九年级数学下册 3.5 确定圆的条件教案2 (新版)北师大版
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教案2
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教案2一. 教材分析《确定圆的条件》是北师大版九年级数学下册第3章第5节的内容。
本节主要让学生掌握确定一个圆的三个重要条件：圆心、半径和直径，并理解它们之间的关系。
通过本节的学习，学生能够解决一些与圆有关的问题，为后续学习圆的方程和圆的性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和概念有一定的了解。
但是，对于圆的特殊性质和确定圆的条件，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探索和理解圆的确定条件。
三. 教学目标1.让学生掌握确定一个圆的三个重要条件：圆心、半径和直径。
2.让学生理解圆心、半径和直径之间的关系。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.重点：确定一个圆的三个重要条件。
2.难点：理解圆心、半径和直径之间的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物和图片引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究和解决问题，培养学生的思考能力。
3.合作学习法：分组讨论和交流，让学生在合作中学习，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.准备相关的实物和图片，如硬币、圆规、圆形的物品等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和作业题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物和图片引导学生观察和思考，提出问题：“你们知道什么是圆吗？怎样才能确定一个圆呢？”让学生发表自己的看法。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示圆的定义和相关性质，引导学生理解圆心、半径和直径的概念。
同时，展示一些与圆有关的问题，如硬币的边缘、圆形的桌面等，让学生观察和思考。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和交流，尝试用圆规和直尺画出一个圆，并找出圆心、半径和直径。
每组选出一个代表进行演示和讲解。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些与圆有关的问题，如求圆的半径、直径等。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.5《确定圆的条件》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第三章 3.5《确定圆的条件》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.5《确定圆的条件》主要介绍了确定圆的条件及其应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握圆的确定条件，理解圆的方程，并能运用所学知识解决实际问题。
本节课的内容是学生进一步学习圆的性质和圆的方程的基础，对于提高学生的数学素养具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对函数、几何等概念有一定的理解。
但是，对于圆的确定条件及其应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握圆的确定条件，理解圆的方程，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：圆的确定条件，圆的方程。
2.难点：圆的方程的运用，实际问题的解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生主动探究圆的确定条件。
2.互动教学法：鼓励学生积极参与讨论，培养学生的团队协作精神。
3.启发式教学法：教师引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、黑板等教学工具。
2.学生准备：笔记本、文具、学习资料等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题：“在平面上有三个点，如何判断这三个点能否构成一个圆？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示相关课件，引导学生观察、分析，总结出圆的确定条件。
同时，介绍圆的方程及其意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个有关圆的确定条件的问题，学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师给出几个练习题，学生独立完成，检验自己对于圆的确定条件的掌握情况。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件教学设计
-提供一道具有挑战性的圆相关问题，鼓励学生运用创新思维，尝试不同的解题方法。
-学生可以查阅资料、请教他人，拓宽思路，提高解决问题的能力。
5.反思与总结：
-要求学生撰写一篇关于本节课学习心得的反思日记，总结自己在学习圆的确定条件和相关性质过程中的收获和困惑。
-鼓励学生提出对本节课教学内容的建议和意见，以便教师改进教学方法和策略。
-设计一道与生活实际相关的圆的问题，要求学生运用所学的圆的确定条件进行解决，如测量圆形物体的半径、计算圆形花园的面积等。
-鼓励学生从生活中发现其他与圆相关的问题，进行实际测量和计算，培养学生的实践能力。
3.小组合作探究：
-分小组讨论一道综合性较强的几何问题，要求学生合作探讨，运用圆的性质进行解答。
-各小组将讨论过程和最终答案整理成报告，以便在课堂上进行分享和交流。
1.通过直观演示、动手操作和合作交流，培养学生观察、思考和解决问题的能力。
-教学过程中，组织学生进行直观演示和动手操作，例如使用圆规画圆，通过实际操作加深对圆的确定条件的理解。同时，鼓励学生之间的合作交流，共同探讨问题，培养团队合作精神。
2.引导学生运用数形结合思想，通过数形结合解决圆的相关问题。
-教学过程中，注重培养学生的数形结合思想，使学生能够将数学公式、性质与几何图形相结合，更好地理解和解决圆的相关问题。
2.培养学生的空间观念和审美观念，提高对几何美的认识。
-通过对圆的性质和图形的学习，培养学生的空间观念，使其感受到几何图形的美，提高对数学美的审美能力。
3.培养学生的团队合作意识，学会尊重他人，共同进步。
-在教学过程中，注重学生之间的交流与合作，使学生学会倾听他人的意见，尊重他人，共同解决问题，形成良好的团队合作意识。
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》说课稿2
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》说课稿2一. 教材分析《确定圆的条件》是北师大版九年级数学下册第3章第5节的内容。
本节课主要学习圆的确定条件，即圆心和半径。
通过学习，学生能够理解圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，并能够运用这些条件解决实际问题。
教材通过引入圆的定义和性质，引导学生探索圆的确定条件，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。
但是，对于圆的确定条件的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
学生的学习兴趣和积极性较高，可以通过问题驱动和实例分析的方式激发学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解圆的确定条件，即圆心和半径，并能够运用这些条件解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实验和证明等方法，学生能够探索圆的确定条件，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养合作和交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆的确定条件，即圆心和半径。
2.教学难点：如何引导学生探索和理解圆的确定条件，并能够运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、实例分析和小组合作等教学方法，引导学生观察、思考和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解圆的确定条件。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际问题，引发学生对圆的确定条件的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探索圆的确定条件：引导学生通过观察、实验和证明等方法，探索圆的确定条件，理解圆心和半径的作用。
3.实例分析：通过实际问题，让学生运用圆的确定条件解决问题，巩固所学知识。
4.小组合作：学生分组讨论和合作，共同解决问题，培养学生的合作和交流能力。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出相关的拓展问题，激发学生的进一步学习兴趣。
北师大版九年级数学下册教案：3.5确定圆的条件
注意事项：充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力．
课堂小结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.
【板书设计】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”中创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，学生回想圆的定义，得出作圆的关键是确定圆心和半径，为本节课“确定圆的条件”的探究做好铺垫.
图3－5－10
【探究2】过两点作圆
作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
以问题的形式逐层引导学生由易到难开展探究活动，培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
处理方式：学生在教师的指导下画图，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A，B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到点A，B的距离相等．根据前面学过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A，B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到点A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，有无数个圆心，所以作出的圆有无数个．如图3－5－11.
