第14讲 静态场的解(1)
合集下载
第4章 静态场的解
(
x,0)
U0
0
0x a 2
a xa 2
第四章 静 态 场 的 解
图 4-9 无限长槽的电位
第四章 静 态 场 的 解
解：和前题类似， 这是一个二维拉普拉斯方程边值问题， φ=φ(x, y)，
① φ(0, y)=0
② φ(a, y)=0
③ φ(x, ∞)=0
④
(
x,0)
U0
0
0x a 2
a xa 2
点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
2md m2 1
a
解之得
m2 m2
1d 1
b
m1,2 b
b2 a2 a
第四章 静 态 场 的 解
U
1
2
l 2
0
(1nm1
1nm2 )
l 1n b b2 a2 l 1n b b2 a2
2 0 b b2 a2 0
a
C l
0
U 1n b b2 a2
例 4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的 点电荷q的电位。
图 4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
第四章 静 态 场 的 解
解：
当z>0 时，▽2φS=0 当z=0时，φ=0 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0
第四章 静 态 场 的 解
'
1
4
0
q r
q r
r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2, r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2
图 4-8 矩形截面导体槽
第四章 静 态 场 的 解
解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x, y)。
静态场的边值问题 优秀课件
①变量的分离
2220
x2 y2 z2
令 (x ,y ,z ) f(x )g (y )h (z )，并代入上式
并两边同除以 f(x)g(y)h(z)得
1 2f(x)1 2g(y)12h(z)0 f(x) x2 g(y) y2 h(z) z2
k
2 x
k
2 y
k
2 z
则上式分解成三个独立的全微分方程，即
k xi ,k yi ,k zi ( i 1 ,2 ,3 , ,n )
本征值对应的函数称为本征函数或本征解。
所有本征解的线性叠加构成满足拉普拉斯方程的通解
(x,y,z) n i(x,y,z) nfi(x)g i(y)h i(z)
i 1
i 1
在许多问题中，单一本征函数不能满足所给的边界条件，而级 数形式的通解则可以满足单个解函数所无法满足的边界条件。
令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明
3、应用 求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解 的几个边界条件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。
例：
2 0
s1 C 1
s2 C 2
s3 C 3
分解为三个边界问题
21 0
1
s1
C1
1
s2
0
1 s3
0
22 0
静态场的边值问题
边值问题 研究方法
解析法 数值法
分离变量法
镜像法
复变函数法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
§5.1 唯一性定理和解的叠加原理
一. 唯一性定理
1、表述
在给定的区域内，泊松方程（或拉普拉斯方程）满足所给 定的全部边界条件的解是唯一的。 2、边界条件的形式
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
静态场特性及方程
§方・d7二L*•丞
£.dS = O
B=VxA Vx^ = #Vx^ = #"c -- VxVx 麟
VxH = Jc V B = piH
・ --恒定磁R场=是无散有旋场。
O
VxWx^ = V(v3) —伊冒=Wc 一 ？2^ = —«"c——矢量泊松方程 L 洛仑兹规范：▽•/ = ()
矢量泊松方程可以分解为三个标量泊松方程:
小结:
1. 静态场的基本概念 2. 静态场的泊松方程和拉普拉斯方程
无源区 有源区
静电场 vF=o vp=-堕
恒定电场 vV=o
恒定磁场v -2冒=0 V2A = -JUJC
恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场。
2.静态场的麦克斯韦方程组
般形式:
=3 dD
+ dt
)・dS
E・d，= -[
is
静态场方程： 抄.d，
= L"c・d£§E・d，= O
玄ad"]"对 久 B • dS
=0
"B • dS = 0
静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
VxH = Jc
VxE=0
(2)恒定电场的拉普拉斯方程
恒定电场基本方程: 护.d，= 0
£'c・dS = 0
VxE = 0 v
・Z=o
二=危
恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场。
昌—
N • Jc= oV • E = 0
。 oV • （—V
）=0
