2019-2020年高中数学 1.1.2 集合间的基本关系导学案 北师大版必修1
高中数学第1章预备知识1集合1-2集合的基本关系北师大版必修第一册
当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.
2-3 ≥ -5,
由已知 B⊆A,则
解得-1≤a≤4.
-2 ≤ 2,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1).
综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).
变式探究(1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值
变式训练 3 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= x
1
- <x≤2
2
,若 A=B,
则实数 a 的值为( C )
A.0
1
B.-2
C.2
D.5
解析 A={x|-1<ax≤4},若 A=B,则需 a>0,则
得 a=2.
1
4
1 1
4
A={x|- <x≤ },所以- =- ,且 =2,
2
A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
解 (1)A⫋B.(2)B⫋A.(3)A=B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
写出给定集合的子集
【例1】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
解 集合{a,b,c,d}所有的子集为:
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.理解集合之间包含与相等的含义.
课程标准
2.能识别给定集合的子集.
3.会判断两个集合间的基本关系.
基础落实·必备知识全过关
高中数学必修一 《1 2 集合间的基本关系》获奖说课导学案
【新教材】1.2 集合的基本关系学案（人教A版）1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．一、预习导入阅读课本7-8页，填写。
1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.记作：A_________ B(或B _________ A)读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______ B且B ______ A），那么我们称这两个集合相等.记作：A ______B读作：A等于B.图示：2. 真子集A ，存在元素x______ B且x______ A，则称集合A是集合B的真子集。
若集合B记作：A ______B （或B ______A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集__________________的集合称为空集，记作：∅. 规定：空集是任何集合的子集。
4.常用结论（1）A __________ A （类比a a ≤）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。
（3）若,,A B B C ⊆⊆则A __________ C （类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( ) (2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A ＝B ，则A ⊆B . ( ) (4)空集是任何集合的真子集． ( ) 2.用适当的符号填空(1) a______{a,b,c} (2) 0_______{x|x 2=0} (3) ∅________{x ∈R|x 2+1=0} (4) {0,1}_____N(5) {∅}_____{x|x 2=x} （6）{2,1}____{x|x 2−3x +2=0} 3．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝________.例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x 2+x=0}的关系的维恩图是( )例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B 之间是否存在子集关系; (2)若A ⊇B,求实数a 的取值范围.变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A ⊆B?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由.变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A ⊇B,求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．42．已知集合A ＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A3．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C．4 D．34．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( ) A．A⊆B B．A＝BC．A B D．A B5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( ) A．1 B．－1C．0,1 D．－1,0,1=1}，则A，B的关系是________．6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx7．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．8．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1) ×(2) √(3) √ (4)×2．（1）∈（2）= （3）=（4）⊆（5）⊈（6）=3．-1自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 例2【答案】B【解析】∵N={x|x 2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N ⫋M,故选B. 例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a 所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B ⫋A. (2)由已知A ⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得{2a -3≥-5,a -2≤2,解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a 的取值范围为-1≤a<1 变式1．【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A ⊆B,则B 一定不是空集.此时有{2a -3≤-5,a -2≥2,即{a ≤-1,a ≥4,显然实数a 不存在.变式2．【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a ≥52 或a ≤-3.又因为a<1,所以a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤-3. 当堂检测1-5．CDADD 6．B A 7．m≥38．【答案】见解析【解析】∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．。
2020_2021学年新教材高中数学第1章预备知识1集合1.2集合的基本关系学案含解析北师大版必修一
1.2 集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B.1．设M＝{}1，2，3，N＝{}1，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N MC ．N ⊆MD ．N ⊇MC [由1∈M ，知N ⊆M .]2．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆DB [根据四边形的定义和分类，可知选B.] 3．集合{}0，1的子集有________个．4 [集合{}0，1的子集分别是∅，{}0，{}1，{}0，1.] 4．已知集合{}16⊆{}a 2，a ＋3，7，求实数a 的值．[解] (1)由已知，得16∈{}a 2，a ＋3，7，所以a 2＝16或a ＋3＝16，解得a ＝－4，4或13，当a ＝4时，a ＋3＝7，集合{}a 2，a ＋3，7的元素不满足互异性，所以，实数a 的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝{x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z }．[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B . (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系； (2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．[跟进训练] 1．设A ＝{}|x x ＝2n －1，n ∈Z ，B ＝{}|x x ＝2n ＋1，n ∈Z ，C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ，判断它们之间的关系．[解] 因为A ＝{} |x x ＝2n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2()n －1＋1，n ∈Z }⊆B ，B ＝{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z ＝{}x |x ＝2()n ＋1－1，n ∈Z ⊆A ，所以A ＝B .