数字信号处理 第三章
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j
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
X re (e j )
jX im (e j )
X (e j ) X * (e j ) X re (e j ) X re (e j )
1 x l 2 n
sin n l 1 n l 其中， n l n l 0 n l
9/29
与连续时间傅立叶变换的关系
1 +¥ x (t ) = X (W)e jWt d W ò 2 p -¥ Assume limited bandwidth 1 x (t0 ) |t =nT = 0 2p
g[n] h[n]
g[n n0 ]
e jn0 G(e j )
G(e j ( 0 ) )
j dG (e j ) d
e j n g[n]
0
ng[n] g[n] h[n] g[n]h[n]
1 2
G(e j ) H (e j )
G (e j )H (e j ( ) )d
g[n]h*[n]
1 2
G(e j ) H * (e j )d
15/29
Table 3.3 复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
x[n]
X (e j )
X (e j )
x * [ n]
Re{ x[n]} j Im{ x[n]}
g
n
gn
2
1 2
j
Ge d
j 2
j 2
S gg e
Ge
l
S gg e
r
j
j l [ l ] e gg
S gh e
r
j l
j l [ l ] e gh
18/29
j
hLP n能量为 （
c ，但不绝对可加
hLP n
2
n
1 2
H LP e j
d 21 d ）
2 c
c
12/29
c
3、非绝对可加或均方可加信号的DTFT 阶跃序列：u n 1 n0 0 n 0
3、X e j 为的连续函数，且为周期函数，周期为2
证明： X e
j 1 2 k
n
x n e
j 1 2 k n
n
x n e j1n e j 2 kn x n e j1n
n
xod [n]
对称关系
X im (e j ) X im (e j )
X (e j ) || X (e j ) |
arg{X (e j )} arg{X (e j )}
注:xev [n]和 xod [n] 分别代表着x[n] 的偶部和奇部
17/29
3.1.5 能量密度谱
j n l e j n l e j n l j n l sin n l x l x l n l x n n l n n
X (e j ) 为复数，可以表示为: X (e j ) X re (e j ) X im (e j ) X (e j ) e 其中 arg X (e j ) X (e j )：傅立叶频谱（Fourier spectrum） X (e j ) ：幅度函数（magnitude function）或幅度谱（magnitude spectrum）
4/29
+¥
ù 1.d é ën û
d e jw =
ù ( ) å dé ën û e
n=-¥
¥
- jw n
=1
ù = a n u én ù a < 1 2.x é n ë û ë û
X e
( )
jw
ù = å a ué ën û e
n n=-¥
¥
- jw n
= åa e
n=0
¥
n - jw n
DTFT
k
2
1
2k
DTFT nun， 1
13/29
1 e j
3.1.3 带限信号（Bandlimited Signals)
频谱只占0 中一部分的信号 例：低通信号 0 p （带宽（band width ）为 p） 带通信号 0 L H （带宽为 H L）
b (e ) = 2p å d (w + 2k p ) + 1
jw k =-¥
U (e ) = p å d (w + 2k p ) +
jw k =-¥
6/29
+¥
1 1 - e - jw
傅立叶频谱的性质：
1.
X re e j X e j cos
j 2 re j 2
X e X e
正弦序列：xn A cos 0n 指数序列：xn A n
常用DTFT对
DTFT n 1
1 un
DTFT
DTFT
k
2 2k
1
j
1 e
k
2k
X im e j X e j sin
tan
X im e
j
2
X im e j X re
j
e
2.