a v=0 ——拉普拉斯方程
(3)恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程:
♦拉普拉斯算子 V2
直角坐标系： V8 =气+气+气 dx dy dz
静态场
∵ 这对力做的是同一功 ∴对系统贡献的能W是Wij或 Wji 即 ： W = Wij= Wji = (Wij ＋Wji ) /2
因此，We ≠ (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn ) 系统总电能We ： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2
· ·
2·′
··
· a·1′
② 系统总电能We ： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2
场强方向与平板面垂直，如图示。
方法一：
由总电能: We = —2ε∫ Ev2dv = —E2ε2∫dvvr=
由高斯定理:q =∮εE·ds = εEs
E—22εsd = —2dε—s q2
∵∫E·dl= u ∴E = u/d
∵q = εsE = εs u/d = cu
方法二：
= 2—εds u2
= —12 cu2 =—12 qu
整理得：边值条件： ∴φ1 -φ2 = 0
④ 将场强E分解到法向和切向，如图示：
E = En +Et= -( —φn en + —φt et)
则有：En = - —φn
又∵D1n－ D2n = ρs
∴ -e1—φ—n1 + e2 —φn—2 = ρs 整理得：边值条件： e2—φ—n2 －e1 —φ—n1 = ρs
3.1 静电场理论 即：dq/dt = 0 (v=0) ∴J=H=p=0
一、场
方程： ▽×E = 0 ▽·D= ρv
本构关系：D=εE
二边、值位条件：D1n－ D2n = ρs
E1t－ E2t = 0
∮E·dl= 0 ∮D·dS = Q
en ·(D1－ D2 ) = ρs
en ×(E1－ E2 ) = 0
因此，We ≠ (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn ) 系统总电能We ： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2
· ·
2·′
··
· a·1′
② 系统总电能We ： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2
场强方向与平板面垂直，如图示。
方法一：
由总电能: We = —2ε∫ Ev2dv = —E2ε2∫dvvr=
由高斯定理:q =∮εE·ds = εEs
E—22εsd = —2dε—s q2
∵∫E·dl= u ∴E = u/d
∵q = εsE = εs u/d = cu
方法二：
= 2—εds u2
= —12 cu2 =—12 qu
整理得：边值条件： ∴φ1 -φ2 = 0
④ 将场强E分解到法向和切向，如图示：
E = En +Et= -( —φn en + —φt et)
则有：En = - —φn
又∵D1n－ D2n = ρs
∴ -e1—φ—n1 + e2 —φn—2 = ρs 整理得：边值条件： e2—φ—n2 －e1 —φ—n1 = ρs
3.1 静电场理论 即：dq/dt = 0 (v=0) ∴J=H=p=0
一、场
方程： ▽×E = 0 ▽·D= ρv
本构关系：D=εE
二边、值位条件：D1n－ D2n = ρs
E1t－ E2t = 0
∮E·dl= 0 ∮D·dS = Q
en ·(D1－ D2 ) = ρs
en ×(E1－ E2 ) = 0
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态场边值问题的解法
1．差分原理 有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问 题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续 场域内的真实解。 2. 差分表示法 对于函数f(x)，当独立变量x有一微小增量x＝h时， 相应f(x)的增量为： f (x) = f (x+h) - f (x)
第四章 静态场边值
问题的解法
在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方 程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或 虚部表示。 对于解析函数 w(z) u(x, y) jv(x, y) 曲线簇 u(x, y) C1 和曲线簇 v(x, y) C2 处处相互正交 。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普 拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。
v
v
Ex x , Ey y
如图所示，通过曲面的电通量为
v v
E dS (Exdy Eydx) ( x dy y dx)
(
u y
dy
u x
dx)
du
第四章 静态场边值
问题的解法
BE
y
dl dS
导体
E
A x 电通量函数
V
V
s () ds
即
s
ds n
(2 )dV = ds
V
s n
第四章 静态场边值