因为C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2×2n －1，n ∈Z }⊆A ，又－3∈A ，但－3C ，所以C A .综上，C A ＝B .子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M . [思路点拨] 先分析集合M 中元素的特点，然后分类列举．[解] 集合M 含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举． 2．若一个集合有n 个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．[跟进训练]2．已知集合B ＝{}1，2，A ＝{}x |x ⊆B ， (1)写出集合A ；(2)判断B 与A 的关系．[解] (1)集合B 的子集分别是∅，{}1，{}2，{}1，2，所以A ＝{}∅，{}1，{}2，{}1，2；(2)B A .集合间的关系的应用 [探究问题]1．已知{}x |－1≤x ≤1⊆{}x |a ≤x ≤b ，试求a ，b 满足的条件． 提示：a ≤－1且b ≥1.2．已知{}x |a ≤x ≤b ⊆{}x |－1≤x ≤1，试求a ，b 满足的条件． 提示：对集合{}x |a ≤x ≤b 是否为空集讨论， 当{}x |a ≤x ≤b 为空集，即a >b 时，满足题意； 当{}x |a ≤x ≤b 非空时，－1≤a ≤b ≤1， 故a ，b 满足的条件是a >b 或－1≤a ≤b ≤1.【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B 可能为空集，故需分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B?[解] 若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<－22m －1>7 ，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x |x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥1，解得m ≥6，综上得x ≤2或m ≥6.1．对于B ⊆A ，在未指明B 非空时，应分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．2. 对于B ≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n 个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集． 3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集． ( ) (3)任何一个集合至少有两个子集．( ) (4)若A 不是B 的子集，则A 中至少存在一个元素不属于B . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．集合A ＝{}x ∈N |0≤x <3真子集的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8C [因为A ＝{}0，1，2，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x ，y ∈R ，A ＝{}()x ，y |y ＝x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫()x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 的关系是________．[答案] B A4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当A B 时，a >2. (2)当B ⊆A 时，1≤a ≤2.。
2019-2020学年高中数学 1.2.1集合的基本关系教案 北师大版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 1.2.1集合的基本关系教案 北师大版必修1教学目的：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn 图表达集合间的关系；了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Ven n 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；课 型：新授课教学过程：一、 引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2）；（3）-1.5 R 2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、 新课教学1、 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作 A B 用Venn图表)(A B B A ⊇⊆或2、集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习3、结论：任何一个集合是它本身的子集 A A ⊆4、真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）⊆举例（由学生举例，共同辨析）5、 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6、结论：B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆三、 例题讲解例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系；例2写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
北师大版(2019)数学必修第一册：1.1.2 集合的基本关系 学案
集合的基本关系【学习目标】1．掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“⊆、⊇、⊄、⊃、=”等符号表示；2．掌握集合相等的含义；3．能使用Venn图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
【学习重难点】1．集合与集合的关系，子集、真子集的概念；2．熟练使用“⊆、⊇、⊄、⊃、=”等符号表示集合间的关系，以及用Venn图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；3．数学语言和符号表示的规范性和准确性。
【学习过程】思考讨论：问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合P，其中女同学组成集合M：若a M∈，则a与集合P是什么关系？问题2：用A表示所有矩形组成的集合，B表示所有平行四边形组成的集合:若a A∈，则a与集合B是什么关系？问题3：所有有理数都是实数，则有：若a Q∈，则a_____R试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？1．子集的概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的都属于集合B，即若，则，那么称集合A是集合B的子集。
符号表示：A B⊆(或B A⊇)读作：集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）如上面问题1“女生集合M包含于班级集合P”，记作。
注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的包含关系；③符号“⊆”的开口方向的集合要“大”一些。
2．子集的相关结论（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A A⊆；（2）空集是任何集合的子集，即Aφ⊆；（3）集合A是集合B的子集，即A B⊆，可以用Venn图表示，如图：⊆A B3．集合的相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，并且集合B是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等。
记作：A=B注意：①两个集合A、B，如果A⊆B，且B⊆A，则A=B，类比:两个实数a、b，如果a≥b，且b≥a，则a=b；②两个集合相等，则两个集合所含的元素。
高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系
2 5, x , x 4 x 中的元素 1、若 x N ,则
x必
须满足什么条件？
2、已知 x N ，A 5, x, x 2 4 x
B 2, x 2 4, x 6 若A=B,试求
x 的值。
【引一引★温故知新】
集合与集合 之间呢？
• 一个元素的集合：子集共有2个、真子集有2-1个。 • 两个元素的集合：子集共有4个、真子集有4-1个。 • 三个元素的集合：子集共有8个、真子集有8-1个。 • n个元素的集合：子集共有2n个、真子集有2n -1个。
【听一听★更上一层】
k 1 k 1 例2.集合M { x | x , k Z }, N { x | x , k Z }. 2 4 4 2 则（ ） . B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
2k 1 , k Z }, 4
A.M N
C.M N
D.M与N没有相同元素
分析：M { x | x
N {x | x
k2 , k Z }. 4
当k Z时， 2k 1为奇数，k 2为整数，因为奇数都 是整数，且整数不都是奇数.
M N，故选C.
解 : 集合{a, b}的所有子集为：
，{a}, {b}, {a, b}
真子集为： ，{a}, {b}
【听一听★更上一层】 变式
写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集：; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a, b}, {a, c},{b, c};
规定：空集是任何集合的子集，即 A.
