2015-2016高考数学总复习精品课件：4-3 两角和与差的三角函数(共61张PPT)(新人教版理科)
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高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
D.tan(α+β)=-1
解析:(2)由题意得
sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β
= 2 × (cos α-sin α)·sin β,整理,
得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=
0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.
即 sin(α+β)= .故选 C.
(1)三角函数求值中变角的原则
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=
=cos(α+ )cos -sin(α+ )sin
= × - × =- .故选 C.
( 2 )(2024 ·山东日照模拟 ) 已知α∈ (
,
) , β∈( π,
cos(α- )=- ,sin(β- )= ,则 sin(α+β)的值为(
.
又因为β∈[π, ],所以β-α∈[ , ],故 cos(β-α)=
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
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17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
返 首 页
18
课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
返 首 页
7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二函数 第五章三角函数、解三角形-第三节 两角和与差的三角函数
3
4
3π
π,
2
,sin =
3
− ,则tan
5
+
π
4
=() D
1
7
A.1B. C. D.7
[解析]因为 ∈ ,
则 = −
可得 =
, = − ,
−
=
−
=
− ,
= ,所以 +
−
=
+
C.对于任意的,,都有cos + = cos cos + sin sin
D.不存在,的值,使cos + ≠ cos cos − sin sin
[解析]令 = = ,则 + = , + = ,此时
2
[解析] ∘ ∘ + ∘ ∘ = ∘ ∘ + ∘ ∘ =
∘
∘
∘
( − ) = =
.故答案为 .
15∘
5.计算
1−tan
3+tan 60∘ tan 15∘
+ = + ,故A正确；令 = = ∈ ,则
+ = , + = ,此时
+ = + ,故B错误；由两角和的余弦公式可知,对于任
+ 2 sin
+ ,其中tan =
.注意:因为
,所以当 > 0时,cos > 0,故为第一、第四象限角;当 < 0时,
4
3π
π,
2
,sin =
3
− ,则tan
5
+
π
4
=() D
1
7
A.1B. C. D.7
[解析]因为 ∈ ,
则 = −
可得 =
, = − ,
−
=
−
=
− ,
= ,所以 +
−
=
+
C.对于任意的,,都有cos + = cos cos + sin sin
D.不存在,的值,使cos + ≠ cos cos − sin sin
[解析]令 = = ,则 + = , + = ,此时
2
[解析] ∘ ∘ + ∘ ∘ = ∘ ∘ + ∘ ∘ =
∘
∘
∘
( − ) = =
.故答案为 .
15∘
5.计算
1−tan
3+tan 60∘ tan 15∘
+ = + ,故A正确；令 = = ∈ ,则
+ = , + = ,此时
+ = + ,故B错误；由两角和的余弦公式可知,对于任
+ 2 sin
+ ,其中tan =
.注意:因为
,所以当 > 0时,cos > 0,故为第一、第四象限角;当 < 0时,
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
两角和与差的三角函数课件
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·赣州模拟)已知sin α＋π6＋cos α＝45 3，则sin α＋π3
的值为
()
A.45
B.35
C.
3 2
D.
3 5
解析：由条件得 23sin α＋32cos α＝45 3，
即12sin α＋ 23cos α＝45. ∴sin α＋π3＝45.
[自主解答] (1)∵tan π4＋α＝2，
∴1t－antπ4a＋nπ4ttaannαα＝2，∴11＋ －ttaann αα＝2.
2 ∴tan α＝13，∴tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－3 19＝34.
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β
[冲关锦囊] (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准
确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝ tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种 变形等． (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的， 但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和 变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维 转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后， 才能真正掌握公式的应用.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数 等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角 度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异，再选择适当的三角公式恒等变形．
∵0<x<π2，∴－π3<2x－π3<23π.
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式
B.tan(α-β)=-1
C.tan(α+β)=1
D.tan(α+β)=-1
解析 因为 tan
sin-cos
β=
,所以
sin+cos
tan
以 1+tan αtan β=tan α-tan β,所以
tan-1
β=
,所以
tan+1
tan αtan β+tan β=tan α-1,所
tan-tan
=
α- α
.
α+ α
2.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
+
π
2cos(α+ )sin
4
π
2sin(α+ )cos
4
π
2sin[(α+4)+β]=
β.又 sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cos
3
sin αcos
1
sin(α-β)=3,cos
αsin
αsin
1
β=6,则
1
β=6,∴sin(α-β)=sin
1
β= . ∵sin(α+β)=sin
2
αcos β-cos αsin β=
αcos β+cos αsin
2 2 1
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
2tanα
sin2α＝___2_s_in_α_c_o_s_α___；tan2α＝____1_－__t_a_n_2α__.
