B 处的切线方程，联立方程组得出M 的交点坐标，再根据根与系数的关系消去参数即可得出定直线方程．【解答】解：（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ）， ∵EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，∴{(x 1−t ，y 1)=λ1(−t ，m)(x 2−t ，y 2)=λ2(−t ，m)，解得{λ1=t−x1t λ2=t−x 2t，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k （x ﹣t ），由{y =k(x −t)x 2=4y得x 2﹣4kx +4kt ＝0，当△＝16k 2﹣16kt ＞0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝4kt ， ∴λ1λ2=t 2−(x 1+x 2)t+x 1x 2t 2=t 2−4kt+4ktt 2=1．（2）设M （x ，y ），由x 2＝4y 可得y =x 24，故y ′=x2， ∴抛物线在A （x 1，x 124）处的切线方程为y −x 124=x 12（x ﹣x 1），即y =x 12x −x 124，同理可得抛物线在B （x 2，x 224）处的切线方程为y =x 22x −x 224，联立方程组{y =x12x −x124y =x 22x −x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， ∵E （4，0），即t ＝4，由（1）可得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝16k ， ∴{x =2ky =4k，即y ＝2x ． ∴点M （x ，y ）在直线y ＝2x 上．17．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），圆P的半径为r，根据动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，可得√(x−2)2+y2=r+1，又动圆P与直线x＝﹣1相切，可得r＝x+1，消去r得曲线C的轨迹方程．（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则y02=8x0，y12=8x1，y22=8x2，k MA=y1−y0x1−x0=8y1+y0，k MB=y2−y0x2−x0=8y2+y0，可得：k MA+k MB=8y1+y0+8y2+y0=8(y1+y2+2y0)y02+(y1+y2)y0+y1y2，显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty﹣2，与抛物线方程联立得：y2﹣8ty+16＝0，利用根与系数的关系代入上式，进而得出结论．【解答】解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，………………………………………（1分）所以√(x−2)2+y2=r+1，①………………………………………………………（2分）又动圆P与直线x＝﹣1相切，所以r＝x+1，②………………………………………………………………………（3分）由①②消去r得y2＝8x，所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．…………………………………………………（5分）（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则y 02=8x 0，y 12=8x 1，y 22=8x 2，k MA =y 1−y 0x 1−x 0=8y1+y 0，k MB =y 2−y 0x 2−x 0=8y2+y 0，…（6分）所以k MA +k MB =8y1+y 0+8y2+y 0=8(y 1+y 2+2y 0)y 02+(y 1+y 2)y0+y 1y 2，③…………（7分）显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty ﹣2，联立方程组{y 2=8x x =ty −2，消去x 得y 2﹣8ty +16＝0，由△＞0得t ＞1或t ＜﹣1，所以y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2．…………………（8分）代入③式得k MA +k MB =8(8t+2y 0)y 02+8ty+16，令8(8t+2y 0)y 02+8ty0+16=m （m 为常数），整理得(8my 0−64)t +(my 02−16y 0+16m)=0，④………………………（9分）因为④式对任意t ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，所以{8my 0−64=0my 02−16y 0+16m =0，…………………………………………………（10分）所以{m =2y 0=4或{m =−2y 0=−4，即M （2，4）或M （2，﹣4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，﹣4）满足题意．…………………（12分） 18．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，右焦点为F ，上、下顶点分别是B ，C ，|AB|=√7，直线CF 交线段AB 于点D ，且|BD |＝2|DA |．（1）求E 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得l 交E 于M ，N 两点，且F 恰是△BMN 的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一先分别求出直线AB ，CF 的方程，再求得D 的坐标．然后将|BD |＝2|DA |转化为BD →=2DA →，得到a ＝2c ，再结合|AB|=√7，求得a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；方法二：设椭圆的左焦点G ，由椭圆的对称性可知BG ∥CF ，根据平行线的性质，即可求得a ＝2c ，再结合|AB|=√7，求得a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）只要能通过假设存在满足题意的直线，根据F 是△BMN 的垂心，得到BF ⊥MN ，进而确定直线MN 的斜率，由此设出直线MN 的方程并与椭圆方程联立；再根据F 是△BMN 的垂心，得到MF ⊥BN ，将其转化为MF →⋅BN →=0或k MF •k BN ＝﹣1，并结合韦达定理，即可求得m 的值，求得直线l 的方程．【解答】解：（1）方法一：设椭圆E 的右焦点F （c ，0），则直线AB 的方程：xa +yb =1，直线CF 的方程：xc −yb =1，联立解得：{x =2aca+c y =b(a−c)a+c ，则D （2ac a+c ，b(a−c)a+c ），由|BD |＝2|DA |，则BD →=2DA →，则（2aca+c ，−2bca+c ）＝2（a(a−c)a+c，−b(a−c)a+c），则a ＝2c ，由|AB |=√a 2+b 2=√7，a 2＝b 2+c 2，解得：c ＝1，a ＝2，b =√3， ∵椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．