3.1.4 空间向量的坐标表示
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示含答案解析
3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标． (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57][例1] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点． ∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)． 又∵DF ＝e 2， ∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB .又|1OO |＝4，|OA |＝4，|OB |＝2， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA .又|OB |＝2，|OA |＝4，|1AA |＝4， ∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标． 解：由已知p ＝2a ＋3b －c ， 设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c ) ＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c . 由向量分解的惟一性， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).[例2] 已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)， 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似． [精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)． a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． 3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)． 求：(1)a －(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)． (2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP ＝2(AB －AC )； (2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝CB ＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)， ∴OP ＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)， ∴AB －DC ＝(9,8，－3)， ∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2).[例3] 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥CD 且AD 不平行BC ，或证AB ∥CD 且|AB |≠|CD |即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与CD 共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行． ∴四边形ABCD 为梯形． [一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是： (1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)写出相应向量的坐标； (3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值． 解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2) ＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k －7，∴k ＝－13.7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)． ∵P A ＝2P A 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23＝RS .∴PQ ∥RS . ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ， 故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________. 解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)， 又∵a ∥b ，显然y ≠0， ∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32.答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73)6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．所以可设AD ＝e 1，解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz . 因为DC ＝AB ＝e 2，MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3.所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使： (1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)． 由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12.此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
课件2：3.1.4空间向量的直角坐标运算
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小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d⇔c ＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
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跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(－3,7，－5)，则顶点 D 的坐标为
(D )
A．72，4，－1
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
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例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a ＝A→B，b＝A→C.若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8， 即 2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或 k＝2.
＝(2,1,2)－λ(1,1,2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
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则Q→A·Q→B＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10， ∴当 λ＝43时，Q→A·Q→B取得最小值． 又O→Q＝λO→P＝43(1,1,2)＝43，43，83. 所以，所求点 Q 的坐标为43，43，83.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4 空间向量的坐标表示
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， rj， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a ，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
rrr r
（x,y,z ），使 a＝ xi＋ yj＋ zk. r 有序实数组（x,y,z ）叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记 作 ： a ＝ (x ， y ， z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A（x，y，z ），向 量 O A 坐 标 为 O A ＝ ( x ， y ， z ) ．
3．空间向量的坐标运算法则．
r
r
（1r ）若ra ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，
则 a ＋ b ＝ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ，
rr 解： a＋b＝(4， 7， 4) ，
rr a－b＝(－2， －13， 12) ，
r 3a＝(3， －9， 24)
例2 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0， 10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．
uuur uuur uuur
解： AB＝OB－ OA＝(4， －8， 2) ，
rr a － b ＝ ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ，
r a ＝ (a 1 ， a 2 ， a 3 ) (∈ R ) ，
r r
a b a 1 ＝ b 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 3 ＝ b 3 ( ∈ R ) ，
数学应用
已知 a r ＝ ( 1 ， － 3 ， 8 ) ， b r ＝ ( 3 ， 1 0 ， － 4 ) ， 求 a r＋ b r， a r＋ b r， 3 a r．
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 隐含着它们都不是 0 。
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
（3）一个基底是指一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关连的不同概念。
新知探究：空间向量的正交分解
二、空间向量的正交分解 特殊的： i, j, k两两垂直时 OP OQ zk. OQ xi y j.
