汕头市高三理科数学月考试题及其答案

汕头市高三理科数学月考试题一、选择题（12小题，每题5分，共60分） 1.已知全集U =R ，集合A ={x||x −1|<1}，B ={x|2x−5x−1≥1}，则A ∩C U B =（ ）A ．{x|1<x <2}B ．{x|1<x ≤2}C ．{x|1≤x <2}D ．{x|1≤x <4}2.已知i 为虚数单位，复数z =2+i1−2i ，则下列命题正确的是（ ）A ．z 的共轭复数为iB ．z 的虚部为−1C ．z 在复平面内对应的点在第一象限D ．|z |=13.设a,b ∈R ,则“(a −b )∙a 2<0”是“a <b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <a D ．c <a <b5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） A. 2 B. −2 C. −4 D. −66. 已知平面向量,a b 满足()3a a b ⋅+=，且2,1,a b ==则向量a 与b 夹角的正弦值是（ ） A ．−12 B ．12C ．√22D ．√327. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象如图所示，为了得到函数y =cos(ωx +π6)的图象，只需将y =f(x)的图象( )A ． 向左平移π3个单位 B ． 向右平移π3个单位 C ． 向左平移π6个单位 D ． 向右平移π6个单位8.已知数列{a n }满足a 1＝1＝a n ＝log n (n ＝1)(n ≥2＝n ＝N *)．定义：使乘积a 1·a 2·a 3……a k 为正整数的k (k ＝N *)叫做“和谐数”，则在区间[1＝2018]内所有的“和谐数”的和为( ) A ． 2036 B ． 2048 C ． 4083 D ． 40969. 定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．810. 已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，且0,0,0a b b c c a +>+>+>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．恒为负B ．恒为0C ．恒为正D ．无法确定11. 已知O 是锐角三角形ΔABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cosB sinCAB⃑⃑⃑⃑⃑ +cosC sinBAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2mAO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m =（ ） A ． sinθ B ． cosθ C ． tanθ D ． 不能确定12. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f ′(x)，若对于任意实数x 有f (x )+f ′(x )>e 1−x ，则下列不等式一定成立的是（ ）A.f (0)+1<ef (1)B. f (0)+1>ef (1)C. f (0)+e <f (1)D. f (0)+e >f (1)二、填空题（4小题，每题5分，共20分）13. 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ).若f (3)=1，则a =________.14. 已知tanα=2，则cos 2α+sin2α=__________．15. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积是_______.16.已知函数()421421x x xxk f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题（5小题，每题14分，共70分）17. 在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且()3cos 23cos .a C b c A =- （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111 22n n a S a +=+=，（n ∈*N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n T ．19. 在四棱锥P −ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD 为等腰梯形，满足AB//CD ，AD ＝DC ＝12AB ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）证明：BD ⊥平面PAD ； （2）求二面角A －PD －C 的余弦值．20.设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．21.已知函数()()0,0,1,1x xf x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =．若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．汕头市理科数学月考参考答案1~12 CDACD DCABC A A 13~16 -7, 1, 22e -， 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17.解：（1()cos 2sin cos A C B C A =)2sin cos A C B A +=由A B C π++=知sin()sin A C B +=2sin cos B B A = 又B 是三角形内角，所以sin 0B ≠，所以cos A 又A 是三角形内角，所以=.6A π（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得224(2,b c bc =+≥-所以4(2bc ≤+当且仅当b c =时取等号所以1sin 22ABC S bc A ABC ∆=≤+∆面积的最大值为2+ 18.解（1）111 22n n a S a +=+=，2121,2 2.2n n a S a ++∴=+= 121220,n n n n S S a a +++∴-+-=即212,n n a a ++=即211,2n n a a ++=又211,2a a = 故数列{}n a 是以1为首项，以12为公比的等比数列，所以11.2n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）()11(2+1)21()2n n n b n a n -==+⨯． 1231n n n T b b b b b -=+++++…∴()()122-11111315()7()21()21()2222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯…，()()12311111113()5()7()21()21()222222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯， ∴()1211111132()2()2()21()22222n nn T n -=+⨯+⨯++⨯-+⨯…， 整理得()111[1()]11223221()12212n n n T n --=+⨯-+- ()111322()21()22n n n -=+-⨯-+()1525()2n n =-+，所以1110(25)()2n n T n -=-+⨯．19. 解：（1）在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，则DE//BC ，且DE ＝BC ． 故DE =12AB ，即点D 在以AB 为直径的圆上，所以BD ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊆平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ．（2）取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，连接OE ，则OE//BD ，∴OE ⊥AD ．以O 为原点，分别以OA ，OE ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得OE =12BD =√3，则A(1，0，0)，D(－1，0，0)，E(0,√3,0)，P(0,0,√3)， DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0)，DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0√3)． 取平面PAD 的一个法向量为n ＝(0，1，0)， 设平面PDC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)，由DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ＝0，DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ＝0得：{−x +√3y =0x +√3z =0 令y ＝1，得m =(√3,1,−1)，所以cos〈m ⃑⃑ ,n ⃑ 〉=m⃑⃑⃑ ·n ⃑ |m⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=√55， 因为二面角A －PD －C 的平面角为钝角，所以二面角A －PD －C 的余弦值为-√55．20．解(1)因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++，所以2()[2(41)][(41)43]x x f x ax a e ax a x a e '=-++-+++=2[(21)2]xax a x e -++．(1)(1)f a e '=-．由题设知(1)0f '=，即(1)0a e -=，解得1a =． 此时(1)30f e =≠．所以a 的值为1．(2)由(1)得2()[(21)2](1)(2)x xf x ax a x e ax x e '=-++=--．若12a >，则当1(,2)x a∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当(0,2)x ∈时，20x -<，11102ax x --<≤，所以()0f x '>． 所以2不是()f x 的极小值点．综上可知，a 的取值范围是1(,)2+∞． 21.【解析】（1）由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为()ln ln x xg x a a b b '=+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以()0g x '=有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令()()h x g x '=，则'22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b '=+=+， 从而对任意x R ∈，()0h x '>，所以()()g x h x '=是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，0()()0g x g x ''<=；当0(,)x x ∈+∞时，0()()0g x g x ''>=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0()(0)0g x g <=，又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以0x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在0x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x .因为01a <<，所以log 20a <，又00x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在0x 和log 2b 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =.于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =．。