数学物理方程讲义
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《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
北京大学数学物理方程讲义第十四章：分离变量法
分离变量法的基本步骤
1. 分离变量 必要条件: 偏微分方程和边界条件都是齐次的. 结果: 得到每一个一元函数满足的常微分方程. 其中包括齐次常微分方程+齐次边界条件的本征值问题.
2. 求解本征值问题. 即求非零解.
3. 求特解, 并叠加出一般解. 还是因为偏微分方程和边界条件都是齐次的. 另外, 本征函数的全体是完备的: 任何满足同样边界条件的, 足够“好” (一般要求连续, 分段光滑) 的函 数都可以展开为
∞
nπ
nπ
nπ
u(x, t) =
Cn sin
l
at + Dn cos
at l
sin
l
x
n=1
这种形式的解称为一般解.
利用本征函数的正交性定叠加系数 一般解满足方程和边界条件. 适当选择叠加系数 Cn 和 Dn, 使之满足初始条件
∞
nπ
u(x, 0) = Dn sin l x = φ(x)
(8)
n=1
n=1
∞
nπ
Ψ(x) = βn sin l x,
n=1
其中
1 αn = l
1 βn = l
l
nπ
2
Φ(x) sin xdx =
−l
l
l
l
nπ
2
Ψ(x) sin xdx =
−l
l
l
l
nπ
φ(x) sin xdx,
0
l
l
nπ
ψ(x) sin xdx.
0
l
与分离变量法的解比较,
αn = Dn,
nπa βn = l Cn.
第一项表示由初位移激发的行波, t = 0 时波形为 φ(x), 以后分成相等的两部分, 独立地向左右传播, 速率 为 a;
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
数学物理方程讲义姜礼尚答案
数学物理方程讲义姜礼尚答案11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社这些书应该够了，其他书不一一列举。
从中选择一本当作课本就可以了。
外国数学分析教材：11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。
我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。
强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。
买书不建议看价格，而要看书好不好。
一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。
12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
13《数学分析》卓立奇观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
14《数学分析简明教程》辛钦课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。
但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。
15《数学分析讲义》阿黑波夫等著莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。
16《数学分析八讲》辛钦大师就是大师，强烈推荐。
17《数学分析原理》rudin中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。
不过这本美国的书还是值得一看的。
写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。
18《微积分与分析引论》库朗又一本美国的经典数学分析书。
有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
19《流形上的微积分》斯皮瓦克分析的进一步。
中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
20《在南开大学的演讲》陈省身从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
21华罗庚《高等数学引论》科学出版社数学分析习题集不做题就如同没有学过一样。
希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。
买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
1《吉米多维奇数学分析习题集》最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。
数学物理方程讲义
u
x x0 y 0
y
w (s , t )dsdt f ( x ) g ( y )
(f , g为任意连续可微函数)
(4)u u ( x , y ) : u x u y
作变量代换s x y , t x y u x us s x ut t x us ut u y us s y ut t y us ut ut 0 u f (s ) (f为任意函数) u(x, y ) f (x y ) 一般地，au x bu y 0 (a, b为常数)
x 2t， x 6 xt 满足热传导方程
2 3
(6)u u ( x , y ) : u xx u yy 0(调和方程)
可验证: y 3 3x 2 y , x 3 3xy 2 , sin nx sinh ny (n 0) 均为解
(7)u u ( x , y ) : u xxyy 0
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性 N 1 A ( x ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0
N
N
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的 N 1 N 1 A ( x , u , Du , , D u ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0 完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的
§2.1 波动方程的定解问题 波动方 波动方程是描述振动与波的传播现象的一种发展方程 动 波 传 种发 方 弦的横振动（弦振动方程） 杆的纵振动 一维非线性弹性振动 报方程 电报方程 膜的横振动 声波方程 电磁波方程
x x0 y 0
y
w (s , t )dsdt f ( x ) g ( y )
(f , g为任意连续可微函数)
(4)u u ( x , y ) : u x u y
作变量代换s x y , t x y u x us s x ut t x us ut u y us s y ut t y us ut ut 0 u f (s ) (f为任意函数) u(x, y ) f (x y ) 一般地，au x bu y 0 (a, b为常数)
x 2t， x 6 xt 满足热传导方程
2 3
(6)u u ( x , y ) : u xx u yy 0(调和方程)
可验证: y 3 3x 2 y , x 3 3xy 2 , sin nx sinh ny (n 0) 均为解
(7)u u ( x , y ) : u xxyy 0
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性 N 1 A ( x ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0
N
N
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的 N 1 N 1 A ( x , u , Du , , D u ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0 完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的
§2.1 波动方程的定解问题 波动方 波动方程是描述振动与波的传播现象的一种发展方程 动 波 传 种发 方 弦的横振动（弦振动方程） 杆的纵振动 一维非线性弹性振动 报方程 电报方程 膜的横振动 声波方程 电磁波方程
数学物理方程-谷超豪
其中σ = k /ES . 类似的,对x = l 端,有
− ∂u + σu ∂x
2
= 0.
