21.2二次根式的乘除练习题-二次根式的乘除(2)
21.2 二次根式的乘除
21．2 二次根式的乘除1=成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1知识点：二次根式的乘法法则知识点的描述：两个二次根式相乘，把被开方式相乘。
但要注意成立的条件：a ≥0，b ≥0亦可，但也是有条件的：a ≥0，b ≥0 。
=成立的条件是x+1≥0，且x-1≥0。
因此x ≥1答：A1、如果3)3(-⋅=-⋅x x x x ，那么x 的取值范围是（ ）A 、x 0≥B 、3≥xC 、03≤≤xD 、x 为一切实数解：x ≥0，且 3-x ≥0，因此3≥x答：B2、．如果代数式2242+=--x x x ，x 的取值范围是( )A ．x ≥－4B ．x>2C ．x ≥－4且x ≠2D ．x>－4且x ≠2知识点：二次根式的除法法则a ≥0，b>0） 解：2)2()2(242-+•-=--x x x x x =2)2)(2(-+-x x x ，若要化简为2+x 需要条件2+x ≥0，且2-x ＞0.所以x>2答：B2. =，且x为偶数，求（1+x的值（）．A．4 B．3 C．6 D．9a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．3,则满足条件的自然数n共有（）个(A)1 (B)2 (C)3 (D)4知识点：二次根式化简为整数的条件知识点的描述：只有当被开方数是某个整数的平方即完全平方数时，二次根式才可以才可以化简为整数。
12-n≥0，所以n为小于等于12的数，12-n是完全平方数，满足以上条件的自然数有：3；8；11；12 共四个。
答：D3.n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．24n 是完全平方数，24=4×6，所以n 最小为6答：C4、下列计算正确的是（ ）A 、563224=⨯B 、653525=⨯C 、363332=⨯D 、15153553=⨯知识点：二次根式的乘法步骤知识点的描述：两个二次根式相乘，根号外的因数和根号外的因数相乘，把被开方式相乘作a ≥0，b ≥0）解： 6832243224=⨯⨯=⨯； 62532553525=⨯⨯=⨯183363332=⨯=⨯答：D4、下列计算正确的是（ ）A 、2122423=⨯ B 、259)25()9(-⨯-=-⨯-)3(-=15)5(=-⨯ C 、632)3(3232=⨯-=- D 、5)1213)(1213(121322=-+=- 解： 244122423==⨯； 15259)25()9(=⨯=-⨯-63233232-=⨯-=- 答：D5=a b ,用含a ,b ,则下列表示正确的是( )(A)0.3ab . (B)3ab . (C)0.1ab 3. (D)0.1a 3b .知识点：二次根式的乘法公式的逆向运用知识点的描述：两个二次根式相乘，把被开方式相乘。
2020华师大版九年级数学上 二次根式(全章)习题及答案
【文库独家】二次根式21.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a +B. 22a +C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a ≤）A. (1a -B. (1a -C. (1a -D. (1a -18.=x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥19.）A. 0B. 42a -C. 24a -D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()23123224==-==∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21.2440y y -+=，求xy 的值。
22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
《二次根式》一章训练题及标准答案
《二次根式》一章复习训练题21.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a +B. 22a +C. ()222a +D. ()224a + 17. 若1a ≤）A. (1a -B. (1a -C. (1a -D. (1a -18.=x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥19.）A. 0B. 42a -C. 24a -D. 24a -或42a -20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()23123224==-==∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()421.2440y y -+=，求xy 的值。
22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
21.2二次根式的乘除法
a a a a = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0） b b b b
难点：二次根式乘除法法则的运用。 知识点 1.二次根式的乘法 例 1．计算 （1） 4 × 9 =_______， 4 9 =______； （2） 16 × 25 =_______， 16 25 =________． 正运算：分析：直接利用 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解： 4 × 9 _=____ 4 9 ， 16 × 25 __=___ 16 25 ， 100 × 36 ____=____
25．若 x，y 是实数，且 y
x 1 1 x
|1 y | 1 ，求 的值。 2 y 1
九年级数学第二十一章二次根式测试题（B）
时间：45 分钟
一、选择题（每小题 2 分，共 20 分） 1． （2005·湖北襄樊）下列说法正确的是（ ） A．若 a 2 a ，则 a<0 C． a 4 b 8 a 2 b 4 2．二次根式 A． 3 2
解：(1) 12xy ·
知识点 3 二次根式的除法 2．填空
9 16 16 9 （1） 16 =________， 16 =_________； （2） 36 =________， 36 =________； 4 36 36 4 （3） 16 =________， 16 =_________； （4） 81 =________， 81 =________． 9 16 4 36 16 36 9 4 规律： 16 ______ 16 ； 36 ______ 36 ； 16 _______ 16 ； 81 _______ 81 ． a a a a = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0） b b b b
二次根式的乘除法专题练习
二次根式的乘除法专题练习二次根式的乘除法专题练一．选择题（共7小题）1.化简 $\sqrt{12}$，得到的结果是（）。
A。
$2\sqrt{3}$ B。
$3\sqrt{2}$ C。
$4\sqrt{3}$ D。
$6\sqrt{2}$2.计算 $\sqrt{75}\div\sqrt{3}$，得到的结果是（）。
A。
$5\sqrt{3}$ B。
$3\sqrt{5}$ C。
$5\sqrt{6}$ D。
$3\sqrt{25}$3.矩形的面积为18，一边长为6，则周长为（）。
A。
12 B。
18 C。
24 D。
364.化简 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$，得到的结果为（）。
A。
$\sqrt{3}$ B。
$3$ C。
$9\sqrt{3}$ D。
$27$5.计算并化简 $\sqrt{48}\div\sqrt{12}$，得到的结果为（）。
A。
$2$ B。
$2\sqrt{2}$ C。
$3$ D。
$3\sqrt{2}$6.$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$的值为（）。
A。
$5+2\sqrt{6}$ B。
$5+2\sqrt{3}$ C。
$5+6\sqrt{2}$ D。
$5+2\sqrt{2}$7.计算$\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}$，得到的结果是（）。
A。
$-\sqrt{2}$ B。
$-\sqrt{2}+\sqrt{6}$ C。
$-\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ D。
$-\sqrt{2}+3\sqrt{2}$二．填空题（共7小题）8.计算：$\sqrt{75}$ =$\underline{\hspace{2cm}}\sqrt{\underline{\hspace{2cm}}}$9.计算：$\sqrt{27}\times\sqrt{12}$ =$\underline{\hspace{2cm}}\sqrt{\underline{\hspace{2cm}}}$10.化简：$\sqrt{48}$ =$\underline{\hspace{2cm}}\sqrt{\underline{\hspace{2cm}}}$11.计算 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\underline{\hspace{2cm}}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}\div\frac{3}{\sqrt{2}}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$12.运用平方差公式计算：$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ = $\underline{\hspace{2cm}}$13.计算：$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$14.计算：$\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ = $\underline{\hspace{2cm}}$三．解答题（共6小题）16.化简：$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$17.计算：（1）$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ =$\underline{\hspace{2cm}}$；（2）$\sqrt{3+\sqrt{2}}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$18.已知：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=3$，$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1$，求$x$和$y$的值。
二次根式同步测试题及答案
二次根式1、二次根式的概念：1、定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根） 概念：式子a （a≥0）叫二次根式。
a （a≥0）是一个非负数。
2、二次根式有意义的条件：（1）被开方数是一个非负数。
（2）分母不能为零。