方法二：设椭圆的左焦点G ，由椭圆的对称性可知BG ∥CF ， ∵|BD |＝2|DA |，则|GF |＝2|F A |，即2c ＝2（a ﹣c ），则a ＝2c ，由|AB |=√a 2+b 2=√7，a 2＝b 2+c 2，解得：c ＝1，a ＝2，b =√3， ∵椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）假设存在满足条件的直线MN ，由垂心的性质可得BF ⊥MN ，从而得到直线l 的斜率k =√33，设l 的方程为y =√33x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =√33x +m x 24+y 23=1，整理得：13x 2+8√3mx +12（m 2﹣3）＝0，由△＝（8√3m ）2﹣4×13×12（m 2﹣3）＞0，解得：−√393＜m ＜√393， x 1+x 2=−8√3m13，x 1x 2=12(m 2−3)13．由MF ⊥BN ，则MF →⋅BN →=0，即(1−x 1)x 2−y 1(y 2−√3)=0，整理得y 1y 2−√3y 1+x 1x 2﹣x 2＝0，将y 1=√33x 1+m ，y 2=√33x 2+m ，代入化简得43x 1x 2+√33（m −√3）（x 1+x 2）+m 2−√3m ＝0， ∴1613（m 2﹣3）−813（m 2−√3m ）+m 2−√3m ＝0，∴16（m 2﹣3）﹣8（m 2−√3m ）+13（m 2−√3m ）＝0，提取公因式（m −√3），（m −√3）[16（m +√3）﹣8m +13m ]（m −√3）＝0，即（21m +16√3）（m −√3）＝0，由B （0，√3），则m ≠√3，解得m =−16√321，满足−√393＜m ＜√393， ∴m 的值−16√321，直线l 的方程y =√33x −16√321．。

第11讲抛物线及其性质-解析版-2023届二轮复习《导数与解析几何》必掌握问题

第11讲抛物线及其性质典型例题双曲线的定义【例1】若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点P 的轨迹方程是（）．A．216y x=-B．232y x =-C．216y x =D．232y =【分析】本题是求轨迹方程的问题，首先可以应用直接法按照求轨迹方程的方法和步骤求解，再由点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，根据抛物线的定义可以自然地想到点P 到点(4,0)F 的距离和到直线40x +=的距离相等，所以动点P 满足抛物线的定义，根据抛物线的标准方程得出点P 的轨迹方程．【解析】解法一设(,)P x y ，|4|x =+，化简得216y x =，所以点P 的轨迹方程为216y x =．故选C．解法二因为点P 到点(4,0)的距离比它到直线50x +=的距离小1，所以将直线50x +=右移1个单位，得直线40x +=，即4x =-，易知点P 到直线4x =-的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可知点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线4x =-为准线的抛物线．设抛物线方程为22(0)y px p =>，可得42p =，即216p =，因此抛物线的标准方程为216y x =，即点P 的轨迹方程为216y x =．故选C．【点睛】求抛物线的标准方程的关键与方法是：（1）关键是确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．（2）方法有：①定义法，根据定义求p ，最后写标准方程．②待定系数法，设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，得出对应方程，化简方程．抛物线的标准方程【例2】已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =，求该抛物线的标准方程．【分析】由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．【解析】解法一当焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由23,2,y y px =-⎧⎨=⎩得9,32A p ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又因为||5AF =，所以5=．化简得()222964p p -=，即298p p -=±，解得1p =或9p =．所以所求抛物线的标准方程为22y x =或218y x =．（2）当焦点在x 轴负半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，焦点,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由23,2y y px =-⎧⎨=-⎩，得9,32A p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．又因为||5AF =，所以5=，化简得()222964p p -=，即298p p -=±，解得1p =或9p =．所以所求抛物线方程为2y =2x -或218y x =-．综上可知，所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±．解法二设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为22(0)y px p =≠，(,3)A m -．则由抛物线定义得5||2p AF m ==+．又因为2(3)2pm -=，所以1p =±或9p =±．故所求抛物线方程为22y x =±或2y =18x ±．【点睛】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题则更是如此．抛物线的几何性质【例3】如图5.1所示，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点,A B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且||4AF =，则线段AB 的长为（）．A．5B．6C．163D．203图5.1【分析】过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，由抛物线的定义点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，所以||||4AD AF ==，设准线l 与x 轴交于点M ，又F 是AC 的中点，根据几何特征得||2||2AD MF p ==，所以24p =，这样就得到了抛物线的方程为24y x =．再根据1||42p AF x =+=，得到点A 的坐标，这样就可求得直线AB 的斜率，从而得到直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，根据韦达定理得到线段AB 的长．