2.3常用的离散分布(课件)

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概率2.4节-常用离散分布.ppt

1.一天中拨错电话号码的总数； 2.一天中进入某邮局的顾客数； 3.某地区年龄超过100岁的人数；
4.一本书中一页的印刷错误；
5.一年中爆发战争的次数，等等。
Poisson分布的数学期望和方差设随机变量 X ~ P( ), 则
E( X ) Var( X ) .
例3. 假设某高速公路上每天发生的事故数是一个参数为的Poisson分布，求(a)今天至少发生3起事故的概率； (b)在今天至少发生了一件事故的条件下，重做(a)。
例5 设一个水塘里有一定数量的鱼，为估计其数目，从水塘中捕捞200条鱼，把它们作上红色标记后再放入水中，经过一段时间后再从中捕捞100条，其中有40 条鱼有红色标记。问题：怎样估计水塘中鱼的总数目？
4. 几何分布考虑独立重复试验，每次成功率为p，一直进行到试验成功为止。若令X表示需要试验的次数，则X的分布列为
二项分布的Poisson近似定理：在n重伯努利试验中，记事件A 在一次试验中发生的概率为，如果当时，有则
上述定理（Poisson定理）的应用：用于近似计算。应用的条件：对二项分布b(n,p)，当n 很大，p很小，而乘积np大小适中时，可用Poisson分布近似，即
3. 超几何分布设有N个产品，其中有M个次品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的次品个数X的分布列为
例8 一家软件公司想增加5名新的工程师，而每个参加面试的人获得职位的概率为 0.7，当招够5人时立即停止新的面试。求参加面试人数超过7名的概率。
作业：习题2.4 5，8 ，11，12。
§2.4 常用离散分布
1. 二项分布
考虑n重伯努利试验，设事件A在一次试验中发生的概率为p，记X为事件A发生的次数，则X的分布列为

23 常用的离散型分布.

Poisson分布的数字特征
期望：方差：
EX
DX
Poisson分布的应用
Poisson分布应用极为广泛. 如银行收到的存款次数；保险公司收到的索赔单数;放射粒子的数目（著名的Rutherford等人利用云雾实验室观察镭说发射出的粒子数目试验）；一定时间内发生的灾害数目；……
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
例设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
因为{X k}表示前 k 1中 A 恰好发生了r 1 次, 而第 k 次 A 发生，故
P{X

k}

C r1 k 1
p r 1q
k
r

p

C r1 k 1
p r q k r
,
k
r, r 1,,
亦可记为 P{X k} f (k; r, p).
一般地，若随机变量 X 的概率分布由上式给
例某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装多少个产品？
解设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , 0.03 )
n
由题意 P(X n) P100n (k) 0.9 k 0
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5

概率论常用的离散分布

概率论常用的离散分布
目录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普效之前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性，适用于描述在一定范围内随机事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描述了在成功达到某一目标之前需要进行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上限，p 表示每次试验成功的概率。

概率论(三版)2_3 常用的离散型分布

k0
k 0
2
4k
e4
e4(1416)
0.2381
k0 k!
2!
从而 P{X2} 1P{0X2} 10238107619
Poisson分布中使概率P(=k)取最大值的k，
称为Poisson分布的最可能值，记为k0
若P( k0)为最大，则
P( k0) P( k0 1) (1)
P( k0) P( k0 1) (2)
n
n
D( X ) D( Xi ) p(1 p) np(1 p)
i 1
i 1
例218 一个袋子中装有N个球其中N1个白球 N2个黑球 (N1N2N)每次从中任取一球查看完其颜色后再放回去一共取n次求取到的白球数X的分布
解每次取球看成是一次试验 n次取球看成是n重伯努利
试验
取到白球的概率为 p N1 故X ~b(n, N1) 其分布为
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
def
x
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定的即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布一个随机变量只有两个可能取值设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布两点分布的期望和方差

2.3常用的离散型分布

P { X m }

P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理我们可以将二项分布用泊松分布来近似当二
项分布b(n p)的参数n很大而p很小时可以将它用参数为
说明
设X表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数此时 {1 2
6} 令
X()
则 X服从 {1 2 6}上的均匀分布
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X的概率分布为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球其中N1个白球 N2个黑球从中不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布也称X是参数为p的伯努利随机

常见离散型分布

pq
1
1
q

1 p

2 pq (1 q)3

1 p

2q p2

1 p
几何分布的无记忆性
P(X m n | X m) P(X n)
P( X
mn| X
m)
P( X
m n)
(1 p)mn
(1 p)n
P(X
n)
例2.4.6
p=0.001 n=5000 X表示患病人数，则
X~b(5000,0.001)~P(5000×0.001)~P(5)
P(X
5
5) Cnk p k (1
k 0
p) nk
5 5k e5 k0 k!
0.616 (查表)
例2.4.5
月销售量X~P(8),需要a件,P（X≤a） ≥90% 反查表 P(X≤11)=0.888 P(X≤12)=0.936 ∴月初进货12件，能有93.6%的把握满足顾客
Y ~ P()
EX 2 k 2 k e k
k

e ((k 1) 1)
k

e
k

e
k e 2
k0 k!
k1 (k 1)!
k 1
(k 1)!
k2 (k 2)!
k1 (k 1)!
VarX EX 2 (EX )2
n k! n n
n
n
1
k e k!
例2.4.6 例2.4.7 例2.4.8
五、超几何分布 X ~ h(n, N, M )
无放回抽样 X表示不合格产品数