练习题1、判断二次根式（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y •≥0）．（2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ） A.7- B.32m C. 21a + D.a b2、二次根式有意义的条件1．要使根式3-x 有意义，则字母x 的取值范围是______．2．当x ______时，式子121-x 有意义．3．要使根式234+-x x有意义，则字母x 的取值范围是______．4．若14+a 有意义，则a 能取得的最小整数值是______．5．若x x -+有意义，则=+1x ______．6．使等式032=-⋅+x x 成立的x 的值为______．8．使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是( ) (A)x ≥0 (B)32->x (C)23-≥x (D)32-≥x 9．使式子2||1+-x x 有意义的实数x 的取值范围是( )(A)x ≥1 (B)x ＞1且x ≠－2 (C)x ≠－2 (D)x ≥1且x ≠－210．x 为实数，下列式子一定有意义的是( )(A)21x (B)x x +2(C)112-x (D)12+x13．要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件?(1)1||21--x x (2)x +--21 (3)232+x (4)x x 2)1(- (5)222++x x17．(1)已知05|3|=-++y x ，求yx的值；(2)已知01442=+++++y x y y ，求y x 的值．问题探究：已知实数x 、y 满足324422+--+-=x x x y ，求9x ＋8y 的值．二次根式(2)掌握二次根式的三个性质：a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；||2a a =．填空题：1．当a ≥0时，=2a ______；当a ＜0时，2a ＝______． 2．当a ≤0时，=23a ______；=-2)23(______．3．已知2＜x ＜5，化简=-+-22)5()2(x x ______．4．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2)2(|1|a a ______．5．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 则=+----||)(2c a b c b a ______．6．若22)()(y x y x -=-，则x 、y 应满足的条件是______．7．若0)2(|4|2=-+++x y x ，则3x ＋2y ＝______．8．直线y ＝mx ＋n 如图4所示，化简：|m －n |－2m ＝______．9．请你观察、思考下列计算过程： 图4 因为112＝121，所以11121=，同样，因为1112＝12321，所以=12321111，……由此猜想=76543211234567898______．选择题：10．36的平方根是( )(A)6(B)±6(C)6(D)±611．化简2)2(-的结果是( )(A)－2 (B)±2 (C)2(D)412．下列式子中，不成立的是( )(A)6)6(2= (B)6)6(2=--(C)6)6(2=-(D)6)6(2-=--13．代数式)0(2=/a a a 的值是( )(A)1(B)－1(C)±1(D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时)14．已知x ＜2，化简442+-x x 的结果是( )(A)x －2(B)x ＋2(C)－x ＋2(D)2－x15．如果2)2(2-=-x x ，那么x 的取值范围是( )(A)x ≤2 (B)x ＜2 (C)x ≥2 (D)x ＞216．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( )(A)原点(B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧(D)任意点17．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简|3|2x x +的结果是( )(A)4x(B)－4x(C)2x(D)－2x18．不用计算器，估计13的大致范围是( )(A)1＜13＜2(B)2＜13＜3(C)3＜13＜4(D)4＜13＜519．某同学在现代信息技术课学了编程后，写出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( ) (A)6(B)8(C)35(D)37解答题： 20．计算：(1);)12(|3|)2(02---+- (2)⋅-+-|21|2)3(0221．化简：(1));1()2()1(22>++-x x x (2).||2)(2x y y x ---22．已知实数x ，y 满足04|5|=++-y x ，求代数式(x ＋y )2007的值．23．已知x x y y x =-+-+7135，求2)3(|1|-+-y x 的值．24．在实数范围内分解因式：(1)x 4－9； (2)3x 3－6x ； (3)8a －4a 3； (4)3x 2－5．25．阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：221a a a +-+，其中a ＝9时，得出了不同的答案．小明的解答是：原式＝1)1()1(2=-+=-+a a a a ；小芳的解答是：原式＝1719212)1()1(2=-⨯=-=--=-+a a a a a ．(1)______的解答是错误的；(2)说明错误的原因．26．细心观察图5，认真分析各式，然后解决问题．图5;21,21)1(12==+S ;22,31)2(22==+S;23,41)3(32==+S…… ……(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出21024232221S S S S S +++++ 的值． 27．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：秒)与开始落下时的高度h (单位：米)有下面的关系式：⋅≈5ht (1)已知h ＝100米，求落下所用的时间t ；(结果精确到0.01)(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间?(每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米)(结果精确到0.01)(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．问题探究：同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军!我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗?我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的推导却让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重!设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，则x ＋y ＝2a ． 两边同乘以(x －y )，得(x ＋y )(x －y )＝2a (x －y )， 即x 2－y 2＝2ax －2ay ．可变形为x 2－2ax ＝y 2－2ay ．两边都加上a 2，得(x －a )2＝(y －a )2． 两边开平方，得x －a ＝y －a ． 所以x ＝y ．这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢?亲爱的同学，你能找出来吗?二次根式的乘除理解二次根式的乘法法则，即)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 的合理性 填空题：1．计算：ab a ⋅＝______．2．已知xy ＜0，则=y x 2______．3．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简22b a 的结果是______．4．若,6)4()4)(6(2x x x x --=--则x 的取值范围是______．5．在如图的数轴上，用点A 大致表示40：6．观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，23，……那么第10个数据应是______．选择题：7．化简20的结果是( ) (A)25(B)52(C)102(D)548．化简5x -的结果是( )(A)x x2- (B)x x--2(C)x x-2(D)x x29．若a ≤0，则3)1(a -化简后为( )(A)1)1(--a a (B)a a --1)1( (C)a a --1)1((D)1)1(--a a解答题： 10．计算：(1);63⨯ (2));7(21-⨯ (3));102(53-⨯(4));804()245(-⨯- (5));25.22(321-⨯ (6);656)3122(43⨯-⨯ (7));152245(522-⨯(8);24)654(⨯- (9));3223)(3223(-+(10));23)(32(x y y x -+ (11);)10253(2+ (12);10253ab a ⋅ (13));42(2212mn m m +-⋅ (14))12()321(123143z xy x x ⋅-⋅⋅．11．化简：(1));0(224≥-a b a a (2)⋅≥≥+-)0(23223a b ab b a b a12．计算：(1)|;911|)1π(8302+-+--+- (2).425.060sin 12)21(20082008o 2⨯---13．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的平分线BD 的长为4cm ，求这个三角形的三边长及面积．图121.2 二次根式的乘除(2)理解二次根式除法运算法则，即b aba =(a ≥0，b ＞0)的合理性 填空题： 1．在4,21,8,6中，是最简二次根式的是______． 2．某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是42cm 2，它的长为5cm ，则这个孔的宽为______cm ．3．2－3的倒数是______，65+的倒数是______． 4．使式子3333+-=+-x xx x 成立的条件是______． 选择题：5．下列各式的计算中，最简二次根式是( ) (A)27(B)14(C)a1 (D)23a6．下列根式xy y x xy 53,,21,12,2+中最简二次根式的个数是( ) (A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个7．化简273-的结果是( ) (A)27- (B)27+(C))27(3-(D))27(3+8．在化简253-时，甲的解法是：,25)25)(25()25(3253+=+-+=-乙的解法是：,2525)25)(25(253+=--+=-以下判断正确的是( )(A)甲的解法正确，乙的解法不正确 (B)甲的解法不正确，乙的解法正确(C)甲、乙的解法都正确(D)甲、乙的解法都不正确9．△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，若△ABC ～△A 'B 'C '，则△A 'B 'C '的第三边的长应等于( ) (A)22(B)2(C)2 (D)2210．如图1，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进12m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于()图1(A)m )13(6+ (B)m )13(6- (C)m )13(12+(D)m )13(12-11．计算)(baa b a b b a ÷的正确结果是( ) (A)ba(B)ab(C)22ba(D)112．若ab ≠0，则等式aba b a 135-⋅=--成立的条件是( ) (A)a ＞0，b ＞0(B)a ＜0，b ＞0(C)a ＞0，b ＜0(D)a ＜0，b ＜0解答题： 13．计算：(1);51 (2);208 (3);2814 (4);5)12(÷-(5));74(142-÷ (6));452()403(-÷-(7));6121(211-÷ (8);1543513÷- (9);45332b a b a ÷(10));6(322344c b a c b a -÷(11);152)1021(23÷⨯(12);521431252313⨯÷ (13);653034y xy xy ⋅÷(14);3)23(235ab b a ab b ÷-⋅ (15));1843(3211233xyxy x -÷⋅(16)⋅-÷+)2332()2332(14．已知一个圆的半径是cm,90一个矩形的长是135πcm ，若该圆的面积与矩形的面积相等，求矩形的宽是多少?15．已知b a ==20,2，用含a ，b 的代数式表示：(1);5.12(2).016.016．已知：如图2，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝8．求△ABC 的面积．