13 度量空间的可分性与完备性

1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）；(4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=L L 为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =L ，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =L )，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，1,2,.k =L现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =L取12max{,,,}n K K K K =L ，当k K >时，对于1,2,,i n =L ，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈L L L N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=U ，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)pn x x x x l ∀=∈L L ，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =L于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈L L L ，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑L ，例如(0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==L L 为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+L ，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =L ．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性完备性 n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y =√ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时 当时√√X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-×√ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ．如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =L ，因此1n n x B ∞=∈I ．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈I ，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)．注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□实用标准文案精彩文档。