2.3常用的离散型分布

(k 0,1, 2,..., n)
其中0 p 1, 则称X服从参数为n, p的二项分布, 记为 X ~ b(n, p). 注二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;
其中n是试验独立重复的次数, p是每一次基本试验“成功”的概率. 随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.
当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1，此时X服从
六. 超几何分布 1 引例一个袋子中装有N个球，其中N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2），从中不放回地抽取 n个球，X表示取到白球数目，则
P{X k} C C
k N1
n k N2
/ C (0 k n)
n N
规定C 0(b a)
b a
称X服从超几何分布
注：超几何分布的极限分布是二项分布。即
EX=(x1+x2+…+xn)/n x
1 n 2 D( X ) ( xi x ) n i 1
五.几何分布
1. 定义若X的概率分布为：
k 1
P( X k ) (1 p)
p, k 1, 2,,
则称 X 服从参数为p 的几何分布。注：无记忆性： P{X>m+n|X>m}= P{X>n} 2. EX=1/p DX=(1-p)/p2
4. Possion定理设当 n , npn 0, 则对任意k
k! k 0,1, 2, Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式 k k k nk Cn p (1 p ) e , k 0,1, 2, k!

常用离散分布优秀课件

3 二项分布
记为 X ~ b(n, p).
➢ X为n重伯努里试验中“成功”的次数,
P(Xk) n pk(1p)nk, k
➢ 当n=1时， b(1, p) 为 0-1分布.
k0,1,...,n.
二项分布的图形
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
1. （0 – 1）分布，其分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ律为
P X 0 1 p , P X 1 p
解： E (X ) 0 ( 1 p ) 1 p p E (X 2 ) 0 2 ( 1 p ) 1 2 p p
D ( X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2 p p 2 p ( 1 p )
记为X ~ Nb(r, p). ➢ X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数.
注意点（1）
二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.
n重伯努利试验可看作由n个相同的、独立进行的伯努利试验组成，若将第i个伯努利试验中成功的次数记为Xi ~ b(1,p) (i=1,…,n), n重伯努利试验成功的总次数X= X1 + X2 +…+ Xn ，它服从b(n,p) .
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,
他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子
数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
注意点（2）
负二项随机变量是独立几何随机变量之和.

常用的离散型分布

将只有两个可能结果 A和 A的实验独立地重复地进行n次，且P ( A) p, 记Bk “n重伯努利试验中事件 A恰好出现k次”
k k P ( Bk ) Cn p (1 p)n k k 0,1,, n 令X “n重伯努利试验中A出现的次数” k k n k k 0,1,, n P ( Bk ) P{ X k } Cn p (1 p)
销售数
a
故商店月底存货不低于 15件即可.
查泊松分布表 (附表1)得
P{ X k } 0.9513 0.95 k 0
15
2.泊松分布的实际应用
很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述如某段时间内电话交换台收到用户的呼叫次数候车室内旅客人数保险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等
一、两点分布
1. Def . 若r.v.X的概率分布为
X P
x1 p
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
2. Def . 若r.v.X的概率分布为
X P
0 1- p
1 p
EX p DX p(1 p )
则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布.
伯努利试验 : 只有两种对立结果的试验. n重伯努利试验 : 一个伯努利试验独立重复n次 .
1 例7 已知某种疾病的发病率为，某单位共有5000 1000 人，问该单位患有这种疾病的人数超过 5的概率多大？解该单位患有这种疾病的人数为X， 1 X ~ P ( 5) p 则 X～b(5000,p) 1000， np 5不太大， 5k 5 k 0,1,,5000 于是 P{ X k } e k! 5 P { X 5} 1 P { X 5} 1 P{ X k } 查表可得，