图217．阅读下列解题过程，根据要求回答问题：化简：)0(2323<<+--a b a ba ab b a b a解：原式a b a b ab a 2)(--= ①aba b a b a --=)(②ab aa )1(⋅=③ ab =④(1)上面解答过程是否正确?若不正确，请指出是哪几步出现了错误? (2)请你写出你认为正确的解答过程．18．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式是glT π2=，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内这台座钟大约发出了多少次滴答声?(π取3.14)问题探究：借助计算器计算下列各题：(1);211- (2);221111- (3);222111111- (4).222211111111-仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律?你能解释这一规律吗?与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：个个10012002222111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅＝______．21.3 二次根式的加减(1)学习要求：了解同类二次根式的概念，会辨别两个二次根式是否为同类二次根式．会进行简单的二次根式的加、减法运算，体会化归的思想方法．做一做： 填空题： 选择题： 7．计算312-的结果是( ) (A)3(B)3(C)32(D)338．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) (A)a 4(B)4a (C)4a(D)4a9．下列二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) (A)27(B)12(C)10(D)810．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )(A)3和18(B)3和31 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a11．下列各式的计算中，成立的是( )(A)5252=+(B)15354=- (C)y x y x +=+22(D)52045=-12．若121,121+=-=b a 则)(ab b a ab -的值为( ) (A)2 (B)－2(C)2(D)22解答题：13．计算：(1);2523+ (2);188+ (3);50483122+-(4);312712-+ (5);202452321+-(6);12531110845--+ (7);)33()33(22++- (8);5.0753128132-+--(9))455112()3127(+--+； (10)231)13(3-++； (11)a a a aaa a 1084333273123-+-；问题探究 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800cm 2，另一个面积为450cm 2．他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2米金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗?如果不够用，还需买多长的金彩带?(2＝1.414，保留整数)21.3 二次根式的加减(2)学习要求会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四则运算的混合运算． 做一做： 填空题： 选择题：9．在二次根式16,8,4,2中同类二次根式的个数为( ) (A)4 (B)3 (C)2(D)110．下列计算中正确的是( )(A)2323182=⨯= (B)134916916=-=-=- (C)24312312=== (D)a a 242=11．下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )(A)81与18 (B)63与2825 (C)48与8.4 (D)125.0与12812．化简)22(28+-得( )(A)－2(B)22-(C)2(D)224-13．下列计算中，正确的是( )(A)562432=+ (B)3327=÷(C)632333=⨯ (D)3)3(2-=-14．下列计算中，正确的是( )(A)14931227=-=-(B)1)52)(52(=+-(C)23226=-(D)228=-15．化简aa a a a a 149164212-+的值必定是( ) (A)正数(B)负数(C)非正数(D)非负数16．若a ，b 为实数且211441+-+-=a ab ，则22-+-++baa b b a a b 的值为( ) (A)22 (B)2(C)22-(D)32解答题：17．计算：(1))232)(232(-+； (2)2)32(+； (3)2145051183-+；(4);7232318283--+ (5)23)121543(÷-； (6)20072006)65()56()1245()31251(-⋅+++--；(7)33322)1(2mn m n m n m m n ÷-．18．如图2，大正方形的边长为515+，小正方形的边长为515-，求图中的阴影部分的面积．图219．阅读下面的解答过程，然后答题：已知a 为实数，化简aa a 13---． 解：原式.)1(1a a a aa a a --=-⋅--= (1)上述解答是否有错误?答：____________；(2)若有错误，错在______步，错误的原因是____________； (3)写出正确的解答过程．20．阅读理解题：如果按一定次序排列的三个数a ，A ，b 满足A －a ＝b －A ，即,2ba A +=则称A 为a ，b 的等差中项．如果按一定次序排列的三个数a ，G ，b 满足,Gba G =即G 2＝ab (a ，b 同号)，则称G 为a ，b 的等比中项．根据前面给出的概念，求25-和25+的等差中项和等比中项．问题探究：因为223)12(2-=-，所以,12223-=- 因为223)12(2+=+，所以,12223+=+因为347)32(2-=-，所以,32347-=-请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)625-； (2)⋅+249复 习学习要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算和化简． 做一做： 填空题： 选择题： 10．使根式x x 1+有意义的字母x 的取值范围是( )(A)x ＞－1(B)x ＜－1(C)x ≥－1且x ≠0(D)x ≥－111．已知a ＜0＜b ，化简2)(b a -的结果是( )(A)a －b (B)b －a (C)a ＋b (D)－a －b12．在32,9,,,45222xa y x xy +-中，最简二次根式的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)413．下列二次根式中，与35-是同类二次根式的是( )(A)18(B)3.0(C)30(D)30014．计算28-的结果是( )(A)6(B)2(C)2(D)1.415．估算37(误差小于0.1)的大小是( ) (A)6 (B)6.0～6.1(C)6.3(D)6.816．下列运算正确的是( )(A)171251251252222=+=+=+ (B)1234949=-=-=-(C)20)4()5(1625)16()25(=-⨯-=-⨯-=-⨯-(D)1535)3()5(22=⨯=-⨯-17．下列运算中，错误．．的是( ) (A)632=⨯(B)2221=(C)252322=+ (D)32)32(2-=-18．若把aa 1-的根号外的a 适当变形后移入根号内，结果是( ) (A)a -- (B)a -(C)a -(D)a19．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⋅； ③;1.12a aa a a== ④.23a a a =-做错的题是( ) (A)①(B)②(C)③ (D)④20．若)()()(22m n m n n a a m >-=-+-成立，则a 的取值范围是( )(A)m ≤a ≤n(B)a ≥n 且a ≤m(C)a ≤m(D)a ≥n21．用计算器计算,1515,1414,1313,12122222--------…，根据你发现的规律，判断P ＝112--n n ，与1)1(1)1(2-+-+=n n Q ，(n 为大于1的整数)的值的大小关系为( ) (A)P ＜Q (B)P ＝Q(C)P ＞Q(D)不能确定解答题： 22．计算：(1);483122+ (2);7002871-+ (3);8121332+-(4))56()56(+⨯-； (5)2)2332(-； (6)25)520(-÷+；(7)m m m m m m m 3361082273223-+-； (8).123132+++23．(1)当a ＜0时，化简aa a a -+-2212；(2)已知x 满足的条件为⎩⎨⎧<->+0301x x ，化简;129622++++-x x x x(3)实数a ，b 在数轴上表示如图，化简：.)()2()2(222b a b a ++--+24．(1)当a ＝5＋1，b ＝5－1时，求a 2b ＋ab 2的值；(2)当41=x ，y ＝0.81时，求31441y yx y x x ---的值．(3)已知154-的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2＋b 2的值．25．若12+x 与y -2互为相反数，求x y 的值．26．已知x ，y 为实数，且499+---=x x y ，求y x +的值．第二十一章 二次根式测试题填空题：(每题2分，共24分) 1．函数1-=x xy 的自变量x 的取值范围是______．2．当x ______时，x x -+-31有意义． 3．若a ＜0，则b a 2化简为______．4．若3＜x ＜4，则=-++-|4|962x x x ______．5．1112-=-⋅+x x x 成立的条件是______．6．若实数x 、y 、z 满足0412||22=+-+++-z z z y y x ，则x ＋y ＋z ＝______． 7．长方形的面积为30，若宽为5，则长为______． 8．当x ＝______时，319++x 的值最小，最小值是______．9．若代数式22)3()1(a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是______．10．观察下列各式：,,514513,413412,312311 =+=+=+请将猜想到的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表示出来是______．11．观察下列分母有理化的计算：,4545134341,23231,12121-=+-=+-=+-=+……，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：=+++++++++)12007)(200620071341231121(. ______．12．已知正数a 和b ，有下列结论：(1)若a ＝1，b ＝1，则1≤ab ； (2)若25,21==b a ，则23≤ab ；(3)若a ＝2，b ＝3，则25≤ab ； (4)若a ＝1，b ＝5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7，则ab ≤______． 选择题：(每题2分，共24分) 13．已知xy ＞0，化简二次根式2x yx -的正确结果为( ) (A)y (B)y - (C)y -(D)y --14．若a ＜0，则||2a a -的值是( )(A)0 (B)－2a(C)2a(D)2a 或－2a15．下列二次根式中，最简二次根式为( )(A)x 9(B)32-x(C)xyx - (D)b a 2316．已知x 、y 为实数，且0)2(312=-+-y x ，则x －y 的值为( )(A)3(B)－3(C)1(D)－117．若最简二次根式b 5与b 23+是同类二次根式，则－b 的值是( )(A)0(B)1(C)－1(D)3118．下列各式：211,121,27，其中与3是同类二次根式的个数为( ) (A)0个 (B)1个(C)2个 (D)3个 19．当1＜x ＜3时，化简22)3()1(++-x x 的结果正确的是( )(A)4 (B)2x ＋2(C)－2x －2 (D)－4 20．