问题的解法
2 格林第二公式
(2 2)dV = ( )ds
V
s n n
4.2.2 唯一性定理
对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个
第四章 静态场边值
问题的解法
4.2 唯一性定理
4.2.1 格林公式
第四章 静态场边值
问题的解法
在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方 程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或 虚部表示。 对于解析函数 w(z) u(x, y) jv(x, y) 曲线簇 u(x, y) C1 和曲线簇 v(x, y) C2 处处相互正交 。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普 拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。
v
v
Ex x , Ey y
如图所示，通过曲面的电通量为
v v
E dS (Exdy Eydx) ( x dy y dx)
(
u y
dy
u x
dx)
du
第四章 静态场边值
问题的解法
BE
y
dl dS
导体
E
A x 电通量函数
V
V
s () ds
即
s
ds n
(2 )dV = ds
V
s n
第四章 静态场边值
问题的解法
2 格林第二公式
(2 2)dV = ( )ds
V
s n n
4.2.2 唯一性定理
对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个
第四章 静态场边值
问题的解法
4.2 唯一性定理
4.2.1 格林公式
4-静态场的解
V
S
F dS
S
F ndS
令 F , 由矢量恒等式:
( A) A + A
得:
P8(1-21) (4-2)
F ( ) 2
2
式左 FdV ( )dV
(r ) 2 2
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
第4章 静态场的解
V
dV
2
S
dS n
在 S上φ =0，因而上式右边为零，因而有
结论:
V
dV 0
2
▲因为|▽φ|2=0，所以必有▽φ ▲又因为在S面上φ
由边界条件：Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS q 2 2 2 3 / 2 2 ( x y h )
第4章 静态场的解
4.1 边值问题的分类
◆第一类边值问题：
已知整个边界上的位函数值； 又称为“狄利赫利”边界条件
S f1 ( S )
◆
第二类边值问题： 已知边界上每一点位函数的法向导数， （即电荷的面密度σ或电力线）；
n f2 (S )
S
又称为“诺伊曼”边界条件 同
时知道另一部分边界上每一点的电位法向导数。
其中
2 2 2 1/2 r [ x y ( z h ) ] ; 1
r2 [ x 2 y 2 ( z h) 2 ]1/2
S
F dS
S
F ndS
令 F , 由矢量恒等式:
( A) A + A
得:
P8(1-21) (4-2)
F ( ) 2
2
式左 FdV ( )dV
(r ) 2 2
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
第4章 静态场的解
V
dV
2
S
dS n
在 S上φ =0，因而上式右边为零，因而有
结论:
V
dV 0
2
▲因为|▽φ|2=0，所以必有▽φ ▲又因为在S面上φ
由边界条件：Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS q 2 2 2 3 / 2 2 ( x y h )
第4章 静态场的解
4.1 边值问题的分类
◆第一类边值问题：
已知整个边界上的位函数值； 又称为“狄利赫利”边界条件
S f1 ( S )
◆
第二类边值问题： 已知边界上每一点位函数的法向导数， （即电荷的面密度σ或电力线）；
n f2 (S )
S
又称为“诺伊曼”边界条件 同
时知道另一部分边界上每一点的电位法向导数。
其中
2 2 2 1/2 r [ x y ( z h ) ] ; 1
r2 [ x 2 y 2 ( z h) 2 ]1/2
第14讲 MOS管放大电路
一、直流参数 1. 开启电压VT （增强型参数） 2. 夹断电压VP （耗尽型参数） 3. 饱和漏电流IDSS （耗尽型参数）
4. 直流输入电阻RGS （109Ω～1015Ω ）
二、交流参数 1. 输出电阻rds
vDS rds i D
VGS
NMOS增强型 rds [K n ( vGS
1 VT ) ] i D
2. 工作原理
（2）vDS对沟道的控制作用
预夹断后，vDS 夹断区延长 沟道电阻 ID基本不变
2. 工作原理
（3） vDS和vGS同时作用时
vDS一定，vGS变化时 给定一个vGS ，就有一条不 同的 iD – vDS 曲线。
3. V-I 特性曲线及大信号特性方程
① 截止区
当vGS ＜VT 时，导电沟道尚
例：设Rg1=60k，Rg2=40k，Rd=15k， VDD=5V， VT=1V， Kn 0.2mA / V 2 试计算电路的静态漏极电流IDQ和漏源
电压VDSQ 。
解： VGSQ
Rg2 VDD 40 5V 2V Rg1 Rg2 60 40
s
Ri Rg1 // Rg2