图3－5－11
【探究3】过三点作圆
问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？
问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
3.5 确定圆的条件(教案)-北师大版数学九下
第5节确定圆的条件1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.【重点】掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.【难点】经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,过不在同一条直线上的三个点作圆.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习线段垂直平分线的尺规作法.2.圆规,直尺.导入一:如右图所示,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在什么位置?学生分析:要想同时顾及三个出口,就要满足花猫所在的点到三个洞口A,B,C的距离相等.【问题】A,B,C可以看成△ABC的三个顶点,在三角形的内部有没有到三个顶点的距离相等的点呢[设计意图]利用“猫捉老鼠”的游戏进行引入,极大地吸引了学生的注意力,激发了他们学习的欲望,为下面新知的探究奠定了良好的基础.导入二:长沙马王堆一号汉墓的发掘,在我国的考古界算得上惊人的发现,在世界考古学史上,也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时,发现一破损的圆形铜镜,如图所示,你能帮助这位考古学家将这个圆形铜镜复原,以便于进行深入的研究吗?教师引导学生思考:要复原圆形铜镜,即画出和铜镜一样大小的圆,关键是什么呢?【学生活动】学生相互讨论后发言:关键是要找出圆形铜镜的圆心和半径.【引入】确定圆的两个要素就是圆心和半径.那么如何才能找出它的圆心和半径呢?通过本节课的学习,相信大家一定能找到解决问题的办法.[设计意图]通过创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣,并感受祖国历史文化的源远流长;通过问题的思考讨论,让学生回忆圆的定义及作圆的关键是确定圆心和半径,自然地引入课题.[过渡语]我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点可以确定一条直线,那么经过几点能确定一个圆呢?课件出示:活动1:作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆?【师生活动】先由学生自己动手尝试画图,师巡视发现学生出现的问题.学生完成后,根据学生的画法,发现了以下两种情况,供学生判定对与错.1.有的同学以点A为圆心画了很多同心圆.2.经过点A画了很多圆.学生分析:第二种作法正确,因为经过点A意味着点A在圆上,而不是圆心.【教师点评】以点A以外的任意一点为圆心,以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆.(教师利用多媒体动画演示画圆)【学生小结】经过已知一点的圆有无数个,如图所示.活动2:作圆,使它经过已知点A,B.你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?【师生活动】先由学生自己动手尝试画图.师巡视发现学生出现的问题.待学生完成后,询问作出的圆的个数.根据学生的回答,展示三种作法让学生进行对比.1.有的同学取线段AB的中点为圆心,作出一个圆;2.有的同学作线段AB的垂直平分线,作出两个圆.3.有的同学作线段AB的垂直平分线,能作出无数多个圆.【教师点评】在线段AB的垂直平分线上任意取一点,都能满足到A,B两点的距离相等,所以在线段AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心,这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.因为有无数个圆心,所以作出的圆就有无数个.(教师多媒体动画演示画圆)【学生小结】经过已知两点的圆也有无数个,如图所示.活动3:作圆,使它经过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的?你能作出几个这样的圆?【学生活动】先由学生自己动手尝试画图,可能会有很多同学不知道如何下手.【师生活动】教师让学生说出自己利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法和步骤,教师同时利用多媒体展示作法,让没完成的同学跟着完成.作法图示(1)连接AB,BC(2)分别作线段AB,BC的垂直平分线DE和FG,DE和FG相交于点O(3)以O为圆心,OB为半径作圆.☉O就是所要求作的圆想一想:这样作出的圆符合要求吗?与同伴交流.【学生活动】学生分组讨论后,代表发言:因为连接AB,作AB的垂直平分线ED,则ED上任意一点到A,B的距离相等,连接BC,作BC的垂直平分线FG,则FG上的任一点到B,C的距离相等.ED与FG的交点O满足OA=OB=OC,因此这样的画法满足条件.因为两条直线的交点只有一个,所以只有一个圆心,即只能作出一个满足条件的圆.【教师点评】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.活动4:过同一直线上的三点能作圆吗?学生动手操作后都感觉疑惑,然后继续分组讨论.代表发言:不能,找不到圆心.原因是:线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行,没有交点,如图所示.【教师强调】过同一直线上的三点是无法确定圆的,所以要注意“不在同一条直线上”这个条件的重要性.[设计意图]通过前两个问题的探究,不但使学生掌握了经过一个点和两个点都不能确定圆的事实,还进一步激发了学生的探究欲望,使其自然而然的想要探究经过三个点是否可以确定一个圆,为【想一想】三角形的三个顶点可以确定一个圆吗?学生分析:因为三角形的三个顶点一定不会在同一直线上,所以经过三角形的三个顶点肯定能作一个圆.【教师点评】这个三角形和圆之间有如下的特殊关系.三角形外接圆和外心的概念:三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.师出示示意图,如图所示,供学生加深印象.【议一议】三角形的外心具有什么样的特征?【学生小结】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等.[设计意图]学生亲自动手画图,体会不在同一直线上的三个点确定一个圆的事实.在其参与知识的探索过程中,享受发现知识的快乐.[知识拓展]三角形外心的位置:(1)锐角三角形的外心在三角形的内部,如图(1)所示;(2)直角三角形的外心在斜边中点上,如图(2)所示;(3)钝角三角形的外心在三角形的外部,如图(3)所示.课件出示:【做一做】你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗你有哪些方法?与同伴进行交流.【学生活动】学生根据所学到的知识动手操作,然后与同伴交流做法.方法1:把圆形纸片对折两次,两次折痕的交点即是圆形纸片的圆心.方法2:在圆形纸片上任取两条不平行的线段,作出这两条线段的垂直平分线,其交点即是圆形纸片的圆心.[设计意图]通过此问题,让学生体会数学在生活中的应用,用数学知识可以解决一些实际问题,培养学生“用数学”的意识.1.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.2.三角形外接圆和外心的概念.3.三角形外心的位置和性质.1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块解析:第②块出现一段完整的弧,可在这段弧上任作两条不平行的弦,作出这两条弦的垂直平分线,交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选B.2.如图(1)所示,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()A.点PB.点MC.点RD.点Q解析:如图(2)所示,连接BC,根据垂径定理的推论,作弦AB和BC的垂直平分线,交点Q即为圆心.故选D.3.(2014·抚州中考)如图所示,△ABC内接于☉O,∠OAB=20°,则∠C的度数为.解析:∵∠OAB=20°,OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°,∴∠ACB=∠AOB=70°.故填70°.4.如图所示,破残的圆形纸片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);(2)求(1)中所作圆的半径.解:(1)如图(1)所示的圆O.(2)如图(2)所示,连接OA,设OA=x cm,由题知AD=12cm,OD=(x-8)cm,则根据勾股定理列方程为:x2=144+(x-8)2,解得x=13.所以圆的半径为13cm.5确定圆的条件1.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.2.三角形外接圆和外心的概念:三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.一、教材作业【必做题】1.教材第86页随堂练习.2.教材第87页习题3.6第1,2题.【选做题】教材第88页习题3.6第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是()A.三个点一定能确定一个圆B.以已知线段为半径能确定一个圆C.以已知线段为直径能确定一个圆D.菱形的四个顶点能确定一个圆2.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,已知∠B=60°,则∠CAO的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°3.(2014·龙岩中考)如图所示,A,B,C是半径为6的☉O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=.4.(2014·宁夏中考)如图所示,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.【能力提升】5.在Rt△ABC中,AB=12,BC=16,那么这个三角形的外接圆的直径是()A.10B.20C.10或8D.20或166.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),则△ABC外接圆半径的长度为.7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,且半径为10,∠A=60°,求弦BC的长.8.如图所示,△ABC内接于☉O,AD为边BC上的高.(1)若AB=6,AC=4,AD=3,求☉O的直径AE的长度;(2)若AB+AC=10,AD=4,求☉O的直径AE的长的最大值,并指出此时边AB的长.【拓展探究】9.如图所示,将△AOB置于直角坐标系中,O为原点,A(3,0),∠ABO=60°.若△AOB的外接圆与y轴交于点D.(1)直接写出∠ADO的度数;(2)求△AOB的外接圆半径r.【答案与解析】1.C(解析:不在同一直线上的三点可确定一个圆,没有强调不在同一直线上,故本选项错误;B.以已知线段为半径能确定2个圆,分别以线段的两个端点为圆心,故本选项错误;C.以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆心为线段的中点,半径为线段长度的一半,故本选项正确;D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,故本选项错误.故选C.)2.B(解析:如图所示,连接OC,由圆周角定理知∠AOC=2∠B=120°,在△OAC中,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO=30°.故选B.)3.6(解析:如图所示,连接OB,OC,∵∠BAC=45°,∴∠BOC=2∠BAC=90°,∵OB=OC=6,∴BC==6.)4.(解析:如图所示,点O为△ABC外接圆圆心,则AO为外接圆半径,故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.)5.D(解析:根据题意得:(1)斜边是BC,即外接圆直径是16;(2)斜边是AC,即外接圆直径是=20.故选D.)6.(解析:设△ABC的外心为M.∵B(-2,-2),C(4,-2),∴M必在直线x=1上,由图知AC的垂直平分线过(1,0),故M(1,0).过M作MD⊥BC于D,连接MB,Rt△MBD中,MD=2,BD=3,由勾股定理得MB==,即△ABC的外接圆半径为.)7.解:如图所示,过O作OD⊥BC于D.∵∠BOC=2∠BAC,且∠BOD=∠COD=∠BOC,∴∠BOD=∠BAC=60°.在Rt△BOD中,OB=10,∠BOD=60°,∴BD=OB=5,∴BC=2BD=10.8.解:(1)如图所示,连接BE.∵AE是直径,AD⊥BC,∴∠ABE=90°=∠ADC.又∵∠E=∠C(同弧所对的圆周角相等),∴△ABE∽△ADC.∴=,∴AE===8.(2)∵AB+AC=10,∴AC=10-AB,∵AD=4,由(1)中=,得AE==-+AB=-(AB-5)2+,∴☉O的直径AE的长的最大值为,此时边AB的长为5.9.解:(1)∠ADO=60°.(2)设三角形AOB外接圆的圆心为M,如图所示,连接OM,过M作MN⊥OA于N,那么∠OMN=∠OBA=60°,ON=OA=.直角三角形OMN中,OM=ON÷sin60°=÷=,因此三角形AOB外接圆的半径r=.由实际背景的问题引出学习主题,有助于激发学生的探究热情.通过四个探究活动,逐步使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性.在教学中大胆放手让学生探究,在动手实践中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳.通过充分的过程探究,最后总结归纳出相关知识要点.这有助于学生经历真正的“学数学”和“用数学”的过程,逐步发展学生的应用意识和推理能力.(1)线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻.(2)学生的探究活动时间不够充分,应让学生真正成为学习的主人.关于“内接”与“外接”这两个术语,学生容易混淆,教学中应重点强调.随堂练习(教材第86页)解:作图略.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边中点上;钝角三角形的外心在三角形的外部.习题3.6(教材第87页)1.解:连接放牧点1和放牧点2,并作其垂直平分线;连接放牧点2和放牧点3,并作其垂直平分线.这两条垂直平分线的交点为P ,则点P 即为定居点位置.2.解:这样的圆能作两个,圆心在线段AB 的垂直平分线上,且到线段AB 的距离为cm .3.解:不能.例如:四点中有三个点共线时,同时过四点就不能作圆.4.解:最少用2次.第一次作A 1B 1的垂直平分线M 1N 1,第二次作A 2B 2(A 1B 1与A 2B 2不平行)的垂直平分线M 2N 2,两条直线的交点就是圆形工件的圆心.理由如下:圆心到A 1,B 1两点的距离相等,因此圆心一定在A 1B 1的垂直平分线上.同理,圆心一定在A 2B 2的垂直平分线上.直线M 1N 1与M 2N 2的交点到点A 1,B 1,A 2,B 2的距离相等,所以它是圆心.1.本节课的主要任务是通过动手操作逐步探究确定圆的条件,所以尺规作图的能力是本节课探究学习的保障,特别是关于线段的垂直平分线的作法,学生在课前一定要及时复习,要达到非常熟练地程度.2.在动手实践中要让学生积极地去经历、体验、观察,并结合类比、讨论、合作、归纳等思想,亲身感受结论的形成过程和结论的确定性,逐步发展自己的应用意识和推理能力.。
