数学人教版九年级下册一次函数和反比例函数的图象与性质(复习课)
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。
本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。
同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。
3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数图象的绘制和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。
六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。
让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。
同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。
操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。
人教版数学中考专题复习——一次函数和反比例函数的综合复习课(共28张PPT)
① y = 3x-1 ② y = 2x2
③ y=
1 x
④
y
=
2x 3
⑤ y = 3x
⑥ y=
1 x
⑦y
=
1 3x
⑧
y
=
3 2x
填一填
1.函数 y 是2 反函比数例，其图象为 ，双其曲中线
x
k= ，自2 变量x的取值范围为 . x≠ 0
2.函数 y 的6 图象位于第 一象、限三,
x
在每一象限内,y的值随x的增大而 减,小 当x＞0时,y ＞0,这部分图象位于第 象一限.
2、一艘轮船和一艘快艇沿
相同路线从甲港到乙港，右 图中两条线段分别表示轮船 与快艇离开出发点的距离与 行驶时间的关系。根据图像 回答下列问题：
（1）轮船比快艇早_0_._5_小时出发， 快艇比轮船早到__1__小时；
（2）快艇追上轮船用_1_/_3_小时，快艇行驶了_4_0__千米； （3）轮船从甲港到乙港行驶的时间是_2_.5_小时。
y
y
y
y
ox k>0
ox k<0
0x k>0
0x k<0
性质
当k>0时，y随x的增大而增大; 在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小;
当k<0时，y随x的增大而减小. 当k<0时，y随x的增大而增大.
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数
y
y
k x
4x(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
人教版初三数学下册一次函数和反比例函数的图象与性质(复习课)
一次函数和反比例函数的图象与性质广州市从化区龙潭中学欧植雄 教学目标：1.复习和巩固一次函数和反比例函数的图象与性质等基础知识。
2.加强一次函数，一次方程和一元一次不等式三者的联系 教学重难点：函数，方程和不等式三者的区别与联系。
教学设计： 一.基础题，我能！ ！(这部分的学习为后面作铺垫，目的是巩固基础知识)1 k 问题1.如图，已知一次函数 yx 与反比例函数 y (k . 0) 2 x 横坐标为4.(1) 求k 的值；(2)根据正比例函数与反比例函数的性质直接写出B 点坐标； (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的 设计意图：本题的设计是为了加强学生对一次函数与一元一次方程 之间联系的理解，题目由学生独立完成，教师结合几何画板进行演示。
通过第(1) (2)问巩固用待定系数法(解关于k,b 的二元一次方程组) 求反比例函数的解析式的通性通法， 第(3)如何读图。
问题2.如图所示，关于 x 的一次函数y = kx • b 的图象经过点 A (2,(1) 求一次函数 y = kx • b 的解析式.(2) 点(-1, m )和点(1, n )在该一次函数的图象上，试比较 m 与n 的大小.设计意图：本题的设计是为了加强学生对一次函数与二元一次方程之间联系的理解，题目由学生独立完成，教师结合几何画板进行演示。
通过第(1)问巩固用待定系数法(解关于 k,b 的二元一次方程组)求一次函数y =kx b 的解析式的通性通法，二.中等题，我就喜欢！ 者联系起来。
) (这部分是本节课的主干内容，希望由浅入深地把函数，方程和不等式三问题3.如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (-4 , -2 )和点Q(2, m (1)求这两个函数的关系式；的图象交于A , B 两点，且点A 的3(2 )根据图象，直接写出当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时自变量设计意图：本题的设计是为了巩固用待定系数法(解关于k,b的二元一次方程组) 求一次函数y二kx b的解析式的通性通法，问题4.观察一次函数y二kx b的图象并根据图象回答：x取什么值时，函数值—3<y：：：0 ?设计意图：本题设计目的是加强对一次函数图象的认识以及通过函数图象得出变量的范围，渗透数形结合的思想。
一次函数与反比例涵数的专题复习
一次函数与反比例函数专题复习第一部分 知识梳理考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分） 1、各象限内点的坐标的特征（1） 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x（2）点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x （3）点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x （4）点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征（1）点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数（2）点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数（3）点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征（1）点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（2）点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征（1）位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征（1）点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 （2）点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 （3）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +考点三、函数及其相关概念 （3~8分） 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
数学人教版九年级下册一次函数与反比例函数的综合复习
y
B
y
P(m,n)
