3.2直线方程
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(2)系数A,B,C取什么值时,方程Ax+By+C=0表示
通过原点的直线 C=0,A,B不全为0
2、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限,则(C)
(A) A·B>0,A·C>0
(B) A·B>0,A·C<0
(C) A·B<0,A·C>0
x x1 y y1
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),
与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,
y
求这条直线l的方程.
lB
x y 1
aa b
O
A
x
直线在x轴的截距 直线在y轴的截距
令y=0
令y=0
(二) 直线的截距式方程
x y 1 ab
由直线在x轴和y轴的截距确定,简称截距式
y
试观察下列直线的特点。
2
l1 : y 2 l4 : y 3x 2
l2 : y x 2 l5 : y 3x 2
o
x l3 : y x 2
【思考】试推测 y k x 2 有什么特点?
这一系列直线均过定点(0,2)
无论k取任何常数,下列方程所表示的直 线必过定点吗?
(一) 直线的两点式方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( x1 x2 , y1 y2 )
由直线上的两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)确定的,
简称两点式。
两点式不能表示平行于坐标轴
或与坐标轴重合的直线.
1.x1=x2,则直线P1P2的方程 2.y1=y2,则直线P1P2的方程
k y2 y1 x2 x1
【思考1】直线 l 经过点 P0( x0 , y0 ) ,且斜率为k,
点P(x,y)是直线l 上不同于 y P0的任意一点,当点P(x,y)
l
P(x, y)
在直线 l 上运动时,有什么
是不变的?_斜___率__k __
P0(x0, y0)
k
y x
y0 x0
的表达式类似。一次函数的图像是一条直线。 如何从直线方程的角度认识一次函数
y kx b(k 0)一次函数y=kx+b形式一样,但有区别。 当k≠0时,斜截式方程就是一次函数的表现形式。
1.经过点A(3,-1),斜率为2 的直线的点斜式方程
为
,在y轴上的截距为______________
2.关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0),
当B≠0时,方程表示的图形是什么? 当B=0时,方程表示的图形是什么?
五种形式的直线方程
点斜式 y y0 k( x x0 ) 斜截式 y kx b
适用于斜率 存在的情形
两点式
y y1 y2 y1
x x2
2.斜率是 3,在y轴上的截距是-2的直线的
2
斜截式方程为
.
3.经过点B(- 2 ,2),倾斜角为30°的直线的
斜截式方程为
.
例3:已知直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 ,
试讨论:(1) l1 // l2的条件是什么?
(2) l1 l2 的条件是什么?
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( x1 x2 , y1 y2 )
由直线上的两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)确定的,
简称两点式。
【思考】是不是已知任一直线中的两点就能用
两点式写出直线方程呢? 不是!
当x1=x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式方程
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值 时,方程表示的直线为:
(1)平行于x轴
A=0
(2)平行于y轴
B=0
(3)与x轴重合 A=0 且C=0
(4)与y轴重合 B=0 且C=0
练习
1、已知直线l的方程是Ax+By+C=0,
(1)当 B 0 ,直线l的斜率是多少?当B=0时呢?
x
x0
o
x
【思考2】直线 l 任意一点都满足方程 k y y0 吗?
x x0
定点 P0( x0 , y0 )不满足方程 y 变形得:
x x0
l
P(x, y)
__y____y_0___k_(_x___x_0_)___ (1)
则直线 l 上的任意一点
P0(x0, y0)
在直角坐标系中确定一条直线需要什么条件?
•直线上的任意两个不同点 •直线上一点和倾斜角 •直线上一点和斜率 我们用给定的条件,将直线上所有点的坐标 满足的关系表示出来——直线方程
表示直线倾斜程度的几何量
1.直线的倾斜角 与斜率k的关系
k tan ( 900 )
2.过点P1(x1,y1)、P2 (x2,y2 ) (x1≠x2)的直线斜率
③过点(1, 1)且与直线y=2x+7平行的直线
方程为__y____2x 1
④过点(1, 1)且与直线y=2x+7垂直的直线
方程为___y___ 1 x 3 22
(1)点斜式方程的形式是_y___y_0__k__x___x_0_ _。
所需条件:点和斜率
代入(0,b)
(2)斜截式方程的形式是 __y___k_x__b___。
y
.C
.
A
. O
M
x
.
B
练习
下 列 四 个 命 题 中 的 真 命题 是 (B)
A.经 过 定 点0P(x0,y0 )的 直 线 都 可 以 用
方 程 y y0 k(x x0 )表 示 ;
B.经 过 任 意 两 个 不 同P1(x1,y1),P2(x2,y2 )的 点 的 直 线
都 可 以 用 方 程 (yy1)(x2 x1)(x x1)(y2 y1)表 示 ;
3
3 (x 1) 3
那么此直线的斜率为__3__,倾斜角为_3_0__.
(2)已知直线l2的点斜式方程是y-2=-(x+1),
那么此直线的斜率为 _-_1__,倾斜角为_1_3_5__.
直线l1 、l2同时经过哪个定点? (1, 2)
y 2 k(x 1) 必过哪个定点?
【思考4】直线的点斜式方程 y y0 k( x x0 )
C.不 经 过 原 点 的 直 线都 可 以 用 方 程x a
y b
1表示;
D.经 过 定 点 的 直 线 都可 以 用 y kx b表 示 .