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径，以及如何根据这些条件来确定一个圆。
同时，通过实例让学生理解圆的方程的意义和应用。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了坐标系和方程的基础知识，对几何图形也有一定的认识。
但是，对于圆的方程的理解可能还需要进一步的引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径。
2.让学生理解圆的方程的意义和应用。
3.培养学生的空间想象能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.圆的方程的意义的理解和应用。
2.如何引导学生从实际问题中抽象出圆的方程。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生理解圆的方程的意义和应用，然后通过练习让学生进一步巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备课件和黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考如何确定一个圆。
例如，给出一个圆的三个点，让学生思考如何确定这个圆。
2.呈现（15分钟）通过课件或者板书，呈现圆的方程。
解释圆的方程的意义，包括圆心坐标和半径。
让学生理解圆的方程是如何表示一个圆的。
3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固对圆的方程的理解。
可以给出一些具体的圆的方程，让学生求解圆心坐标和半径，或者给出圆心坐标和半径，让学生写出对应的圆的方程。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用圆的方程来解决问题。
例如，给出一个圆的方程，让学生求解圆与直线的交点，或者求解圆的面积。
5.拓展（10分钟）可以让学生思考一些拓展问题，例如，如何确定一个圆的位置和大小，如何求解两个圆的交点等。
6.小结（5分钟）通过小结，让学生回顾所学知识，加深对圆的方程的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里完成。
8.板书（5分钟）在黑板上写出圆的方程，以及解题的关键步骤。
九年级数学下册第3章圆3.5确定圆的条件教案新版北师大版
九年级数学下册第 3 章圆 3.5 确立圆的条件教课设计新版北师大版《确立圆的条件》◆模式介绍新课程理念坚持把“为了每个学生的发展” 作为讲堂教课改革的要旨．发现式教课模式是在老师的组织指引下，规范学生自主学习习惯，让学生在自学和沟通中发现问题、解决问题，使学生踊跃主动地获得知识，并培育优秀学习习惯的一种教课模式．发现式教课往常包含以下六个教课环节：激趣导学——目标导学——导思点拨——设问寻疑——诊疗反应——拓展延长◆设计说明第一经过问题 1 创建配玻璃这个现真相境，不只好让学生回想圆的定义及作圆的要点是确立圆心和半径，并且能激发学生的学习兴趣和研究欲念，为本节课研究“确立圆的条件”做好铺垫．问题 2 以问题串的形式指引学生由易到难地展开研究活动，从中研究确立圆的条件，培育学生的研究精神，使学生领会在这一过程中所表现的概括思想．问题3经过设问引出外接圆、外心等观点．问题 4 经过反证法证明在同向来线的三点不可以确立一个圆，发展学生的辨析思想；追问的目的，一是查验学生学习情况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提高学生学习踊跃性. 问题 5 旨在让学生利用前方解决问题的策略确立圆心的地点．◆教材剖析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第 5 节《确立圆的条件》的教课内容，本节课是在学生学习了“经过一点能够画无数条直线，经过两点有且只有一条直线，线段垂直均分线的性质”等知识以后，同时具备了用尺规作“线段垂直均分线”等操作技术的基础长进行的. 主要研究确立圆的条件，并用尺规过不在同一条直线上的三点作圆．本节内容的教课应当由易到难，让学生经历经过一点、两点、三点作出圆的过程，从中研究确立圆的条件．作图前，要指引学生经过思虑明确这样的基本思想：作圆的问题本质上就是确立圆心和半径的问题，确立了圆心和半径，圆就随之确立．◆教课目的【知识与能力目标】1、认识不在同向来线的三点确立一个圆，会用尺规过不在同向来线上的三个点作圆．2、认识三角形的外接圆、三角形的外心的观点．【过程与方法】在经过不在同向来线上的三个点确立一个圆的研究过程中，让学生进一步领会解决数学问题的策略．【感情态度与价值观】在经过不在同向来线上的三个点确立一个圆的研究过程中，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．◆教课重难点【教课要点】确立圆的条件．【教课难点】研究确立圆的条件．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教课过程【激趣导学】问题 1 （ 1）丁丁不慎把家里的圆形玻璃打坏了，此中四块碎片以下图，为配到与本来大小同样的圆形玻璃，丁丁应当带哪一块玻璃碎片去商铺配制？（2）商铺配玻璃的师傅，要配制一块与本来大小同样的圆形玻璃，他一定要知道什么？为何？（3）作圆的要点是什么？设计企图：经过创建配玻璃这个现真相境，不只好让学生回想圆的定义及作圆的要点是确立圆心和半径，并且能激发学生的学习兴趣和研究欲念，为本节课研究“确立圆的条件”做好铺垫．【目标导学】学习目标：1、经历研究过程，认识“不在同向来线上的三个点确立一个圆”．2、会过不在同向来线上的三个点作圆．3、认识三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等观点．设计企图：依据教材的本质需求把本节要达成的教课内容分解成 3 个由浅入深的小目标，最大限度的使学生动口、着手、动脑，把学习的主动权交给学生，让学生成为学习的主人，教师依据讲堂教课现状加以适合的组织指引．【导思点拨】问题 2我们知道经过一点能够作无数条直线，经过两点只好作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？着手画一画：（ 1）作圆，使它经过已知点A ．你能作出几个这样的圆？为何有这样多个圆？（ 2）作圆，使它经过已知点 A 、B ．你是怎样做的？依照是什么？你能作出几个这样的 圆？其圆心散布有什么特色？与线段AB 有什么关系？为何？（ 3）作圆，使它经过已知点 A 、B 、C （ A 、B 、C 不在同向来线上）．你是怎样做的？你能作出几个这样的圆？为何？结论：（ 1）以点 A 之外的随意一点为圆心，以这一点与点A 所连线段为半径就能够作一个圆．因为圆心是随意的，所以这样的圆有无数个．A（ 2）经过 、 B 两点的圆，其圆心到 、 B 两点的距离必定相等，所以圆心应在线段ABAA的垂直均分线上．另一方面，线段AB 的垂直均分线上的点到点 A 、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直均分线上随意取一点为圆心，都能够作一个经过 A 、 B 两点的圆．所以这样的圆也有无数个．· ·（ 3）要作一个圆经过 A 、 B 、C 三点，就要确立一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．到 A 、 B 两点距离相等的点在线段 AB 的垂直均分线上，到 B 、C 两点距离相等的点在线段 BC 的垂直均分线上，两直线的交点到 A 、 B 、C 三点的距离相等，即所作圆的圆心，利用尺规过不在同 向来线上的三点作圆的方法以下：设计企图：以问题串的形式指引学生由易到难地展开研究活动，从中研究确立圆的条件，培育学生的研究精神，使学生领会在这一过程中所表现的概括思想．【设问寻疑】问题 3依据问题 2 的作图，回答下列问题：（ 1）不在同向来线上的三个点为何只确立一个圆？（ 2）三角形的三个极点确立几个圆？结论：（ 1）因为连结这三个点所得三条线段的垂直均分线交于一点，即圆心固定，半径确立，这样的圆只有一个．（2）三角形的三个极点确立一个圆，这个圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直均分线的交点．设计企图：经过设问引出外接圆、外心等观点．【诊疗反应】问题 4 经过同一条直线上的三个点能不可以作出一个圆？Pl1l 2A B C证明：（反证法）如图，假定过同向来线l 上的 A、B、C三点能够作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P 既在线段AB的垂直均分线l1上，又在线段BC的垂直均分线l2上， ? 即点 P 为l1与l2的交点，而l1l ， l 2l ，这与我们从前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同向来线上的三点不可以作圆．上边的证明方法与我们前方所学的证明方法思路不一样，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假定命题的结论不建立（即假定过同向来线上的三点能够作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假定不正确，进而获得命题建立．这类证明方法叫做反证法．在某些情况下，反证法是很有效的证明方法．追问：经过上边的学习，此刻解决一开始提出的“配玻璃问题．带到商铺去的一块玻璃碎片应当是哪一块？为何？剖析：带第②块去配．只需第②块圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是该圆的圆心．设计企图：问题 4 经过反证法证明在同向来线的三点不可以确立一个圆，发展学生的辨析思想；追问的目的，一是查验学生学习情况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提高学生学习踊跃性.学生练习课本 144 页随堂练习．讲堂小结：本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、观点：三角形的外接圆，三角形的外心．2、不在同向来线上的三点确立一个圆．3、会用尺规过不在同向来线上的三个点作圆．【拓展延长】问题 5 某地出土一古代残破圆形瓷盘，以下图．为复制该瓷盘确立其圆心和半径，请在图顶用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．剖析：圆心是一个点，一个点能够由两条直线交点而成，且圆心到圆上随意一点的距离都等于圆的半径，所以圆心在弦的垂直均分线上．所以，只需在残破的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是该圆的圆心．设计企图：旨在让学生利用前方解决问题的策略确立圆心的地点．部署作业：1、教科书习题 3.6 第 1 题、第 2 题．（必做题）2、教科书习题 3.6 第 3 题、第 4 题．（选做题）◆教课反省略．。
教案九年级数学北师大版下册：3.5 确定圆的条件
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
5 确定圆的条件
新知梳理
知识点一 确定圆的条件 不在同一条直线上的___三__个___点确定一个圆．
5 确定圆的条件
知识点二 三角形的外接圆、外心的概念 1．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 __外__接__圆__． 2．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做 三角形的___外__心___． [明确] 三角形的外心在三角形内部⇔三角形为锐角三角形； 三角形的外心在三角形一边上⇔三角形为直角三角形； 三角形的外心在三角形外部⇔三角形为钝角三角形．
分析： (1)以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所
连的线段长为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因 此这样的圆有___无__数___个．
(2)经过A，B两点的圆，其圆心到A，B两点的距离一定相等， 所以圆心应在线段AB的_垂__直__平__分__线_上．另一方面，线段AB的 _垂__直__平__分__线__上的点到A，B两点的距离相等，所以在AB的 _垂__直__平__分__线_上任意取一点为圆心，都可以作一个经过A，B两
点的圆．因此这样的圆)要作一个经过A，B，C三点的圆，就要确定一个点作为圆 心，使它到三点的距离相等．到A，B两点距离相等的点在线 段AB的_垂__直__平__分__线__上，到B，C两点距离相等的点在线段BC 的垂_直__平__分__线____上，两者的交点就是到A，B，C三点距离相等
[听课笔记]
[解析] 白杨树保持不变，则A，B，C三点必须在圆上，因此， 就是作△ABC的外接圆．
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教学设计一. 教材分析《确定圆的条件》是北师大版九年级数学下册第三章第五节的内容。
本节内容主要让学生掌握确定一个圆的三个关键条件：圆心、半径和圆的方程。
通过学习，学生能够理解圆的性质，会用圆的标准方程和一般方程表示圆，并能够解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和方程有一定的了解。
但是，对于圆的概念和性质，他们可能还不是很清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并通过实例让学生加深对圆的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握确定一个圆的三个关键条件，理解圆的性质，会用圆的标准方程和一般方程表示圆。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、表达等活动，培养学生的抽象思维能力和空间想象力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的科学精神。
四. 教学重难点1.重点：确定一个圆的三个关键条件，圆的标准方程和一般方程。
2.难点：理解圆的性质，会用圆的方程表示圆。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入圆的概念，让学生在情境中感受圆的性质。
2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现圆的性质和方程。