x= l
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 ∂ x E 1− ∂x h
∂u ∂x
=ρ 1−
x h
2
∂2u , ∂t2
其中h 为圆锥的高. 证明: 此时S (x) = S0 1 −
x h
2
,其中S0 为圆锥枢轴的底面积.根据第1题的推导,即得所证.
第三章 调和方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. 一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小 的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: 此时所受外力为阻力F (x) = k
∂u ,因而有 ∂t ∂2u ∂2u ∂u T 2 − ρ 2 = −k ∂t ∂x ∂t
假设固定端为x = 0,有u(0, t) = 0; ∂u = 0. 对于弹性支承端x = l,有 + σu ∂x x= l 6. 若F (ξ ),G(ξ )均为其变元的二次连续可导函数,验证F (x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11). 解: 参见第二节.
3. 利用传播波法,求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 u|x−at=0 = ϕ (x) , u|x+at=0 = ψ (x) , (ϕ (0) = ψ (0)) .
数学物理方程举例和基本概念讲解
① 弦振动方程和定解条件
物理模型（弦的微小横振动问题）
设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其长为l，线密度为，且在单位长度上受到
垂直于弦向上的力F初始小扰动后，在平衡位置附近作微小横振动.
试确定该弦上各点的运动规律.
分析. 如图选择坐标系，设u x,t 表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移.
利用微元法建立方程.
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定解问题的适定性
1923年，阿达马（J.S. Hadamard，法国）提出
定解问题是否能够反映实际， 或者，定解问题的提法是否适合？ 从数学的 角度看主要从下面三个方面来验证：
解的存在性： 即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?
解的唯一性： 即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若 能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。
超星数字图书馆（注: 网络图书馆）
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㈡ 方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。 例如：
1 描绘振动和波振动波，电磁波动特征的波动方程:
utt a2uxx f .
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
线性偏微分方 程可分为
数学物理方程与特殊函数PPT课件
详细讲解了常见数学物理方程的解法，如波动方程、热传导方程等。
本课程的主要内容和收获
01
探讨了特殊函数在数学物理方程 中的应用，如贝塞尔函数、勒让 德函数等。
02
讲解了如何利用计算机软件求解 数学物理方程。
本课程的主要内容和收获
收获 掌握了数学物理方程的基本概念和分类，理解了其在实际问题中的应用。
特殊函数的计算方法
01
解析法
对于一些简单的特殊函数，可以通过解析方法直接计算出其值。例如，
三角函数可以通过三角恒等式进行计算；指数函数可以通过指数运算法
则进行计算。
02
级数展开法
对于一些复杂的特殊函数，可以通过级数展开的方法将其表示为一系列
简单函数的和或积，从而简化计算。例如，贝塞尔函数可以通过级数展
解决实际问题
数学物理方程是描述实际 问题中物理量的变化规律， 特殊函数能够提供解决问 题的有效方法。
数学工具
特殊函数是数学工具的重 要组成部分，能够促进数 学和物理学的发展。