直线方程有几种形式?
点斜式 y y0 k( x x0 ) 斜截式 y kx b
适用于斜率 存在的情形
两点式
y y1 y2 y1
x1 x1
(
x1
x2 , y1
y2 )
截距式 x y 1a, b 0
ab
一般式 Ax By C 0 (A,B不同时为0)
适用于平面内所有直线
例1、已知直线经过点A(6,- 4),斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
,
对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x 的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数, 一般按含x项,含y项、常数项顺序排列.
横、纵截距都存在且都不为0的直线.
过原点的直线方程能用截距式表示吗?
1.求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截 距相的等绝的对直值线相方等程的直. 线方程
m 0, x y m
截距m相等
m 0, y kx
2.求符合条件的直线方程
(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2;
(三) 中点坐标公式
已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2
的中点坐标
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
例2 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)
求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在
直线的方程.
(2) 经过点CP((00,-,2b)),斜率是3k y 2 3(x 0)
y = kx + b
y 3x2
系数为1 斜率
y轴上的截距
(二) 直线的斜截式方程
y kx b
由直线上的_斜__率__k_和_在__y_轴__上__的_截__距__b__ 确定的,简称斜截式。
y
斜率k
y kxb
•直线上的任意两个不同点
斜率k存在
已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5), 求直线l的方程
直线l斜率是什么?结合点斜式直线l的方程如何?
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1≠x2, y1≠y2 ),如何求出通过 这两点的直线方程呢?
(一) 直线的两点式方程
P0(x0, y0)
x x0
o
x
结论:过定点P0的直线分为两种情形:
y
⑴斜率不存在时,x x0
l
⑵斜率存在时,
y y0 k(x x0 )
P0(x0, y0)
点斜式方程的重要应用
o
x
①过点(2, 1)且平行于x轴的直线方程为 y 1 ____________ ②过点(2, 1)且平行于y轴的直线方程为___x______2__
x x2
x1 x1
(
x1
x2 , y1
y2 )
截距式 x y 1a, b 0
ab
【思考】直线的点斜式、斜截式、两点式、截距 式方程都是关于x,y的方程,这些方程所属的类
型是什么? 二元一次方程
1.平面直角坐标系中的任意一条直线方程都 可以写成Ax+By+C=0的形式吗?
结论: l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2
l1 // l2
l1 l2
k1 k2,且 b1 b2 k1k2 1
练习(P95第4):判断下列各对直线是否平行 或垂直。
(1)l1
:
y
1 2
x
3, l2
:
y
1 2
x
2;
平行
5
3
(2) l1 : y 3 x,l2 : y - 5 x. 垂直
在同一直角坐标系中画出下列直线,
试观察下列直线的特点。
y
l1 : y 2x 4 l4 : y 2x 1
l2 : y 2x
l5 : y 2x 4
o
x l3 : y 2x 1
【思考】试推测 y 2x k 有什么特点? 表示斜率为2的一系列平行直线.
在同一直角坐标系中画出下列直线,
例2、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式,求出 直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图.
如何由直线的一般式方程Ax+By+C=0, 求直线的斜率及在两坐标轴上的截距?
求直线的斜率
将一般式方程Ax+By+C=0 化为斜截式方程y=kx+b
直线在x轴的截距
令y=0求x的值
直线在y轴的截距
令x=0求y的值
PP000x,0b, y0
Ox
在y轴上的截距b——当x=0时,y=b
【思考7】下列直线: y = x - 4 , y = 3x ,
y+1= -2(x-1) ,在y轴上的截距分别是_-_4___0__1___。
y
y
y
1
O
x
O
x
O
x
-4
截距是距离吗?
不是,它是直线与y轴 交点的纵坐标
斜截式方程 y kx b 与我们学过的一次函数
都满足方程(1)
o
x
(一) 直线的点斜式方程
y y0 k(x x0 )
由直线上的_一__定_点__和__斜__率____确定的,
简称点斜式。
y
斜率k P0 x0, y0
Ox
y y0 k(x x0 )
右端x系数——斜率k
(1)已知直线l1的点斜式方程是 y 2
所需条件:斜率和在y轴上的截距
(3)两者适用范围是 _斜_率__k_存_在_____。
(4)过点P0( x0 , y0 ) 且斜率不存在的直线方程是
____x___x_0___
在直角坐标系中确定一条直线需要什么条件?
•直线上一点和斜率
y y0 kx x0
•直线在y轴上的截距和斜率
能表示平面上所有直线吗?
x轴所在直线的方程是什么? y 0 y轴所在直线的方程是什么? x 0
【例1】直线l 经过点P0(-2,3)且倾斜角 45
求直线l 的点斜式方程,并画出直线l 。
写出下列直线的点斜式方程
(1)经过点A(3,-1),倾斜角是30° y 1 3 ( x 3) 3
1y kx 1
y 1 k(x 0) (0,1)
2y kx 3k 2
y 2 k(x 3) (3,2)
【思考1】观察下列直线用什么直线方程来表示?
y 特点:必过定点 P0(x0, y0)
l
y y0 k(x x0 )
【思考2】它能否表示 所有过P0的直线?