3.归纳总结法：教师引导学生总结圆的性质，并用方程表示圆。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆的性质和方程。
2.教学素材：准备一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.板书设计：设计板书，突出圆的性质和方程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆有关的生活实例，引导学生关注圆的性质。
提出问题：“你能说出确定一个圆的几个关键条件吗？”让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示圆的性质和方程。
通过观察、操作、思考等活动，引导学生发现圆的性质，并用方程表示圆。
3.操练（10分钟）教师提出一些与圆有关的问题，让学生独立解答。
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教案
北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生了解确定圆的三个重要条件：圆心、半径和圆的方程。
通过学习，学生能够掌握圆的定义，理解圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，以及如何用圆的方程来表示圆。
这一节的内容是九年级数学的重要知识点，也是高考的考点之一。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于圆的概念和性质可能还不够深入，因此，在学习这一节时，需要引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握圆的性质。
三. 教学目标1.让学生了解圆的定义，理解圆心、半径在确定圆的重要性。
2.让学生掌握圆的方程表示方法，能运用圆的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质2.圆的方程表示方法3.运用圆的性质解决实际问题五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的性质，提高学生的空间想象能力。
3.通过实际操作，让学生亲身体验圆的性质，加深对知识的理解。
六. 教学准备1.多媒体教学设备2.圆的模型或图片3.圆的方程示例题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示圆的模型或图片，引导学生思考：什么是圆？圆有哪些性质？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，介绍圆的定义和性质，让学生理解圆心、半径在确定圆的重要性。
同时，引导学生思考如何用数学语言来表示圆。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个圆的方程，并解释其含义。
教师巡回指导，给予反馈。
4.巩固（10分钟）教师出示几个实际问题，让学生运用圆的性质来解决。
例如：一个圆的半径为5cm，求其面积、周长等。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：圆的性质在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强化对圆的性质的理解。
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教学设计
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教学设计一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生了解确定圆的三个重要条件：圆心、半径和圆的方程。
通过本节课的学习，学生能够掌握圆的定义，理解圆心、半径的概念，并能够运用这些知识解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆的特殊性质和圆的方程可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握圆的性质和方程。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解圆的定义，掌握圆心、半径的概念，能够运用圆的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点重点：圆的定义，圆心、半径的概念。
难点：理解圆的性质，能够运用圆的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法，引导学生观察、思考、交流，从而掌握圆的性质和方程。
六. 教学准备1.准备一些关于圆的图片，如硬币、地球等，用于导入和呈现。
2.准备一些圆形物品，如圆规、圆盘等，用于操练和巩固。
3.准备一些实际问题，如圆形操场、圆形桌面等，用于拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些关于圆的图片，如硬币、地球等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引出圆的定义。
2.呈现（10分钟）向学生介绍圆心、半径的概念，并通过动画演示圆的性质。
同时，引导学生进行合作学习，互相交流对圆的理解。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，使用圆规、圆盘等工具，亲自操作并观察圆的性质。
然后，各组汇报实验结果，全班共同总结。
4.巩固（10分钟）出示一些关于圆的实际问题，如圆形操场、圆形桌面等，让学生运用所学的圆的性质进行解决。
教师巡回指导，帮助学生巩固所学知识。
北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件教案
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的基本概念。圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。圆心和半径是确定圆的两大要素，它们决定了圆的位置和大小。圆在日常生活和工程应用中有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要在平面上确定一个以点A为圆心，半径为5厘米的圆，我们该如何操作？通过这个案例，展示圆在实际中的应用以及如何帮助我们解决问题。
4.增强学生的数学建模意识：将实际问题抽象为数学模型，通过建立圆的方程，让学生体会数学建模的过程，提高数学应用意识。
5.培养学生的几何直观：通过对圆的性质和图形的分析，引导学生运用几何直观发现和解决问题，提高几何直观能力。
这些核心素养目标将有助于学生在掌握圆的基学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：
-圆的定义及其确定条件。
-圆的标准方程和一般方程的推导及应用。
-圆的基本性质及其应用。
-举例解释：
-圆的定义：强调圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这是圆区别于其他平面图形的本质特征。
-圆的方程：通过具体例题，如给定圆上两点和半径求圆的方程，使学生掌握圆的标准方程和一般方程的推导过程。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念：通过探究圆的定义和性质，使学生能够形成对圆的空间想象能力，提高对平面几何图形的认识。
2.提升学生的逻辑推理能力：在解决确定圆条件及相关问题时，训练学生运用逻辑推理和演绎推理，培养严谨的数学思维。
3.发展学生的数据分析能力：学会运用圆的方程解决实际问题，培养学生的数据分析和问题解决能力。
-圆的性质：讲解圆周角定理、圆内接四边形的性质等，并通过实际例题让学生理解这些性质在实际问题中的应用。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件教学设计
《确定圆的条件》教案 学习目标：１.知识目标经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.２.技能目标掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.３.情感目标树立探究数学问题的意识，敢于发表自己的观点，从问题的解决中获得成功的体验，学会与他人合作，并能交流思维的过程和结果． 教学重点:掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法。
教学难点：确定圆的条件的思维过程.教学过程：一、问题引入：如图,有一片破碎的镜子,你能想办法"破镜重圆”吗?这个圆是如何被确定的呢?二、知识回顾：1、过一点可以作几条直线？2、过几点可确定一条直线？过几点可以确定一个圆呢？三、探究新知：探索一：经过一个已知点A 能作几个圆?你怎样画这个圆? 探索二：经过两个已知点A 、B 能作几个圆? 经过两个已知点A 、B 所作·A的圆的圆心在怎样的一条直线上?探索三：经过三个已知点A ，B ，C 能确定一个圆吗？讨论1：过如下三点(共线)能不能做圆? 为什么?讨论2:假设经过A 、B 、C 三点(不共线)的⊙O 存在（1）圆心O 到A 、B 、C 三点距离（2）连结AB 、AC ，O 点应在AB 的；同时也应在AC 的（3）圆心O 应该是画一画：已知：不在同一直线上的三点A 、B 、C,求作：⊙O 使它经过点A 、B 、C 。
现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的镜子复原了吗？定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，它到三角形 ,这个三角形叫做圆的。
想一想:一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？ 探索四：试一试：画出以下三角形的外接圆 观察比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？ 四、练习巩固： 1.下列命题不正确的是（ ）A.过一点有无数个圆.B.过两点有无数个圆.C.弦是圆的一部分.D.过同一直线上三点不能画圆.2.三角形的外心具有的性质是（ ）A B CB AC A B C A CA.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.3.等腰三角形底边上的高与一腰的垂直平分线的交点是( )A.重心B.垂心C.外心D.无法确定.4.判断：(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )（5）等腰三角形的外心一定在这个三角形内。
【精】北师大版九年级数学下册教案：3.5确定圆的条件
课题5确定圆的条件授课人教学目标知识技能了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，进一步体会解决数学问题的策略．数学思考经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．问题解决通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．情感态度学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．教学重点1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动(续表)教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图3－5－9所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()图3－5－9A.第①块B．第②块C．第③块D．第④块(学生各抒己见，讨论热烈，学习热情高涨)问题2：玻璃店里的师傅要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？(半径)为什么？问题3：作圆的关键是什么？(作圆的关键是确定圆心和半径)我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．(教师板书课题：5确定圆的条件)在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”中创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，学生回想圆的定义，得出作圆的关键是确定圆心和半径，为本节课“确定圆的条件”的探究做好铺垫.活动二：实践探究交流新知【探究1】过一点作圆我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A能作几个圆？请动手作图试一试．处理方式：学生独立作图，两分钟后分组交流展示自己的作图和想法．学生经过小组讨论交流的方式总结得出：作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段长为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个，如图3－5－10.图3－5－10【探究2】过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什以问题的形式逐层引导学生由易到难开展探究活动，培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想.么关系？为什么？(续表)活动二：实践探究交流新知处理方式：学生在教师的指导下画图，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A，B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到点A，B的距离相等．根据前面学过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A，B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到点A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，有无数个圆心，所以作出的圆有无数个．如图3－5－11.图3－5－11【探究3】过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？处理方式：教师以问题串的形式对学生进行启发：(1)你准备如何确定圆心、半径作圆？(2)其圆心的位置有什么特点？与点A，B，C有什么关系？要使圆心到点A，B，C的距离相等，圆心O必须在什么位置上？学生自己动动手，小组之间交流，看看谁画的是符合条件的图形，然后教师展示课件对比．学生经过交流讨论得出：要作一个圆经过A，B，C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到A，B，C三点的距离相等．我们已经知道到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线．当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，如图3－5－12所示．