增益较低
Ro Rd
很高
vo v o v i Ri Avs Av vS v i v S Ri RS
3. 小信号模型分析 （2）放大电路分析（例5.2.6）
( g m vgs )( R // rds ) vo Av vi vgs g m vgs ( R // rds )
1. 直流偏置及静态工作点的计算
（2）带源极电阻的NMOS共源极放大电路
VGS VG VS
[ Rg2 Rg1 Rg2 (VDD VSS ) VSS ]
4. 直流输入电阻RGS （109Ω～1015Ω ）
二、交流参数 1. 输出电阻rds
vDS rds i D
VGS
NMOS增强型 rds [K n ( vGS
1 VT ) ] i D
2. 工作原理
（2）vDS对沟道的控制作用
预夹断后，vDS 夹断区延长 沟道电阻 ID基本不变
2. 工作原理
（3） vDS和vGS同时作用时
vDS一定，vGS变化时 给定一个vGS ，就有一条不 同的 iD – vDS 曲线。
3. V-I 特性曲线及大信号特性方程
① 截止区
当vGS ＜VT 时，导电沟道尚
例：设Rg1=60k，Rg2=40k，Rd=15k， VDD=5V， VT=1V， Kn 0.2mA / V 2 试计算电路的静态漏极电流IDQ和漏源
电压VDSQ 。
解： VGSQ
Rg2 VDD 40 5V 2V Rg1 Rg2 60 40
s
Ri Rg1 // Rg2
增益较低
Ro Rd
很高
vo v o v i Ri Avs Av vS v i v S Ri RS
3. 小信号模型分析 （2）放大电路分析（例5.2.6）
( g m vgs )( R // rds ) vo Av vi vgs g m vgs ( R // rds )
1. 直流偏置及静态工作点的计算
（2）带源极电阻的NMOS共源极放大电路
VGS VG VS
[ Rg2 Rg1 Rg2 (VDD VSS ) VSS ]
静态场特性及方程
4.2 静态场的特性及方程1.静态场的基本概念2.静态场的泊松方程和拉普拉斯方程静态场：是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
0,0,0V D Bt t tρ∂∂∂===∂∂∂1. 静态场的基本概念静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场。
静电场：由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。
恒定电场：导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场。
c d d d 0d d d 0lSlV SVSH l J SE l D S VB S ρ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰c 0V H J E D B ρ∇⨯=∇⨯=∇⋅=∇⋅=静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
2.静态场的麦克斯韦方程组c d +)d d d d d d 0l Sl S V S VSDH l J S t BE l St D S VB S ρ∂⋅=⋅∂∂⋅=-⋅∂⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（一般形式：静态场方程：(1) 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程3. 泊松方程和拉普拉斯方程E φ=-∇VD E ερ∇⋅=∇⋅=()Vεφρ∇⋅-∇=2Vρφε∇=-20φ∇=静电场基本方程：d 0d d l V SVE l D S V ρ⋅=⋅=⎰⎰⎰VE D ρ∇⨯=∇⋅=D Eε=——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
——泊松方程——拉普拉斯方程V ρ=无源区域E φ=-∇c 0J E σ∇⋅=∇⋅=()0σφ∇⋅-∇=2φ∇=恒定电场基本方程：c d 0d 0l SE l J S ⋅=⋅=⎰⎰00c E J ∇⨯=∇⋅=c J Eσ=——恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场。
——拉普拉斯方程(2) 恒定电场的拉普拉斯方程(3) 恒定磁场的矢量泊松方程B A=∇⨯cB H J μμ∇⨯=∇⨯=cA J μ∇⨯∇⨯=2c()A A A J μ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=0A ∇⋅=洛仑兹规范：——矢量泊松方程2c A J μ∇=-cd d d 0lSSH l J SB S ⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰c 0H J B ∇⨯=∇⋅=B Hμ=恒定磁场基本方程：——恒定磁场是无散有旋场。
静态场及其边值问题的解
3.1.2 电位函数 1. 电位函数旳定义
E 0
E
即静电场能够用一种标量函数旳梯度来表达，标量函数 称
为静电场旳标量电位或简称电位。
2. 电位旳体现式
对于连续旳体分布电荷，由
R r r
E(r )
1
4
V
(r ) R3
RdV
1
4
V
(r)( 1 )dV
R
[ 1
4
V
(r)( 1 )dV ]
3.