不改变根式的大小，把aa --11)1(根号外的因式移入根号内，正确的是( ) (A)a -1 (B)1-a (C)1--a (D)a --1 21．已知m ≠n ，按下列(A)(B)(C)(D)的推理步骤，最后推出的结论是m ＝n ．其中出错的推理步骤是( )(A)∵(m －n )2＝(n －m )2 (B )∴22)()(m n n m -=-(C)∴m －n ＝n －m (D)∴m ＝n22．如果a ≠0且a 、b 互为相反数，则在下列各组数中不是互为相反数的一组是( ) (A)3a 与3b (B)2a 与2b (C)3a 与3b (D)a ＋1与b －123．小华和小明计算XXX)(442a a a +-+时，得出两种不同的答案．小华正确审题，得到的答案是“2a －2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是( )(A)a ＜2 (B)a ≥2 (C)a ≤2 (D)a ≠224．已知点A (3，1)，B (0，0)，C (3，0)，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是( ) (A)332-=x y (B)y ＝x －2 (C)13-=x y (D)23-=x y解答题：(第25题每小题4分，第26－29题每题4分，第30、31题每题6分)25．计算： (1);21448)21(2+++ (2);836212739x x x ⨯+-(3));32)(32()32)(347(2-++-+(4);211)223(23822+--+⨯-(5);166193232x x x x x x +- (6)).0)](4327121(3[222≥--b a b ab ab a26．若,03|9|22=--++m m n m 求3m ＋6n 的立方根．27．已知7979--=--x x x x 且x 为偶数，求132)1(22--++x x x x 的值．28．试求)364()36(3xy yx y xy y x y x +-+的值，其中23=x ，27=y ．29．已知正方形纸片的面积是32cm 2，如果将这个正方形做成一个圆柱，请问这个圆柱底面的半径是多少?(精确到0.1，π取3.14)30．已知：223,223-=+=b a ，求：ab 3＋a 3b 的值．31．观察下列各式及其验证过程：⋅+=+=833833;322322验证： ;3221222122)12(232)12(2322232322222233+=-+=-+-=+-=+-== ⋅+=-+=-+-=+-=+-==8331333133)13(383)13(3833383833222233 (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想一个类似的结果并验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为正整数，且n ≥2)表示的等式并给出证明．参考答案第二十一章 二次根式21.1 二次根式(1)1．3≥x 2．21>x 3．34≤x 且x ≠－2 4．0 5．1 6．3 7．55+ 8．D 9．A 10．D 11．C 12．C 13．(1)⋅≤21x 且x ≠－1 (2)x ＜－2 (3)x 为任意实数 (4)x 为非零实数 (5)x 为任意实数 14．135+ 15．cm π 16．ab 22 17．53)1(- (2)－2 18．(1)215 (2)21％ 问题探究：6注意x ＝2时要舍去21.1 二次根式(2)1．a ，－a 2．32,3--a 3．3 4．1 5．0 6．x ≥y7．－6 8．n 9．111111111 10．D 11．C 12．B 13．D14．D 15．C 16．C 17．D 18．C 19．C 20．(1)6 (2)25 21．(1)2x ＋1 (2)y －x 22．1 23．2 24．(1))3)(3)(3(2-++x x x (2))2)(2(3+-x x x (3))2)(2(4a a a +- (4))53)(53(+-x x25．(1)小明 (2)因为a ＝9，所以1－a ＜0，所以1)1(2-=-a a26．(1)2,11)(2n S n n n =+=+ (2),21012110=⨯⨯OA 所以1010=OA (3)222221024232221)210()23()22()21(S S S S S ++++=++++ 434241++=455410=++27．(1)4.47秒 (2)1.76秒 (3)64.8米问题探究：略21.2 二次根式的乘除(1)1．b a 2．y x - 3．－ab 4．x ≤4 5．略 6．33 7．B 8．C 9．B 10．(1)23 (2)37- (3)230- (4)30160 (5)15- (6)237- (7)1222- (8)24 (9)6 (10)9y 2－4x (11)26085+ (12)b a 230 (13)n m m 2+- (14)xz y x 2212-11．(1)22b a a - (2)ab a b )(- 12．(1)22 (2)013．2cm 36,cm 34,cm 6,cm 32====∆ABC S AB AC BC问题探究：分三种情况计算：图1 图2 图3(1)当AE ＝AF ＝10cm 时(如图1)，S △AEF ＝50(cm 2)(2)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图2)，BF ＝8(cm)，)cm (40212==⋅∆BF AE S AEF (3)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图3)，⋅==∆)cm (515),cm (512AEF S DF21.2 二次根式的乘除(2)1．6 2．1054 3．56,32-+ 4．－3＜x ≤3 5．B 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．B13．(1)55 (2)510 (3)22 (4)5510- (5)22- (6)2 (7)－6 (8)332- (9)a a b 52 (10)cab 23- (11)23 (12)210 (13)6y 3 (14)ab b a 2- (15)x xy 22-(16)625-- 14．cm 152 15．(1)a 5或a 25 (2)b a 52或a b 25 16．31648- 17．(1)不正确，第②③步出现了错误(2)原式ab ab aa ab a b b a a a b a b a b a =-⋅-=--=--=)1()()(2 18．42问题探究：(1)3 (2)33 (3)333 (4)3333个100133321.3 二次根式的加减(1)1．23 2．略 3．2 4．23,21 5．123+ 6．10255+ 7．B 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A 13．(1)28 (2)25 (3)2538+- (4)3314 (5)52315- (6)523316- (7)24 (8)33132413+ (9)5514334- (10)1 (11)a a 32- 问题探究：不够用，还需买78cm 21.3 二次根式的加减(2)1．3 2．0 3．1560- 4．3 5．xy x y )(- 6．x x 22-7．212- 8．12 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 14．D15．A 16．B 17．(1)10 (2)347+ (3)28 (4)26- (5)4523- (6)6338559--- (7)2m m n - 18．320 19．(1)有 (2)错在第一步，忽视了a ＜0(因为01>-a，所以a ＜0) (3)原式+--=--⋅---=a a a aa a a 1 a a a --=-)1( 20．25-和25+的等差中项为5，等比中项为3± 问题探究：212)2(23)1(+- 复 习1．x ＞5 2．x －2 3．1 4．±1 5．0 6．0 7．5 8．2－6a 9．6 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C15．B 16．D 17．D 18．A 19．D 20．A 21．C 22．(1)316 (2)7755-(3)2411 (4)1 (5)61230- (6)1 (7)0 (8)323 23．(1)a 1- (2) 4 (3)0 24．(1)58 (2)－2.45 (3)5418- 25．41 26．5 第二十一章 二次根式测试题 1．x ≥0且x ≠1 2．1≤x ≤3 3．b a - 4．1 5．x ≥1 6．07．6 8．3,91- 9．1≤a ≤3 10．21)1(21++=++n n n n (n 为自然数且n ≥1) 11．2006 12．4169 13．D 14．B 15．B 16．D 17．C 18．C 19．B20．D 21．C 22．B 23．B 24．D 25．(1)34242++ (2)x 319(3)2 (4)－11 (5)x x x -27 (6)a ab 325 26．3 27．113 28．229- 29．0.9cm 30．85 31．(1)=+-==+=154441541544154415443315441444144)14(4154)14(42222+=-+=-+-=+- (2)=-12n n n 11)1(1111222232322-+=-+-=-+-=-=--+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n (n 为正整数，且n ≥2)。
(完整版)二次根式的乘除经典练习题
= = - 1；
= = -
= = ；……
请用上面的规律直接写出 的结果；
请用含n的（n为正整数）的代数式表示上述规律，并证明；
利用上述规律计算：（ + + +……+ ）×(1 + )
5:（阅读理解题）先阅读下面的一段文字，然后解答问题。
我们知道，a 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ，x 的有理化因式是 。观察下面的式子：
（1）3 ﹣2 的有理化因式是＿＿＿＿；3 + 4 的有理化因式是＿＿＿＿。
（2）把下列各式的分母有题
1：把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内
（1）5 （2）–3 （3）–2a （4）–a
(5) x (x﹤0 ,y﹤0)
2:比较大小
（1）3与2 （2）2 与3
（3）﹣3 与﹣2 （4） ﹣ 与 ﹣
（5） 与 (6) ﹣ 与 ﹣
3：若a、b分别是6﹣ 的整数部分和小数部分，求2a﹣b的值
（1）（2 + ）（2 ﹣ ）﹦（2 ）2-（ ）2﹦12 — 2 = 10
（2）（5 + 3 ）(5 ﹣3 ) =（5 ）2-（3 ）2=150 – 18 = 132
（3）（a +b ）（a - b ）=（a ）2-（b ）2= a2x –b2y.
从上面的计算我们发现，将一个二次根式（a +b ）乘（a - b ），其积是有理式，因此我们可以得出：
21.2二次根式的乘除(二)
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
分母有理化
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 2 8 2 2 2 2 2
解：(1)
2 1 (2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
练习
计算：
32 (1) 2 50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
1 7 (3) 4 5 10
如果根号前有系数，就把系数相 除，仍旧作为二次根号前的系数。
探究2
a b
a b
2 2 23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 为了去掉分母中的根号 解法二：
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 (2) 8 2 2 2 2 2 2 27 27 3x 9 x 3 x (3) 3x x 3x 3x 3x
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式.
(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次 根式的形式.