P(m,n) o A x
o A
x
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 则 S矩形 OA AP| m| | n|| k | . S OAP OAPB 2 2 2
考点一:一次函数与反比例函数的图像
例1.已知a<0,则函数y=ax,y=a/x图象大致是 （C ）
（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式 分析：
，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式 和一次函数关系式即可求得待定的系数；
（2）函数的图象没有交点，即无解，用一元二次 方程根的判别式可解．
考点二:一次函数与反比例函数的交点问题：
k 例2.（2013•广安）已知反比例函数y= x （k≠0）和一次函数y=x﹣6．
考点四：一次函数与反比例函数图象所涉及的常 见面积计算问题
例4.（2012•广安）如图，已知双曲线y=k/x和直线y=mx+n交于点 A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=3/2。 （1）求双曲线和直线的解析式；（2）求△AOB的面积。 解： （1）∵点B（2，﹣3）在双曲线上，
考点一:一次函数与反比例函数的图像
变式：函数y=k/x与y=kx+k在同一坐标系内的 图象大致是（ B ）
考点二:一次函数与反比例函数的交点问题：
k 例2.（2013•广安）已知反比例函数y= x （k≠0）和一次函数y=x﹣6．
（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m 和k的值． （2）当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？
例4.（2012•广安）如图，已知双曲线y=k/x和直线y=mx+n交于点 A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=3/2。 （1）求双曲线和直线的解析式；（2）求△AOB的面积。
初中数学人教版九年级下册：第3讲 一次函数与反比例函数复习讲义
一次函数与
反比例函数
第三讲 课 前 测
1．如果直线 =y ax + b 经过第一、二、三象限，那么 ab
0 （填“ > ”、“ < ”、“ = ”）．
2．已知一次函数的图象过点 (0,3) 与 (2,1) ，则这个一次函数 y 随 x 的增大而
．
( ) 3．已知=y m2 + 2m xm2 +m−1 是关于 x 的反比例函数，求 m 的值及函数的解析式．
11
第三讲 课 后 测
1．下列图形中，表示一次函数=y mx + n 与正比例函数 y = mnx （ m 、n 为常数且 mn ≠ 0 ）的图像是下图中 的（ ）
A．
B．
C．
2．函数=y k (k ≠ 0) 的图象如图所示，那么函数 =y kx − k 的图象大致是（ x
D． ）
A．
B．
C．
D．
8
【例 6】(1) 如图，直线=y mx + n 与双曲线 y = k 相交于 A(−1, 2) ， B (2,b) 两点，与 y 轴相交于点 C．
x
①求 m，n 的值； ②若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求 △ABD 的面积.
(2) 如图，直线 =y kx + b 与反比例函数=y k′( x < 0) 的图象相交于点 A 、点 B ，与 x 轴交于点 C ，其
4 交于 A x
( x1
，y1 ) ， B
( x2
，y2 ) 两点，求 x1 y2 − 2x2 y1 的值．
(3) 某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量 y（毫克） 与时间 t （小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于 0.25 毫克时治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
第二十六章 反比例函数(复习课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步备课系列(人教版)
则1 , 2 , 3 的大小关系是（ ）
A．1 < 2 < 3
B． 2 < 3 < 1
C． 1 < 3 < 2
8
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式 = ，得：
8
2 = ，解得1 = 4；
1
8
−1 = ，解得2 = −8；
2
8
4 = ，解得3 = 2；
8
k
x
M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y = 和y = 的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，
x
则k的值为（
A．38
）
B．22
C．﹣7
D．﹣22
【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝− ，
两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
中考真题
4．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y= 的图像交于点A、
1
B，其中点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3
B．
13
4
7
2
C．
D．
15
4
1
1
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y= 的图像上，∴m=(-) • ( -2m)=2，
2）反比例函数也写成y=kx-1或k=xy的形式。
基础巩固（反比例函数的图象与性质）
当k＞0时，反比例函数y = 的图象：
（1）函数图象分别位于第一、三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小。
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
人教版九年级数学下册26.1.2第1课时反比例函数的图象和性质课件
y k(k＞0)的图象上， x
若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.
①当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
，4
4 5
)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 y k ，因为点A(2，6)在其图象上，所
x
以有 6 k ，解得k=12.
2
所以反比例函数的解析式为 y 12 .
x
因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点B，C在
这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.
结论吗？
一般地，当k＞0时，对于反比例函数
y
k x
，由函数图象，并结合解析式，
我们可以发现：
(1)函数图象分别位于第一、第三象限； (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小.