空集是任何非空集合的真子集. 即： B. ( B )
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册
1.1。
3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。
问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。
这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。
（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。
高中数学 1.1.2 集合间的基本关系导学案 北师大版必修1
复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？新知：子集、相等、真子集、空集的概念.①如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含 (contains)A .当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅2x x+=，∅R；{|30}（3）N{0,1}，Q N；（4）{0}2-=.x x x{|0}反思：思考下列问题.（1）符号“a A⊆”有什么区别？试举例说明.∈”与“{}a A（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？①若,,且则；≥≥=a b b a a b②若,,≥≥≥且则.a b b c a c※典型例题例1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}=-≥；B x x=->与{|250}A x x（2）设集合A={0,1}，集合{|}=⊆，则A与B的关系如何？B x x A变式：若集合{|}⊆，求实数a的取值范围.=-≥，且满足A BB x xA x x a=>，{|250}※动手试试练1. 已知集合2=-+=，B＝{1,2}，{|8,}A x x x{|320}=<∈，用适当符号填空：C x x x NA B，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}⊆，则实数a的取值范围=≥，且满足A B=<<，{|2}A x a xB x x1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.2.两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展n-个.如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有21合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆试用Venn 图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
1.1.2集合的基本关系(2015新人教版高中数学必修一导学案)
1.1.2集合间的基本关系教案【教学目标】(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【教学重难点】重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点：难点是属于关系与包含关系的区别．【教学过程】一、导入新课问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.二、新知探究问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。
如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.3、核对预习学案的答案 学生发言、补充，教师完整归纳。
高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )
③A={0}, B={x x2+2=0} (× )
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} (√ )
定义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集 合A中的任何一个元素都是 集合B的元素, 同时集合B中的任何一个元素都是集A=合BA 的元素,则称集合A等于集合B,记作
1.1.2 集合间的基本关系
复习引入
1.集合、元素 2.集合的分类：有限集、无限集、空集 3.集合元素的特性：确定性、互异性，无序性 3.集合的表示方法：列举法、描述法 4.常用数集：N , N *, Z , Q, R 用列举法表示下面集合： {x | x3 2x2 x 2 0} {数字和为5的两位数}
观察以下几组集合，并指出它们元 素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1}; ③ A={四边形}, B={多边形}; ④ A={x | x是两边相等的三角形},
B={x| x是等腰三角形} ．
定义
一般地,对于两个集合A与B， 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,我们就说这两个集合有包含 关系，称集合A为集合B的子集（subset）
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包
含关系，并用Venn图表示
（2） 判断下列写法是否正确 AA
①Φ A ②Φ A
③ A A ④A A
例2 写出集合a,b的所有子集， 并
指出哪些是它的真子集
思考： 集合a1, a2,, an 有多少个
子集、 真子集?
重要结论
结论：含n个元素的集合的所有 子集的个数是2n，
2019～2020版高中数学课堂新坐标必修1课件归纳第1章1.11.1.2集合间的基本关系
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[解] 由题意可以确定集合 M 必含有元素 1，2，且至少含有元 素 3，4，5 中的一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下：
含有 3 个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有 4 个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有 5 个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合 M 为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1， 2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
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1．设集合 M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M
B．N M
C．N⊇M
D．N⊆M
D [∵1∈{1，ຫໍສະໝຸດ ，3}， ∴1∈M， 又 2 N，∴N⊆M.]
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2．下列四个集合中，是空集的为( ) A．{0} B．{x|x>8，且 x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} B [满足 x>8 且 x<5 的实数不存在，故{x|x>8，且 x<5}＝ .]
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3．集合{0，1}的子集有________个． 4 [集合{0，1}的子集有 ，{0}，{1}，{0，1}，共 4 个．]
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4．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}， 用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. (1)＝ (2) (3) (4)∈ [集合 A 为方程 x2－3x＋2＝0 的解 集，即 A＝{1，2}，而 C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6， 7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2} C；(4)2∈C.]
