最新高考数学(理)一轮复习测试第4节直接证明与间接证明、数学归纳法及答案

第4节直接证明与间接证明、数学归纳法
【选题明细表】
基础对点练(时间:30分钟)
1.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
证明过程如下:
因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又因为a,b,c不全相等,
所以以上三式至少有一个“=”不成立,
所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),
所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是( B )
(A)分析法 (B)综合法
(C)分析法与综合法并用(D)反证法
解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.故选B.
2.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( B )
(A)2 (B)3 (C)5 (D)6
解析:因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;
n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;
n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.
所以n的第一个取值n0=3.故选B.
3.要使-<成立,则a,b应满足( D )
(A)ab<0且a>b
(B)ab>0且a>b
(C)ab<0且a<b
(D)ab>0且a>b或ab<0且a<b
解析:要使-<成立,只要(-)3<()3成立,
即a-b-3+3<a-b成立,只要<成立,只要ab2<a2b成立,即要ab(b-a)<0成立,只要ab>0且a>b或ab<0且a<b成立.故选D.
4.用反证法证明命题“设f(x)=x3+3|x-a|(a∈R)为实数,则方程f(x)=0至少有一个实根”时,正确的假设是( A )
(A)方程f(x)没有实根
(B)方程f(x)=0至多有一个实根
(C)方程f(x)=0至多有两个实根
(D)方程f(x)=0恰好有两个实根
解析:由反证法证明命题的格式和步骤,可知应设方程f(x)=0没有实根,故应选A.
5.设x,y,z>0,则三个数+,+,+( C )
(A)都大于2 (B)至少有一个大于2
(C)至少有一个不小于2 (D)至少有一个不大于2
解析:假设三个数都小于2,
则+++++<6,
由于+++++=(+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,所以假设不成立,
所以+,+,+中至少有一个不小于2.故选C.
6.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( D )
(A)P(n)对n∈N*成立
(B)P(n)对n>4且n∈N*成立
(C)P(n)对n=5成立
(D)P(n)对n=3不成立
解析:根据数学归纳法,可知由n=k成立,则它对n=k+1也成立,其逆否命题为由n=k+1不成立,则它对n=k也不成立,即P(n)对n=4不成立,则P(n)对n=3不成立.故选D.
7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,当第
二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n= 时,命题
亦真.
解析:n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立. 答案:2k+1
8.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有
实根,则实数a的取值范围是.
解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有
即
解得{a|-2<a<-1},
所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围. 答案:{a|a≤-2或a≥-1}
9.已知a>0,用分析法证明-≥a+-2.
证明:要证-≥a+-2,
只需证≥(a+)-(2-).
因为a>0,
所以(a+)-(2-)>0,
所以只需证()2≥[(a+)-(2-)]2,
即2(2-)(a+)≥8-4,
只需证a+≥2.
因为a>0,a+≥2显然成立(a==1时等号成立),
所以要证的不等式成立.
10.设函数f(x)=ax2+bx+c且f(1)=-,3a>2c>2b.
(1)试用反证法证明:a>0.
(2)证明:-3<<-.
证明:(1)假设a≤0,
因为3a>2c>2b,
所以3a≤0,2c<0,2b<0,
将上述不等式相加得3a+2c+2b<0,
因为f(1)=-,
所以3a+2c+2b=0,
这与3a+2c+2b<0矛盾,
所以假设不成立,
所以a>0.
(2)因为f(1)=a+b+c=-,
所以c=-a-b.
所以3a>2c=-3a-2b,
所以3a>-b.
因为2c>2b,
所以-3a>4b.
因为a>0,
所以-3<<-.
能力提升练(时间:15分钟)
a,b,c是正数,p=a+b-c,q=b+c-a,r=c+a-b,则“pqr>0”是“p,q,r同时大于零”的( C )
(A)充分条件
(B)必要条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:必要性显然具备,充分性:若pqr>0,则p,q,r同时大于零或其中两个为负,不妨设p<0,q<0,r>0,
因为p<0,q<0,即a+b<c,b+c<a,
所以a+b+b+c<c+a,即b<0,这与b>0矛盾,所以p,q,r同时大于零,
故选C.
12.(2016·成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,
A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为( A )
(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B
(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A
解析:因为≥≥,
又f(x)=()x在R上是减函数,
所以f()≤f()≤f(),
即A≤B≤C.故选A.
13.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区
间D内的任意x1,x2,…,x n,有≤f(),已知函数y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C 的最大值为.
解析:因为f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数,
且A,B,C∈(0,π),
所以≤f()=f(),
即sin A+sin B+sin C≤3sin =,
所以sin A+sin B+sin C的最大值为.
答案:
14.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式(1+)(1+)…(1+)>均成立.
证明:①当n=2时,左边=1+=,右边=.
因为左边>右边,
所以不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立,
即(1+)(1+)…(1+)>,
则当n=k+1时,
(1+)(1+)…(1+)[1+]
>·
=
=
>
=
=
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①②知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.
好题天天练
若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a,b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab. 解题关键:理解定义,转化为不等式.
(1)解:由题意知|x2-1|>1,即x2-1>1或x2-1<-1,
解之得x>或x<-.所以x∈(-∞,-)∪(,+∞).
(2)证明:对任意两个不相等的正数a,b,有
a3+b3>2ab,a2b+ab2>2ab.
因为|a3+b3-2ab|-|a2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0,所以
|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|,即a3+b3比a2b+ab2远离2ab.。