概率论04随机变量的数字特征

二维随机变量函数的数学期望
(1)若(X,Y)为离散型随机变量，若其分布律为 pij X xi , Y y j
边缘分布律为


pi . pij , p. j pij
j i
i i j
则
E X xi pi . xi pij
E Y y j p. j y j pij
2.指数分布 设随机变量X服从参数为
概率论
0
的指数分布，其概率密度为
则
e x , x 0 f x 0, x 0

E x
0
xf x dx
x
xf x dx xf x dx
0 0
x 0
E X np 1.6, n 5, p 1.6 5 0.32
2. 已知随机变量X的所有可能取值为1和
x ，且 P X 1 0.4,
E X 0.2, 求 . 解 由已知 P X 1 04,
x
得 E X 0.4 0.6 x 0.2
k P{ X k} Cn p k (1 p ) nk
n
k 0.1,... n
n! E( X ) k p k (1 p) nk k 1 k!( n k )!
概率论
n! k nk p (1 p) k 1 ( k 1)! ( n k )!
(n 1)! k 1 n 1 ( k 1) np p (1 p) k 1 ( k 1)! ( n k )!
( k 1,2,), 若 g( xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1

(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若


g( x ) f ( x )dx绝对收敛，则有

E (Y ) E[ g ( X )]


g ( x ) f ( x ) dx
概率论
g ( xk ) pk , X 离散型 E (Y ) E[ g ( X )] k 1 g ( x) f ( x)dx, X 连续型
1. 问题的提出： EX1：设随机变量X的分布律为 X Pk
-1
1 3
0
1 3
1
1 3
求随机变量Y=X2的数学期望 解: Y Pk 1
2 3
0
1 3
2 1 2 E (Y ) 1 0 3 3 3
概率论
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk ;
, k 0,1, 2, , 0
k 1
X 的数学期望为
e E( X ) k e e e k! k 0 k 1 ( k 1)! 即E ( X )

概率论
练习 1. 设随机变量 X ~ B 5, p ，已知 E X 1.6 ，求参数p. 解
概率论
概率论
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
概率论
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
例
设随机变量X的概率密度为
2 x, 0 x 1 f x 0, 其他
求E(X). 解：由E(x)的公式
E x


1
xf x dx

1
0

xf x dx xf x dx
1 0
1

1
xf x dx
2 3 2 2 x 2 xdx 2 x dx x 0 0 3 0 3
概率论
求E(X). 解：由E(x)的公式
E x xf x dx



2
xf x dx xf x dx 2 xf x dx


2
2 2


2
2



x cos 2 xdx 0
概率论
三、随机变量函数的数学期望
n
n
令l k 1 np C
n 1
np
l 0
l n 1
p (1 p)
l
n 1l
若 X ~ B n, p ，则 E X np
3.泊松分布 例2 设X ~ P( ), 求E ( X ).
概率论
解 X 的分布律为 P{ X k}
e
k
k!
k
pk
的和为随机变量X的数学期望，记为 E ( X ) , 即
E ( X ) xk pk
k
请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收 敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。
概率论
例1 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X,Y
它们的分布律分别为
X
pk
0
0
1
2
Y
pk
0
1
2
0.2 0.8
概率论
常见连续型随机变量分布的期望
1.均匀分布 X ~ U (a, b)
解 X的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
X的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x )dx dx ba 2 a
b
即数学期望位于区间 a , b)的中点. (
我们先观察小张100天的生产情况
概率论
若统计100天,
（假定小张每天至多出 现三件废品 ） 可以得到这100天中 每天的平均废品数为
32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;
这个数能否作为 X的平均值呢？
32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100பைடு நூலகம்100 100


xf X x dx





xf x, y dxdy
E Y


yfY y dy





yf x, y dxdy
概率论
上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变
量的函数的情况。
设Z是随机变量X ,Y的函数Z g( X ,Y )( g是连续函数)
4. X ~ N (2,5 ) Y ~ N (1,3 ) 且 X 和Y 相互独立，求 P{ X Y 1}
2 2
概率论
解：
2 1 1, 2 52 32 34
X Y ~ N (1,34)
P{X Y 1} 1 P{X Y 1}
11 X Y 1 11 1 P ) 0.5 1 ( 34 34 34

xe

dx xe
d x
1



0
xde x
xe
x 0
e
0

x
dx 0 e x 0

1

即指数分布的数学期望为参数

的倒数。
概率论
3. 正态分布N(, 2)
X ~ f (x) 1 e 2
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2

a
概率论
练习 设随机变量X的概率密度为
求 解
Y e
e x , x 0 f x 0, x 0
2 X
的数学期望。

E Y

可以得到n天中每天的平均废品数为
n0 n1 n2 n3 0 1 2 3 n n n n
概率论
n0 n1 n2 n3 0 1 2 3 n n n n
这是 当N很大时，频率接近于概率， 以频率为权的加权平均 所以我们在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为
g x f x dx
0
0dx

3 x 0
0
e2 x e x dx
1 3 x e d 3x 3
e dx


0
1 1 3 x e 3 3 0
概率论
四
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
概率论
第一节
数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
课堂练习
小结 布置作业
概率论
一、离散型随机变量的数学期望
1、概念的引入：
我们来看一个引例. 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定 义X的平均值呢？
j i j
练习 Y
已知二维随机变量(X,Y)的分布律为
X 1
0
0.1
0.3
1
0.2
0.1
2
0.1
0.2
求E(X),E(Y).
2
f (2)若(X,Y)为二维连续型随机变量， x, y , f X x , fY y 分别为 (X,Y)的概率密度与边缘概率密度，则
概率论
EX
1 x 3
概率论
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分



xf ( x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X )


x f ( x)dx
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
概率论
0.1 0.8 0.1
试比较他们成绩的好坏。
解：我们先来算 X 和Y 的数学期望，
E ( X ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） E (Y ) 0 0.1 1 0.2 2 0.1 1(分）
概率论
例2 某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能 打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一 把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时 试开次数的数学期望. 1 解 设试开次数为X,
概率论
可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品， 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般 不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不 一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 , (假定小张每天至多出 三件废品)
n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
概率论
例4 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率 密度 1 0va f (v ) a 0 其它
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
X是离散型随机变量，其分布率为：
P(X=k)=1/n, k=1, 2, …, n
于是
1 1 (1 n) n n 1 E(X) k 2 2 n n k 1
n
概率论
常见离散型随机变量分布的期望
1.0-1分布的数学期望
X 1 0 P p 1 p

E(X)=p
2. 二项分布B(n, p)
0 p0 1 p1 2 p2 3 p3
这是 以概率为权的加权平均
这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变 量X 的平均值 .
概率论
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P{X=xk}=pk , k=1,2,…
若级数
x
k
k
pk 绝对收敛，则称级数
x
k
k
( x ) 2 22
, x
( x )2 2 2
E( X )



x e 2

dx
令t
x



t e 2
t2 2
dt ;

练习 例 设随机变量X的概率密度函数为
2 2 2 cos x, x f x 0, 其他