人教版高中数学必修一《集合间的基本关系》导学案
《1.1.2集合间的基本关系》导学案年级______________科目______________课型_______________主备人____________审核人____________教学时间____________学习目标：1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
2.理解子集.真子集的概念。
3.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.课堂导学：1. 复习巩固：（1）若 x N ∈ ，则{}25,,4x x x -中的元素x 必须满足什么条件？（2）含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，求34a b -的值。
2.课前预习：（1）提问：两个实数之间有大小关系，类比：两个集合之间是否具备类似的关系？(2) 几个主要概念:子集:集合相等:真子集:空集:（3）若A={}1,2,3，B={}1,2,3,4,5,则A________B.(4) 已知{}P 2=,Q={}0,2,4,下列式子中不正确的是( ).A. P Q ⊂B. P Q ⊆C. 2P ∈D. 2P ⊂(5) 已知集合{}2M y y x 2x 1,x R ==--∈,{}P x 2x 4,x R =-≤≤∈,则M 、P 之间的关系是_____________.(6) 集合{}1,3的子集共有________个,真子集有_________个,非空真子集分别为__________.(7) 用适当的符号填空: {}a ____a,b,c {}20______x x 0= {}2______x R x 10∅∈+= {}0,1_____N {}{}20______x x x = {}{}22,1_____x x 3x 20-+=2. 教学过程:例1 考察下列各组集合,并指明两集合的关系:(1) A Z,B N == (2) A={}长方形,B={}平行四边形 (3) A={}3x 20-+=2x x ,B={}1,2例2.考察下列集合,并指出集合中的元素是什么? (1) A={}(x,y)x y 2+= (2) B={}2x x 10,x R +=∈练习:利用韦恩图填空:(1) A______A (2) 若A B,B C,A ____C ⊆⊆则 (3) A B,B A ______A B ⊆⊆=例3. (1) 写出集合{}a,b 的所有子集（2）写出集合{}a,b,c 的所有子集（3）写出集合{}a,b,c,d 的所有子集归纳：若集合A 中有n 个元素，则它有________个子集，___________个真子集,__________个非空子集。
高中数学北师大版必修1导学案：1.1.3 集合的基本运算(全集、补集)
1.1.3集合的基本运算（全集、补集）导学案课前预习学案一、预习目标：了解全集、补集的概念及其性质，并会计算一些简单集合的补集。
二、预习内容：⒈如果所要研究的集合________________________________，那么称这个给定的集合为全集，记作_____．⒉如果A是全集U的一个子集，由_______________________________构成的集合，叫做Ａ在Ｕ中的补集，记作________，读作_________．⒊Ａ∪ＣU A＝_______，A∩C U A＝________，C U(C U A)＝_______三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：1、了解全集的意义，理解补集的概念．2、能用韦恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用3、进一步体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力。
学习重难点：会求两个集合的交集与并集。
二、自主学习⒈设全集Ｕ＝｛０，１，２，３，４｝，集合Ａ＝｛０，１，２，３｝，集合Ｂ＝｛２，３，４｝，则（ＣUＡ）∪（ＣUＢ）＝（）Ａ．｛０｝Ｂ．｛０，１｝Ｃ．｛０，１，４｝Ｄ．｛０，１，２，３，４｝⒉已知集合Ｉ＝｛０，－１，－２，－３，－４｝,集合Ｍ＝｛０，－１，－２｝,Ｎ＝｛０，－３，－４｝,则Ｍ∩（ＣIＮ）＝（）Ａ．｛０｝Ｂ．｛－３，－４｝Ｃ．｛－１，－２｝Ｄ．∅⒊已知全集为Ｕ，Ｍ、Ｎ是Ｕ的非空子集，若Ｍ⊆Ｎ，则ＣUＭ与ＣUＮ的关系是_____________________．三、合作探究：思考全集与补集的性质有哪些？四、精讲精练例⒈设Ｕ＝｛２，４，３－a2｝,Ｐ＝｛２，a2＋２－a｝，ＣUＰ＝｛－１｝，求a．解：变式训练一：已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．解：例⒉设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝，Ｂ⊂≠ＣU Ａ，求ｍ的取值范围．解：变式训练二：设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣU Ａ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．三、课后练习与提高1、选择题（1）已知ＣZ Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＞５｝，ＣZ Ｂ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＞２｝，则有（ ） Ａ．Ａ⊆Ｂ Ｂ．Ｂ⊆Ａ Ｃ．Ａ＝Ｂ Ｄ．以上都不对（2）设R U =，}1|{≥=x x A ，}50|{<<=x x B ，则B A C U )(=（ ）Ａ．}10|{<<x x Ｂ．}51|{<≤x xＣ．}10|{<≤x x Ｄ．}51|{<≤x x（3）设全集Ｕ＝｛２，３，a 2＋２a －３｝，Ａ＝｛｜a ＋１｜，２｝，ＣU Ａ＝｛５｝，则a 的值为（ ）Ａ．２或－４ Ｂ．２ Ｃ．－３或１ Ｄ．４2、填空题（4）设Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛b x a x ≤≤|｝，ＣU Ａ＝｛ｘ｜ｘ＞４或ｘ＜３｝，则a ＝________，b ＝_________．（5）设Ｕ＝Ｒ,Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｘ－２＝０｝,Ｂ＝｛ｘ｜|ｘ|＝ｙ＋１，ｙ∈Ａ｝,则ＣU Ｂ＝______________．3、解答题（6）已知全集Ｓ＝｛不大于20的质数｝，Ａ、Ｂ是Ｓ的两个子集，且满足Ａ∩（ＣS Ｂ）＝｛３，５｝，（ＣS Ａ）∩Ｂ＝｛７， 19｝，（ＣS Ａ）∩（ＣS Ｂ）＝｛２，17｝，求集合Ａ和集合Ｂ．。
北师大版数学高一必修1学案第一章2集合的基本关系
2 集合的基本关系1．子集(1)子集的概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)，这时我们说集合A是集合B的子集．谈重点如何理解子集的概念(1)从文字的角度来看，集合A是集合B的子集，一定要强调集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即强调任意性，否则不一定成立．例如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，集合A中有一个元素“1”不在集合B中，B中元素“4,5”不在集合A中，因此集合A与集合B不具有包含关系，尽管集合B中的元素比集合A中的元素多，但也不能以元素个数的多少来确定包含关系．(2)从符号的角度看，“A⊆B”说明“对任意的x∈A，都有x∈B”．这种符号语言对于证明一个集合是另一个集合的子集，作用十分明显．(3)当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作A B(或B A)，用符号可以表示为“存在一个x∈A，使得x∉B”．“A B”表达的意义有两个方面．其一，A，B互不包含，如A＝{2,3}，B＝{4,5}；其二，A有可能包含B，如A＝{2,3,4,5}，B＝{3,4,5}．(2)子集的图形表示为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．常用的封闭曲线有椭圆、矩形等．如，若用A表示我们班所有同学组成的集合，用B表示我们班所有女同学组成的集合，则B⊆A.