高考数学专题8第32练
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高中数学学习材料
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第32练函数的极值与最值
题型一函数极值与极值点的判断、求解问题
例1(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
破题切入点对函数f(x)求导之后，将k＝1,2分别代入讨论．
答案 C
解析当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0.
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)
显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，
x在1的右边附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
题型二根据函数的极值来研究函数图象问题
例2已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于()
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
破题切入点结合函数的极值点，作出函数大致图象来解决．
答案 A
解析∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.
则当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
y ′ ＋ － ＋ y
c ＋2
c －2
∴当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c ＋2＝0或c －2＝0，∴c ＝－2或c ＝2. 题型三 函数的极值问题
例3 已知函数f (x )＝mx
x 2＋n (m ，n ∈R )在x ＝1处取得极值2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设函数g (x )＝ln x ＋a x ，若对任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[1，e]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋7
2，求实
数a 的取值范围．
破题切入点 (1)对函数进行求导，结合题中条件列出方程组，解出参数的值(需验证)，即可得到函数的解析式．
(2)利用导数讨论函数g (x )的最小值，通过求解不等式得出实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn
(x 2＋n )2
，
由于f (x )在x ＝1处取得极值2，故f ′(1)＝0，f (1)＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧
mn －m
(1＋n )2
＝0，m 1＋n ＝2，
解得m ＝4，n ＝1，经检验，此时f (x )在x ＝1处取得极值． 故f (x )＝4x x 2＋1
.
(2)由(1)知f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数，f (0)＝0.
当x >0时，f (x )>0，f (x )＝4
x ＋1x ≤2，
当且仅当x ＝1时取“＝”． 当x <0时，f (x )<0，f (x )＝4
x ＋1x ≥－2，
当且仅当x ＝－1时取“＝”．
故f (x )的值域为[－2,2]，从而f (x 1)＋72≥3
2
.
依题意有g (x )min ≤3
2，x ∈[1，e]，
g ′(x )＝1x －a x 2＝x －a
x
2，
①当a ≤1时，g ′(x )≥0，函数g (x )在[1，e]上单调递增， 其最小值为g (1)＝a ≤1<3
2，符合题意；