3．降次公式
1＋cos2α
1－cos2α
cos2α＝_______2_____；sin2α＝________2____.
5
4．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
8
考点 1 三角函数式的化简 例 1：已知函数 f(x)＝sincoxs＋2xπ4. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若 f(x)＝43，求 sin2x 的值．
9
解：(1)由题意，sinx＋π4≠0，∴x＋π4≠kπ(k∈Z)． 即 x≠kπ－π4 (k∈Z)．
函数 f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
10 10 .
20
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又∵π2<A<π，π2<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝74π.
21
【方法与技巧】通过求角的某种三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
14
考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.又Biblioteka α为第二象限角，∴sinα＝2
两角和与差的正弦余弦和正切公式复习课件(共35张PPT)
目录
2.已知 x∈(－π2，0)，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
7 A.24
B．－274
C.274
D．－274
解析：选 D.依题意得 sin x＝－
1－cos2x＝－35，tan
x＝csions
x x
＝－34，所以 tan 2x＝12－tatnanx2x＝12－×（（－－4343））2＝－274,故选 D.
目录
3.若sincoαs－2απ4＝－ 22，则 cos α＋sin α＝(
)
A．－
7 2
B．－12
1
7
C.2
D. 2
解析：选
C.由已知条件
cos2α－sin2α
2 2 sin
α－
2 2 cos
＝－ α
22，
则 cos α＋sin α＝12.
目录
4.化简：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝________． 解析：原式＝sin(α＋β－β)＝sin α. 答案：sin α 5.若 cos α＝12，其中 α∈(－π2，0)，则 sinα2的值是________． 解析：sin2α2＝1－c2os α＝14.
目录
tan α＋tan β
(3)tan(α＋β)＝____1_－__ta_n__α_t_a_n_β______， tan α－tan β
tan(α－β)＝____1_＋__t_a_n_α_t_a_n__β______．
(α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ＋π2，k∈Z) 其变形为：tan α＋tan β＝__t_an_(_α_＋__β_)_(1_－__ta_n_α_t_a_n_β_)____， tan α－tan β＝______ta_n_(_α_－_β_)_(_1_＋__ta_n_α_t_a_n_β_)_______．
高考数学第一轮基础复习 两角和与差的三角函数课件
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝
1－tan30° 1＋tan30°
＝2－
3，故选C.
答案：C
2．已知三角函数值求角的步骤 已知角α的三角函数值求角α，应注意所得的解不是 惟一的，而是有无数多个，其解法步骤是： (1)确定角α所在的象限； (2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出对应的锐角 α1；如函数值为负，求出其绝对值对应的锐角α1；
(4)S2α：sin2α＝__2_s_i_n_α_c_o_s_α___. (5)C2α：cos2α＝_c_o_s_2α_－__s_i_n_2_α_＝__2_c_o_s2_α_－__1_＝__1_－__2_s_i_n_2_α_.
2tanα (6)T2α：tan2α＝_1_－__t_a_n_2_α__.
答案：B
点评：通过观察、分析、抓住角之间的变化规律， 灵活运用公式才能顺利实施解答．
(2011·佛山质检)计算tan75°－tan15°－ 3tan15°·tan75°
的结果等于( )
A. 3
B．－ 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：∵tan60°＝tan(75°－15°)＝ 1t＋ant7a5n°1－5°t·atann1755°°＝ 3，∴tan75°－tan15°＝ 3(1＋tan15°·tan75°)，
是( )
1 A.5
5 B.7
5 C.6
D．1
分析：条件式中的角为α和α－β，即α与β－α，故待
求式中的角β－2α＝(β－α)－α.
解析：∵tan(α－β)＝3，∴tan(β－α)＝－3， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝1t＋antaβn－βα－－αt·atannαα＝1.
数学高考总复习重点：4-4两角和与差的三角函数-79张市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
∴tan75°－tan15°－ 3tan15°·tan75°＝ 3，故选 A.