定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
给定一个空间坐标系和向量
p ,且设
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
有序数组( x, y, z)叫做 p 在空间直角坐标
系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
p xe1 ye2 ze3
x 其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
新探究：空间向量运算的坐标表示
三、向量的夹角的坐标表示
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
F1 E1 B1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y 3 C O 1 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 15 x 1 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
学案10：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．学习重点：空间向量基本定理的应用．学习难点：应用空间向量基本定理解决问题．要点整合细读课本知识点一空间向量基本定理[填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c．结论：对空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝x a＋y b＋z c.2．基底：空间中任何的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c都叫做基向量．[答一答]1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？2．空间的基底唯一吗？3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底：有公共起点O的三个的单位向量e1，e2，e3称为．2．空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p ，一定可以把它 ，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为 ．[答一答]4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？5．向量可以平移，向量p 在坐标系中的坐标唯一吗？特别关注1．空间向量基本定理注意点空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．我们在用选定的基向量表示指定的向量时．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．2．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？通法提炼判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 针对训练1已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c类型二 用基底表示向量例2 如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .通法提炼在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确如夹角或线段长度的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题. 针对训练2已知平行六面体OABC O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线交点，则( ) A.O ′D →＝－a ＋b ＋c B.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c类型三 求向量的坐标例3 如图所示，已知点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且P A ＝AD ，求向量MN →的坐标．通法提炼用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标. 针对训练3在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝1，CC 1＝2，M 为A 1B 1的中点．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB 1→的坐标为 ，MB →的坐标为(－12，12，－2)．课堂达标1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2bD ．a ＋2c3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是 ． 【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)．4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值是 . 5．如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.参考答案要点整合 细读课本知识点一 空间向量基本定理[填一填]1．不共面 {x ，y ，z }2．不共面[答一答]1．提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．2．提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底． 3．提示：平移向量a ，b ，c ，p 使它们共起点，如图所示，以p 为体对角线，在a ，b ，c 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p 在a ，b ，c 方向上的分解是唯一的，即x ，y ，z 是唯一的．知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．两两垂直 单位正交基底 3．平移 x ，y ，z (x ，y ，z )[答一答]4．提示：xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z )．另外还要注意向量OP →的坐标与点P 的坐标相同．5．提示：唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 解：假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 针对训练1 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 不共面，易知a,2b ，b －c 不共面．故应选C. 类型二 用基底表示向量例2 (1)证明：∵AC 1→＝AE →＋EC 1→，又EC 1→＝EB 1→＋B 1C 1→＝23BB 1→＋B 1C 1→＝23AA 1→＋AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋23DD 1→＝AD →＋23AA 1→，∴EC 1→＝AF →，∴AC 1→＝AE →＋AF →，∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.针对训练2 【答案】D【解析】O ′D →＝O ′O →＋OD →＝O ′O →＋12OA →＋12OC →＝－b ＋12a ＋12c .类型三 求向量的坐标例3 解：设正方形的边长为a ，∵P A ＝AD ＝AB ， 且P A ，AD ，AB 两两互相垂直，故可设DA →＝a i ，AB →＝a j ，AP →＝a k .以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．方法一：∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(AD →＋AB →－AP →)＝－12a j ＋a k ＋12(－a i ＋a j －a k )＝－12a i ＋12a k ，∴MN →＝(－12a,0，12a )．方法二：∵P (0,0，a )，C (－a ，a,0)， ∴N 点的坐标为(－12a ，12a ，12a )．∵M 点的坐标为(0，12a,0)，∴MN →＝(－12a,0，12a )．针对训练3 【答案】(－1,1,2)【解析】A (1,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，M (12，12，2)，AB 1→＝CB 1→－CA →＝(－1,1,2)，MB →＝(－12，12，－2). 课堂达标1．【答案】B【解析】当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量． 2．【答案】D【解析】能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝3p －q 2，∴A 、B 、C 都不合题意，由于{a ，b ，c }构成基底，∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 3．【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)． 4．【答案】3【解析】如图，G 为△ABC 重心，E 为AB 中点，∴OE →＝12(OA →＋OB →)，CG →＝23CE →＝23(OE →－OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋23(OE →－OC →)＝13(OA →＋OB →＋OC →)，∴λ＝3.5．解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .。
3.1.4空间向量运算的坐标表示
13
练习 2: 0, ⑴已知 A( 2, 3),B( 2,1, 6), C (1, 1, 5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a = ( x , 2,1) , b = ( 3, x , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角, 钝角,则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2
记为 a = ( a1 , a2 , a3 ) .