电位差
将
E
两端点乘 dl，则有
E
dl
dl
(
dx
dy
dy)
d
x y y
上式两边从点P到点Q沿任意途径进行积分，得
电场力对单 位正电荷做
旳功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
有关电位差旳阐明:
P、Q 两点间旳电位差
P、Q 两点间旳电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做旳功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表达； 电位差有拟定值，只与首尾两点位置有关，与积分途径无关。
U
2
ln(b / a)
F/m
21
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.4 静电场旳能量 静电场对电荷有作用力，这表白静电场具有能量。静电场能
量起源于建立电荷系统旳过程中外电源提供旳能量。
1. 静电场旳能量 体分布电荷旳电场能量为
We
1 2
dV
V
对于面分布电荷，电场能量为
We
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
第14讲 静态场及其边值问题的解(4) [兼容模式]
![第14讲 静态场及其边值问题的解(4) [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/979bd1c5aa00b52acfc7ca52.png)
第14讲静态场及其边值问题的解——镜像法1. 1. 问题的提出问题的提出当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。
q非均匀感应电荷几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。
非均匀感应电荷产生的电位很难求q′等效电荷解，可以用等效电荷的电位替代接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解可以用qq′电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。
情况与上例类似，但等效电非均匀感应电荷荷为线电荷。
结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。
问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？2. 镜像法的原理用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
解的惟一性定理3.镜像法的理论基础解的惟性定理——解的惟一性定理3镜像法的理论基础——在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。
镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法4.4.镜像法应用的关键点镜像电荷的确定像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”；5.等效求解的“有效场域”。
5.确定镜像电荷的两条原则像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。
ρ1 3rq adqq R'r adq（3）导体圆柱面的镜像1lρoa0ε1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像问题：如图1所示，一根电荷线密度为的无限长线电荷位于半径为a 的l ρ线荷体柱xd无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
26
球面镜像法
♦ 导体球上的总感应电荷为零 ♦ 使用两个等效电荷
a a2 q ' q, b d d
♦ 若导体球不接地，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。
P r a q" q' b d 是q″, q″=-q´, q″位于球心
♦ 导体球上的总电荷为Q ♦ 使用两个等效电荷
F3
q ˆ a 2 x 4 0 (2d )
2
ˆ x 2da ˆy 2da q2 4 0 [(2d ) 2 (2d )2 ] (2d ) 2 (2d ) 2
q
-q
F F1 F2 F3
23
球面镜像法
♦ 模型Ⅰ：半径为a的接地导体球，点电荷位于距球心d处，求球
♦ 右侧导体球表面为等位面
︰
♦ qi为qi-1对左侧导体球镜像电荷
♦ 左侧导体球表面为等位面
︰
29
球面镜像法
♦ 数学描述：
q1
a 1 q1 q0 q0 d 2
q2
q0
a2 a2 a b d 2a 2
a2 a2 2 b1 a 3 d a 3 2
bi i 1 a i2
♦ 解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解 ♦ 解的唯一性：即看是否只有一个解 ♦ 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地只有微
小的变动
♦ 惟一性定理
♦ 对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上的边界
条件已知时，空间各部分的场就唯一地确定了
8
唯一性定理
♦ 唯一性定理是电磁场理论中最重要的定理之一
3º 区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 混合问题
2 , 0 1 n
0
2
6
边值问题的分类
y
b
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y ) 0, (a, y ) 0 ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