集合A与B的关系可用Venn图表示为：(3)子集的性质根据子集的定义和Venn图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.③对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具有传递性，并且这条性质也可以推广到有限多个集合，即：若A⊆B，B⊆C，C⊆D，…，M⊆N，则A⊆N.下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x是集合A中的任一元素，∵A⊆B，∴x∈B.又∵B⊆C，∴x∈C，即可由x∈A推出x∈C.∴A⊆C.【例1－1】下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的子集；(4)若∅⊆A，则A≠∅；(5)集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：(1)错误，因为空集是任何集合的子集，其中“任何集合”包括空集，所以∅⊆∅也成立(或由于任何一个集合都是它本身的子集，所以空集的子集是它本身)；(2)错误，如空集只有一个子集，即它本身；(3)正确；(4)错误，由∅⊆A可知，集合A可以是任何集合，其中包括∅；(5)错误，A⊆B只能说明集合A中的任何元素都是集合B中的元素，而不能说明集合B 中的元素都是集合A中的元素．答案：B【例1－2】已知集合A＝{－1,0}，集合B＝{0,1，x＋2}，且A⊆B，则实数x的值为__________．解析：由A⊆B可知，集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，也就是说，集合A中的元素－1,0都必须在集合B中，故x＋2＝－1，x＝－3.答案：－32．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.即若A⊆B，又B⊆A，则A＝B.用Venn图可表示为：谈重点如何理解集合相等的概念(1)所谓集合A与集合B相等，就是集合A，B中的元素完全相同．例如，试比较集合A ＝{x|x2－1＝0}与集合B＝{－1,1}的关系．由x2－1＝0可知x＝±1，所以集合A用列举法可表示为A＝{－1,1}，我们看到集合A与B中都含有两个元素－1,1，故A＝B.(2)集合相等的概念中给出了一种证明集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立．【例2－1】下列各组中的两个集合相等的有()．①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；②P＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝1(1),2nx x n⎧⎫+-⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z.A．①②③B．①③C．②③D．①②解析：①集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P＝Q；②P是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，∴P≠Q.③P＝{0,1}，当n为奇数时，1(1)2nx+-==，当n为偶数时，1(1)12nx+-==，∴Q＝{0,1}，P＝Q.答案：B【例2－2】已知A＝{1，x,2x}，B＝{1，y，y2}，若A⊆B，且A⊇B，求实数x和y的值．分析：由A ⊆B ，且A ⊇B 可知A ＝B ，即集合A 与B 中的元素相同，可根据集合中元素的性质，用分类讨论的方法，通过列方程组求出x ，y 的值；也可根据两个集合中元素的和与积分别相等来建立方程组．两种方法殊途同归，需要注意的是最后都要检验集合中的元素是否具有互异性．解：(方法1)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B ，由集合相等的概念可得：2,2,x y x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y x y ⎧=⎨=⎩ 解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. (方法2)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B . ∴集合A 与B 中元素的和与积分别相等，即22121,121.x x y y x x y y ⎧++=++⎨⋅⋅=⋅⋅⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. 3．真子集(1)真子集的概念对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )，读作“集合A 真包含于集合B (或集合B 真包含集合A )”．从符号的角度来看，则为对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，但存在x 0∈B ，使得x 0∉A .例如：已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{a ，b ，c ，d }，试判断集合A ，B 的关系．显然A ⊆B ，又因为B 中存在一个元素c ，使c ∉A ，所以AB . (2)真子集的Venn 图表示 如果集合A 是集合B 的真子集，则用Venn 图表示这两个集合的关系为：即把表示A 的区域画在表示B 的区域内，但区域A 不能与B 重合．(3)真子集的性质根据真子集的定义和Venn 图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A 都不是其自身的真子集．②规定：空集是任何非空集合的真子集，即若集合A ≠∅，则∅A .③对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C，即真子集具有传递性．这条性质可以推广到有限多个集合，即若A B，B C，C D，…，M N，则A N.下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x是集合A中的任一元素，∵A B，∴x∈B，且B中至少有一个元素a，使得a∉A，又B C，∴x∈C，a∈C，且C中至少存在一个元素b，使得b∉B，∴x∈C，且C中至少有两个元素a，b，使得a∉A，b∉A，∴A C.【例3】设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且A B，则a的值为__________．解析：因为A B，所以集合B中的元素都在集合A中，对照两个集合中的元素可得a2－3a＋4＝8或a2－3a＋4＝a.由a2－3a＋4＝8，得a＝4或a＝－1；由a2－3a＋4＝a，得a＝2.经检验：当a＝2时，集合A，B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为－1或4.答案：－1或4警误区不可忽视元素的互异性此题易错点是忘记对a的值进行检验，忽视集合中元素的互异性．4．元素与集合、集合与集合之间关系的判断(1)元素与集合的关系是属于与不属于的关系；集合与集合之间的关系是包含与不包含的关系，在包含关系中又分真包含、相等两种情况．(2)符号“∈”和“⊆”的区别：符号“∈”只能适用于元素与集合之间，符号“∈”的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，2∈R；符号“⊆”只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}⊆{1,0}，{x|x＜2}⊆{x|x＜3}．析规律如何判断两个集合间的基本关系判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可知道它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．【例4－1】在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0,1，－1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z＝{全体整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，错误写法的个数是()．A．3B．4C．5D．