答案：A
方程的思想
[例 5] (2011·东北三校联考)已知 cos(α＋β)＝15，cos(α－ β)＝35，则 tanαtanβ 的值为________．
夯实基础 稳固根基 1．在两角和与差的公式中，以公式 C(α±β)为最基本，其推 导过程应熟练掌握．教材用平面向量对 C(α－β)进行了推导，类 似地也可以用平面向量方法推证 C(α＋β)．下面用对称和两点间 的距离公式给出 C(α＋β)的推证过程，望细心体会其思路方法．
如图，点 P1，P2，P3，P4 的坐标分别为 P1(1,0)，P2(cosα， sinα)，
∴x＋3π＝2kπ＋π2，即 x＝2kπ＋6π，k∈Z 时，f(x)取得最大
值，其最大值为 2，故选 B.
答案：B
点评：化为一个角的一个三角函数是讨论三角函数性质的 主要途径，应注意掌握用辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2 sin(α＋φ)(其中 tanφ＝ba)化“一角一函”．
(文)(2012·河南六市联考)已知函数 y＝f(x)＝ 3sin(π6＋x)＋ cos(π6＋x)，则函数 f(x)应满足( )
2．公式之间的关系及导出过程
3．和、差、倍角公式 (1)Cα±β：cos(α±β)＝__c_o_s_α_c_o_sβ_∓__si_n_α_s_i_n_β.
(2)Sα±β：sin(α±β)＝__s_i_n_α_c_o_s_β_±_c_o_s_α_s_in_β_.
tanα±tanβ (3)Tα±β：tan(α±β)＝___1_∓_ta_n__α_·t_a_n_β__.
公式的变形应用
[例 4] 化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ 3[tan(18°－x)＋ tan(12°＋x)]＝________.
答案：A
方程的思想
[例 5] (2011·东北三校联考)已知 cos(α＋β)＝15，cos(α－ β)＝35，则 tanαtanβ 的值为________．
夯实基础 稳固根基 1．在两角和与差的公式中，以公式 C(α±β)为最基本，其推 导过程应熟练掌握．教材用平面向量对 C(α－β)进行了推导，类 似地也可以用平面向量方法推证 C(α＋β)．下面用对称和两点间 的距离公式给出 C(α＋β)的推证过程，望细心体会其思路方法．
如图，点 P1，P2，P3，P4 的坐标分别为 P1(1,0)，P2(cosα， sinα)，
∴x＋3π＝2kπ＋π2，即 x＝2kπ＋6π，k∈Z 时，f(x)取得最大
值，其最大值为 2，故选 B.
答案：B
点评：化为一个角的一个三角函数是讨论三角函数性质的 主要途径，应注意掌握用辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2 sin(α＋φ)(其中 tanφ＝ba)化“一角一函”．
(文)(2012·河南六市联考)已知函数 y＝f(x)＝ 3sin(π6＋x)＋ cos(π6＋x)，则函数 f(x)应满足( )
2．公式之间的关系及导出过程
3．和、差、倍角公式 (1)Cα±β：cos(α±β)＝__c_o_s_α_c_o_sβ_∓__si_n_α_s_i_n_β.
(2)Sα±β：sin(α±β)＝__s_i_n_α_c_o_s_β_±_c_o_s_α_s_in_β_.
tanα±tanβ (3)Tα±β：tan(α±β)＝___1_∓_ta_n__α_·t_a_n_β__.
公式的变形应用
[例 4] 化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ 3[tan(18°－x)＋ tan(12°＋x)]＝________.
高考数学复习 第四章 第二节两角和与差的三角函数课件
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高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 课
点评：运用两角和与差的公式求值时，要注意： (1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目 标和方向． (2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系， 将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋π3 ＝(α＋β)－(β－π3)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． (3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的 象限确定函数值的符号
考点二·两角和与差公式的逆用与变用
【例 2】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝2cos x＋sin x 的最大值为 ________．
解：(1)f(x)＝2cos x＋sin x＝
25 5( 5 cos
x＋
5 5 sin
x)，
设 sin α＝255，cos α＝ 55，则 f(x)＝ 5sin(x＋α)，
所以函数 f(x)＝2cos x＋sin x 的最大值为 5.
(2)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°的值为__________．
解： (2) 原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋ 3tan 20°·tan 40° ＝ 3(1－tan 20°tan 40°)＋ 3tan 20°tan 40° ＝ 3－ 3tan 20°tan 40°＋ 3tan 20°tan 40° ＝ 3.
【变式探究】
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知 tan(α－54π)＝15，则 tan α＝
.