特殊函数在解决数学物理方程中的应用实例
三角函数的应用
在解决波动方程、振荡器 等问题时，可以利用三角 函数
对于一些无法通过解析或级数展开法计算的特殊函数，可以使用数值计
算方法进行近似计算。例如，使用数值积分或数值微分的方法计算特殊
函数的值。
04 特殊函数在数学物理方程 中的应用
特殊函数在数学物理方程中的重要性
01
02
03
描述自然现象
特殊函数能够描述自然界 中的各种现象，如波动、 振动、电磁场等。
课程目标和意义
课程目标
使学生掌握数学物理方程的基本理论和方法，理解特殊函数 在解决实际问题中的应用，提高数学建模和解决实际问题的 能力。
本课程的主要内容和收获
01
探讨了特殊函数在数学物理方程 中的应用，如贝塞尔函数、勒让 德函数等。
02
讲解了如何利用计算机软件求解 数学物理方程。
本课程的主要内容和收获
收获 掌握了数学物理方程的基本概念和分类，理解了其在实际问题中的应用。
特殊函数的计算方法
01
解析法
对于一些简单的特殊函数，可以通过解析方法直接计算出其值。例如，
三角函数可以通过三角恒等式进行计算；指数函数可以通过指数运算法
则进行计算。
02
级数展开法
对于一些复杂的特殊函数，可以通过级数展开的方法将其表示为一系列
简单函数的和或积，从而简化计算。例如，贝塞尔函数可以通过级数展
解决实际问题
数学物理方程是描述实际 问题中物理量的变化规律， 特殊函数能够提供解决问 题的有效方法。
数学工具
特殊函数是数学工具的重 要组成部分，能够促进数 学和物理学的发展。
特殊函数在解决数学物理方程中的应用实例
三角函数的应用
在解决波动方程、振荡器 等问题时，可以利用三角 函数
对于一些无法通过解析或级数展开法计算的特殊函数，可以使用数值计
算方法进行近似计算。例如，使用数值积分或数值微分的方法计算特殊
函数的值。
04 特殊函数在数学物理方程 中的应用
特殊函数在数学物理方程中的重要性
01
02
03
描述自然现象
特殊函数能够描述自然界 中的各种现象，如波动、 振动、电磁场等。
课程目标和意义
课程目标
使学生掌握数学物理方程的基本理论和方法，理解特殊函数 在解决实际问题中的应用，提高数学建模和解决实际问题的 能力。
数学物理方程课件
第二篇 数学物理方程
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
T u ( x, t ) u ( x, t ) g 2 x t 2
2 2
令： a
2
T
2 2u u 2 a g ………一维弦振动方程 2 2 t x
x
y
x+x
M2
x
dT dx x
2
T2
T (l ) T ( x) dx x
2 x
l
(Tu x ) x dx (Tu x ) x dxutt
1
M1
2
T1
x
x+x x
第二篇 数学物理方程
T (l ) T ( x) dx 2 x
3.物理过程服从物理规律（牛顿定律，库伦定律等）；
4.建立微分方程。
第二篇 数学物理方程
• 课间休息啦！
第二篇 数学物理方程
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动问题
条件：均匀有弹性柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅
极小的横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x, t ) 为线上某x点在 t 时刻沿横向的位移。
第二篇 数学物理方程
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 水平方向： T cos T 'cos ' T T ' 竖直方向： T sin T 'sin ' gds ma
第二篇 数学物理方程
数学物理方程
数学物理方程习题讲义 (1)
ch2 作业
1. 求下列定解问题的解
ut ux
a2uxx , 0 x 0, t ux l, t
l, 0,
t 0
t0
u x, 0 x , 0 x l
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布
解答过程见教材P38-40.最后结果为：
u(
x,
t)
1 2
a0
( n a
ane l
)2 t
cos
n
l
x
,
其中, an
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
(n 0,1, 2,L ).
