第11章 动量矩定理

第11章§11–1 §11–2 §11–3 §11–4动量矩定理质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 质点系相对于质心的动量矩定理§11–5 刚体的平面运动微分方程第11章动量矩定理有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？ r r 1. 刚体（质点系）绕过质心的轴转动时 p = MvC = 0 ，可见动 量不能表征或度量这种运动。

2. 动量定理揭示了质点和质点系的动量变化与外力主矢的关 系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。

但未 讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响，不是质点系机械 运动的全貌。

3. 有些运动用动量矩比用动 量更能反映其运动特征。

如： 开普勒定理：mv1r1= mv2r2 =常量第11章本章重点：动量矩定理质点系的动量矩定理，刚体定轴转动微分方程， 刚体平面运动微分方程；定理的综合应用。

本章难点：质点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动 微分方程的应用；第11章§11–1 §11–2 §11–3 §11–4动量矩定理质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 质点系相对于质心的动量矩定理§11–5 刚体的平面运动微分方程§11–1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩设质点Q 某瞬时动量为 mv ， 其对O 点的位置为矢径r ， 如图 所示，仿照力矩定义 定义质点Q 的动量对于O 点的 矩为质点对点O 的动量矩 。

定义 质点动量mv 在Oxy 平面的投影（mv)xy 对于点O 的 矩，为质 点动量对于z 轴的矩，简称对于z 轴的动量矩。

分别表示为：M O (mv ) = r × mv [M O ( mv )]z = M z ( mv )§11–1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩M O ( m v ) = r × mv[M O (mv )]z = M z (mv )从图可以看出，质点对于O 点的动量矩矢在z轴上的投 影，等于对z轴的动量矩。

即正负号规定与力对轴矩 的规定相同，指向符合右 手螺旋法则。

对着轴看：顺时针为负，逆时针为正 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。

单位：kg·ｍ2/s。

§11–1质点和质点系的动量矩2．质点系的动量矩质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢 量和，或者称为质点系对点O 的主矩，即LO = ∑ M O (mi vi )i =1n质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代 n 数和，即Lz =同理有∑Mi =1z (mi v i )[LO ]z = Lz上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的 投影等于质点系对于该轴的动量矩。

§11–1质点和质点系的动量矩2．质点系的动量矩 注意：（a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。

（b）刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个 质点计算其动量矩；§11–1质点和质点系的动量矩3．定轴转动刚体对转轴的动量矩刚体作定轴转动时，对转轴的矩Lz = ∑ M z (mi vi ) = ∑ mi vi rii =1 n i =1 nnn= ∑ miωi ri ri = ω ∑ mi ri 2J z = ∑ mi ri2 令i =1i =1 ni =1，称为刚体对z轴的转动惯量，于是有 Lz = J zω 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动 惯量与转动角速度的乘积。

§11–1质点和质点系的动量矩4 . 刚体对轴的转动惯量 定义：刚体对任意轴z的转动惯量定义为：J z =∑i =1nm i ri 2若刚体的质量是连续分布，则： J z = r 2 d m ∫ ①转动惯量与刚体的质量和质量 分布情况以及点（或轴）的位置 有关； ②恒为正标量； ③单位：kg·m2物理意义：刚体转动时惯性的度量。

§11–1质点和质点系的动量矩5. 回转半径 定义： ρz =Jz m则 J z = mρ z2ρz为长度量纲。

即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘积。

注意： ρz 不是刚体某一部分具体尺寸 ，而是一个当量长度：假象地将刚体的 质量集中在一个点上，如果这个点对某 轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转 动惯量，则这个点到该轴的距离就是这 个刚体对该轴的回转半径。