E
18
平面镜像法
♦ 导体表面的面电荷密度
♦ ρS=Dn
qh S 0 Ez 2 ( x 2 y 2 h 2 )3 / 2
♦ 导体表面的感应电荷量
qin S dS qh 2 q dxdy ( x 2 y 2 h2 )3/ 2
♦ 在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无界空间即可通
过积分公式计算任意点电位
♦ 对于有限区域的电位问题，须使用区域边界上的电位值(边值)
来确定积分常数
♦ 对于场域中有不同介质的情况，须知介质分界面上的电位边界
条件来确定场的分布情况
5
边值问题的分类
♦ 边值问题按其边界条件不同可分为三类
2 或 0 1º 已知区域边界上的位函数值 | 0 荻利克莱（Dirichlet）问题 2 2º 已知待求函数在区域边界上的法向导数值 n 0 Neumann问题
♦ 两者在z=0的边界上都满足电位为零的边界条件 ♦ 两者在无穷远处都满足电位为零的边界条件
q h
∞
♦ 唯一性定理 ♦ 可见，对于求解区域，两个模型有着相同的场方程以及边界条 件，也就是说两者在求解区域有着相同的源分布，所以由唯一性 定理保证这两种模型在求解区域有着相同的场解
的感应面电荷
♦ 因此可用模型Ⅱ中下半平面的点电荷-q来等效无限大导体面上
外电位方程满足拉普拉斯方程；
♦ z=0的边界上，两个点电荷产生的电位为零 ♦ 在半径为无穷大的球面上，该系统产生的电位为零
♦ 数学描述：
♦ 当z>0 时，▽2φ=0 ♦ 当z=0时，φ=0 ♦ 当z→∞、|x|→∞、
q
h
|y|→∞时，φ→0
h -q
16
平面镜像法
♦ 对比模型Ⅰ和模型Ⅱ ♦ 两者在z>0区域都满足拉普拉斯方程
a
o
y
x
（第一类边值问题）
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
b
0 x
U0
0 x
o
a
x
（第三类边值问题）
7
唯一性定理
♦ 从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加以考证
边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀 媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得 以明显简化的一种间接求解法。
♦ 镜像法的理论基础——唯一性定理
♦ 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变
的前提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一泛 定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是 唯一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种 典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法
♦ 接地导体板附近有一个点电荷、接地导体球附近有一个点电荷
非均匀感应电荷
q
等效电荷
q´
等效电荷
q
非均匀感应电荷
q´
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代
♦ 镜像法：不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用
10
镜像法
♦ 镜像法的原理
♦ 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该
19
平面镜像法
♦ 镜像法推广
多个点电荷镜像
垂直和水平电偶极子的镜像
20
平面镜像法
分布电荷的镜像
点电荷对直角导体拐角的镜像
21
平面镜像法
♦ 非直角导体拐角
♦ 角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷
都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶 点，半径为点电荷到顶点的距离
♦ 模型Ⅱ为模型Ⅰ的等效镜像，点电荷-q为原电荷的镜像电荷 ♦ z<0空间两种模型的场分布不同，因为它们有着不同的源分布
17
平面镜像法
♦ 模型Ⅰ的场分布：
2 0
1 q q 4 0 r r
1 qx 1 3 Ex 3 4 0 r r 1 qy 1 3 Ey 3 4 0 r r qz z h z h 3 Ez 3 4 0 r r
来求解场的边值型问题
♦ 边值型问题的空间场分布可以化为求解给定边界条件下位函
数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题
♦ 拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数值计算法
、实验模拟法及图解法等方法求解
3
第四章 静态场的解
1 边值问题的分类 2 唯一性定理 3 镜像法
4
边值问题的分类
♦ 用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件 ♦ 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题
q q' 0 d a a b q q' 0 d a ab
a q ' q d 2 a b d
q' q q |d a| r20 r10 q 4 0 r10 q' 4 0 r20 0
q 4 0 R
q 4 0 R
a b r R' q' d
P R q
25
球面镜像法
♦ 球面电位为零
P
q
4 0 r1
q´和b待定 方程：
q 4 0 r2
0
a a b
r2 q' d
r1
q
r1、r2是从q、q´到球面上点的距离
♦ 取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定q´、b的两个