6解析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④∅表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“{}”本身就表示全体之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面直角坐标系的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等．只有②和③正确，因为空集是任何非空集合的真子集，任何集合都是其本身的子集．答案：B【例4－2】判断下列集合之间的关系：(1)A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}；(2)A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{x|x2＋4＝4x}；(3)A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，C＝{x|2x＋1≥3}；(4)1,24kA x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z，1,42kB x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z.分析：给出两个集合A与B，其关系有如下情况：A＝B，A B，B A，A⊆B，B⊆A，A B，B A.因此判断两集合之间的关系时，要根据集合相等、真子集、子集、互不包含的定义，转化为分析它们所含元素的关系．解：(1)∵等腰三角形、等边三角形是两种特殊的三角形，而等边三角形又是特殊的等腰三角形，∴A B C.(2)∵A＝{－1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{2}，∴C A B.(3)∵A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x≥1}，∴A B＝C.(4)∵21,4kA x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，2,4kB x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，而当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，∴A B.5．集合子集个数的确定(1)当一个集合的元素个数很少时，可以直接写出它的全部子集，从而获取其子集的个数．例如：列举集合{1,2,3}的所有子集．在书写时可以按子集元素个数的多少分别写出所有子集(以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象)．含有0个元素的子集有：∅；含有1个元素的子集有：{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有：{1,2}，{1,3}，{2,3}；含有3个元素的子集有：{1,2,3}．所以集合{1,2,3}的所有子集的个数为8.(2)当一个集合中元素个数较多时，一一写出它的全部子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论：①含有n个元素的集合有2n个子集．②含有n个元素的集合有2n－1个真子集．③含有n个元素的集合有2n－1个非空子集．④含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．例如：集合A＝{1,2,3}中含有3个元素，其子集的个数是23＝8，真子集的个数是23－1＝7，非空子集的个数是7，非空真子集的个数是6.解技巧求有限集合的子集步骤求有限集合的子集，首先明确有限集合的元素的个数，然后再套用相应的公式即可．【例5－1】集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是()．A．16 B．8 C．7 D．4解析：集合A用列举法可表示为{0,1,2}，其含有3个元素，故A的真子集的个数是23－1＝7.答案：C【例5－2】已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6－a∈M，那么集合M的个数为()．A．5 B．6 C．7 D．8解析：已知a∈M,6－a∈M，且∅M⊆{1,2,3,4,5}，又∵当a＝1时，6－a＝5∈M；当a＝2时，6－a＝4∈M；当a＝3时，6－a＝3∈M；当a＝4时，6－a＝2∈M；当a＝5时，6－a＝1∈M，∴非空集合M可能是{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．答案：C【例5－3】已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则集合M的个数是________．解析：(方法1)由题意可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5.故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.当M中含有两个元素时，M为{1,2}；当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．所以满足条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．(方法2)由{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}知，集合M中一定含有元素1,2，而不一定含有元素3,4,5，所以问题可转化为求集合{3,4,5}的子集的个数，即23＝8个．答案：86．已知两集合间的关系求参数的值已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，进而转化为解方程或解不等式．这类问题常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时，常借助于数轴，利用数形结合来建立变量间的关系．需要特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)，在解决具体问题时，一方面要注意端点是实心还是空心，另一方面可以将端点值代入检验．例如：已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}．若A B，求实数a的取值范围．我们可以先把集合A中的元素在数轴上表示出来，再根据两个集合之间的关系确定a，这样就能非常直观地看出实数a的取值范围是a≥4(如图所示)．警误区忽视空集致错若B⊆A，则可分B＝∅或B≠∅两种情况进行分类讨论，有时还会涉及对最高次项系数的讨论，对二次函数根的讨论等，在讨论中，B可能为∅易被忽视，要注意这一“陷阱”，时刻记住空集是任何集合的子集这一性质．【例6－1】已知集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．解：由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上(如图所示)．∵B⊆A，∴当B＝∅时，m＋1＜2m－1，解得m＞2；当B≠∅时，有321,211,14,mm mm-<-⎧⎪-≤+⎨⎪+<⎩解得－1＜m≤2.综上可知，m的取值范围是{m|m＞－1}．【例6－2】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a值组成的集合．分析：若B⊆A，则可分B＝∅和B≠∅两种情况进行分类讨论，通过解方程或不等式求出参数a的取值范围．解：由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ＜0，∴－3(a2－16)＜0，解得a＜－4或a＞4.此时B⊆A.(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0.当a＝－2时，Δ＞0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ＞0，舍去．③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ＞0，－2与4恰是方程的两根，∴当a＝－2时，B⊆A.综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．7．判断两个集合相等的方法判断两个集合相等的方法有：(1)利用集合相等的定义，即两个集合中的元素是否完全相同来判断．①将两个集合中的元素一一列出比较；②看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否相同，若两者均一致，则可判断其相等．(2)利用集合相等的等价命题来证明，即A⊆B且B⊆A，则A＝B.此法常适用于无限集，其关键是将集合中元素满足的条件作适当变形．【例7】集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，试证A＝B.证明：(1)任取x∈A，则x＝2k－1，k∈Z，若k为偶数，则k＝2m，m∈Z，此时x＝4m－1，m∈Z，∴x∈B.若k为奇数，则k＝2m－1，m∈Z，此时x＝4m－3＝4(m－1)＋1，m－1∈Z，∴x∈B.综上所述，任取x∈A，均有x∈B，∴A⊆B.(2)任取y∈B，则y＝4k±1，k∈Z.当y＝4k＋1时，y＝2(2k)＋1＝2(2k＋1)－1且2k＋1∈Z.∴y∈A. 当y＝4k－1时，y＝2(2k)－1,2k∈Z，∴y∈A.综上所述，任取y∈B，均有y∈A，∴B⊆A.由(1)(2)知，A＝B.。