解： (方法一：利用正切的差角公式展开求解) tan(α－54π)＝tan(α－π4)＝t1a＋n αta－n α1＝15， 解得 tan α＝32.
(方法二：利用角的配凑求解) 因为 α＝(α－54π)＋54π. 所以 tanα＝1t－antaαn－α54－π5＋4πttaann5454ππ＝1－15＋15×1 1＝32. (方法三：利用换元法进行求解) 设 θ＝α－54π，则 α＝θ＋54π， 且 tan θ＝15， 所以 tan α＝tan(θ＋54π)＝1ta－n θta＋n 1α＝151－ ＋151＝23.
§4(PPT)4-3.06 两角和与差的三角函数(5)
目录 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 化合物 化学循环 4 生产 历史 应用 ? 阻燃剂 ? 合金 ? 其他应用 7 安全 理化性质编辑 物理性质 锑是一种带有银色光泽
的灰色金属，其莫氏硬度为。因此，纯锑不能用于制造硬的物件：中国的贵州省曾在 年发行锑制的硬币，但因为锑很容易磨损，在流通过程损失严重。 蒸馏
如果在研钵中用研杵将它磨碎，就会发生剧烈的爆炸。黑锑是由金属锑的蒸汽急剧冷却形成的，它的晶体结构与红磷和黑砷相同，在氧气中易被氧化甚至自
燃。当温度降到℃时，它逐渐转变成稳定的晶型。黄锑是最不稳定的一种，只能由锑化氢在- ℃下氧化而得。在这种温度和环境光线的作用下，亚稳态的同素
异形体会转化成更稳定的黑锑。 [] 金属锑的结构为层状结构（空间群：Rm No. ），而每层都包含相连的褶皱六元环结构。最近的和次近的锑原子形成变形
的氯化剂、香料的浸出剂、纤维的脱脂剂等 安全性描述 密封干燥保存 危险性描述 锑（易制爆） 化学品类别 金属单质 化合物价态 常见有+、+ 地壳丰度 百
万分之.至. 族 氮族(VA族) 周 期 ；巴陵时尚网 https:/// 巴陵时尚网 ；第五周期 原子序数 相对原子质量 . 外围电子排布 sp 元素符号 Sb
碲和砷小。锑在室温下的空气中是稳定的，但加热时能与氧气反应生成三氧化二锑。 [] 锑在一般条件下不与酸反应。 已知锑有四种同素异形体——一种稳定
的金属锑和三种亚稳态锑（爆炸性锑、黑锑、黄锑）。金属锑是一种易碎的银白色有光泽的金属。把熔融的锑缓慢冷却，金属锑就会结成三方晶系的晶体，
其与砷的灰色同素异形体异质同晶。罕见的爆炸形状的锑可由电解三氯化锑制得，用尖锐的器具刮擦它就会发生放热的化学反应，放出白烟并生成金属锑。
2015届高三数学一轮总复习课件：4.5两角和与差的正弦、余弦和正弦公式
题型四
12 3
5
4 16
β= × − × = .
13 5
13 5 65
题型五
解题策略
第十二页，编辑于星期五：八点 三十四分。
重点难点
题型一 两角和与差公式的应用
例1
点拨提示
迁移训练1
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α,β 的三角函
数表示 α±β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与
基础梳理
自我检测
第五页，编辑于星期五：八点 三十四分。
考点基础
基础梳理
1
2
温馨提示
的代换等.
1”
求值常用的技巧:化切为弦,升幂、降幂,和积互化,辅助元素,“
求值题常见类型
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观
察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合和差
的值等于(
3.
75°
3
4
)
C.- 3
B.2 3
A. 3
5
D.-2 3
答案:D
解析:∵tan 150°=tan(75°+75°)=
2
1-275°
=-2
=
∴
150°
75°
基础梳理
2 75°
,
1-275°
3.
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十四分。
考点基础
自我检测
1-2
α+α
1
= ,tan
α-α
2
4.若
3
4
A.-
3
4
5
高三数学一轮复习 两角和与差的三角函数课件 北师大版
3.3 两角和与差的三角函数
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式/能利用两角差的余弦公式导出 两角差的正弦、正切公式/能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系
1．两角和与差的三角函数
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
解析：cot 20°cos 10°＋ sin 10°tan 70°－2cos 40°
＝2cot 20°( cos 10°＋ sin 10°)－2cos 40°
＝2cot 20°sin 40°－2cos 40°＝2
·2sin 20°cos 20°－2cos 40°
＝4cos220°－2cos 40°＝2(1＋cos 40°)－2cos 40°＝2.