图3－5－12 图3－5－13当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以从中探究：①不在同一直线上的三个点为什么只能确定一个圆？②这个圆如何用“尺规”作出？同时培养学生分类讨论的思想.只能作出一个满足条件的圆，如图3－5－13所示．(续表)活动二：实践探究交流新知学生相互讨论，互相补充说明作图步骤，然后教师多媒体展示作图方法步骤．展示：作法图示1.连接AB，BC2.分别作AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3.以点O为圆心，OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆问题3：你能证明你作的圆符合要求吗？由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.因此，(板书)不在同一直线上的三个点确定一个圆.处理方式：学生亲自动手画图，体会：过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；不在同一直线上的三个点确定一个圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).【探究4】分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.处理方式：教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况．学生通过探究得出结论：锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外.图3－5－14通过三角形外接圆、三角形外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点、难点，使学生巩固过三点作圆的方法．通过合作交流，了解三种三角形外心的位置．巩固找三角形外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实．另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.(续表)活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1(多媒体展示)长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响．一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，图3－5－15发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？处理方式：引导学生亲自动手画图，体会过不在同一直线上的三个点确定一个圆，进一步明确作圆的关键是确定圆心和半径．确定了圆心和半径，圆就随之确定．通过本节课的学习，解决情境中的实际问题，首尾呼应，浑然一体，学生亲自动手画图参与知识的探索过程，享受发现知识的快乐．有助于巩固所学知识，提高学生思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展学生思维，激发学生学习兴趣，从而使学生的学习积极性和主动性都得到提高. 【拓展提升】例2判断题(1)经过三点一定可以作圆；()(2)任意一个三角形有且只有一个外接圆；()(3)三角形的外心是三角形三边中线的交点；()(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．()例3填空题(1)经过平面上一点可以画________个圆；经过平面上两点A，B可以作________个圆，这些圆的圆心在________．(2)过平面上不在同一直线上的三点可以作________个圆．(3)锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在__________．处理方式：让学生快速口答.拓展提升，提高学生的应考能力.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1．三角形有________个外接圆．2．三角形的外心是三角形________的交点．3．如图3－5－16，已知AB是一条劣弧，请找出它所在圆的圆心．学以致用，通过几道练习题进一步巩固本节课所学4．图3－5－17中工具的MN边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心？图3－5－16 图3－5－17 图3－5－18 5.如图3－5－18，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图形，并说明理由. 处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错. 的知识，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.(续表)活动四：课堂总结反思【课堂小结】同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长得最快的植物，数学的学习也是如此．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！注意事项：充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力．课堂小结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.【板书设计】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”中创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，学生回想圆的定义，得出作圆的关键是确定圆心和半径，为本节课“确定圆的条件”的探究做好铺垫.②[讲授效果反思]以问题串的形式逐层引导学生由易到难地开展探究活动，培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，同时培养学生的分类讨论思想.③[师生互动反思]__________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_______________________________________错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.。
九年级数学下册3.5确定圆的条件课时教案新版北师大版2
3.5确定圆的条件一、教学目标1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.3．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.二、课时安排1课时三、教学重点了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.四、教学难点了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.五、教学过程（一）导入新课一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？1.过一点可以作几条直线？2.过几点可确定一条直线？过几点可以确定一个圆呢？（二）讲授新课探究1：（1）经过一点可以作无数条直线；经过两点只能作一条直线.（2）：经过一个已知点A能确定一个圆吗?（3）：经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?经过两个已知点A，B能作无数个圆. 它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.结论：1.经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.探究2：（1）经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？假设经过A，B，C三点的⊙O存在（1）圆心O到A，B，C三点距离（填“相等”或“不相等”）.（2）连接AB，AC，过O点分别作直线MN⊥AB， EF⊥AC，则MN是AB的 .EF是AC 的 .（3）AB，AC的垂直平分线的交点O到B，C的距离 .答案：相等；垂直平分线，垂直平分线；相等（2）议一议：过如下三点能不能作一个圆? 为什么?明确：不在同一条直线上的三个点确定一个圆活动2：探究归纳外心是三边中垂线的交点，它到三个顶点的距离相等，在数学和实际运用中，要分析清楚题意，转化为数学问题要明确已知什么，求作什么.（三）重难点精讲例题1：已知：不在同一直线上的三点A，B，C，求作：⊙O使它经过点A，B，C.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN.2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O.3.以O为圆心，OB为半径作圆.⊙O就是所求作的圆.引入题：现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？方法:1.在圆弧上任取三点A，B，C.2.作线段AB，BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC的长为半径作圆.⊙O即为所求.拓展:想一想，已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆.定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.例题2：如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.归纳; 锐角三角形的外心位于三角形内.直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.钝角三角形的外心位于三角形外.（四）归纳小结梳理本节课的主要内容：1. 外心是三边中垂线的交点，它到三个顶点的距离相等，在数学和实际运用中，要分析清楚题意，转化为数学问题要明确已知什么，求作什么.2.锐角三角形的外心位于三角形内.直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.钝角三角形的外心位于三角形外.（五）随堂检测1.（河北·中考）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M2.（乌鲁木齐·中考）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC 的外接圆的圆心的坐标是（ ）A.（2，3）B.（3，2）C.（1，3）D.（3，1）3.（江西·中考）如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2），点A 的坐标为（2，0），则点B 的坐标 ．4.（湖州·中考）请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点．【答案】 1. 答案：BMRQ ABCP2. 答案：D3. 答案：（6，0）4. 答案：12六．板书设计3.5确定圆的条件锐角三角形的外心位于三角形内.直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.钝角三角形的外心位于三角形外.例题1：例题2：七、作业布置课本P6练习练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35，则AB＝( )A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A【解析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，∵sinACBAB =，∴935 AB=，解得AB＝1．故选A2．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N 两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A．22B．3C．1 D6【答案】C【解析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以22再根据角平分线性质得2则2于是利用正方形的性质得到22，OC=122，所以2然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴222∵CM平分∠ACB，∴2∴2∴2222，∴OC=122，CH=AC﹣222∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴ON OCMH CH=2222=+∴ON=1．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．321的相反数是（）A21B21C．21--D．12【答案】D【解析】根据相反数的定义求解即可．【详解】21-的相反数是-21+，故选D．【点睛】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．4．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是44 3【答案】C【解析】解：中位数应该是15和17的平均数16，故C选项错误，其他选择正确．故选C．【点睛】本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键.5．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA＝27°，则∠B 的大小是（）A．27°B．34°C．36°D．54°【答案】C【解析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．【详解】解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，∴∠BOA=54°．∴∠B=90°-54°=36°．故选C．考点：切线的性质．6．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．7．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A ．10，15B ．13，15C ．13，20D ．15，15【答案】D【解析】将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数. 【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D. 【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答. 9．