4
在空间直角坐标系O 对空间任一点A, 在空间直角坐标系 – x y z 中,对空间任一点 对应一个向量 O A ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 于是存在唯一的有序实数组 如图). 使 OA = xi + y j + zk (如图 如图 我们说,点 的坐标为 的坐标为(x,y,z),记作 记作A(x,y,z),其中 叫 我们说 点A的坐标为 记作 ,其中x叫 叫做点A的纵坐标,z叫做点 叫做点A的竖坐标. 做点A的横坐标,y叫做点 做点 的横坐标 叫做点 的纵坐标 叫做点 的竖坐标 显然, 的坐标,就是点A在此空间直角 显然 向量 OA 的坐标,就是点 在此空间直角 z 坐标系中的坐标(x,y,z). 坐标系中的坐标
λa
= (λ a1 , λ a2 , λ a3 )(λ ∈ R) a b = a1b1 + a2 b2 + a3 b3
a1 = λb1,a2 = λb2,a3 = λb3(λ∈R)
6
a // b
a ⊥ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.(a, b都不是零向量)
练习1:已知 练习1:已知 a 1:
7
如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 如果知道有向线段的起点和终点的坐标 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 那么有向线段表示的向量坐标怎样求 结论: 结论:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) =(
17-18版：3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示
引申探究 本例中，若以{D→A，D→C，—D— D′→}为基底，试写出A→E，A→G，E→F的坐标.
解答
A→E＝A→D＋D→E＝－D→A＋12D—D→′＝(－1,0，21)， A→G＝A→B＋B→G＝D→C－12D→A＝－12D→A＋D→C＝(－12，1,0)， E→F＝12D→C＋12—DD—′→＝(0，21，21).
命题角度2 空间向量基本定理的应用
例 2 在空间四边形 OABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 G，H 分别是
△ABC，△OBC
→
→
→
的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量
a，b，c
→→ 表示向量OG和GH.
解答
引申探究
若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件
3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示
学习目标
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题. 2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量基本定理
→→→ (2)是否存在实数 x，y，使得AC＝xAB＋yBC成立，若存在，求 x，y 的值；
若不存在，请说明理由. 解答 假设存在x，y∈R满足条件，由已知可得 B→C＝(－2，－1,2). 由题意得(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，
跟踪训练1 以下四个命题中正确的是_②__③__. 答案 解析 ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
3.1.4坐标表示
a b a1b1 a2b2 , 2 2 | a | a1 a2
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
AB ( x2 x1 )2 y2 y1 2
2
1、空间向量的直角坐标运算律：
则:
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
空间向量的坐标表示
2008-12-9
1、空间向量基本定理：
如果三个向量 a、 b、 c不共面，那么对空间任一 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得 向量 p ，
p xa yb zc
a
P
c
p
b
A'
c o Aa
C
p
bB
P’
B'
OP OA' OB' P' P xOA yOB zOC
| a | 2 (3) 5 38 8a 8 (2, 3,5) (16, 24, 40)
2 2 2
a b (2, 3,5) (3,1, 4)
2 (3) (3) 1 5 (4) 29
1、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k
所以 a b (a1i a2 j a3 k ) (b 1 i b2 j b 3k) 利用向量数量积的分配律及
i i j j k k 1, i j j k k i o
得到：
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： (1)观察图形：充分观察图形特征； (2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标 系； (3)进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计 算； (4)确定结果：将所求向量用已知的基向量表示 出来．
例2 如图所示， PA 垂直于正方形
ABCD 所在的平面， N 分别是 AB、 M、 PC 的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立 → 适当的空间直角坐标系， 求向量MN的 坐标．
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是
否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法
结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助
进行判断．
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b,b
＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 【思路点拨】 假设不能作为一个基底，看是否