♦ 给出了静态场边值问题具有唯一解的条件 ♦ 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 ♦ 为求解结果的正确性提供了判据
♦ 根据唯一性定理可以建立电磁场问题求解的等效原理，而这些
等效原理可以大大简化电磁问题。
9
镜像法
♦ 问题的提出
♦ 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出
现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布
a 1 q2 q1 q0 d1 3 qi (1)i q0 i 1
lim qi 0
i
lim bi a
i
30
球面镜像法
♦ 若左侧导体球带电q0，同理可得由其产生的感应电荷为： ♦ 由于镜像电荷的作用，成对镜像电荷共同作用下产生镜像的导
q0 , i 0,1, 2, qi (1) i 1
♦ 电场分布： qx Ex 4 0
h
h -q
1 1 3 3 r r
1 1 3 3 r r q zh zh Ez 3 3 4 0 r r qy Ey 4 0
15
平面镜像法
♦ z>0的空间中只有位于(0,0,h)处的点电荷q，因此在(0,0,h)点以
11
镜像法
♦ 镜像法应用的关键点
♦ 镜像电荷的确定
镜像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”
♦ 等效求解的“有效场域”
♦ 确定镜像电荷的两条原则
♦ 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 ♦ 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域
的边界条件来确定
12
平面镜像法
♦ 模型Ⅰ：求置于无限大接地平面导体上方距导体面h处的点电
外任一点的电位。 ♦ 球外仅有点电荷q，距球心距离d
♦ 球面是等位面，半径a，接地，电位为零
P r a d R q
球面镜像法
♦ 导体球上的总感应电荷为零 ♦ 使用两个等效电荷
a a2 q ' q, b d d
♦ 若导体球不接地，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。
P r a q" q' b d 是q″, q″=-q´, q″位于球心
♦ 导体球上的总电荷为Q ♦ 使用两个等效电荷
F3
q ˆ a 2 x 4 0 (2d )
2
ˆ x 2da ˆy 2da q2 4 0 [(2d ) 2 (2d )2 ] (2d ) 2 (2d ) 2
q
-q
F F1 F2 F3
23
球面镜像法
♦ 模型Ⅰ：半径为a的接地导体球，点电荷位于距球心d处，求球
♦ 右侧导体球表面为等位面
︰
♦ qi为qi-1对左侧导体球镜像电荷
♦ 左侧导体球表面为等位面
︰
29
球面镜像法
♦ 数学描述：
q1
a 1 q1 q0 q0 d 2
q2
q0
a2 a2 a b d 2a 2
a2 a2 2 b1 a 3 d a 3 2
bi i 1 a i2
♦ 解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解 ♦ 解的唯一性：即看是否只有一个解 ♦ 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地只有微
小的变动
♦ 惟一性定理
♦ 对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上的边界
条件已知时，空间各部分的场就唯一地确定了
8
唯一性定理
♦ 唯一性定理是电磁场理论中最重要的定理之一
3º 区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 混合问题
2 , 0 1 n
0
2
6
边值问题的分类
y
b
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y ) 0, (a, y ) 0 ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
E
18
平面镜像法
♦ 导体表面的面电荷密度
♦ ρS=Dn
qh S 0 Ez 2 ( x 2 y 2 h 2 )3 / 2
♦ 导体表面的感应电荷量
qin S dS qh 2 q dxdy ( x 2 y 2 h2 )3/ 2
♦ 在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无界空间即可通
过积分公式计算任意点电位
♦ 对于有限区域的电位问题，须使用区域边界上的电位值(边值)
来确定积分常数
♦ 对于场域中有不同介质的情况，须知介质分界面上的电位边界
条件来确定场的分布情况
5
边值问题的分类
♦ 边值问题按其边界条件不同可分为三类
2 或 0 1º 已知区域边界上的位函数值 | 0 荻利克莱（Dirichlet）问题 2 2º 已知待求函数在区域边界上的法向导数值 n 0 Neumann问题
♦ 两者在z=0的边界上都满足电位为零的边界条件 ♦ 两者在无穷远处都满足电位为零的边界条件
q h
∞
♦ 唯一性定理 ♦ 可见，对于求解区域，两个模型有着相同的场方程以及边界条 件，也就是说两者在求解区域有着相同的源分布，所以由唯一性 定理保证这两种模型在求解区域有着相同的场解
的感应面电荷
♦ 因此可用模型Ⅱ中下半平面的点电荷-q来等效无限大导体面上
外电位方程满足拉普拉斯方程；
♦ z=0的边界上，两个点电荷产生的电位为零 ♦ 在半径为无穷大的球面上，该系统产生的电位为零
♦ 数学描述：
♦ 当z>0 时，▽2φ=0 ♦ 当z=0时，φ=0 ♦ 当z→∞、|x|→∞、
q
h
|y|→∞时，φ→0
h -q
16
平面镜像法
♦ 对比模型Ⅰ和模型Ⅱ ♦ 两者在z>0区域都满足拉普拉斯方程
a
o
y
x
（第一类边值问题）
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
b
0 x
U0
0 x
o
a
x
（第三类边值问题）
7
唯一性定理