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（ ）A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根【答案】C【解析】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是34 34<2, 8的算术平方根是22，2<22<3，8的立方根是2， 故根据数轴可知, 故选C10．如图，AB 是半圆圆O 的直径，ABC ∆的两边,AC BC 分别交半圆于,D E ,则E 为BC 的中点，已知50BAC ∠=，则C ∠=( ）A ．55B ．60C ．65D ．70【答案】C【解析】连接AE ，只要证明△ABC 是等腰三角形，AC=AB 即可解决问题. 【详解】解：如图，连接AE ，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，∵EB=EC，∴AB=AC，∴∠C=∠B，∵∠BAC=50°，∴∠C=12（180°-50°）=65°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与BC相交于点D．若13CD BD=，则∠B＝________°．【答案】18°【解析】由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，根据在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得=AC CD，再由13CD BD=和半圆的弧度为180°可得AC的度数×5=180°，即可求得AC的度数为36°，再由同弧所对的圆周角的度数为其弧度的一半可得∠B=18°. 【详解】解：由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，∴=AC CD，∵13CD BD =， ∴AC 的度数+ CD 的度数+ BD 的度数=180°， 即AC 的度数×5=180°， ∴AC 的度数为36°， ∴∠B=18°. 故答案为:18. 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.12．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ※n=mn ﹣m ﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=1．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】45a ≤<【解析】解：根据题意得：2※x=2x ﹣2﹣x+3=x+1， ∵a ＜x+1＜7，即a ﹣1＜x ＜6解集中有两个整数解， ∴a 的范围为45a ≤<， 故答案为45a ≤<． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键． 13．|-3|=_________； 【答案】1【解析】分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案． 解答：解：|-1|=1． 故答案为1．14_____．【答案】4【解析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】111284822===,故答案为24. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 15．已知x 1，x 2是方程x 2-3x-1=0的两根，则1211x x +=______． 【答案】﹣1．【解析】试题解析：∵1x ，2x 是方程2310x x --=的两根，∴123x x +=、121x x =-，∴1211x x +=1212x x x x +=31- =﹣1．故答案为﹣1．16．已知：如图，△ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面积为_____．【答案】1【解析】设四边形BCED 的面积为x ，则S △ADE =12﹣x ，由题意知DE ∥BC 且DE=12BC ，从而得2ADE ABCS DE SBC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，据此建立关于x 的方程，解之可得．【详解】设四边形BCED 的面积为x ，则S △ADE =12﹣x ，∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，且DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，则2ADE ABCS DE SBC ⎛⎫= ⎪⎝⎭=14，即121124x -=， 解得：x=1，即四边形BCED 的面积为1， 故答案为1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．17．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=12，则AB的长是________．【答案】8【解析】如图，连接OC，在在Rt△ACO中，由tan∠OAB=OCAC，求出AC即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC．∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，AC=BC，在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，OC=OD=2tan∠OAB=OC AC，∴122AC ，∴AC=4，∴AB=2AC=8，故答案为8【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．18．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2017的值为____．【答案】1【解析】把点（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1，求出m2﹣m＝1，代入即可求出答案．【详解】∵二次函数y＝x2﹣x﹣1的图象与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2017＝1+2017＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，求代数式的值的应用，解答此题的关键是求出m 2﹣m ＝1，难度适中．三、解答题（本题包括8个小题） 19．列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度． 【答案】吉普车的速度为30千米/时.【解析】先设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时，列出方程求出x 的值，再进行检验，即可求出答案．【详解】解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为15x 千米/时. 由题意得：1515151.560x x -=. 解得，x=20经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意. 答：吉普车的速度为30千米/时.点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．20．某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 【答案】1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm 2和0.2hm 2.【解析】此题可设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和y 公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可【详解】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和y 公顷根据题意可得()22x 5y 3.6{5328x y +=+= 解得0.4{0.2x y ==答：每台大小收割机每小时分别收割0.4公顷和0.2公顷. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键在于弄清题意，找到合适的等量关系21．凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】（1）1；（3）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解析】试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（3）由于根据（1）得到x≤1，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y==，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．试题解析：（1）设一次购买x只，则30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．答：一次至少买1只，才能以最低价购买；（3）当10＜x≤1时，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=，当x＞1时，y=（16﹣13）x=4x；综上所述：；（3）y==，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤1时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=303.4，当x=1时，y3=3．∴y1＞y3．即出现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论．22．小马虎做一道数学题，“已知两个多项式24A x x =-，2234B x x =+-，试求2A B +.”其中多项式A 的二次项系数印刷不清楚.小马虎看答案以后知道2228A B x x +=+-，请你替小马虎求出系数“”；在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A 正确求出，老师又给出了一个多项式C ，要求小马虎求出A C -的结果.小马虎在求解时，误把“A C -”看成“A C +”，结果求出的答案为262x x --.请你替小马虎求出“A C -”的正确答案.【答案】（1）-3； （2）“A -C”的正确答案为-7x 2-2x+2. 【解析】（1）根据整式加减法则可求出二次项系数；（2）表示出多项式A ，然后根据A C +的结果求出多项式C ，计算A C -即可求出答案. 【详解】（1）由题意得2:4A x x =-，2234B x x =+-, ∴A+2B=(4+)2x +2x -8，2228A B x x +=+-， ∴4+=1，=-3，即系数为-3.(2)A+C=262x x --,且A=234x x --，∴C=4222x x --，∴A -C=2722x x --+【点睛】本题主要考查了多项式加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.23．如图，在菱形ABCD 中，作⊥BE AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求证：AE CF =．【答案】见解析【解析】由菱形的性质可得BA BC =，A C ∠=∠，然后根据角角边判定≅ABE CBF ，进而得到AE=CF .【详解】证明：∵菱形ABCD ， ∴BA BC =，A C ∠=∠， ∵BE AD ⊥，BF CD ⊥， ∴90BEA BFC ∠=∠=， 在ABE △与CBF 中，BEA BFC A CBA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE CBF AAS ≅（），∴AE=CF ． 【点睛】本题考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质得到全等条件是解题的关键.24．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400， 解得 x 1=20，x 2=1． 则100﹣4x=20或100﹣4x=2． ∵2＞21， ∴x 2=1舍去． 即AB=20，BC=20 考点：一元二次方程的应用． 25．观察规律并填空.21133(1)2224-=⨯=221113242(1)(1)2322333--=⨯⨯⨯=2221111324355(1)(1)(1)2342233448---=⨯⨯⨯⨯⨯=⋯⋯ 2222211111(1)(1)(1)(1)(1)2345n -----=______（用含n 的代数式表示，n 是正整数，且 n ≥ 2） 【答案】12n n+ 【解析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣12）和（1+1n ）相乘得出结果．【详解】2222211111111112345n-----（）（）（）（）（） =1111111111111111223344n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=132431 (22334)nn+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1 2nn+．故答案为：1 2nn+．【点睛】本题考查了算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．26．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．【答案】（1）13；（2）这个游戏不公平，理由见解析.【解析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：13；（2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P（甲胜）=59，P（乙胜）=49．∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．1(1)282x x-=B．1(1)282x x+=C．(1)28x x-=D．(1)28x x+=【答案】A【解析】根据应用题的题目条件建立方程即可.【详解】解：由题可得：1(1)47 2x x-=⨯即：1(1)28 2x x-=故答案是：A.【点睛】本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.2．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A．q<16 B．q>16C．q≤4D．q≥4【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选 A.3．