1.1.2 集合间的基本关系练习题及答案解析
1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选C.A不是B的子集，也就是说A中存在不是B中的元素，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12. 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.。
【2019-2020】高中数学第一章集合1-2集合的基本关系问题导学案北师大版必修1
教学资料范本【2019-2020】高中数学第一章集合1-2集合的基本关系问题导学案北师大版必修1编辑：__________________时间：__________________1.2 集合的基本关系问题导学一、判断集合间的关系活动与探究1请判断以下给出的各对集合之间的关系：(1)P＝{x||x|＝x，x∈N且x＜2}，Q＝{x∈Z|－2＜x＜2}；(2)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等腰直角三角形}；(3)M＝{1,2}，N＝{x|x2－3x＋2＝0}；(4)C＝{x|0＜x＜1}，D＝{x|0＜x＜2}．迁移与应用判断下列各对集合间的关系：(1)A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是整数}；(2)A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2＝－4}；(3)A＝{(x，y)|xy＜0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＜0或x＜0，y＞0}．(1)判断两个集合之间的关系的方法有：①将元素一一列举出来再判断；②从集合中的元素入手，观察两个集合的特征性质能否相互推出；③集合中的元素为不等式的解集时，可借助数轴判断．(2)集合中关系的描述原则：①当A⊆B和A B均成立时，A B更准确的反映了集合A，B的关系；②当A⊆B和A＝B均成立时，A＝B更准确的反映了集合A，B的关系．(3)注意空集的特殊性：①是任何集合的子集；②是任何非空集合的真子集．二、子集、真子集的确定问题活动与探究2写出集合M＝{x|x(x－1)2(x－2)＝0}的所有子集，并指明哪些是M的真子集．迁移与应用1．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则集合A的个数是()．A．8 B．3 C．4 D．12．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出满足条件的所有的集合A.(1)求给定集合的子集(真子集)时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集(真子集)．在写子集时注意不要忘记空集和集合本身．(2)假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n；②A的真子集的个数为2n－1；③A的非空子集的个数为2n－1；④A的非空真子集的个数为2n－2.以上结论在求解时可以直接应用．三、两个集合相等及其应用活动与探究3设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．迁移与应用1．已知集合A＝{1,2，x2－1}，集合B＝{x,2,0}，若A＝B，则x＝________ __.2．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n＋2，n∈Z}，试判断集合P 与Q的关系，并证明．由于集合中的元素可能有多个，所以利用集合相等解题时，需要注意分类讨论，还要注意检验所得结果是否满足元素的互异性．四、已知两个集合间的关系求参数的值(范围)活动与探究4已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，求实数a的取值范围．迁移与应用1．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，求实数m的值．2．已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝{x|－m＋1≤x≤2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围．(1)已知两个集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，把这两个集合中元素的关系转化为解方程或解不等式(组)．(2)对于给定的集合中的元素是用不等式来表示的，这类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然地认为是非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的．当堂检测1．若集合A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}，则A的子集的个数是()．A．2 B．4 C．8 D．162．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则()．A．A＞B B．A B C．B A D．A⊆B3．如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是()．A．0⊆A B．{0}A C．{0}∈A D．∈A4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________.5．已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是_ _________；若B A，则实数a的取值范围是__________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修一集合的基本关系3 (2)教案(精品教学设计)
1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一）集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系)(A B B A ⊇⊆或（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论： 任何一个集合是它本身的子集⊆（三）真子集的概念若集合BA⊆，存在元素A∈且，则称集合A是集合x∉xBB的真子集（proper subset）。
记作：A B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A）举例（由学生举例，共同辨析）（四）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五）结论：○1AA⊆B⊆，则CA⊆○2BA⊆，且C（六）例题（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