归纳： 反比例函数 y k (k＞0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；
例1 画出反比例函数y 6 与 y 12 的图象.
x
x
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
y
6 x
… －1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数图象和性质课件
在反比例函数中，自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间存在一种倒数关系。 当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。这种关系反映 了反比例函数的基本特性。
函数值域及变化规律
函数值域：反比例函 数的值域为所有非零 实数。当 $k > 0$ 时 ，函数图象位于第一 、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图象位于 第二、四象限。
变化规律
1. 当 $k > 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐增大到正无穷大 （或从负无穷大逐渐 减小到零）。
2. 当 $k < 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐减小到负无穷大 （或从正无穷大逐渐 增大到零）。
不具备单调性。
与一次函数比较
关系
一次函数 $y = ax + b$ (a ≠ 0) 和反比例函数无直接关联。
图象
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条曲线。
性质
一次函数在其定义域内是单调的，而反比例函数在其定义域内不具备单调性。此外，一次 函数的值域为全体实数，而反比例函数的值域为除去使分母为零的点外的全体实数。
3. 在每个象限内，随 着 $x$ 的绝对值增大 ，函数值 $y$ 的绝对 值逐渐减小。
02
反比例函数图象绘制方法
列表法绘制步骤
确定自变量的取值范围，并在此范围 内选取若干个自变量的值。
列出表格，将自变量和对应的函数值 分别填入表格中。
根据反比例函数的解析式，求出与每 个自变量值对应的函数值。
根据表格中的数据，在坐标系中描出 各点，并用平滑的曲线连接各点，即 可得到反比例函数的图象。
第26章反比例函数第2课时反比例函数图像和性质-人教版九年级数学下册讲义
第二十六章反比例函数第2课时反比例函数图像和性质教学目的熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函数的图象。
掌握反比例函数的主要性质教学重点反比例函数的图象的性质的归纳总结与记忆．教学内容知识要点1．用描点法画函数图象的步骤简单地说是___列表___、___描点___、___连线___．2．反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称，也关于y=x和y=-x轴对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质反比例函数)0(≠=kxkyk的符号k>0 k<0 图像y yO xO x性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每一象限内，y随x 的增大而减小。
①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每一象限内，y随x 的增大而增大。
4、k的几何意义①如图，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B．则长方形PAOB的面积为________．总结：矩形面积等于|k|．②如图，点P是反比例函数图象上的一点，PD⊥x轴于D．则△POD的面积为________．5．已知反比例函数5myx-=，其函数图象经过点(2，3)．(1)求m的值；(2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．6．若反比例函数kyx=(k≠0)的图象经过点P(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是( )A．(3，－2) B．(1，－6) C．(－1，6) D．(－1，－6)7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数kyx=(k≠0)的图象大致是( )A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，－3)、B(－4，－5)、C(－3，2)．其中，不可能在反比例函数kyx=(k＜0)的图象上的是________．9．已知反比例函数2myx=的图象经过点(－3，－12)，且双曲线myx=位于第二、四象限，求m的值．10．已知A(m＋2，2)、B(3，3m)是同一个反比例函数图象上的两个点．(1)求m的值；(2)画出这个反比例函数的图象；(3)求△AOB的面积(O为坐标原点)．11．如图，点A(m，6)、B(n，1)在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．(1)求m、n的值，并写出反比例函数的解析式；(2)连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．课后作业1．若反比例函数1kyx-=的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是( )7．已知反比例函数32myx-=，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数m有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个8．已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)在函数5yx=的图象上．当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( )A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜09．在反比例函数kyx=(k＜0)的图象上有两点(－1，y1)、(14-，y2)，则y1－y2的值是( )A．负数B．非正数C．正数D．非负数10．已知反比例函数12myx-=的图象上有A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是________．11．在反比例函数4yx=中，当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是________．22DE CE --．解得x ＝5．∴点E 的坐标为(5，0)word版初中数学11 / 11。