专升本高数课件-常见的离散型分布

k 0
k 0
0.0169
即有 P( A1 A2 A3 A4 ) 0.0169
按第二种方法,以Y记80台中同一时刻发生故障的台数.此时,Y～B(80,0.01),故80台中发生故障而不能及时维修的概率为
3
P{Y 4} 1 C8k0(0.01)k (0.99)80k 0.0087 k 0
P{ X k} C2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20
将计算结果列表如下：
为了对本题的结果有一个直观了解,我们作出上表的图形,如图2-3所示.
PX k
O 1 2 3 4 5 6 7 89
k
从图2-3中看到,当k增加时，概率P﹛X=k﹜先是
随之增加,直至达到最大值(本例中当k=4时取到最大值),随后单调减少。一般地,对于固定的n及p, 二项分布B(n,p)都具有这一性质.
§2.4 常见的离散型分布
两点分布二项分布泊松分布（Poisson）
三种常见分布
1、（0-1）分布：（也称两点分布）
设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是
PX k pk 1 p 1k , k 0,1 0 p 1
则称X服从参数为p的0-1分布
X
0
1
pk
1-p
p
E( X ) 0 (1 p) 1 p p
易知，PX k 0,k 0,1,2, ,且有
P
X k
ke e k e e 1
k 0
k0 k !
k0 k !
参数λ的意义将在第四章说明,有关服从泊松分布的随机变量的数学模型将在以后讨论.
具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的.例如,一本书一页中的印刷错误、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发生的、经过计数器的 α粒子数等都服从泊松分布.泊松分布也是概率论中的一种重要分布.

2-3常见的离散型分布

是确定最小的 N , 使得 P{ X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布,故 P{ X N } N 3k e3 , k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配置8
个工人,才干确保设备发生故障但不能及时维修旳概率不大于0.01.
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但反复次数
多了，就成大约率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布记作X ~ G( p )
P{ X k} qk1 p, k 1, 2, (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利试验序列中，
解设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
k0 k !
P{ X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
1 n
,i
1, 2,
n.
P{ X
xi }
P{i }
1 n
,
i 1, 2, n.
实例抛掷骰子并记出现旳点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布
记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X

2.3几种重要的离散型分布

C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松近似
查泊松分布表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆，设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!

常用的离散分布(课件)

常用的离散分布(课件)
这个演讲将介绍离散概率分布的主要内容，包括二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、负二项分布、多项式分布等。
离散概率分布的概念介绍
介绍离散概率分布的基本概念，包括随机变量、概率密度函数和累积概率函数等。
二项分布的定义及其特点
详细介绍二项分布的定义、特点和应用场景，以及二项分布与其他概率分布的关系。
负二项分布的定义及其特点
深入探讨负二项分布的定义、特点和应用场景，以及如何计算期望值和方差。
多项式分布的介绍和实际应用
介绍多项式分布的特点和实际应用，以及与其他离散分布的关系和区别。本概念、性质和应用，提供期望值和方差的计算方法。
泊松分布的基本概念和应用场景
探讨泊松分布的基本概念，讲解它在实际应用中的场景和特点，以及如何计算期望值和方差。
几何分布的定义及其概率密度函数
介绍几何分布的定义、概率密度函数和应用情景，以及与其他概率分布的联系和区别。
超几何分布的基本概念和公式推导
详细讲解超几何分布的基本概念和公式推导过程，提供实际应用案例分析。

常用离散分布

常⽤离散分布⼆项分布⼆项分布就是重复 n 次独⽴的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变。

即⼀枚硬币扔 n 次，扔出正⾯概率为 p ，得到 k 次正⾯的概率：P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n这个分布称为⼆项分布，记为 X\sim b(n,p) .n=1 时的⼆项分布 b(1,p) 称为⼆点分布，或称0-1分布，或称伯努利分布，其分布列为P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, x=0,1.⼆项分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim b(n,p) ，则\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=n p \sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right) p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\ &=n p[p+(1-p)]^{n-1}=n p \end{aligned}⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) k\left(\begin{array}{l} n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+n p \\ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=2}^{n}\left(\begin{array}{l} n-2 \\ k-2\end{array}\right) p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+n p \\ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=n(n-1) p^{2}+n p-(n p)^{2}=n p(1-p)泊松分布泊松分布的概率分布列是P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots其中参数 \lambda>0 ,记为 X\sim P(\lambda) .泊松分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim P(\lambda) ,则E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda}=\lambda⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}[(k-1)+1] \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\lambda^{2} \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2) !}+\lambda\mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda^{2}+\lambda \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{2}=\lambda⼆项分布的泊松近似(泊松定理) 在 n 重伯努利试验中,记事件 A 在⼀次试验中发⽣的概率为 p_n (与试验次数 n 有关),如果当 b\to\infty 时,有 np_n\to\lambda , 则\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}证明：记 np_n=\lambda_n , 可得\begin{aligned} \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} &=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\left(\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \\ &=\frac{\lambda_{n}^{k}}{k !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \end{aligned}对固定的 k 有\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}=\lambda\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k}=\mathrm{e}^{-\lambda}\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1从⽽\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}对任意的 k=0,1,\cdots 成⽴.定理得证.由于泊松定理是在条件 np_n\to\lambda 下得到的,故在计算⼆项分布 b(n,p) 时,当 n 很⼤, p 很⼩,⽽ \lambda=np ⼤⼩适中时,可以⽤泊松公式近似,即\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} \approx \frac{(n p)^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-n p}, k=0,1,2, \cdotsLoading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js通常当 n\geqslant20,p\leqslant0.05 时，就可以⽤泊松公式近似得计算。