(2)原式＝(
)·sin 40°＝
1.α＝(α－β)＋β＝(α＋β)－β； 2.α＝ 3．2α＝(α＋β)＋(α－β)； 4.α＝
【方法规律】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用 及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变 形等．
cos(α±β)＝cos αcos β
si∓n αsin β；
tan(α±β)＝
Hale Waihona Puke .2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝
tan 2α＝
.
1－2sin2α ；
3．降幂公式
sin αcos α＝ sin 2α；
sin2α＝
；
cos2α＝
.
1．若tan α＝3，tan β＝ ，则tan(α－β)等于(
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式/能利用两角差的余弦公式导出 两角差的正弦、正切公式/能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系
1．两角和与差的三角函数
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
解析：cot 20°cos 10°＋ sin 10°tan 70°－2cos 40°
＝2cot 20°( cos 10°＋ sin 10°)－2cos 40°
＝2cot 20°sin 40°－2cos 40°＝2
·2sin 20°cos 20°－2cos 40°
＝4cos220°－2cos 40°＝2(1＋cos 40°)－2cos 40°＝2.
(2)原式＝(
)·sin 40°＝
1.α＝(α－β)＋β＝(α＋β)－β； 2.α＝ 3．2α＝(α＋β)＋(α－β)； 4.α＝
【方法规律】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用 及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变 形等．
cos(α±β)＝cos αcos β
si∓n αsin β；
tan(α±β)＝
Hale Waihona Puke .2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝
tan 2α＝
.
1－2sin2α ；
3．降幂公式
sin αcos α＝ sin 2α；
sin2α＝
；
cos2α＝
.
1．若tan α＝3，tan β＝ ，则tan(α－β)等于(
高考北师大版数学总复习课件：4.5两角和与差的三角函数
2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的 变换： α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α ＝(α＋β)－(β－α)等等．
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决 问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 Tα±β 可变形为：
β)(1∓tanαtanβ) tanα±tanβ＝ tan(α±
π 当 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝ 3； 3 2π 当 x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－ 3. 3
π π 6．化简：cos3＋α＋sin6＋α＝________.
[答案] cosα π π [解析] cos3 ＋α＋sin6 ＋α
3 1－ 1＋ 3 ＝ ＋ 3 1＋ 1－ 3
3 3－1 3＋1 3 ＝ ＋ 3 3＋1 3－1 3
4－2 3 4＋2 3 ＝ ＋ ＝4. 2 2 30° 解法三：tan15° ＋cot15° ＝tan ＋ 2 1 30° tan 2
1－cos30° 1＋cos30° 2 ＝ ＋ ＝ ＝4. sin30° sin30° sin30°
1 [解析] 原式＝sin(43° －13° )＝sin30° ＝ . 2
2．已知 1 A. 7 1 C．－ 7
π 3 α∈ 2，π ，sinα＝ ，则 5
π tanα＋4 等于(
)
B．7 D．－7
[答案] A
[解析]
π 3 ， π ∵α∈ 2 ，sinα＝ ， 5
4 3 ∴cosα＝－ ，∴tanα＝－ . 5 4 3 － ＋1 4 π tanα＋1 1 而 tan α＋ 4 ＝ ＝ ＝ . 3 7 1－tanα 1＋ 4
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第 3 课时
两角和与差的三角函数
2014•考纲下载
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦．
请注意！
本课主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角函数 式的简单证明．这部分知识难度已较以前有所降低，应适当控制 其难度.