存在一对实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
→ → → → ∵MN＝MA＋AP＋PN 1→ → 1→ ＝－ AB＋AP＋ PC 2 2 1→ → 1 → → ＝－ AB＋AP＋ (PA＋AC) 2 2 1→ → 1 → → → ＝－ AB＋AP＋ (PA＋AB＋AD) 2 2 1 → 1→ 1 1 ＝ AD＋ AP＝ e2＋ e3， 2 2 2 2 1 1 → ∴MN＝(0， ， )． 2 2
互动探究
若本例条件不变，试判断向量a＋b，
a－b，c能否作为空间的一个基底． 解：假设a＋b，a－b，c共面，
则存在实数x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即c＝(x＋y)a＋(x－y)b， 从而由共面向量知c与a，b共面， 这与a，b，c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面，
即可以作为空间的一个基底．
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
k j i O
p
P
x
P(x,y,z) e3 e1 O e2 y
练：请说出 e1 , e2 , e3
在空间直角坐标系下的坐标
例1
M OABC的 边 例 2. 如 图 ， ，N分 别 是 四 面 体 OA，BC的 中 点 ， ，Q是MN的 三 等 分用 向 P . 量OA OB， 表 示OP和OQ. ， OC
O 1 2 解:OP OM MP OA MN 2 3 1 2 M OA (ON OM ) 2 3 Q 1 2 1 OA (OB OC ) A 6 3 2 P 1 1 1 N OA OB OC
6 3 3
C
B
M OABC的 边 例 2.如 图 ， ，N分 别 是 四 面 体 OA，BC的 中 点 ， ，Q是MN的 三 等 分用 向 P . 量OA OB， 表 示OP和OQ. ， OC
1 1 1 OA (ON OA) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2 1 1 1 OA OB OC 3 6 6 1 1 1 1 解:OQ OM MQ OA MN OA (ON OM）
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
和县二中：鲍书斋
问题
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O， 设AB=a, AD=b,利用a, b表示AC, OC, OB
3.1.4空间向量的坐标表示
这就是说，当空间向量a的 zk 起点移至坐标原点时，其终点的 k 坐标就是向量a的坐标．
yj
O j
xi i
x
y
复习：平面向量的坐标运算
设
a // b a1b2 a2b1 0 a b(a 0) a1b1 a2b2 0.
a b (a1 b1, a2 b2 ) a b (a1 b1, a2 b2 ) a (a1, a2 )( R) a b a1b1 a2b2
向量的终点的坐标减去起点的坐标.
例1:已知 a (1,3,8), b (3,10,4),
求
a b , a b ,3a.
例2 已知空间四点A（ 2，1 3， ），B（2， 5， 3）， C（ ，10）和D（8， 9）， 10 0， 4， 求证：四边形ABCD是梯形。
空间向量平行的坐标表示为
a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3( R)
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
空间直角坐标系 O xyz，
x
给定一个空间直角坐标系和向量 a ， 且设 i 、 j 、k 为坐标向量，
由空间向量基本定理， 存在唯一a a1i a2 j a3k
有序数组 (a1 , a2 , a3 ) 叫做 a 在
空间直角坐标系 O xyz 中的坐标 .
z
a
记作 a (a1 , a2 , a3 )
a3 k
k
第3章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
第7页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分 别是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求向量M→N、D→C
的坐标． 解 如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，
且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，所以可 设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3， 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c_不___共__面__，那么对于空间 任一向量 p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝ __x_a_＋__y_b_＋__z_c_. 其中_{_a_，__b_，__c_}_叫做空间的一个基底，__a_，__b_，__c__都叫 做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)，
∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， ∴A→1B＝(－4,2，－4)．
作业 练习册3.1.4
晚自习下课前，科代表完成检查登记
跟踪训练 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a：①{a，b，x}，②{x，
y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为
空间的基底的向量组有
( C)
A．1 个 B．2 个
原创1：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
跟踪训练
设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：
①Ԧx⊥a；②|Ԧx|＝10；③Ԧx在yOz平面上．
解：由③知，可设Ԧx=(0,y,z)
由①知，-2y+4z=0
由②知，y2+z2=100
解得：y=4 5，z=2 5
或y=−4 5，z=−2 5
∴Ԧx=(0，4 5， 2 5)或Ԧx=(0，−4 5， −2 5).