人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
人教版初中数学九年级下册《反比例函数与一次函数》复习教案
《反比例函数与一次函数》复习教案【复习目标】掌握反比例函数与一次函数综合题中常见的题型及解答思路，计算机巧。
熟悉综合题中分类讨论思想、参数思想、数形结合思想。
教学过程：一、例题精讲例．直线x y 23=与双曲线x k y =的交点A 的横坐标为2 (1) 求k 的值(2) 如图，过点P (m ，3)（m ＞0）作x 轴的垂线交双曲线xk y =（x ＞0）于点M ，交直线OA 于点N.① 连接OM ，当OA ＝OM 时，直接写出PN －PM 的值② 试比较PM 与PN 的大小，并证明你的结论变式1：直线OA: y=-2x 与双曲线k y x =的交点A 的横坐标为-2 (1) 求k 的值 (2) 如图，过点P(m ，4)（m<0）作x 轴的垂线交双曲线ky x =（x<0）于点M ，交直线OA 于点N① 连接OM ，当OM ＝OA 时，直接写出M 的坐标.② 试比较PM 与PN 的大小，并证明你的结论.变式2. 直线OA: y=-2x与双曲线kyx=的交点A的横坐标为-2(1) 求k的值(2) 如图，过点P(-2，m)（m＞0）作y轴的垂线交双曲线kyx=（x<0）于点N交直线OA于点M,试比较PM与PN的大小，并证明你的结论.【方法归纳】：二、当堂检测1．如图，一次函数y kx b=+（k≠0）的图象与反比例函数myx=（m≠0）的图象交于A(－3，1)、B(1，n)两点(1) 求反比例函数和一次函数的解析式(2) 点H为反比例函数第二象限内的一点，过点H作y轴的平行线交直线AB于点G．若HG＝2，求此时H的坐标2. 已知点A （1，c ）和点B （3，d ）是直线1y k x b =+与双曲线2k y x=（2k ＞0）的交点．（1）过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ．若AM=BM ，求点B 的坐标．（2）若点P 在线段AB 上，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，并交双曲线2k y x=（2k ＞0）于点N ．当PN NE 取最大值时，有PN=12，求此时双曲线的解析式．三、课堂小结通过本节课的学习，谈谈你的收获？四、课后作业1．如图，直线1y ax b =+与反比例函数2k y x=相交于A 、B ，与y 轴，x 轴分别交于C 、D ，若A(1，4)、D(5，0)（1） ① 求1y 、2y 的解析式② 若2y ＞1y ≥0，直接写出x 的取值范围 （2）过A 作AE ⊥y 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F ，直线AE 与直线BF 相交于G ，求证：△AGB ∽△EGF（3）H 为射线CD 上一动点（不与A 、B 重合），过H 作HM ⊥EG 于M ，直线HM 交2y 于N ，求MH MN的取值范围2.如图，已知一次函数23y x =-+的图象与 x 轴交于点 A ，与反比例函数y= -5/x 的图象交于 B 、C 两点，点 P 是线段 AB 上的一个动点.(1)当 x 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值；(2)过点 P 作x 轴的平行线与反比例函数y= -5/x 的图象相交于点 D.求△PAD 的面积的最大值；(3)在反比例函数y= -5/x 的图象上找点 E ，使∠BCE 为直角，直接写出点E 的坐标.。
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一次函数和反比例函数的图象与性质
广州市从化区龙潭中学 欧植雄
教学目标：1.复习和巩固一次函数和反比例函数的图象与性质等基础知识。
2.加强一次函数，一次方程和一元一次不等式三者的联系 教学重难点：函数，方程和不等式三者的区别与联系。
教学设计：
的取值范围． 设计意图：本题的设计是为了加强学生对一次函数与一元一次方程 之间联系的理解，题目由学生独立完成，教师结合几何画板进行演示。
通过第（1）（2）问巩固用待定系数法（解关于b k ,的二元一次方程组）
求反比例函数的解析式的通性通法， 第（3）如何读图。
问题2.如图所示，关于x 的一次函数b kx y +=的图象经过点A （2，1-），B （3，3-），
（1）求一次函数b
kx y +=的解析式.
（2）点（–1，m ）和点（1, n ）在该一次 函数的图象上，试比较m 与n 的大小.
设计意图：本题的设计是为了加强学生对一次函数与二元一次方程
通过第（1）问巩固用待定系数法（解关于b k ,的二元一次方程组） 求一次函数b kx y +=的解析式的通性通法，
二.中等题，我就喜欢！（这部分是本节课的主干内容，希望由浅入深地把函数，方程和不等式三者联系起来。
）
问题3.如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点P （-4，-2）和点Q （2，m ） （1）求这两个函数的关系式；
（2）根据图象，直接写出当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时自变量x 的取值范围． 设计意图：本题的设计是为了巩固用待定系数法（解关于b k ,的二元一次方程组） 求一次函数b kx y +=的解析式的通性通法，
问题4.观察一次函数b kx y +=的图象并根据图象回答：
x 取什么值时，函数值－3<y 0<？
设计意图：本题设计目的是加强对一次函数图象的认识以及通过函数图象 得出变量的范围，渗透数形结合的思想。
希望学生通过观察一次函数的图 象得出变量的范围，可能会有个别学生通过解不等式求变量的范围， 如果这样的话更好，老师可以让学生对照和评价两种方法的优劣。
三.问题的取值范围。
问题6.如图，一条直线分别交x 轴、y 轴于Ａ、Ｂ两点，交反比例函数y ＝
m
x
（m ≠０）位于第二象
限的一支于Ｃ点，ＯＡ＝ＯＢ＝２． （１）m ＝ ；
（２）求直线所对应的一次函数的解析式；
（３）根据图象，直接写出当一次函数的函数值大于 反比例函数的函数值时自变量x 的取值范围
问题7.如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3），反比例函数x
k
y =
)0(≠k 的图象经过点C ． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P 是反比例函数图象上的一点，△PAD 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标．
四、小结
x
y
O
A
B
C
－2
4。