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π【答案】A【解析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S 扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，则DG=2222106CG CD-=-=8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴DG EF=，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=12π×52=252π，故选A．【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．4．如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12a B．a C．32a D3a【解析】取CB 的中点G ，连接MG ，根据等边三角形的性质可得BH=BG ，再求出∠HBN=∠MBG ，根据旋转的性质可得MB=NB ，然后利用“边角边”证明∴△MBG ≌△NBH ，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG ，然后根据垂线段最短可得MG ⊥CH 时最短，再根据∠BCH=30°求解即可． 【详解】如图，取BC 的中点G ，连接MG ，∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°， ∴∠HBN=∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴， ∴HB=12AB ， ∴HB=BG ，又∵MB 旋转到BN ， ∴BM=BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ）， ∴MG=NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×2a=a ， ∴MG=12CG=12×a=2a，∴HN=2a ，故选A ．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．5．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h【答案】C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．6．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( )A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)【答案】B【解析】试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解．试题解析：AC=2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，则OC′=3，故C′的坐标是（3，0）．故选B．考点：坐标与图形变化-旋转．7．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则列方程组为（ ）A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．15022503y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】A【解析】设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，依题意，得：15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a >且5a ≠ C ．1a ≥且5a ≠ D ．5a ≠【答案】A【解析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围． 【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14；当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．9．若数a使关于x的不等式组()3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形。
九年级数学下册 3.5 确定圆的条件教案 (新版)北师大版
3.5 确定圆的条件1．理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法；(重点)2．理解三角形的外接圆、三角形外心等概念；(重点)3．利用三角形外心解决实际问题．(难点)一、情境导入 经过一点可以作无数条直线．经过两点只能作一条直线．那么经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？ 二、合作探究 探究点一：确定圆的条件 【类型一】判断确定圆的条件 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A ．三个点一定能确定一个圆 B ．以已知线段为半径能确定一个圆 C ．以已知线段为直径能确定一个圆 D ．菱形的四个顶点能确定一个圆 解析：A.不在同一直线上的三点可确定一个圆，没有强调不在同一直线上，错误；B.以已知线段为半径能确定2个圆，分别以线段的两个端点为圆心，错误；C.以已知线段为直径能确定一个圆，此时圆心为线段的中点，半径为线段长度的一半，正确；D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，错误．故选C. 方法总结：解答本题的关键是仔细分析各个选项能否满足确定一个圆的条件． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 经过不在同一直线上的三个点作一个圆 已知：不在同一直线上的三个已知点A ，B ，C (如图)，求作：⊙O ，使它经过点A ，B，C .解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB 、BC 的垂直平分线并相交于点O ，以O 为圆心，以OA 为半径，作出圆即可．解：(1)连接AB 、BC ；(2)分别作出线段AB 、BC 的垂直平分线DE 、GF ，两垂直平分线相交于点O ，则点O 就是所求作的⊙O 的圆心；(3)以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆．方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的外接圆【类型一】 利用三角形的外接圆、外心求角的度数如图，在△ABC 中，点O 在边AB上，且点O 为△ABC 的外心，求∠ACB 的度数．解析：由点O 为△ABC 的外心，可得OA ＝OB ＝OC ，由等边对等角的性质可得∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ，又由三角形内角和定理，可求得∠ACB ＝90°.解：∵点O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC .∵∠OAC ＋∠OCA ＋∠OCB ＋∠OBC ＝180°，∴∠OCA ＋∠O CB ＝90°，即∠ACB ＝90°.方法总结：熟记三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 三角形外接圆在平面直角坐标系中的应用如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO ＝60°，若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D (0，3)．(1)求∠DAO 的度数；(2)求点A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．解析：(1)利用圆周角定理的推论即可直接求解；(2)在直角△AOD 中利用三角函数即可求得OA 和AD 的长，则A 的坐标即可求得，然后利用圆的面积公式求解．解：(1)∵∠ADO ＝∠ABO ＝60°，∠DOA ＝90°，∴∠DAO ＝30°；(2)∵点D 的坐标是(0，3)，∴OD ＝3.在直角△AOD 中，OA ＝OD ·tan ∠ADO ＝33，AD ＝2OD ＝6，∴点A 的坐标是(33，0)．∵∠AOD ＝90°，∴AD 是圆的直径，∴△AOB 外接圆的面积是9π.方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．三、板书设计确定圆的条件1．确定圆的条件经过不在同一直线的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆和外心的概念3．三角形的外接圆的应用本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣，通过探究题的设计，调动了学生学习的积极性、主动性，提高了课堂效率．本堂课首先充分调动了学生的积极性，不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果要好，碰到难题主动交流，小组合作非常默契.。
九年级数学下册 3.5 确定圆的条件教案2 (新版)北师大版
课题：3.5确定圆的条件学习目标：1. 了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.教学重点与难点：重点：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．难点：圆的条件确定．教法与学法指导:教法：1.创设情境法.通过多媒体课件展示，创设教学情境，激发学生学习热情.2.设疑启发法.通过逐层设置疑问，启发学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.探索——发现法.学生通过独立作图思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组分工作图，讨论交流等学习过程，加强合作意识，提高学习效果.课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：圆规、直尺、铅笔．教学过程：一、设置情境，引入新课活动内容1：回答下列问题.问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？问题3：作圆的关键是什么？活动目的：通过问题串创设情境，激发学生的兴趣，让学生体会本课的价值. 为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力.处理方式：问题1、2、3由学生口答完成，从而引入新课．设计意图：在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”中创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，从而引入本节课所学内容．二、合作交流，探究新知活动内容2：探究一：过一点作圆．我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A 能作几个圆?请动手作图试一试.处理方式：学生独立作图 ，两分钟后分组交流展示自己的作图和想法.学生经过小组讨论交流的方式总结得出：作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以，以点A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点A 所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图（１）．探究二：过两点作圆．作圆，使它经过已知点A 、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB 有什么关系?为什么?处理方式：学生在教师的指导下画图 ，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A 、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A 、B 的距离相等．根据前面学到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB 的垂直平分线上．在AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A 、B 两点的距离相等，所以在AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB 的垂直平分线上有无数点，有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．探究三：过三点作圆．问题1：经过同一直线上的A 、B 、C 三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A 、B 、C(A 、B 、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的?你能作出几个这样的圆?处理方式：教师以问题串的形式对学生进行启发：（1）你准备如何确定圆心、半径作圆？（2）其圆心的位置有什么特点?与A 、B 、C 有什么关系？要使圆心到点Ａ、Ｂ、Ｃ的距离相等，圆心Ｏ须在什么位置上？学生自己动动手，小组之间交流，看看谁画的是符合条件的图形，然后教师展示课件对比．学生经过交流讨论得出：要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线；当A、B、C三点在同一条直线上时：因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到Ａ、Ｂ、Ｃ三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，如图所示：当A、B、C三点不在同一条直线上时：这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．ＯＡ或ＯＢ或ＯＣ是半径．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定所以只能作出一个满足条件的圆．学生相互讨论互相补充说明作图步骤，然后教师多媒体展示作图方法步骤．A问题3：你能证明你做得圆符合要求吗？学生进行证明.证明:∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB同理,OB=OC∴OA=OB=OC∴点A,B,C在以O为圆心的圆上．∴⊙O就是所求作的圆．由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．因此，（板书）不在同一直线上的三个点确定一个圆．处理方式：学生亲自动手画图：体会过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；不在同一直线上的三个点确定一个圆.设计意图：以问题串的形式逐层引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，从中探究出：①不在同一直线上的三个点为什么只确定一个圆？②这个圆如何用“尺规”作出？同时培养学生分类讨论的思想.三、合作探究，展示交流上图连接ＡＣ，则得三角形ＡＢＣ．