对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。

对于几何形状 相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。

11§11–1质点和质点系的动量矩6 . 刚体转动惯量的计算（１）．对简单形状的均质刚体，用积分法（a）匀质细直杆长为l ,质量为m ，其分别对z和z'轴的转动惯量l 2 l 2Jz =∫m 1 2 x dx = ml l 122J z' =∫l0m 1 2 x ⋅ dx = ml l 32（b）匀质圆环半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量为Jz =∑mi R 2 = R 2∑mi = mR 2§11–1质点和质点系的动量矩6 . 刚体转动惯量的计算（１）．对简单形状的均质刚体，用积分法（c）匀质圆板半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量。

任取一圆环，则dmi = 2 πri dri ⋅ p ARm pA = πR 2R2 ∴ J O = ∫ 2πp Adr ⋅ r 2 = 2πp A o 4 1 或 J o = mR 2 2§11–1质点和质点系的动量矩6 . 刚体转动惯量的计算 平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。

J z ' = J z + Md任一轴：z'//z 质心轴2两轴距离刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积。

§11–1质点和质点系的动量矩6 . 刚体转动惯量的计算 平行移轴定理J z = J zC + md 2证明：设质量为M的刚体，质心为C，O ' z '//CzJ z = ∑ mi ri = ∑ mi ( xi + yi )2 2 2J z ' = ∑ mi ri '2 = ∑ mi ( xi '2 + yi '2 )Q xi ' = xi , yi ' = yi + d2∴ J z ' = ∑ mi [ xi + ( yi + d ) 2 ]Q ∑ mi = M , ∑ mi yi = MyC = 0 ∴ J z ' = J z + Md 2刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。

J z ' = ∑ mi ( xi 2 + yi 2 ) + (∑ mi )d 2 + 2d ∑ mi yi§11–1质点和质点系的动量矩6 . 刚体转动惯量的计算 （2）．计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。

若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。

（3）.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转 动惯量：扭摆法、复摆法。

（2） ．计算转动惯量的组合法例1. 质量均为m长度均为 l 的直杆OD和AB在D点刚接,且 AD=DB,如图所示. 求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的转 动惯量. 解: JO = JOD + JABJ OD 1 2 = ml 3O1 2 13 2 2 J AB = ml + m (OD) = ml 12 121 2 13 2 17 2 J O = ml + ml = ml 3 12 12A D B§11–1质点和质点系的动量矩[例2]图示复摆，均质细 杆：m，l；有孔圆盘： M，R，r，求摆对过O点 且垂直于图面的轴的转 动惯量。

解： J O= J杆 + J盘 − J孔1 2 J = 1 m R 2 + m (l + R) 2 J = 1 m r 2 + m (l + R ) 2 2 2 孔 J 杆 = ml 1 1 盘 2 2 3 M MR 2 M Mr 2 πR 2 = 2 m2 = 2 πr 2 = 2 其中： m1 = 2 πR − πr 2 R − r2 πR − πr 2 R − r21 2 1 ∴ J O = ml + M ( R 2 + r 2 ) + M (l + R) 2 3 218例3.质量为 m长度为l 的均质直杆OA和质量 为 m 半径为 R的均质园盘 A在A点刚接,如图 所示.求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的 转动惯量. 解: JO = JOA + JA O1 2 J OA = ml 3 1 1 2 2 J A = mR + m (OA) = mR 2 + ml 2 2 2 4 2 1 J O = ml + mR 2 3 2AR§11–1质点和质点系的动量矩[例4] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1；滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3。