对实序列，有
X e j ，X re e j 为的偶函数
，X im
e 为的奇函数
j
7/29
1/29
主要内容：
傅立叶变换 －离散时间傅立叶变换 （Discrete-Time Fourier Transform，DTFT） （定义、收敛条件、性质） 连续信号的采样 －采样定理
2/29
3.1 离散时间傅立叶变换
3.1.1 定义
X (e )
j
n
x[n]e
j n
3.1.4 DTFT的性质
1. 一般性质 2. 复序列的对称性 3. 实序列的对称性
14/29
Table 3.2 序列的离散时间傅立叶变换的基本性质 性质 序列
g[ n]
离散时间傅立叶变换
G(e j )
h[n]
H (e j )
G[e j ] H[e j ]
线性 时移 频移 频率微分 卷积 相乘 帕斯瓦尔公式
w = WT , T = 1
k =-¥
- jWt x ( k ) d ( t k ) e dt å +¥
+¥
= =
k =-¥ +¥
å x(k ) ò å x ( k )e
+¥
d (t - k )e - jWt dt -¥
- jWk
k =-¥
X (w ) =
k =-¥
- jw k x ( k ) e å
3.1.6 使用Matlab计算DTFT
k=input(‘频率点数量=’); subplot(2,2,3) num=input(‘分子系数=’); plot(w/pi,abs(h));grid; den=input(‘分母系数=’); title(‘幅度谱’); w=0:pi/(k-1):pi; xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘幅度’); h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,4) subplot(2,2,1) plot(w/pi,imag(h));grid; plot(w/pi,real(h));grid; title(‘相位谱’); title(‘实部’); xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘相位，弧 xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’); 度’); subplot(2,2,2) plot(w/pi,imag(h));grid; 频率点数量=256 title(‘虚部’); 分子系数=[0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008] xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’); 分母系数=[1 2.37 2.7 1.6 0.41]
dw = Td W Ws = 2Wm 2p p T= = W s Wm (3.75a )
ò
+ Wm -Wm
X (W)e
jWnT
dW
1 +p 1 x (t0 ) |t =nT = X (W)e jwn d w ò 0 2p - p T 1 +p jw jw n = X ( e ) e dw ò p 2p
X e j1
8/29
傅立叶反变换（Inverse Discrete-Time FourierTransform,IDTFT）：
1 x n 2
证明： x n
X e j e j n d
jl j n x l e e d n 1 j n l x l e d 2 n 1 2
n=0
¥
(
- jw
)
n
=
1 1 - a e - jw
5/29
U (e jw ) = b (e jw ) +
构造如下函数
1 1 - e - jw
u[n] + u[-n] = 1 + d[n] 两边取傅立叶变换 U (e ) + U (e ) = 2p å d (w + 2k p ) + 1
jw - jw k =-¥ +¥ 1 1 2b (e jw ) + + = 2p å d (w + 2k p ) + 1 - jw jw 1- e 1- e k =-¥ +¥ +¥
K j n n K j K K j
如果
n
xn ，则X K e j 一致收敛，即xn 的DTFT存在 X e j
xne
n
jn
n
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xn
2、均方收敛（mean square convergence） （绝对可加序列具有有限能量，但有限能量序列不一定绝对可加）
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
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与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
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K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
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3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
X re (e j )
jX im (e j )
X (e j ) X * (e j ) X re (e j ) X re (e j )
1 x l 2 n
sin n l 1 n l 其中， n l n l 0 n l
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与连续时间傅立叶变换的关系
1 +¥ x (t ) = X (W)e jWt d W ò 2 p -¥ Assume limited bandwidth 1 x (t0 ) |t =nT = 0 2p
g[n] h[n]
g[n n0 ]
e jn0 G(e j )
G(e j ( 0 ) )
j dG (e j ) d
e j n g[n]
0
ng[n] g[n] h[n] g[n]h[n]
1 2
G(e j ) H (e j )
G (e j )H (e j ( ) )d
g[n]h*[n]
1 2
G(e j ) H * (e j )d
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Table 3.3 复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
x[n]
X (e j )
X (e j )
x * [ n]
Re{ x[n]} j Im{ x[n]}
g
n
gn
2
1 2
j
Ge d
j 2
j 2
S gg e
Ge
l
S gg e
r
j
j l [ l ] e gg
S gh e
r
j l
j l [ l ] e gh
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j
hLP n能量为 （
c ，但不绝对可加
hLP n
2
n
1 2
H LP e j
d 21 d ）
2 c
c
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c
3、非绝对可加或均方可加信号的DTFT 阶跃序列：u n 1 n0 0 n 0
3、X e j 为的连续函数，且为周期函数，周期为2
证明： X e
j 1 2 k
n
x n e
j 1 2 k n
n
x n e j1n e j 2 kn x n e j1n
n
xod [n]
对称关系
X im (e j ) X im (e j )
X (e j ) || X (e j ) |
arg{X (e j )} arg{X (e j )}
注:xev [n]和 xod [n] 分别代表着x[n] 的偶部和奇部
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3.1.5 能量密度谱
j n l e j n l e j n l j n l sin n l x l x l n l x n n l n n
X (e j ) 为复数，可以表示为: X (e j ) X re (e j ) X im (e j ) X (e j ) e 其中 arg X (e j ) X (e j )：傅立叶频谱（Fourier spectrum） X (e j ) ：幅度函数（magnitude function）或幅度谱（magnitude spectrum）
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+¥
ù 1.d é ën û
d e jw =
ù ( ) å dé ën û e
n=-¥
¥
- jw n
=1
ù = a n u én ù a < 1 2.x é n ë û ë û
X e
( )
jw
ù = å a ué ën û e
n n=-¥
¥
- jw n
= åa e
n=0
¥
n - jw n
DTFT
k
2
1
2k
DTFT nun， 1
13/29
1 e j
3.1.3 带限信号（Bandlimited Signals)
频谱只占0 中一部分的信号 例：低通信号 0 p （带宽（band width ）为 p） 带通信号 0 L H （带宽为 H L）
b (e ) = 2p å d (w + 2k p ) + 1
jw k =-¥
U (e ) = p å d (w + 2k p ) +
jw k =-¥
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+¥
1 1 - e - jw
傅立叶频谱的性质：
1.