【解析】解法一如图5.2所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，由抛物线的定义知||||4AD AF ==，由F 是AC 的中点，知||2||2AD MF p ==，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．图5.2设()11,A x y ，()22,B x y ，则11||142p AF x x =+=+=，解得13x =，从而可得123y =因此(3,23)A ．又因为(1,0)F ，所以直线AF 的斜率23331k ==-．因此直线AF 的方程为3(1)y x =-，代入抛物线方程24y x =，得231030x x -+=，所以12103x x +=，1216||3AB x x p =++=．故选C．解法二如图5.3所示，设l 与x 轴交于点，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，由抛物线的定义知||||4AD AF ==，由F 是AC 的中点，知||2||2AD MF p ==，所以24p =，解得2p =．因此抛物线的方程为24y x =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则11||142p AF x x =+=+=，解得13x =．又因为2124p x x =1=，所以213x =．因此12116||3233AB x x p =++=++=．故选C．图5.3图5.4解法三如图5.4所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，由抛物线的定义知||||4AD AF ==，由F 是AC 的中点，知||2||2AD MF p ==，所以24p =，解得2p =，因此抛物线的方程为24y x =．又因为||4AF =，且112||||AF BF p +=，所以4||3BF =．因此416||||||433AB AF BF =+=+=．故选C．【点睛】应用抛物线定义的两个关键点：（1）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．（2）注意灵活运用抛物线上一点()00,P x y 到焦点F 的距离为0||2p PF x =+，或0||2p PF y =+．若过焦点的弦AB 的端点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则弦长为12.AB x x p =++（3）设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入22y px =,得()2222220.4k p k x p k x -++=因为过拋物线()220y px p =>的焦点F 的直线交拋物线于点,A B ,所有0∆>.设()11,A x y ,()22,B x y ,则()22121222,.4p k p x x x x k ++==又因为12,22p p AF x BF x =+=+,所以()12212121211112.2224x x p p p p p AF BF p x x x x x x +++=+==+++++即112.AF BF p+=解法二运用了结论(1),解法三运用了结论(2).直线与抛物线的位置关系【例4】如图5.6所示,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()1,2P ,()()1122,,,A x y B x y 均在拋物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB的斜率.【分析】对于第一问,拋物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,又经过点()1,2P ,所以可设抛物线的方程为22y px =,根据待定系数法求出p 的值,从而得到拋物线的方程,再根据拋物线的性质可得准线方程.对于第二问,因为点()1,2P ,所以可设直线PA 的方程为()21y k x -=-,与抛物线联立可求得点A 的纵坐标1y .又因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,所以直线PB 的斜率为k -,因此PB 的方程为()21y k x -=--,与抛物线联立可求得点B 的纵坐标2y ,将12,y y 相加得常数;同时可求得12,x x ,从而根据斜率公式求得直线AB 的斜率.另外,求直线的斜率还可以采取设而不求的方法.【解析】解法一（1）因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,又因其经过点()1,2P ,所以设抛物线的方程为22y px =.则可得421p =⨯,因此2p =.。

2020年高考数学(文数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案

（文数）选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A. y=±2xB. y=±xC. y=±xD. y=±x2.已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为（3,4），点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为（）A. 3B.C.D. 73.过双曲线的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为（0，b），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，经过点P（2，-），渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知四棱锥E-ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 18.已知正方形ABCD的边长为2，CD边的中点为E，现将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体P-ABE外接球的表面积是（）A. B. C. D.9.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称10.要得到函数y＝-sin3x的图象，只需将函数y＝sin3x＋cos3x的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=( )A. B. C. D.12.在中，角的对边分别是，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形13.函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.已知函数f(x)＝(x<－1)，则()A. f(x)有最小值4B. f(x)有最小值－4C. f(x)有最大值4D. f(x)有最大值－415.若曲线y＝x2与曲线y＝a ln x在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于()A. 1B.C. －1D. 2答案和解析1.