求：系统对O轴的动量矩。

解： L = L + L + L O OA OB OC= J1ω1 + ( J 2ω2 + m2v2 R2 ) + m3v3 R21 v 3 = v 2 = R 2ω 2 = R1ω 1 2 J1 J2 LO = ( 2 + 2 + m2 + m3 ) R2 v3 R2 R2例5.均质圆柱体O和C的质量均为m,半径相等均为r.圆柱O 可绕通过点O 的水平轴转动.一绳绕在圆柱O上, 绳的另一端绕在圆柱C上.求圆柱下落其角速度分别为ω1和ω2时系统对O点的动量矩.OCABω1ω2O C ABω1ω2解:圆柱体O 作定轴转动.圆柱体C 作平面运动B 为瞬心(相对).L O = L OO + L OC121ω=mr L OO L OC = r c ×P + L cr v C = v B + v CB = r ω1 + r ω2v 2221ω=mr L Cr r cr C ++=)(2212ω+ω=×mr P r C )5.22(212ω+ω=mr L OC )(5.2212ω+ω=mr L OO例题12-4.如图所示,一双单摆在Oxy 平面内振动.在图示瞬时角速度ω1 = 5rad/s , ω2 = 10rad/s.如质点A,B的质量m1 = m2 =5kg OA=AB =1m.求在该瞬时质点系对O点的动量矩. (sinθ1= 0.6 ; sinθ2= 0.8)xy OAB θ1θ2ω1ω2xyOA Bθ1θ2ω1ω2解:(1)应用L O = ∑L oi = ∑r i ×m i v ir 1 = 0.8i + 0.6 jr 2 = 1.4i + 1.4 jv 1 = ω1×r 1v 2= v 1+ v 21= 5k ×(0.8i + 0.6 j )= -3i + 4 jr 1r 2= ω1×r 1+ ω2 ×(AB )= -3i + 4 j +10k ×(0.6i + 0.8j )= -11i + 10 j L O = r 1×m 1v 1+ r 2×m 2v 2=(0.8i +0.6 j )×5(-3i +4 j )+(1.4i +1.4 j )×5(-11i +10 j )= 172 k(2)应用L O = r c ×P + L cr c = 1.1 i + jP = m 1v 1+ m 2v 2 = -70i + 70 j xyOA Bθ1θ2ω1ω2Cr c r ′2= 0.3i + 0.4 jr ′1= -0.3i -0.4 j r 1´r 2´L c = r ′1×m 1v 1+ r ′2×m 2v 2 = 25kr c ×P = (1.1i + j ) ×(-70i + 70 j ) = 147 kL O = 25k + 147k = 172k例题12-5. 如图所示,一双复摆在Oxy平面内振动.在图示瞬时, 角速度ω1= 5rad/s ,ω2=10rad/s.如杆OA,AB的质量m1=m2= 6kg OA= AB=1m.求在该瞬时质点系对O点的动量矩.(sinθ1= 0.6 ; sinθ2= 0.8)xyOAB θ1θ2ω1ω2解:系统由二个物体组成.L O 2 = r c ×P + L cr12131ω=ml L O v C = v 1 + v C 1 10516312=×××=x yA Bθ1θ2ω1ω2CL O = L O 1+ L O 2OA 杆作定轴转动.AB 杆作平面运动C 为质心.= ω1 ×r 1+ ω2 ×(AC )= -3i + 4 j +10k ×(0.3i + 0.4j )= -7i +7 j计算AB 杆对O 点的动量矩.r c ×P =(1.1 i + j )×(-42i +42 j )= 88.2 k22121ω=ml L cr 510161212=×××=k ·(r c ×P ) = 88.2L O 2= 88.2 + 5 = 93.2L O = 10 + 93.2 = 103.2r c =1.1 i + jP = -42i +42 jx yA Bθ1θ2ω1ω2Cr c第11章动量矩定理§11–1 质点和质点系的动量矩§11–2 动量矩定理§11–3 刚体绕定轴转动的微分方程§11–4 质点系相对于质心的动量矩定理§11–5 刚体的平面运动微分方程§11-2动量矩定理1．质点的动量矩定理)(d dd d )(d d)(d d v r v r v r v M m t m t m t m t O ×+×=×=对质点动量矩求一次导数，得Fr v v v M vr F v ×+×=∴==m m tt m t O )(d d d d ,)(d d Q 因为)(,0F M F r v v O m =×=×)()(d dF M v M O O m t=故§11-2动量矩定理1．质点的动量矩定理d M O ( mv ) = M O ( F ) dt d LO = M O ( F ) dt上式表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作 用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。