ch2 作业讲解
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
解法: 先把一组边界条件化成齐次的。比如把 x=0 及 x=a 上的边界条件化成齐次的，令
u x,t v x,t w x, y,
其中
w(
x,
y)
1(
y)
2
(
y)
a
1(
y)
x,
通过代换后得到关于 v 的定解问题
2v 2v
x2
y2
f1( x, y),
0 x a,
0 y b,
v
0,
2 Bn a
n b
e a Bn
a 0
1
sin
n
a
e
n a
b
2 a
a
0
2
d
sin
1. 求下列定解问题的解
ut ux
a2uxx , 0 x 0, t ux l, t
l, 0,
t 0
t0
u x, 0 x , 0 x l
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布
解答过程见教材P38-40.最后结果为：
u(
x,
t)
1 2
a0
( n a
ane l
)2 t
cos
n
l
x
,
其中, an
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
(n 0,1, 2,L ).
ch2 作业讲解
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
解法: 先把一组边界条件化成齐次的。比如把 x=0 及 x=a 上的边界条件化成齐次的，令
u x,t v x,t w x, y,
其中
w(
x,
y)
1(
y)
2
(
y)
a
1(
y)
x,
通过代换后得到关于 v 的定解问题
2v 2v
x2
y2
f1( x, y),
0 x a,
0 y b,
v
0,
2 Bn a
n b
e a Bn
a 0
1
sin
n
a
e
n a
b
2 a
a
0
2
d
sin
姜礼尚数学物理方程讲义(第三版)课后习题答案
公众号:菜没油
8
uv uv fv dx + x uv g v ds u = v ds v udx uv fvdx x uv gv ds n
u u u f vdx v x u g ds 0 2 n
6.解： 设 u u x, y, z, y 为 t 时刻在 x, y, z 处的温度,k 为导热系数， 0 为热交换 系数，于是有如下定解问题：
公众号:菜没油
4
10.泛定方程：ut a2 u 0
20.初始条件：u x, y, z, 0 100 u 0 37 u n
30.边界条件：u x, y, 0, t u 0 k
公众号:菜没油
5
10.解： 取传送带所在直线为 x 轴,起点为原点，任取一段传送带 x1 , x2 ，时间段
t1 , t2 .
由质量守恒： 即 dx
x1 x2 t2 x2 x1
t2
t dx dt a
2 2 2
从而由动量守恒及胡克定律可知:
S x xutt x, t ES x u x
再令 x 0 ,即有
2 x 2 x u 1- E 1 2 x h 2 h t 2
x x
ux
x
u x
0 0 1 1 1 1
u 0 y 0 u ydx 2 ydx y 0 0
0 0
u 2 0 u 0 1 0 u 1 0 u x2 x 2
数学物理方程讲义全.
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。
特解：满足方程及定解条件的解，也称为定解问题的解。
光滑解：可无穷次可微的解。
解析解：可展开成收敛幂级数形式的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
2u 2u 0 x2 y 2
u a 2 2u
t
x 2
02 11 0 02 1 0 0
椭圆型方程 抛物型方程
数学物理方程
第一章 绪论
§4、线性叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
对n个自变量的二阶线性偏微分方程
L u
m i, j 1
根据判别式 (x, y) a122 a11a22 的符号可将二阶线性偏微分方程化为3类
1）(x, y) a122 a11a22 >0 原方程为双曲型偏微分方程 u Au Bu Cu F 双曲型方程的第一标准型形式
u u Au Bu Cu F 双曲型方程的第二标准型形式
数学物理方程
第一章 绪论
§3、二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的一般形式
m
2u
i, j1 aij (x) xix j
m i
u bi (x) xi
c(x)u
f (x)
特别对有两个自变量（x，y）函数的二阶线性偏微 分方程可写为：
a11
2u x2
2a12
数学物理方程
第一章 绪论
数学物理方程
-----用数学方程来描述一定的物理现象。 ☆ 课程的内容
数学物理方程PPT讲义
解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。 在数学上对解的存在性进行证明的必要性 从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。 对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
(1) (2)
u方向
由于是微小的横振动，所以
cos 2 cos1 1
sin 2 tan2 ux xdx
sin 1 tan1 ux
x
u
1
T1 o x
2 T 2
x+dx
x
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
1 T ( x) xdx 2 (l 2 x 2 ) x 2
不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值，即
三 类 边 界 条 件
u S f (t )
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边 界外法线方向上方向导数的数值，即
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
f
i
f
u u
i
Lu f
i
u
Lu 0
Lui 0
u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
第7讲数学物理方程PPT课件
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
Tn 100n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
(4)求通解
un X nTn
(C ncos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
u
un
n 1
(C n
n 1
cos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
(5)确定常量
X 0
2） 0 X (x) Ax B
AB0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x) Acos x B sin x
（8）
A0
B sin l 0
n (n 1, 2,3, )
l
n2
l2
2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3, )
XXnn( x)
sinBnnslin
xn
l
x
u( x, t ) t
t0
Dn
n1
n a sin
l
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
l
1 cos 2n
/l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
x
dx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l 0
北京大学数学物理方程讲义第十六章：球函数
∞
f (x) = clPl(x)
l=0
当然, 展开系数由 Legendre 多项式的正交性得到
1
cl Pl(x) 2 = f (x)Pl(x)dx
−1
2l + 1 1
cl = 2
f (x)Pl(x)dx
−1
Example 16.1 将函数 f (x) = x3 按 Legendre 多项式展开.