例1
sin7° ＋cos15° sin8° (1)求 的值． cos7－sin15° sin8°
(2)化简：sin50° (1＋ 3tan10° )． (3)求 tan20° ＋4sin20° 的值．
sin15° －8° ＋cos15° sin8° 【解析】 (1)原式＝ cos15° －8° －sin15° sin8° tan45° －tan30° sin15° cos8° ＝ cos15° ＝ tan15° ＝ tan(45° － 30° )＝ ＝ cos8° 1＋tan45° tan30° 3 1－ 3 3－1 ＝ ＝2－ 3. 3 3＋1 1＋ 3
1 答案 2
tanα＋tanβ 2 1 1 解析 tanα· tanβ＝1－ ＝1－4＝2.故填2. tanα＋β
5．已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan2α＝( 1 A.8 4 C.7
答案 D
)
1 B．－8 4 D．－7
解析 tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β 3＋5 4 ＝ ＝ ＝－7. 1－tanα＋β· tanα－β 1－3×5
【解析】
4sin40° cos40° －sin40° 4cos50° －tan40° ＝ cos40°
2sin80° －sin40° 2sin100° －sin40° ＝ ＝ cos40° cos40° 2sin60° ＋40° －sin40° ＝ cos40° 3 1 2× 2 cos40° ＋2×2sin40° －sin40° ＝ ＝ 3. cos40°
3 2．下列各式中，值为 2 的是( A．2sin15° cos15° C．2sin215° －1
答案 B
)
B．cos215° －sin215° D．sin215° ＋cos215°
解析
1 2sin15° cos15° ＝sin30° ＝2，cos215° －sin215° ＝cos30°
3 3 2 ＝ 2 ，2sin 15° －1＝－cos30° ＝－ 2 ，sin215° ＋cos215° ＝1.
【答案】 C
π 4 π π 例 2 (1)已知 sin(α＋6)＝－5，α∈(－2，2)，求 sinα 的值．
π π π π 2π 【解析】 ∵α∈(－2，2)，∴α＋6∈(－3， 3 )． π 4 π π 又 sin(α＋6)＝－5<0，∴α＋6∈(－3，0)． π ∴cos(α＋6)＝ π 3 1－sin α＋6＝5.
3 1 ＋2sin10° 2 cos10° ＝ 3 cos20° cos30° －10° ＝ 3 cos20° ＝ 3.
【答案】 (1)2－ 3 (2)1 (3) 3
探究 1 (1)注意观察各角之间的内在关系． (2)注意公式的逆运用进行化简．
思考题 1 A. 2 C. 3 (2013· 重庆)4cos50° －tan40° ＝( 2＋ 3 B. 2 D．2 2－1 )
3．化简 cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ 的结果为( A．sin(2α＋β) C．cosα
答案 解析 C 等式即 cos(α－β＋β)＝cosα.
)
B．cos(α－2β) D．cosβ
4． 已知 tanα＋tanβ＝2， tan(α＋β)＝4， 则 tanα· tanβ＝________.
3．常用公式的变化形式 (1)asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)， b a a2＋b2 其中 cosφ＝ ，sinφ＝ a2＋b2 或 asinx＋bcosx＝ a2＋b2cos(x－θ)，a b 2 2 2 2 a ＋ b 其中 cosθ＝ a ＋b ，sinθ＝ .
(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)． 1－tanα π (3) ＝tan(4－α)． 1＋tanα 1＋tanα π (4) ＝tan(4＋α)． 1－tanα
(2)sin50° (1＋ 3tan10° ) cos10° ＋ 3sin10° ＝sin50° ( ) cos10° 1 3 2sin50° 2cos10° ＋ 2 sin10° ＝ cos10° 2sin50° sin30° ＋10° ＝ cos10° 2sin50° cos50° sin100° cos10° ＝ ＝cos10° ＝1. cos10° ＝ cos10°
sin20° (3)原式＝cos20° ＋4sin20° sin20° ＋4sin20° cos20° sin20° ＋2sin40° ＝ ＝ cos20° cos20° sin30° －10° ＋2sin30° ＋10° ＝ cos20° 3 3 ＋ 2 sin10° 2cos10° ＝ cos20°
1．两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ tanα＋tanβ (3)tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ . . .
2．两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ－cosαsinβ＝ sin(α－β) ． (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝ cos(α－β) tanα－tanβ (3) ＝ tan(α－β) 1＋tanαtanβ ． ．
1．sin119° sin181° －sin91° sin29° 的值为______．
1 答案 －2
解析 sin119° · sin181° －sin91° · sin29° ＝cos29° · (－sin1° )－cos1° · sin29° ＝－(sin1° · cos29° ＋cos1° · sin29° ) 1 ＝－sin30° ＝－2.
两角和与差的三角函数
2014•考纲下载
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦．
请注意！
本课主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角函数 式的简单证明．这部分知识难度已较以前有所降低，应适当控制 其难度.