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e==2，即有c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，即b=a，则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：C．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系可得b=a，再由近线方程y=±x，即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，属于中档题．利用抛物线的定义进行转化，可知当三点共线时满足题设最小要求．【解答】解：如图所示:抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=-1,过点P作PM⊥l，垂足为M,则|PM|=|PF|,因为Q（3，4）在抛物线外，因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值,也即|PM|+|PQ|最小∴（|PM|+|PQ|）min=（|PF|+|PQ|）min=|QF|=.则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为．故选B．3.【答案】A【解析】解：直线l的方程为，令x=0，得．因为，所以a2=c2-b2=3b2-b2=2b2，所以．故选：A．求出直线方程，利用l与y轴的交点坐标为（0，b），列出关系式即可求解双曲线的离心率．本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力．4.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质及其几何意义的应用，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=x，设双曲线方程为：，双曲线经过点P（2，-），则有8-1=a，解可得a=7，则此时双曲线的方程为：，故选：B．设出双曲线的方程，经过点P（2，-），求出a的值，即可得双曲线的方程．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用．6.【答案】A【解析】解：当α∥β 时，因为m，n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β 时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β 可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选：A．由面面平行的性质得，充分性成立；由面面平行的判定定理知，必要性不成立．本题考查平面与平面平行的判定和性质，充分条件、必要条件的定义域判断方法．7.【答案】B【解析】解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，PE⊥PA，PE⊥PB，PE=1，△PAB是边长为2的等边三角形，设H是△PAB的中心，OH⊥平面PAB，O是外接球的球心，则OH=，PH=，则．故四面体P-ABE外接球的表面积是S=．故选：C．由题意画出图形，找出四面体P-ABE外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答.【解答】解：将f（x）=2x的图象向右平移个单位，得g（x）=2（x-）=（2x-）=-2x，则g（x）为偶函数，在上单调递增，故A正确，g（x）的最大值为1，对称轴为2x=kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，当k=1，图象关于x=对称，故B错误,由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，函数g（x）单调递增，∴kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）在上不是单调函数，故C错误,函数的周期T=π，不关于点对称，故D错误 .故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的平移变换，是基础题.由条件利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，是基础题．先求出sin B，再根据正弦定理求解即可.【解答】解：在△ABC中，，，则，，=，，.故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与三角函数化简运算的能力，属于中档题．化简，得出A=或B=A，即可求解.【解答】解：∵c-a cos B=（2a-b）cos A，C=π-（A+B），∴由正弦定理得：sin C-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴cos A（sin B-sin A）=0，∴cos A=0，或sin B=sin A，∵在中，角的取值范围均为，∴A=或B=A或B=π-A（舍去），故选D．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的求法，零点个数问题，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用．转化函数零点问题为方程的根的问题，通过两个函数的图象交点个数判断求解即可．【解答】解：函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解的个数为2.故选B.14.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求函数最值的知识，属于中档题.利用“配凑”将函数化为基本不等式的形式，然后根据基本不等式进行计算即可.【解答】解：f(x)＝＝－＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2，因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)≥2＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.故选A.15.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题.利用导数的几何意义求切线的斜率以及切线方程，即可得结论.【解答】解：∵曲线的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为，又∵曲线y=a ln x的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为,∴曲线与曲线y=a ln x在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，∴，并且，t=a ln s，即，∴，解得s2=e，∴a=1.故选A.。

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