由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角形叫这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．探究：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆,并说明它们外心的位置情况.处理方式：教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况.学生通过探究得出结论：锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点，钝角三角形的外心位于三角形外.设计意图：三角形外接圆，三角形的外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点难点，使学生巩固过三点作圆的方法.通过合作交流了解三种三角形的外心得位置. 巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实.另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.四、范例点击，应用所学例 1 （多媒体展示）长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？解：如图，在残破的圆片的弧形线上任取三点A、B、C连接AB、BC,分别作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线交与O点，以O为圆心,OA为半径作圆，则此圆是破损的圆形瓷器所在的圆.处理方式：引导学生亲自动手画图，体会过不在同一直线上的三个点确定一个圆，进一步明确作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．设计意图：通过本节课的学习解决情境中的实际问题，首尾呼应，浑然一体，学生亲自动手画图参与知识的探索过程，享受发现知识的快乐，学生情绪高涨，学习效率高.五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！活动目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人；促进学生巩固所学知识，锻炼整理归纳知识体系的能力，培养学生的合作意识和语言表达能力．注意事项：充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力．处理方式：1、学生自主总结交流本节课的收获与感受；2、总结总结出确定圆的条件，回顾利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法．虽然学生的程度不同，但不同程度的学生都能够有所收获.学生回答不完整的，再由老师补充小结．师生共同完成如下的问题：（1）确定圆的条件——（2）锐角三角形在三角形的内部直角三角形外心的位置在斜边上钝角三角形在三角形的外部三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、达标检测提升自我师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1. 下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个 C．2个D．1个2．下列命题中的假命题是（）A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3. 边长为3，4，5的三角形的外接圆的半径是__________．4．如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?5．如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，通过几道练习题进一步巩固本节课所学的知识，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本87页，习题3.6第1题．选做题：助学265页，自主评价第1到7题．结束语：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢大家！祝愿同学们：信心百倍，走好九年级的每一步，成就不凡的自己.板书设计。
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课题：3.5确定圆的条件学习目标：1. 了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.教学重点与难点：重点：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．难点：圆的条件确定．教法与学法指导:教法：1.创设情境法.通过多媒体课件展示，创设教学情境，激发学生学习热情.2.设疑启发法.通过逐层设置疑问，启发学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.探索——发现法.学生通过独立作图思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组分工作图，讨论交流等学习过程，加强合作意识，提高学习效果.课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：圆规、直尺、铅笔．教学过程：一、设置情境，引入新课活动内容1：回答下列问题.问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？问题3：作圆的关键是什么？活动目的：通过问题串创设情境，激发学生的兴趣，让学生体会本课的价值. 为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力.处理方式：问题1、2、3由学生口答完成，从而引入新课．设计意图：在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”中创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，从而引入本节课所学内容．二、合作交流，探究新知活动内容2：2探究一：过一点作圆．我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A 能作几个圆?请动手作图试一试.处理方式：学生独立作图 ，两分钟后分组交流展示自己的作图和想法.学生经过小组讨论交流的方式总结得出：作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以，以点A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点A 所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图（１）．探究二：过两点作圆．作圆，使它经过已知点A 、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB 有什么关系?为什么?处理方式：学生在教师的指导下画图 ，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A 、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A 、B 的距离相等．根据前面学到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB 的垂直平分线上．在AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A 、B 两点的距离相等，所以在AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB 的垂直平分线上有无数点，有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．探究三：过三点作圆．问题1：经过同一直线上的A 、B 、C 三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A 、B 、C(A 、B 、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的?你能作出几个这样的圆?处理方式：教师以问题串的形式对学生进行启发：（1）你准备如何确定圆心、半径作圆？（2）其圆心的位置有什么特点?与A 、B 、C 有什么关系？要使圆心到点Ａ、Ｂ、Ｃ的距离相等，圆心Ｏ须在什么位置上？学生自己动动手，小组之间交流，看看谁画的是符合条件的图形，然后教师展示课件对比．3学生经过交流讨论得出：要作一个圆经过A 、B 、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A 、B 两点距离相等的点的集合是线段AB 的垂直平分线，到B 、C 两点距离相等的点的集合是线段BC 的垂直平分线；当A 、B 、C 三点在同一条直线上时： 因为到A 、B 两点距离相等的点的集合是线段AB 的垂直平分线，到B 、C 两点距离相等的点的集合是线段BC 的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC 的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到Ａ、Ｂ、Ｃ三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，如图所示：当A 、B 、C 三点不在同一条直线上时：这两条垂直平分线的交点满足到A 、B 、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心．ＯＡ或ＯＢ或ＯＣ是半径．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定所以只能作出一个满足条件的圆．学生相互讨论互相补充说明作图步骤，然后教师多媒体展示作图方法步骤．A问题3：你能证明你做得圆符合要求吗？学生进行证明.4证明:∵点O 在AB 的垂直平分线上，∴OA=OB同理,OB=OC∴OA=OB=OC∴点A,B,C 在以O 为圆心的圆上．∴⊙O 就是所求作的圆．由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．因此，（板书） 不在同一直线上的三个点确定一个圆．处理方式：学生亲自动手画图：体会过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；不在同一直线上的三个点确定一个圆.设计意图：以问题串的形式逐层引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，从中探究出：①不在同一直线上的三个点为什么只确定一个圆？②这个圆如何用“尺规”作出？同时培养学生分类讨论的思想.三、合作探究，展示交流上图连接ＡＣ，则得三角形ＡＢＣ．由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角形叫这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． 探究：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆,并说明它们外心的位置情况.处理方式：教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况.学生通过探究得出结论：锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点，钝角三角形的外心位于三角形外.5设计意图：三角形外接圆，三角形的外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点难点，使学生巩固过三点作圆的方法.通过合作交流了解三种三角形的外心得位置. 巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实.另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.四、范例点击，应用所学例 1 （多媒体展示）长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？解：如图，在残破的圆片的弧形线上任取三点A 、B 、C 连接AB 、BC,分别作AB 、BC 的垂直平分线，两垂直平分线交与O 点，以O 为圆心,OA 为半径作圆，则此圆是破损的圆形瓷器所在的圆.处理方式：引导学生亲自动手画图，体会过不在同一直线上的三个点确定一个圆，进一步明确作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．设计意图：通过本节课的学习解决情境中的实际问题，首尾呼应，浑然一体，学生亲自动手画图参与知识的探索过程，享受发现知识的快乐，学生情绪高涨，学习效率高.五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！活动目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人；促进学生巩固所学知识，锻炼整理归纳知识体系的能力，培养学生的合作意识和语言表达能力．注意事项：充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力．处理方式：1、学生自主总结交流本节课的收获与感受；2、总结总结出确定圆的条件，回顾利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法．虽然学生的程度不同，但不同程度的学生都能够有所收获.学生回答不完整的，再由老师补充小结．师生共同完成如下的问题：（1）确定圆的条件——（2）锐角三角形在三角形的内部直角三角形外心的位置在斜边上钝角三角形在三角形的外部三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、达标检测提升自我师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1. 下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；67④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3. 边长为3，4，5的三角形的外接圆的半径是__________．4．如下图，CD 所在的直线垂直平分线段AB ．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?5．如图，点A 、B 、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，通过几道练习题进一步巩固本节课所学的知识，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本87页，习题3.6第1题．选做题：助学265页，自主评价第1到7题．结束语：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢大家！祝愿同学们：信心百倍，走好九年级的每一步，成就不凡的自己.板书设计8。