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
则a＋b＝_______________________，
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a－b＝_______________________，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b＝___________________，
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量a，由空间向量分解定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得a= xԦi + Ԧj +zkԦ
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
记作a=(x，y，z).
Ԧi
x
kԦ
a
O
Ԧj
y
知识点二：空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)，
解：由已知， a ∙ < 0
即6m-6<0
解得：m＜1
又显然a与b不共线
∴m的取值范围是(-∞，1)
归纳小结
1．注意正确写出各点的坐标，利用坐标运算可解决许多
以前的复杂问题．
2．数量积及夹角公式也是计算立体角相关题的有力工具，但要记
住角的范围，避免错误．
3．有关平行与垂直及共面、共线的结论应用广泛一定要掌握好！
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j kr r r作为基向量，对于空间任一向量a r，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++r r r r ；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a r 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a r＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA u u u r是确定的，容易得到OA =u u u rxi y j zk ++r r r 。
因此，向量OA u u u r 的坐标为OA =u u u r （x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a +b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
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3.1.4 空间向量的坐标表示
姜堰市蒋垛中学 孟进
教学目标：
1．能用坐标表示空间向量的坐标运算； 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行． 教学重点：
根据向量的坐标判断两个空间向量平行． 教学难点：
空间向量的坐标运算． 教学方法：
新授课、启发式――引导发现、合作探究． 教学过程：
一、问题情境
在“平面解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．那么，
1．如何用坐标表示空间向量？ 2．怎样进行空间向量的坐标运算？ 二、学生活动
1．复习平面向量的坐标表示，
2．类比思考得出空间向量的坐标表示． 三、建构数学
1．平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i
、j 作为基底，任作一个向
量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得j y i x a
+=，
把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =
．
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a
在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，
)1,0(=j
，)0,0(0= ．
2．空间向量的坐标表示．
如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的
单位向量 , i j k ,作为基向量，对于空间任意一个向量a
，根据空间向量基本定
理，存在惟一的有序实数组（x ，y ，z ），使+z .a xi y j k =+
有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a
在空间直角坐标系O - xyz 中的坐标，
记作： =(,, )a x y z
．
在空间直角坐标系O -xyz 中，对于空间任意一点
A （x ，y ，z ），向量OA
是确定的，
.OA xi y j zk =++
因此，向量OA 坐标为(,, )OA x y z =
．
当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a
的坐标． 3．空间向量的坐标运算法则
（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =
，
则112233(,,)a b a b a b a b +=+++
， 112233(,,)a b a b a b a b -=---
， 123(,,)(R)a a a a λλλλλ=∈
，
112233//,,(R)a b a b a b a b λλλλ⇔===∈
.
（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
四、数学运用
例1 已知)4,10,3(),8,3,1(-=-=，求a b a b a 3,,-+． 解：)4,7,4(=+b a ，
)12,13,2(--=-b a ，
)24,9,3(3-=a ．
例2 已知空间四点)10,0,10(),3,5,2(),1,3,2(C B A --和)9,4,8(D ，求证：四边形
ABCD 是梯形．
解：)2,8,4(-=-=，
)1,4,2(-=DC DC AB 2=
所以//，AB DC ≠ ，又AD 与BC
不共线， 所以四边形ABCD 是梯形． 练习：
（1）课后练习1－6．
（2）已知A （1,0,0），B （0,10,0），C （0,0,2），点D 满足DB ∥AC ，DC ∥AB ,求点D 的坐标．
五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：
1．用坐标表示空间向量的坐标运算； 2．用向量的坐标判断两个空间向量平行；
3．思想方法上，我们采用了类比的思想由平面向量的坐标表示得出空间向 量的坐标表示方法及性质；
4．空间向量要注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．。