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复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N；Q； -1.5 R.（2）设集合，，则1 A；b B；A.思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？新知：子集、相等、真子集、空集的概念.①如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.当集合A不包含于集合B时，记作.②在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：.③集合相等：若，则中的元素是一样的，因此.④真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.⑤空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1），；（2），R；（3）N，Q N；（4） .反思：思考下列问题.（1）符号“”与“”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？①若；②若.※典型例题例1 写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）与；（2）设集合A={0,1}，集合，则A与B的关系如何？变式：若集合，，且满足，求实数的取值范围.※动手试试练1. 已知集合，B＝{1,2}，，用适当符号填空：A B，A C，{2} C，2 C.练2. 已知集合，，且满足，则实数的取值范围为 .三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有个，真子集有个.A. B. C. D.4. 满足的集合A有个.5. 设集合{},{},{}四边形平行四边形矩形，，则它们之间的关系是，并A B C===用Venn图表示.合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？⊆⊆⊆⊆A B B A A C C A,,,试用Venn图表示这三个集合的关系.2. 已知，且，求实数p、q所满足的条件.2019-2020年高中数学 1.1.2 集合间的基本关系导学案新人教A版必修1【温馨寄语】抓住今天吧!紧紧地把它抓住吧!今天的分分秒秒，都要有所作为，有所进步，有所登攀! 【学习目标】1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．了解空集的含义.3．能使用Venn图表示集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用.【学习重点】1．子集的概念2．子集、真子集的概念；能利用数轴表达集合间的关系。
【学习难点】1．元素与子集、属于与包含之间的区别2．能利用数轴表达集合间的关系【自主学习】1．集合的相关概念(1)子集：(2)集合相等：①若，则集合中的元素和集合中的元素是_______________.②用子集的含义去理解，则_______________ 且 ________________.(3)真子集：①的含义是：集合，但存在元素，且______________.②有两种情况：与.2．Venn图Venn图表示集合的优点在于：形象直观，通常用平面上封闭曲线的内部代表集合3．空集的有关概念以及常用结论(1)空集的有关概念：①特征：不含任何元素；②表示：_________________；③规定：空集是任何集合的__________________.(2)常用结论：①任何一个集合是它本身的_______________，即_______________.②对于集合，，，如果，且，那么 _____________.【预习评价】1．已知集合，，则A. B.C. D.2．下列四个集合中，是空集的是A.B.C.D.3．用适当的符号填空：(l)______________.(2) _____________，(3)_____________4．已知集合，则集合= ______________.5．集合，，若，则=____________.【合作探究】1．子集根据子集的含义，探究以下问题：(1)“”与“”各反映什么样的关系？(2)若，则说明集合是由集合的部分元素组成的，对吗？2．子集观察下面给出的集合中的元素与集合中的元素.，.②设为新华中学高一(2)班男生的全体组成的集合，为这个班学生的全体组成的集合，思考问题：(1) 两组中的集合中元素与集合有什么关系？(2) 两集合间的关系如何表示？(3) 如何用直观图表示集合，之间的关系？3．真子集、集合相等及空集的概念根据真子集与集合相等的概念及或，思考下列问题.(1)若，则中的元素是否一定比中元素少呢？(2)集合相等的定义中的“”能否换为“”？(3)对于集合，，，若，则吗？(4)有没有真子集？有没有真子集？【教师点拨】1．对子集含义的两点说明(1)“是的子集”的含义是：集合中的任何一个元素都是集合中的元素.(2)任何一个集合都是它本身的子集.2．对真子集、空集的三点说明(1)空集是任何非空集合的真子集.(2)对于集合，，，如果，，那么(3)空集是不含任何元素的集合，不能认为，也不能认为，而是，或.3．对集合相等的两点说明(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合中的元素和集合中的元素相同，则这两个集合相等.(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即若，别对任意.都有，同时若，则对任意都有，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.【交流展示】1．如果,那么A. B. C. D.2．已知集合{x|x=,x∈N且x<2},,试判断集合,间的关系.3．集合),定义,则的子集个数为A.7B.12C.16D.324．已知集合,求集合所有子集的元素之和.5．已知,若则的值是A.2B.2或3C.1或3D.1或26．已知集合,集合,若,求的值.【学习小结】1．判断两集合关系的步骤(1)先对所给集合进行化简.(2)弄清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化、形象化.提醒：要分清所判断的是元素与集合的关系，还是集合与集合的关系，也就是说使用属于(不属于)符号，还是使用包含(不包含)符号.2．求集合子集、真子集个数的三个步骤3．与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合中合有个元素，则有：①的子集的个数为个；②的真子集的个数为个；③的非空子集的个数为个；④的非空真子集的个数为个.以上结论在求解时可以直接应用.【当堂检测】1．设,若,则=A.0B.-2C.0或-2D.0或±22．设,若,则实数的取值范围是A. B. C. D.3．同时满足：①；②则的非空集合有A.16个B.15个C.7个D.6个4．满足的集合的个数为_________.5．已知,求的取值范围. 6．已知集合,集合,试问集合与的关系怎样？1.1.2集合间的基本关系详细答案课前预习· 预习案【自主学习】1．(1)任意一个含于包含(2)①一样的②(3)①x∉A3．(1)②Ø③子集(2)①子集②【预习评价】1．C2．B3．(1) (2) (3)4．{1，3}5．0知识拓展· 探究案【合作探究】1．(1)“∈”表示元素与集合之间的关系；“”表示集合与集合之间的关系.(2)不对，如集合A与集合B相等，显然A不是由B的部分元素组成的. 2．(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.(2)两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或.(3)如图，用Venn图表示两个集合之间的“包含”关系，(或).3．(1)一定，因为B中至少有一个元素不属于A.(2)不能.因为AB同时BA的集合A，B是不存在的.(3)相等，由集合相等的定义可知A＝B，B＝C，则A＝C一定成立.(4)因为Ø是不含任何元素的集合，所以它没有真子集；{0}有真子集，是Ø.【交流展示】1．D2．因为x＝|x|,所以x≥0.又因为x∈N且x＜2,所以集合M＝{0,1}.又因为x∈Z,－2＜x＜2,所以集合N＝{－1,0,1}.由子集的定义可知MN.3．C4．集合A的所有子集分别是：Ø,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意A中的每个元素均出现在A的四个子集中,故所求元素之和为(1＋3＋5)×4＝36.5．D6．因为A＝B且a≠0,所以b＝0,因此由已知得a2＝1,所以a＝1或a＝－1,若a＝1,那么集合A中的元素a＝1,与元素的互异性矛盾,所以a＝1不成立,则只有a＝－1成立,所以a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＝－1.【当堂检测】1．C2．A3．C4．75．m≤36．因为a∈R,所以x＝1＋a2≥1,x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1,所以M＝{x|x≥1},M＝{x|x≥1},所以M＝P.。