最简二次根式
1、被开方数不含分数或小数； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
－4 2 7 －4 14 －4 2 ＝ （） ＝ ； 解： 1 3 7 7 21 3 7
二次根式的乘除专项练习60题(有答案过程)ok
1． （ 2． 3． （2 +4 ）× +3） （3﹣ ） ．
4． 5． ．
6． 7． 8． ．
9． （1）
； （2）
10．
11． （1）x（2x﹣1）﹣x （2﹣x） ； 2 3 2 3 （2） （2ab ﹣b ） ÷2b ； （3） （4） （5） （6） ； ； ； ．
（2）
．
58．计算：2
×
．
59．
．
60．
．
二次根式的乘除法---
4
参考答案：
1． （ +3） （3﹣ ）=3 ﹣（ ） =9﹣6=3． 2 2 2. 原式=（3 ） ﹣（4 ） =54﹣32=22． 3．原式= 4．原式=（ 5．原式= 6. 原式=（2 7．原式= ） ﹣3 =20﹣9=11． =2﹣9+2 = ．
2
=﹣ =﹣
=﹣ ×10=﹣
．
÷ × × × ×4×
43．原式=﹣（9÷3× ） 44． 45． 46．原式=（2 47．原式=3 48．原式=27 49．原式=4 50．原式= 51．原式= ÷ ×3 = ） +2×2 ÷12= ÷ ×3 ． × × =27
2
×3
×
×
=45
﹣2=24﹣2=22． = × ×3 = ×2a= ． =9 ． ）] =[（ ） ﹣（ ） ] =（5﹣3） =4 +3）=（8﹣2 ） （8+2 ）=64﹣60=4．
=2 ． ×4
÷6
=
÷
2 2
= ÷3
×4 =
×
= ×4× × ．
=1
）=a b
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
21.2 二次根式的乘除
2 2
有什么 规律？
1 1 ? 3 4
2
1 12
1 1 ? 9 16
1 = 144
1 骣 ÷ 1 ç ÷ = ç ÷ ç12 桫 12
探究
2´ 3 ___ 6
2. 填空：
2´
5 ___ 10
归纳
4´
25 =
4´ 25
算术平方根的积
= 各个被开方数积的算术平方根
a 求 2a b
4a b 11
b 1 的值。 a b
1 b 4a 3 0 3
解：要想原等式有意义，必须满足： 1 4a b 11 0 a 4
1 b 4a 3 0 3
b 12
将 a、b 代入
a b 2a （ b a
理解最简二次根式的概念，并运用它化简
【过程与方法】
利用具体数据探究，不完全归纳法得出二 次根式的乘（除）法规律。 使用逆向思维，得出二次根式乘（除）法 规律的逆向等式。 分析结果，抓住它们的共同点，给出最简 二次根式的概念。
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。
逆向等式：
ab =
a
b （a≥0，b≥0）
可以进行二次根式的化简。
例题
（1）
计算：
3´
12 =
1 = 72
3 12 =
1 288 = 72
化简：
36 = 6
（2） 288 ´
4= 2
例题
（1）
225 = 15 15 = 15
15= ( 15) = 15
2
16 ， b2 ， c2 ，
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。
华东师大版2018年九年级数学上册全册同步练习含答案
华师大版九年级数学上册全册同步练习目录21.1二次根式第1课时二次根式的概念21.1二次根式第2课时二次根式的性质21.2二次根式的乘除1二次根式的乘法21.2二次根式的乘除2积的算术平方根21.2二次根式的乘除3二次根式的除法21.3二次根式的加减同步练习无答案华东师大版.doc22.1一元二次方程同步练习无答案华东师大版.doc22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法22.2一元二次方程的解法22.2.1第2课时因式分解法22.2一元二次方程的解法22.2.2配方法22.2一元二次方程的解法22.2.3公式法22.2一元二次方程的解法22.2.4一元二次方程根的判别式22.2一元二次方程的解法22.2.5一元二次方程的根与系数的关系22.3实践与探索第1课时用一元二次方程解决图形面积问题22.3实践与探索第2课时用一元二次方程解决平均变化率利润问题23.1成比例线段23.1.1成比例线段23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例23.2相似图形23.3相似三角形23.3.1相似三角形23.3相似三角形23.3.2第1课时相似三角形的判定定理123.3相似三角形23.3.2第2课时相似三角形的判定定理23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应用23.4中位线23.5位似图形23.6图形与坐标23.6.1用坐标确定位置23.6图形与坐标23.6.2图形的变换与坐标24.1测量24.2直角三角形的性质24.3锐角三角函数24.3.1第1课时锐角三角函数的定义及关系应用24.3锐角三角函数24.3.1第2课时特殊角的三角函数值24.3锐角三角函数24.3.2用计算器求锐角三角函数值24.4解直角三角形第1课时解直角三角形24.4解直角三角形第2课时解直角三角形的应用_仰角俯角24.4解直角三角形第3课时解直角三角形的应用_坡度坡角25.1在重复试验中观察不确定现象第1课时不可能事件必然事件与随机事件25.1在重复试验中观察不确定现象第2课时用频率估计事件发生的机会大小25.2随机事件的概率25.2.1概率及其意义25.2随机事件的概率25.2.2频率与概率25.2随机事件的概率25.2.3列举所有机会均等的结果21．1 第1课时二次根式的概念知识点 1 二次根式的概念1．如果－x是二次根式，那么－x________0，则x________0.2．下列各式中，一定是二次根式的是( )A.35B.32 C.－2 D.x3．下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是？为什么？3，35，－16，－7，x2(x≥0)，||－8，a－2.知识点 2 二次根式有意义的条件4．如果二次根式3x－1在实数范围内有意义，那么必须使3x－1________0，所以当x________时，二次根式3x－1在实数范围内有意义．5．如果x－1无意义，那么字母x的取值范围是( )A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜16．求使下列各式有意义的字母x的取值范围．(1)5－2x； (2)2x＋1 2；(3)1x－1； (4)2x＋1.7．当a为任意实数时，下列各式中是二次根式的是( ) ①a＋1；②5a2；③|a|；④－a2－2；⑤（a－1）2. A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤8．［2017·绵阳］使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．写出一个只含有字母x的二次根式，使它同时满足以下要求：(1)要使此式有意义，字母x必须取大于或等于2的实数；(2)此式的值恒为非正数．这个二次根式可以是__________ .10．［教材练习第2题变式］当x取何值时，下列各式有意义？(1)3－x＋12x－1；(2)x＋3|x|－4.11．若x，y为实数，且2x－1＋1－2x＋y＝8，求xy的值．1．≥ ≤ 2.A3．解：3，－16，x2(x ≥0)，|－8|是二次根式；35，－7，a －2不是二次根式．理由：3，－16，x 2(x ≥0)，|－8|符合二次根式的概念，故是二次根式.35的根指数是3，故不是二次根式；－7的被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；a －2的被开方数a －2的正负不能确定，故也不一定是二次根式．4．≥ ≥135.D 6．(1)x ≤52 (2)x ≥－12(3)x >1 (4)x >－1 7． D8．B 9．答案不唯一，如－x －210．解：(1)由原式有意义可得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，2x －1＞0，∴12＜x ≤3. (2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，①|x |－4≠0，②由①得x ≥－3，由②得x ≠±4，故当x ≥－3且x ≠4时，原式有意义．11．解：由已知可得⎩⎨⎧2x －1≥0，1－2x ≥0，∴x ＝12，∴y ＝8，∴xy ＝4.21.1 第2课时 二次根式的性质知识点 1 二次根式的非负性1．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y )2018＝( )A ．－1B ．1C ．32018D ．－320182．若|x －y |＋y －2＝0，则x y －3的值为________．知识点 2 二次根式的性质(a )2＝a (a ≥0)3．计算(15)2的结果是( )A ．225B ．15C ．±15D ．－154．把414写成一个正数的平方的形式是( ) A ．(212)2 B ．(174)2 C ．(±212)2 D ．(±174)2 5．计算： (1)(11)2； (2)(－ 20)2.知识点 3 二次根式的性质a 2＝|a |6．计算：（－2）2＝|________|＝________．7．下列计算正确的是( ) A ．(5)2＝25 B ．(－3)2＝3C.（－3）2＝－3D.02＝08．计算：(1)916； (2)（－7）2.9．若x －2＋3＋y ＝0，则(x ＋y )2019的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－110．若（x －3）2＝3－x ，则x 的取值范围是________．11．［教材习题第2题变式］计算：(1)()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－232；(2)（a＋3）2－a2(a>0)．12．阅读材料，解答问题．例：若代数式（2－a）2＋（a－4）2的值是常数2，求a的取值范围．分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离，|a－4|表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．图21－1－1解：原式＝|a－2|＋|a－4|.在数轴上看，应分三种情况讨论：①当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a；②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2；③当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6.通过分析可得a的取值范围是2≤a≤4.(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？(2)化简：（3－a）2＋（a－7）2.华东师大版2018年九年级数学上册同步练习含答案1．B 则原式＝(－1)2018＝1.2. 123．B4．B 5．(1)11 (2)20 6.－2 2 7.D8．(1)34 (2)79． D 10． x ≤311．解：(1)原式＝3＋23＝323.(2)原式＝a ＋3－a ＝3.12．解：(1)数形结合思想，分类讨论思想．(2)原式＝|3－a |＋|a －7|.①当a ＜3时，原式＝3－a ＋7－a ＝10－2a ；②当3≤a ≤7时，原式＝a －3＋7－a ＝4；③当a ＞7时，原式＝a －3＋a －7＝2a －10.21.2.1 二次根式的乘法知识点 1 ab ＝a ·b 成立的条件1．如果等式x ＋1·1－x ＝1－x 2成立，那么有x ＋1________0，1－x ________0，所以x 的取值范围是__________．2．若a ·b ＝ab 成立，则下列说法正确的是( )A ．a ≥0，b ≥0B ．a >0，b >0C ．a ≤0，b ≤0D ．a <0，b <0 知识点 2 二次根式的乘法法则的应用3．计算：8×12＝____________． 4．下列计算正确的是( )A.2×5＝7B.2×5＝10C.5×6＝11D.12×12＝ 2 5．［教材例1变式］计算： (1)3×5； (2)13×108；(3)68×(－32); (4)6×34×8.6．下列运算正确的是( )A ．23×32＝6 5 B.2a ·8a ＝4aC.（a 3）2＝a 3D.5×920＝327．阅读下列解答过程，在括号中填入恰当的内容． (－a )2＝－a ×－a ①＝（－a ）×（－a ） ② ＝（－a ）2 ③＝a 2 ④＝a . ⑤(1)由上述过程可知a 的取值范围为________；(2)上述解答过程有错误的是第________步，正确结果为________．8．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于学生进行实地考察．为了考查学生的数学应用能力，他把长方形基地的长设计为8020米，宽设计为3 45米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？9．比较前后两个算式计算结果的大小(填“>”“<”或“＝”)：(1)2＋12________2×2×12； (2)3＋3________2×3×3；(3)9＋16________2×9×16；…通过观察与归纳，写出其中的规律，并说明理由．教师详答1．≥ ≥ －1≤x ≤1 2. A 3. 8 124 24． B 5．(1)原式＝3×5＝15. (2)原式＝13×108＝36＝6. (3)原式＝6×(－3)×8×2＝－18×4＝－72. (4)原式＝6×34×8＝36＝6. 6. D7． (1)a ≤0 (2)⑤ －a8．解：80 20×3 45＝(80×3)×20×45＝240×900＝7200(米2)． 9．解：(1)> (2)＝ (3)>规律：a ＋b ≥2 a ·b (a ≥0，b ≥0)．理由：∵a ＝(a )2，b ＝(b )2(a ≥0，b ≥0)，∴a ＋b －2 a ·b ＝(a )2－2 a ·b ＋(b )2＝(a －b )2≥0， ∴a ＋b ≥2 a ·b (a ≥0，b ≥0)．21.2.2 积的算术平方根知识点 1 ab＝a·b成立的条件1．若等式a2－64＝a＋8·a－8成立，则有________≥0，________≥0，所以a的取值范围是________．2．若－ab＝a·－b成立，则( )A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0C．a≤0，b≥0 D．ab≥0知识点 2 积的算术平方根的应用______．4( )A．125．计算：(1)30×6； (2)（－100）×（－4）；(3)121169×81100； (4)（－5）2×（－7）2.6．［教材例2变式］化简：(1)－75；(2)a5.7．有下列各式：①54×12＝32；②412－402＝9；③（－3）×（－5）＝－3×－5；④8＝22；⑤（－3）2×（－5）2＝15；⑥32＋42＝7.其中正确的有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．若一个长方体的长为2 6 cm，宽为 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.9．