Solution x3 为3次多项式, 而
方程+齐次边界条件构成本征值问题
d (1 − x2) dy + ν(ν + 1)y = 0
dx
dx
y(±1)有界
3
方程通解为 y(x) = APν(x) + BQν(x)
y(1) 有界, 而 Qν(x) 含对数项, ln(x − 1) 在 x = 1 无界, 所以 B = 0,
y(−1) = APν(−1)
(4)
即 θ = 0, π 不是方程解的奇点.
1
方程(3)为 Legendre 方程. 作变换
x = cos θ y(x) = Θ(θ)
Legendre 方程改写为
d (1 − x2) dy + λy = 0
(5)
dx
dx
16.1 Legendre 方程的解
令 λ = ν(ν + 1), 展开
(1
∼
(n + 1)2n+1e−(2n+2)
e
ν
ν+n+1/2
ν + 1 n−ν
=
1+
1−
n+1
n+1
n+1
→ e eν e−ν−1 = 1
f (x) = clPl(x)
l=0
当然, 展开系数由 Legendre 多项式的正交性得到
1
cl Pl(x) 2 = f (x)Pl(x)dx
−1
2l + 1 1
cl = 2
f (x)Pl(x)dx
−1
Example 16.1 将函数 f (x) = x3 按 Legendre 多项式展开.
Solution x3 为3次多项式, 而
方程+齐次边界条件构成本征值问题
d (1 − x2) dy + ν(ν + 1)y = 0
dx
dx
y(±1)有界
3
方程通解为 y(x) = APν(x) + BQν(x)
y(1) 有界, 而 Qν(x) 含对数项, ln(x − 1) 在 x = 1 无界, 所以 B = 0,
y(−1) = APν(−1)
(4)
即 θ = 0, π 不是方程解的奇点.