X re e j X e j cos
j 2 re j 2
X e X e
正弦序列：xn A cos 0n 指数序列：xn A n
常用DTFT对
DTFT n 1
1 un
DTFT
DTFT
k
2 2k
1
j
1 e
k
2k
X im e j X e j sin
tan
X im e
j
2
X im e j X re
j
e
2.
对实序列，有
X e j ，X re e j 为的偶函数
，X im
e 为的奇函数
j
7/29
1/29
主要内容：
傅立叶变换 －离散时间傅立叶变换 （Discrete-Time Fourier Transform，DTFT） （定义、收敛条件、性质） 连续信号的采样 －采样定理
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3.1 离散时间傅立叶变换
3.1.1 定义
X (e )
j
n
x[n]e
j n
3.1.4 DTFT的性质
1. 一般性质 2. 复序列的对称性 3. 实序列的对称性
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Table 3.2 序列的离散时间傅立叶变换的基本性质 性质 序列
g[ n]
离散时间傅立叶变换
G(e j )
h[n]
H (e j )
G[e j ] H[e j ]
线性 时移 频移 频率微分 卷积 相乘 帕斯瓦尔公式
w = WT , T = 1
k =-¥
- jWt x ( k ) d ( t k ) e dt å +¥
+¥
= =
k =-¥ +¥
å x(k ) ò å x ( k )e
+¥
d (t - k )e - jWt dt -¥
- jWk
k =-¥
X (w ) =
k =-¥
- jw k x ( k ) e å
3.1.6 使用Matlab计算DTFT
k=input(‘频率点数量=’); subplot(2,2,3) num=input(‘分子系数=’); plot(w/pi,abs(h));grid; den=input(‘分母系数=’); title(‘幅度谱’); w=0:pi/(k-1):pi; xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘幅度’); h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,4) subplot(2,2,1) plot(w/pi,imag(h));grid; plot(w/pi,real(h));grid; title(‘相位谱’); title(‘实部’); xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘相位，弧 xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’); 度’); subplot(2,2,2) plot(w/pi,imag(h));grid; 频率点数量=256 title(‘虚部’); 分子系数=[0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008] xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’); 分母系数=[1 2.37 2.7 1.6 0.41]
dw = Td W Ws = 2Wm 2p p T= = W s Wm (3.75a )
ò
+ Wm -Wm
X (W)e
jWnT
dW
1 +p 1 x (t0 ) |t =nT = X (W)e jwn d w ò 0 2p - p T 1 +p jw jw n = X ( e ) e dw ò p 2p
X e j1
8/29
傅立叶反变换（Inverse Discrete-Time FourierTransform,IDTFT）：
1 x n 2
证明： x n
X e j e j n d
jl j n x l e e d n 1 j n l x l e d 2 n 1 2
n=0
¥
(
- jw
)
n
=
1 1 - a e - jw
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U (e jw ) = b (e jw ) +
构造如下函数
1 1 - e - jw
u[n] + u[-n] = 1 + d[n] 两边取傅立叶变换 U (e ) + U (e ) = 2p å d (w + 2k p ) + 1
jw - jw k =-¥ +¥ 1 1 2b (e jw ) + + = 2p å d (w + 2k p ) + 1 - jw jw 1- e 1- e k =-¥ +¥ +¥
K j n n K j K K j
如果
n
xn ，则X K e j 一致收敛，即xn 的DTFT存在 X e j
xne
n
jn
n
11/29
xn
2、均方收敛（mean square convergence） （绝对可加序列具有有限能量，但有限能量序列不一定绝对可加）