若20n是整数，则正整数n的最小值为________．10. 已知a＝2，b＝5，用只含a，b的代数式表示20，这个代数式是__________．11．计算下列各式：(1)2 4a3b2c(a>0，b>0)；(2)a4＋a6b2.12．已知m＝(－33)×(－2 21)，则有( )A．5.0＜m＜5.1 B．5.1＜m＜5.2C．5.2＜m＜5.3 D．5.3＜m＜5.413．［阅读思考］阅读探究：4×9×16＝24，4×9×16＝24；0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018，0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018.(1)根据上述具体数据，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0时，a·b·c与a·b·c的关系是什么？(2)根据以上式子，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f可以转化为什么？教师详答1．a＋8 a－8 a≥82．B3．100 14101254. A5．解：(1)原式＝5×6×6＝5×62＝6 5.(2)原式＝100×4＝100×4＝10×2＝20.(3)原式＝121169×81100＝1113×910＝99130.(4)原式＝25×49＝25×49＝5×7＝35.6．解：(1)－75＝－3×25＝－5 3.(2)a5＝a4·a＝a4·a＝a2a.7． B8．129．5 10.a2b11．解：(1)原式＝2×2ab ac＝4ab ac.(2)原式＝a4（1＋a2b2）＝a4·1＋a2b2＝a21＋a2b2.12．C [13．解：(1)a·b·c＝a·b·c.(2)当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f＝a·b·c·…·f.21.2.3 二次根式的除法知识点 1a b＝ab 成立的条件 1．若x x ＋1＝xx ＋1成立，则有x ________0，x ＋1________0，所以x 的取值范围是________．2．等式－ba＝－ba成立的条件是( )A ．a ，b 异号B ．a >0，b >0C ．a ≥0，b ≥0D ．a >0，b ≤0 知识点 2 二次根式的除法 3．计算：483＝（ ）（ ）＝________．4．计算： (1)183； (2)328；(3)315÷135； (4)3ab 32ab2.知识点 3 商的算术平方根 5．计算：29＝（ ）（ ）＝________． 6．若3＋x 3－x ＝3＋x 3－x成立，则x 的取值范围是( ) A ．－3≤x ＜3 B ．x ＜3C ．x ＞－3D ．－3＜x ≤3 7．化简： (1)916； (2)325；(3)549； (4)－11－36.知识点 4 最简二次根式 8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A ．－ 2 B.12 C.15D.a 29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个． ①x 2； ②0.3； ③118； ④2x 2＋1. 10．化简： (1)17； (2)113； (3)510； (4)438.11．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b，②ab ·ba ＝1，③ab ÷ab＝－b 中，正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．若 2m ＋n －2和 33m －2n ＋2都是最简二次根式，则m n＝________． 13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47； (2)113÷223×135； (3)3 223÷1225×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15.14．王聪学习了二次根式的除法公式ab＝ab后，他认为该公式逆过来a b ＝ab也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x －1x －1÷1x 2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…. (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥0 2. D3. 48 3 16 44．(1) 6 (2)2 (3) 2 (4)32 b 5.2 9 236．A 7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35. (3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116. 8．A 9．3 10．解：(1)17＝77×7＝77. (2)113＝43＝4×33×3＝2 33. (3)510＝5 1010×10＝5 1010＝102.(4)438＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6. 11． B12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝3542. (2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝255. (3)原式＝9×83÷121025×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对． 理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义． 改正：－27－3＝273＝9＝3. 15．解：由题意得x >1, 所以原式＝x －1x －1·x ()x －1 ＝()x －12x x －1＝x －1x －1x ＝x .代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2. 当x ＝9时，原式＝3. 16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝5 16，5＋17＝6 17，6＋18＝7 18. (2)规律：n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 证明：n ＋1n ＋2＝n （n ＋2）＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2.21.3 二次根式的加减知识点 1 同类二次根式1．下面与2是同类二次根式的是( )A. 3B.12C.8D.202．［2016·巴中改编］下列二次根式中，能与3合并的是( )A.18B.13C.24D.0.33．下列二次根式中，属于同类二次根式的是( )A．2 3与 6 B. 13与23C. 18与12D. 4a与8a4．已知最简二次根式3a－8与17－2a是同类二次根式，求a的值．知识点 2 二次根式的加减5．计算：27＋3＝________＋3＝(________＋________)3＝________．6．计算8－612的结果是________．7．计算414＋313－8的结果是__________．8．计算：(1)1048－627＋312；(2)13－12＋273；(3)45＋45－8＋4 2.知识点 3 二次根式的混合运算9．计算：(3＋2)(3－2)＝________．10．［教材练习第2题变式］计算：(1)(5＋2)2; (2)(23－2)2.11．下列各数中，与2－3的积为有理数的是( ) A．2＋ 3 B．2－ 3C．－2＋ 3 D. 312．若a，b为有理数，且4＋18＋18＝a＋b2，则ab的值为( )A.34B.134C.132D．213．已知a－b＝2 3－1，ab＝3，则(a＋1)(b－1)的值为________．14．若等腰三角形的两边长分别为2 3和5 2，则这个等腰三角形的周长是__________．15．若a，b分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a－b的值是________．16．计算：(1)20＋55－13×12；(2)(3 2＋4 3)(4 2－3 3)；(3)(1048－624＋412)÷6；(4)⎝⎛⎭⎪⎫5－5102－(－210)．17．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a ＋b a －b ，例如：3※2＝3＋23－2＝ 5.求4※1＋8※12的值．18．若a ＝3－10，求代数式a 2－6a －2的值．19．如图21－3－1，有一张边长为6 2 cm 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 2 cm.求：(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积．图21－3－12 3x9x＋y2xy3)－(x21x－5xyx)的值．20．已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求(1．C 2. B 3. C4．解：由已知可得3a －8＝17－2a ，解得a ＝5.5．3 3 3 1 4 3 6．－ 27. 2＋3－2 28．解：(1)原式＝10×4 3－6×3 3＋3×2 3＝(40－18＋6)3＝28 3. (2)原式＝33－2 3＋3＝－2 33. (3)原式＝4 5＋3 5－2 2＋4 2＝7 5＋2 2.9．710．解：(1)原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5. (2)原式＝12－4 6＋2＝14－4 6. 11． A 12． C13．－ 3 14．10 2＋2 3 15．1316．解：(1)原式＝2 5＋55－13×12＝3－2＝1. (2)原式＝3 2×4 2－3 2×3 3＋4 3×4 2－4 3×3 3＝24－9 6＋16 6－36＝7 6－12.(3)原式＝10 486－6 246＋4 126＝10 8－6 4＋4 2＝20 2－12＋4 2＝24 2－12.(4)原式＝5－2 5×510＋2510＋2 10＝5－5 2＋52＋2 10＝152－5 2＋2 10. 17．解：4※1＝4＋14－1＝53，8※12＝8＋128－12＝－204＝－52， 所以4※1＋8※12＝53－52＝－56. 18．解：解法一：原式＝(3－10)2－6×(3－10)－2＝9－6 10＋10－18＋6 10－2＝－1.解法二：因为a ＝3－10，所以a －3＝－10，两边同时平方，得a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＝1，所以a 2－6a －2＝－1.19．解：(1)制作长方体盒子的纸板的面积：(6 2)2－4×(2)2＝64(cm 2)． (2)长方体盒子的体积：(6 2－2 2)×(6 2－2 2)×2＝32 2(cm 3)．20．解：∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0， ∴(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 9x ＋y 2x y 3－⎝⎛⎭⎪⎫x 21x－5xy x ＝()2x x ＋xy －(x x －5xy )＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6 xy .当x ＝12，y ＝3时，原式＝1212＋6 32＝24＋3 6.22.1～22.2一、选择题(每小题3分，共27分)1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.()x ＋82＝x ＋8 B ．x 2＋18x＝6C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋x ＋1＝x 22．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根3. 用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝24．下面是四名同学在解方程x(x ＋3)＝x 时的答案，结果正确的是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝0C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－25．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可能是( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝06．若关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0无实数根，则一次函数y ＝(m －1)x －m 的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0有一个根为0，则m 的值为( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．28．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－18B ．k ＞－18且k≠1C ．k ＜－18D ．k ≥－18且k≠09．已知m ，n 是方程x 2＋3x －2＝0的两个实数根，则m 2＋4m ＋n ＋2mn 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．－5 D ．－9 二、填空题(每小题4分，共20分)10．若关于x 的方程ax 2＋3x ＝2x 2＋4是一元二次方程，则a 应满足的条件是________．11．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为__________．12．若代数式4x 2＋5x ＋6与－3x 2－2的值互为相反数，则x 的值为________．13．有一个数值转换机，其流程如图1－G －1所示．若输入a ＝－6，则输出的x 的值为________．图1－G－114．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．三、解答题(共53分)15．(12分)解下列方程：(1)(x－2)2＝4; (2)x2－2x＝0；(3)(x＋2)2－9x2＝0; (4)x2－10x＋21＝0；(5)4x2＋8x＋1＝0; (6)x2－2x＝－4＋2x.16. (10分)已知关于x的方程x2＋2(2－m)x＋3－6m＝0.(1)若1是此方程的一个根，求m的值及方程的另一个根；(2)试说明：无论m取任何实数，此方程总有实数根．17．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－ax＋2＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＝x1＋x2－2.(1)求a的值；(2)求该一元二次方程的两实数根．18．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．