1
方程(3)为 Legendre 方程. 作变换
x = cos θ y(x) = Θ(θ)
Legendre 方程改写为
d (1 − x2) dy + λy = 0
(5)
dx
dx
16.1 Legendre 方程的解
令 λ = ν(ν + 1), 展开
(1
∼
(n + 1)2n+1e−(2n+2)
e
ν
ν+n+1/2
ν + 1 n−ν
=
1+
1−
n+1
n+1
n+1
→ e eν e−ν−1 = 1
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拟线性方程—未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的 半线性的拟线性方程—最高阶导数的系数仅仅是自变量的函数
三、定解条件和定解问题 1、定解条件
为完全确定一个物理状态所给出的初始状态和边界状 态，即外加的特定条件 (1) 初始条件：给出未知函数或其对时间的偏导数的起始状态
(2) 边界条件：给出未知函数在所求区域的边界上的值或导数 值或两者的线性组合。 S——给定区域v 的边界 如：
二、重要性 数学物理方程反映了自然科学和工程技术的各门分支中 物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关 系，是数学联系实际的一个重要桥梁,已经成为自然科学、 工程技术甚至经济管理科学等领域的研究基础。
三、研究方法及本课程内容
1、一般研究程序： 1）将物理问题依有关定律建立相应的数学模型 2）对数学模型应用数学方法求解 3）将解答通过数学论证和实践检验鉴定其正确性 2、本课程内容：以三种典型方程的定解问题的求解方法 为主要研究内容，重点掌握 1）有关基本概念 2）典型物理问题方程的建立 3）常用的几种解法及典型例题求解
2、定解问题的适定性 为使定解问题的解能反映原来的物理现象，对数学上的解提
出的一些标准，称为适定性。包括存在性、唯一性和稳定性。
•解的存在性：所给定解问题有解；
•解的唯一性：所给定解问题只有一个解；
解的稳定性：当定解条件及方程中的系数或自由项有微小 变化时，相应的解也只有相应的微小变动。
§3、二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的一般形式
2 u m u ax () b () x c () x u f () x i j i xx x ij , 1 i i j i m
特别对有两个自变量（x，y）函数的二阶线性偏微 分方程可写为：
2 2 2 u u u u u a 2 a a b b c uf 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 x x y y x y
非线性方程——含有未知函数及其偏导数的非线性项，非线性项有三种形式： 1）未知函数本身为非线性的项，如
u2 ,sin u, eu
2）未知函数偏导数的系数含有未知函数或其低阶导数项，
如
2 u u , u u ,( s i n u ) u x x y y x y y
22 u 2 i n ( u ) ,xu , e u 3）未知函数最高阶导数为非线性的项，如 u xs x y y x x x
§2、数学物理方程的基本概念
一、方程的概念——由未知量组成的关系式（等式）
1、按未知量的形式：
代数方程——未知量是数量； 函数方程——未知量是函数； 常微分方程——方程含有函数的导数； 偏微分方程——方程含有多自变量函数的偏导数；
积分方程——方程含有未知函数的积分；
2、方程的阶数——方程中出现的未知函数的最高阶偏导数。 可分为一阶方程、二阶方程、高阶方程
可见若有
2 2 而 ， 恰 是 方 程 a za 2 z z a z 0 的 解 1 1 x 1 2 x y 2 2 y
，
使上两式为零，则原方程可以简化。
设 z ( x ,) y c 是 上 述 方 程 的 解
d y z 则 由 复 合 函 数 求 导 得 ： x d x z y
四、定解问题的适定性 1、偏微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。 通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。 特解：满足方程及定解条件的解，也称为定解问题的解。 光滑解：可无穷次可微的解。 解析解：可展开成收敛幂级数形式的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
3、方程的线性与非线性：
线性方程——如果一个偏微分方程的未知函数及其各阶偏导数都是线性
的（一次幂），如m个自变量的二阶线性偏微分方程可写成如下形式
2 u m u ax () b () x c () x u f () x i j i xx x ij , 1 i i j i m
数学物理方程
-----用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容 三个方程： 波法、格林函数法、积分变换法
第一章
第一节 概述
一、 数学物理方程定义
绪伦
含有未知函数的偏导数的方程，是物理现象的数学描 述。包括微分方程和积分方程，主要是偏微分方程。
为简化方程设作代换
x x ( ， ） ， y y ( , ) , 即 ： ( x , y ) , ( x , y )
则由复合函数的求导有
A u 2 A u A u B u u C u F 1 1 1 2 2 2 1 B 2
u|s f (P ,t)
u g (P,t) n s
( u u ) (Pt ,) nS
第一类边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
2、定解问题
1）泛定方程：通常称偏微分方程为泛定方程
2）把泛定方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了 一个定解问题。 3）定解问题的提法
(1) 初始问题（柯西问题）：只有初始条件，没有边界条件的 定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；依 所给边界条件的类型分为：第一类边值问题（Dirichlet问 题）；第二类边值问题（Neumann问题）；第三类边值问 题（Robbin问题） (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
期中系数
2 2 A a 2 a a 1 1 1 1 x 1 2 x y 2 2 y
A a a a 1 2 1 1 x x 1 2( x y y x) 2 2 y y
2 2 A a 2 a a 2 2 1 1 x 1 2 x y 2 2 y