例1
sin7° ＋cos15° sin8° (1)求 的值． cos7－sin15° sin8°
(2)化简：sin50° (1＋ 3tan10° )． (3)求 tan20° ＋4sin20° 的值．
sin15° －8° ＋cos15° sin8° 【解析】 (1)原式＝ cos15° －8° －sin15° sin8° tan45° －tan30° sin15° cos8° ＝ cos15° ＝ tan15° ＝ tan(45° － 30° )＝ ＝ cos8° 1＋tan45° tan30° 3 1－ 3 3－1 ＝ ＝2－ 3. 3 3＋1 1＋ 3
1 答案 2
tanα＋tanβ 2 1 1 解析 tanα· tanβ＝1－ ＝1－4＝2.故填2. tanα＋β
5．已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan2α＝( 1 A.8 4 C.7
答案 D
)
1 B．－8 4 D．－7
解析 tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β 3＋5 4 ＝ ＝ ＝－7. 1－tanα＋β· tanα－β 1－3×5
【解析】
4sin40° cos40° －sin40° 4cos50° －tan40° ＝ cos40°
2sin80° －sin40° 2sin100° －sin40° ＝ ＝ cos40° cos40° 2sin60° ＋40° －sin40° ＝ cos40° 3 1 2× 2 cos40° ＋2×2sin40° －sin40° ＝ ＝ 3. cos40°
3 2．下列各式中，值为 2 的是( A．2sin15° cos15° C．2sin215° －1
答案 B
)
B．cos215° －sin215° D．sin215° ＋cos215°
解析
1 2sin15° cos15° ＝sin30° ＝2，cos215° －sin215° ＝cos30°
3 3 2 ＝ 2 ，2sin 15° －1＝－cos30° ＝－ 2 ，sin215° ＋cos215° ＝1.
【答案】 C
π 4 π π 例 2 (1)已知 sin(α＋6)＝－5，α∈(－2，2)，求 sinα 的值．
π π π π 2π 【解析】 ∵α∈(－2，2)，∴α＋6∈(－3， 3 )． π 4 π π 又 sin(α＋6)＝－5<0，∴α＋6∈(－3，0)． π ∴cos(α＋6)＝ π 3 1－sin α＋6＝5.
3 1 ＋2sin10° 2 cos10° ＝ 3 cos20° cos30° －10° ＝ 3 cos20° ＝ 3.
【答案】 (1)2－ 3 (2)1 (3) 3
探究 1 (1)注意观察各角之间的内在关系． (2)注意公式的逆运用进行化简．
思考题 1 A. 2 C. 3 (2013· 重庆)4cos50° －tan40° ＝( 2＋ 3 B. 2 D．2 2－1 )
3．化简 cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ 的结果为( A．sin(2α＋β) C．cosα
答案 解析 C 等式即 cos(α－β＋β)＝cosα.
)
B．cos(α－2β) D．cosβ
4． 已知 tanα＋tanβ＝2， tan(α＋β)＝4， 则 tanα· tanβ＝________.
3．常用公式的变化形式 (1)asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)， b a a2＋b2 其中 cosφ＝ ，sinφ＝ a2＋b2 或 asinx＋bcosx＝ a2＋b2cos(x－θ)，a b 2 2 2 2 a ＋ b 其中 cosθ＝ a ＋b ，sinθ＝ .
(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)． 1－tanα π (3) ＝tan(4－α)． 1＋tanα 1＋tanα π (4) ＝tan(4＋α)． 1－tanα
(2)sin50° (1＋ 3tan10° ) cos10° ＋ 3sin10° ＝sin50° ( ) cos10° 1 3 2sin50° 2cos10° ＋ 2 sin10° ＝ cos10° 2sin50° sin30° ＋10° ＝ cos10° 2sin50° cos50° sin100° cos10° ＝ ＝cos10° ＝1. cos10° ＝ cos10°
sin20° (3)原式＝cos20° ＋4sin20° sin20° ＋4sin20° cos20° sin20° ＋2sin40° ＝ ＝ cos20° cos20° sin30° －10° ＋2sin30° ＋10° ＝ cos20° 3 3 ＋ 2 sin10° 2cos10° ＝ cos20°
1．两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ tanα＋tanβ (3)tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ . . .
2．两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ－cosαsinβ＝ sin(α－β) ． (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝ cos(α－β) tanα－tanβ (3) ＝ tan(α－β) 1＋tanαtanβ ． ．
1．sin119° sin181° －sin91° sin29° 的值为______．
1 答案 －2
解析 sin119° · sin181° －sin91° · sin29° ＝cos29° · (－sin1° )－cos1° · sin29° ＝－(sin1° · cos29° ＋cos1° · sin29° ) 1 ＝－sin30° ＝－2.