19．(11分)已知关于x的一元二次方程tx2－(3t＋2)x＋2t＋2＝0(t＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，若y是关于t的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的表达式，并画出函数图象；(3)观察(2)中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．1．A 2．C 3．D 4.D 5.B 6.B 7.D8．B 9．C 10．a ≠211．4 12．－1或－4 13．无解14．答案不唯一，如a ＝1，b ＝2 15．解：(1)∵x －2＝±4， ∴x ＝2±2， ∴x 1＝4，x 2＝0.(2)原方程可化为x (x －2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝2.(3)原方程可化为(x ＋2)2－(3x )2＝0， ∴(x ＋2＋3x )(x ＋2－3x )＝0， ∴－4(2x ＋1)(x －1)＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝1.(4)移项，得x 2－10x ＝－21， ∴x 2－10x ＋25＝－21＋25， ∴(x －5)2＝4，∴x －5＝±4， ∴x ＝5±2， ∴x 1＝7，x 2＝3.(5)∵a ＝4，b ＝8，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝82－4×4×1＝48>0， ∴x ＝－8±482×4，∴x 1＝－2＋32，x 2＝－2－32.(6)原方程可化为x 2－2x －2x ＋4＝0， 即x 2－4x ＋4＝0，∴(x －2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝2.16．解：(1)把x ＝1代入方程，得 1＋4－2m ＋3－6m ＝0， ∴m ＝1.故方程为x 2＋2x －3＝0.设方程的另一个根是t ，则1·t ＝－3， ∴t ＝－3.故m ＝1，方程的另一个根为－3.(2)∵在关于x 的方程x 2＋2(2－m )x ＋3－6m ＝0中， Δ＝4(2－m )2－4(3－6m )＝4(m ＋1)2≥0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有实数根． 17．解：(1)∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2， 又x 1x 2＝x 1＋x 2－2， ∴2＝a －2， ∴a ＝4.(2)原方程为x 2－4x ＋2＝0，∴(x －2)2＝2，∴x －2＝±2，∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.18．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k . ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k >0， ∴k <52.(2)∵k 为正整数， ∴0<k <52且k 为整数，即k 的值为1或2.∵x 1，2＝－1±5－2k ，且方程的根为整数， ∴5－2k 为完全平方数．当k ＝1时，5－2k ＝3，不是完全平方数； 当k ＝2时，5－2k ＝1，是完全平方数， ∴k ＝2.19．解：(1)证明：Δ＝(3t ＋2)2－4t (2t ＋2)＝(t ＋2)2.∵t ＞0，∴(t ＋2)2＞0， 即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)x ＝3t ＋2±（t ＋2）2t ，∵t ＞0，∴x 1＝1，x 2＝2＋2t，∴y ＝x 2－2x 1＝2＋2t －2×1＝2t，即y ＝2t(t ＞0)．函数图象如图：(3)当y ≥2t 时，0＜t ≤1.22．1 一元二次方程知识点 1 一元二次方程的定义及一般形式 1．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．2x ＋1＝0B ．y 2＋x ＝0 C ．x 2－x ＝0 D. 1x＋x 2＝02．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)2y 2＝8； (2)3x 2－2＝x ；(3)2y (4y ＋3)＝13; (4)(3x －1)(x ＋2)＝1.知识点 2 一元二次方程的解3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3mx －5＝0的一个根是－1，把x ＝－1代入原方程得到关于m 的方程为____________，解得m ＝________．4．若关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个根是2，则2a －1的值是多少？知识点 3 根据实际问题列一元二次方程 5．［教材“问题2”变式题］［2017·辽阳］共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的是( )A ．1000(1＋x )2＝1000＋440B ．1000(1＋x )2＝440C ．440(1＋x )2＝1000D ．1000(1＋2x )＝1000＋440 6．［2017·兰州］王叔叔从市场上买了一块长80 cm 、宽70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图22－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程 _______________________________．图22－1－17．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若a＋b＋c＝0，则方程必有一根是( )A．－1 B．1 C．0 D．±18．已知m是一元二次方程x2＋2x－1＝0的一个根，则3m(m＋2)－2的值为________．9．［教材习题22.1第2题变式］已知关于x的方程(k－3)x|k|－3－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．10．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项．1．C2．解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2y 2－8＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)移项，得一元二次方程的一般形式为3x 2－x －2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为－2.(3)整理，得一元二次方程的一般形式为8y 2＋6y －13＝0，其中二次项系数为8，一次项系数为6，常数项为－13.(4)整理，得一元二次方程的一般形式为3x 2＋5x －3＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为－3.3．2＋3m －5＝0 14．解：因为关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个根是2，所以6－2a ＝0，解得a ＝3.当a ＝3时，2a －1＝2×3－1＝5.5．A6．(80－2x )(70－2x )＝3000 [解析] 根据题意可知裁剪后的底面的长为(80－2x )cm ，宽为(70－2x )cm ，根据长方形的面积＝长×宽，可以列出方程(80－2x )(70－2x )＝3000.7． B8．1 [解析] 把x ＝m 代入方程x 2＋2x －1＝0中，得m 2＋2m －1＝0，变形得m 2＋2m ＝1，所以3m (m ＋2)－2＝3(m 2＋2m )－2＝3×1－2＝1.9．解：∵关于x 的方程(k －3)x |k |－3－x －2＝0是一元二次方程， ∴|k |－3＝2且k －3≠0，解得 k ＝±5.①当k ＝5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为5x －2×5＋6≤0，解得 x ≤45.②当k ＝－5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为－5x ＋2×5＋6≤0，解得 x ≥165.10．解：(1)当k ＝1时，此方程为一元一次方程；方程的根为x ＝1.(2)当k ≠±1时，此方程为一元二次方程；方程的二次项系数为k 2－1，一次项系数为k ＋1，常数项为－2.22.2.1 第1课时 直接开平方法知识点 1 用直接开平方法解形如x 2＝p (p ≥0)的一元二次方程1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( ) A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ．x 1＝2，x 2＝0 3．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方， 得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________， 所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116， 即x 1＝94，x 2＝－94.(3)∵5x 2＝125， ∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73.4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27， ∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9， ∴x －3＝±3， ∴x 1＝6，x 2＝0. (3)∵2x －8＝±16， ∴2x ＝8±4， ∴x 1＝6，x 2＝2. (4)∵(3x －2)2＝649，∴3x －2＝83或3x －2＝－83，解得x 1＝149，x 2＝－29.7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1， ∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9， ∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ， ∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2， ∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1. ∵x 2≥0，y 2≥0，∴x2＋y2＝3.10．解：根据题意，得x2－16＝0，y2－9＝0，所以x＝±4，y＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x－1)2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.综上所述，x的值为2或－1.。
人教版初中九年级数学上册课堂同步试题及答案全册
２１．１二次根式（1）中学初三数学备课组一、选择题1．以下式子中，必然是二次根式的是（）A．BC D．x2．以下式子中，不是二次根式的是（）A BC D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对4必然是二次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题5．形如________的式子叫做二次根式．6．面积为a的正方形的边长为________．三、解答题7．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？8=0，求x y的值．２１．１二次根式（2）中学初三数学备课组一、选择题１．以下各式中必然是二次根式的是( )Ａ．10- Ｂ．22-aＣ．327Ｄ．132+x２．以下计算正确的选项是( ) Ａ．()2552=Ｂ．()332-=-Ｃ．416±=Ｄ．749=３．若是a 为任意实数,那么以下各式中正确的选项是( ) Ａ．a ≥0 Ｂ．a -≥0Ｃ．2a ≥0Ｄ．a -≥0二、填空题４．若a 的算式平方根是21，那么a ＝_______________. ５．计算：（１）()=222-_______；（２）=⎪⎭⎫⎝⎛--221________. ６．已知一个直角三角形的两直角边别离为x 和y ，那么斜边用代数式表示为_________________;当x ＝6，y ＝8时，斜边长为__________.三、解答题７．当x 是多少时，以下各式在实数范围内成心义？（１）x 2-；（２）121-x ．８．当5=a 时，求式子221a a a +-+的值．２１．２二次根式的乘除（1）中学 初三数学备课组一、选择题１．已知12)1(2-•=-x x ，那么有( )Ａ．x ＞1 Ｂ．x ＜1Ｃ．x ≥1Ｄ．x ≤1２．计算xx 2•的结果是( ) Ａ．xＢ．2Ｃ．xＤ．2３．以下计算正确的选项是( ) Ａ．3163838=⨯ Ｂ．652535=⨯Ｃ．562234=⨯Ｄ．15125236=⨯二、填空题４．=⨯44__________，.__________62=⨯ ５．化简38)2(2⨯⨯-的结果是____________.三、解答题６．化简：（１）16925⨯；（２）429y x .７．假设直角三角形两条直角边长别离为15cm 和12cm ，求此直角三角形的面积．２１．２二次根式的乘除（２）中学 初三数学备课组一、选择题１．以下各式是最简二次根式的为( )Ａ．12+xＢ．32y xＣ．12- Ｄ．5.2２．化简231+的结果为( )Ａ．23+Ｂ．23-Ｃ．2 Ｄ．1３．已知a aaa -=-112，那么a 的取值范围是( ) Ａ．a ≤0 Ｂ．a ＜0Ｃ．0＜a ≤1Ｄ．a ＞0二、填空题４．__________2385=÷，___________3=÷a b a .５．___________3625=，___________3611214=⨯.三、解答题６．把以下各式化为最简二次根式（１）326-；（２）328aa.７．已知长方形的面积是４８，一边长是12，那么另一边长是多少？２１．２二次根式的乘除（3）中学 初三数学备课组一、选择题１．以下化简中，正确的选项是（ ）Ａ．1535925=⨯=⨯Ｂ．632=⨯Ｃ．222543=+Ｄ．33-12=2．以下计算正确的选项是（ ）A ．3232--=-- B ．a a 3313= C ．a a=33D ．a a333= 3．把(a －1)11－a根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A ．1－a B ．－1－a C ．a －1 D ．－a －1二、填空题４．= ． ５．把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是三、解答题６．计算：（1）213675÷⨯７．已知x+y=4,xy=2.求;xyy x 的值。
人教版数学九年级上册全册含课后练习