♦ 从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加以考证
边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀 媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得 以明显简化的一种间接求解法。
♦ 镜像法的理论基础——唯一性定理
♦ 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变
的前提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一泛 定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是 唯一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种 典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法
♦ 接地导体板附近有一个点电荷、接地导体球附近有一个点电荷
非均匀感应电荷
q
等效电荷
q´
等效电荷
q
非均匀感应电荷
q´
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代
♦ 镜像法：不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用
10
镜像法
♦ 镜像法的原理
♦ 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该
19
平面镜像法
♦ 镜像法推广
多个点电荷镜像
垂直和水平电偶极子的镜像
20
平面镜像法
分布电荷的镜像
点电荷对直角导体拐角的镜像
21
平面镜像法
♦ 非直角导体拐角
♦ 角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷
都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶 点，半径为点电荷到顶点的距离
♦ 模型Ⅱ为模型Ⅰ的等效镜像，点电荷-q为原电荷的镜像电荷 ♦ z<0空间两种模型的场分布不同，因为它们有着不同的源分布
17
平面镜像法
♦ 模型Ⅰ的场分布：
2 0
1 q q 4 0 r r
1 qx 1 3 Ex 3 4 0 r r 1 qy 1 3 Ey 3 4 0 r r qz z h z h 3 Ez 3 4 0 r r
来求解场的边值型问题
♦ 边值型问题的空间场分布可以化为求解给定边界条件下位函
数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题
♦ 拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数值计算法
、实验模拟法及图解法等方法求解
3
第四章 静态场的解
1 边值问题的分类 2 唯一性定理 3 镜像法
4
边值问题的分类
♦ 用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件 ♦ 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题
q q' 0 d a a b q q' 0 d a ab
a q ' q d 2 a b d
q' q q |d a| r20 r10 q 4 0 r10 q' 4 0 r20 0
q 4 0 R
q 4 0 R
a b r R' q' d
P R q
25
球面镜像法
♦ 球面电位为零
P
q
4 0 r1
q´和b待定 方程：
q 4 0 r2
0
a a b
r2 q' d
r1
q
r1、r2是从q、q´到球面上点的距离
♦ 取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定q´、b的两个
♦ 给出了静态场边值问题具有唯一解的条件 ♦ 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 ♦ 为求解结果的正确性提供了判据
♦ 根据唯一性定理可以建立电磁场问题求解的等效原理，而这些
等效原理可以大大简化电磁问题。
9
镜像法
♦ 问题的提出
♦ 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出
现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布
a 1 q2 q1 q0 d1 3 qi (1)i q0 i 1
lim qi 0
i
lim bi a
i
30
球面镜像法
♦ 若左侧导体球带电q0，同理可得由其产生的感应电荷为： ♦ 由于镜像电荷的作用，成对镜像电荷共同作用下产生镜像的导
q0 , i 0,1, 2, qi (1) i 1
♦ 电场分布： qx Ex 4 0
h
h -q
1 1 3 3 r r
1 1 3 3 r r q zh zh Ez 3 3 4 0 r r qy Ey 4 0
15
平面镜像法
♦ z>0的空间中只有位于(0,0,h)处的点电荷q，因此在(0,0,h)点以
11
镜像法
♦ 镜像法应用的关键点
♦ 镜像电荷的确定
镜像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”
♦ 等效求解的“有效场域”
♦ 确定镜像电荷的两条原则
♦ 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 ♦ 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域
的边界条件来确定
12
平面镜像法
♦ 模型Ⅰ：求置于无限大接地平面导体上方距导体面h处的点电
外任一点的电位。 ♦ 球外仅有点电荷q，距球心距离d
♦ 球面是等位面，半径a，接地，电位为零
P r a d R q