21．1 二次根式（1）（民中）第一课时一、教学目标: （a ≥0）的意义解答具体题目．二、教学重难点: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题．三、 教学过程:例1． 下列式子，哪些是二次根式，、1x x>0）、、、1x y+（x ≥0，y•≥0）．例2． 当x 在实数范围内有意义？四、应用拓展：例3．当x +11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知，求x y的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值．五、归纳小结：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后作业：（一）选择题：1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 （二）填空题：1．形如________的式子叫做二次根式；面积为a 的正方形的边长为_____；负数______平方根．（三）综合提高题：1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当x是多少时，x3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．21.1 二次根式(2)（民中）第二课时一、教学目标：a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．二、教学重难点：1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2．难点：a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出）2=a （a≥0）．三、教学过程：例1计算）21．22．（23．24．（2四、应用拓展：例2 计算1．2（x≥0）2．23．24．2例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P9 7．七、课后作业：（一）选择题：1二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0（二）填空题1．（）2=______． 2_______数．（三）综合提高题1．计算（1）2 （2）-2 （3）（12）2（4）（ 2 (5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-521.1 二次根式(3)（民中）第三课时一、教学目标： （a ≥0）并利用它进行计算和化简．二、教学重难点：1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．三、教学过程：例1 化简（1 （2 （3 （4四、应用拓展：例2、填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3），则a 可以是什么数？五、归纳小结：（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业： 1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8．七、课后作业：（一）选择题：1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0）．A BC D．（二）填空题：1=________．2．则正整数m的最小值是________．（三）综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│21．2 二次根式的乘除（1）（民中）第四课时一、教学目标：a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简二、教学重难点：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．三、教学过程：例1．计算：（1（2（3（4例2．化简：（1（2（3（4（5四、巩固练习：教材P11练习全部五、应用拓展：例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4六、归纳小结：本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．七、布置作业：1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．八、课后作业：（一）选择题1和，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．B．C．9cm D．27cm2．化简）A B C．D．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．D．×（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21．2 二次根式的乘除（2）（民中）第五课时一、教学目标：a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及利用它们进行运算． 二、教学重难点：1a ≥0，b>0）a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．三、教学过程：例1．计算：（1（2 （3 （4例2．化简：（1 （2 （3 （4 四、巩固练习： 教材P14 练习1．五、应用拓展：例3．=，且x 为偶数，求（1+x六、归纳小结： a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．七、布置作业：1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．八、课后作业：（一）选择题： 1．的结果是（ ）A ．27B ．27C D ．723==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”）A ．2B ．6C ．13 D （二）填空题：1．分母有理化:(1)=_________;(2) =______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题：1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算：（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）21.2 二次根式的乘除(3)（民中）第六课时一、教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．二、重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．三、教学过程：例1．(1)(2) ;(3)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．四、巩固练习：教材P14练习2、3五、应用拓展：例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．六、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．七、布置作业：1．教材P15习题21．2 3、7、10．八、课后作业：（一）选择题：1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根BAC式是（ ）． A（y>0） B ．y>0） C （y>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ．3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B ±12 C 2 D ．4的结果是（ ） A ．-3 B ． C ． D ． （二）填空题：1．化简=_________．（x ≥0） 2．a 化简二次根式号后的结果是_________．（三）综合提高题：1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y x y -的值．21.3 二次根式的加减(1)（民中）第七课时一、教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．二、重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．三、教学过程：例1．计算：（1 （2例2．计算：（1） （2））+ 四、巩固练习：教材P 19 练习1、2．五、应用拓展：例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 六、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．七、布置作业： 1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．八、课后作业：（一）选择题：1．以下二次根式：；（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．下列各式：①17=1，其中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个（二）填空题：1是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．（三）综合提高题：1≈2.236-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 21.3 二次根式的加减(2)（民中）第八课时一、教学目标：运用二次根式、化简解应用题．二、重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．三、教学过程：例1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？三、巩固练习：教材P19 练习3四、应用拓展：例3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、布置作业：1．教材P21习题21．3 7．七、课后作业：（一）选择题：1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．BC．D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．BC．D．（二）填空题：1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）（三）综合提高题：1．n是同类二次根式，求m、n21.3 二次根式的加减(3)（民中）第九课时一、教学目标：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．二、重难点关键：重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．三、教学过程：例1．计算:（1）（2）（）÷例2．计算：（1））（（2）））四、巩固练习：课本P20练习1、2．BACQPBA C2m1m4m D五、应用拓展：例3．已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 六、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．七、布置作业： 1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．八、课后作业：（一）选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1（二）填空题：1．（-12+2）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a 2b-ab 2=_________．（三）综合提高题： 12．当时，（结果用最简二次根式表示） 第二十二章 一元二次方程（民中）第十课时一、教学目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念。
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二次根式的乘除（2）
一、选择题
1、（2009年黄石市）下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（ ）
A B C
D 2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（
） A ．2.0 B ．22b a -
C ．x 1
D ．a 4 3、下列计算正确的是（
） A ．323
2--=-- B ．a a 3313= C ．a a =33 D ．a a 333= 4、（2009年长沙）下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．632a a a ÷=
B ．325()a a =
C ．=
D =
5、（2009年湖北十堰市）下列运算正确的是（ ）．
A ．523=+
B ．623=
⨯ C ．13)13(2-=- D ．353522-=- 6、把(a －1) 11－a
根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A ．1－a B.－1－a C.a －1 D.－a －1
二、填空题
1、(2009年上海市)
= ． 2、
=⋅b a a b 182 ___________；=-222425__________．
3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_______________．
4、把a
a 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是 。
5、把y
x x 823
化为最简二次根式得______________。
6、（2009年新疆）若x y ==xy 的值是 。
三、解答题
1、计算：（1）213675÷⨯
（2）)1(3b a b b a ÷⋅
（3）521312321⨯÷ ())40,0a b
2、化简（每小题5分，共10分）
（1）.
32 （2）. ()01691026222>-x x
3、已知x+y=-4,xy=2.求;
x y y x +的值。
4、（09年邵阳市）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，32，1
32+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：3
5＝3353335=⨯⨯（一）32＝36
3332＝⨯⨯（二）
132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131
313222---＝）（）（（三）以上这种化简的方法叫做分母有理化。
Xkb 1.c om
132+还可以用以下方法化简：132+＝131
313131313131322-+-++-+-＝））（（＝）（＝（四）
（1)请用不同的方法化简352+。
①参照（三）式得3
52+＝ ； ②参照（四）式得
352+＝_________________________________________。
（2）化简：1
2121...571351131-+++++++++n n 。